Математика 11 класс а г мордкович: ГДЗ самостоятельные работы по алгебре за 11 класс Александрова ФГОС Базовый уровень

Содержание

ГДЗ самостоятельные работы по алгебре за 11 класс Александрова ФГОС Базовый уровень

Автор: Александрова Л.А.

Издательство: Мнемозина 2016-2019

Тип книги: Самостоятельные работы

Рекомендуем посмотреть

Математика – как много она значит. Нет ни одного, кто бы не владел элементарными познаниями в ней. Одни разбираются в ней на базовых началах, вторые знают побольше, а третьи вообще являются ассами в точной науке. И все людей объединяет одно – необходимость знать арифметику. Не важно, пригодится вам это в вашей будущей профессии или нет, но необходимость начальных навыков есть: хотя бы посчитать сдачу в магазине. Кто-то занимается алгеброй с превеликим удовольствием, находит в ней вдохновение, ищет новых открытий и жаждет познать каждую цифру и точку. Другие неохотно посещают школьные занятия и не стремятся особо разбираться в программе. Это бывает по разным причинам: лень, непонимание сложного математического языка, разногласие с учителем и другое. Но не зависимо от всех обстоятельств надо пройти школьный курс для получения всех базовых знаний по этой дисциплине. Поэтому рекомендуем наш

решебник по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александровой (базовый уровень). Оно поможет разобраться в каждой теме и освоить азы математических начал. Это просто необходимо для того чтобы с успехом сдать выпускные экзамены и поступить в профессиональное учебное заведение. Вы же не хотите остаться на второй год или окончить школу со справкой?

Почему стоит обратиться к нашему пособию по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александровой (базовый уровень)

Если вы хотите достичь ошеломленных успехов в математике, то настаиваем на применении нашего подспорья. Уверяем вас, что в скором времени все проблемы решатся. Вот почему стоит обратить на него внимание:

  • портал открыт круглосуточно, поэтому им можно воспользоваться, когда удобно;
  • для посещения сайта достаточно быть подключенным к интернету;
  • тексты, написанные нашими специалистами, прошли проверку в министерстве образования и разрешены ля использования;

Всегда применяйте ГДЗ по алгебре 11 класс самостоятельные работы автора: Александрова, Л. А. (базовый уровень) и гордитесь достигнутыми результатами! А мы гарантируем получение именно таких успехов!

Быстрый поиск

C-1.

Варианты

C-2. Варианты

C-3. Варианты

C-4. Варианты

C-5. Варианты

C-6. Варианты

C-7. Варианты

C-8. Варианты

C-9. Варианты

C-10. Варианты

C-11. Варианты

C-12.

Варианты

C-13. Варианты

C-14. Варианты

C-15. Варианты

C-16. Варианты

C-17. Варианты

C-18. Варианты

C-19. Варианты

C-20. Варианты

C-21. Варианты

C-22. Варианты

C-23.

Варианты

C-24. Варианты

C-25. Варианты

C-26. Варианты

C-27. Варианты

C-28. Варианты

C-29. Варианты

C-30. Варианты

C-31. Варианты

C-32. Варианты

C-33. Варианты

C-34.

Варианты

C-35. Варианты

C-36. Варианты

C-37. Варианты

C-38. Варианты

C-39. Варианты

C-40. Варианты

C-41. Варианты

C-42. Варианты

Каких успехов достигнет ребенок, использующий ГДЗ по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александровой (базовый уровень)

Применяя наше подспорье, одиннадцатиклассник добьется следующих успехов и разовьет такие компетенции:

  1. Научится самостоятельно ставить и определять цели и задачи, а также искать пути для их достижения.
  2. Сможет использовать все возможные ресурсы для практической жизнедеятельности.
  3. Разовьет опыт работы с различными источниками информации, умение находить нужные сведения и применять их в деле.
  4. Выработает эстетическое отношение к миру, а также к такой науке как математика.
  5. Приобретет умение работать индивидуально, в парах, а также большими группами и коллективами не только со своими сверстниками, но и с разными возрастными группами.
  6. Будет воспринимать математику как часть культурного наследия человечества, изучение которого жизненно необходимо, элементарно для социализации в обществе.
  7. Овладеет ЗУНами применения различных современных компьютерных технологий для удовлетворительной учебы и практики по алгебре.

Какие темы есть в решебнике по алгебре 11 класс самостоятельные работы автора: Александрова, Л. А. (базовый уровень)

Мы уже говорили о том, что наше пособие не имеет расхождений с оригинальным учебником, который предоставлен для прохождения школьной программы.

Поэтому здесь вы найдете следующие темы:

  1. Область определения и множество значений тригонометрической функции; их четность и нечетность, периодичность, свойства и графики.
  2. Правила нахождения первообразных; площадь криволинейной трапеции и интеграл, и их вычисление.
  3. Правило произведения; система перестановки и размещения; сочетания; бином Ньютона.
  4. Случайные величины; центральные тенденции; меры разброса.
  5. Показательная и логарифмическая функции.
  6. Правила дифференцирования.

Если вы станете периодически обращаться к нашему комплексу, то совсем скоро вы решите все существующие проблемы с арифметикой. Текст учебника написан простым, четким и ясным языком, что его разберет любой учащийся, даже с начальными познаниями в этой области. Главное, не спешите расстраиваться, если вы осознали, что у вас что-то не получается. Скорее открывайте онлайн-портал, выбирайте упражнение, по которому требуется помощь и вникайте. Вы получите ответы на все вопросы, которые кажутся вам мега-трудными. Не отчаивайтесь: все, кто пользовался наши сборником, остались довольны и добились многого в жизни.

Мы гарантируем качественные знания, которые предлагаем вам использовать. Попробуйте один раз: не понравится – больше не загляните в нашу книжку. Понравится – значит, она станет вашим верным другом и соратником. И всегда будет готова подставить дружеское плечо помощи для опоры на него.

ГДЗ по Математике за 11 класс Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Базовый уровень

Математика 11 класс Мордкович А.Г. алгебра и начала математического анализа, геометрия базовый уровень

Авторы: Мордкович А. Г., Смирнова И.М.

Умение производить расчёты требуется во многих профессиях. Но и выпускникам школ, выбравшим для себя гуманитарное продолжение образования, потребуются те навыки, которые развивает математика умение выстроить цепочку рассуждений и логическое мышление. Но подготовка к экзаменам по геометрии и алгебре отнимает слишком много времени и сил, забирая их у занятий с другими предметами. Для поддержки старшеклассников в этой непростой работе разработан отличный виртуальный консультант «ГДЗ к учебнику по Математике для 11 класса Мордкович (Мнемозина)».

Готовимся к экзамену с решебником по математике 11 класс Мордкович

Даже простая контрольная проверка знаний по алгебре и геометрии может превратиться в настоящую проблему. Особенно, если пропустить одну тему, а весь последующий материал из-за этого будет понят неправильно. Но впереди гораздо более серьёзное испытание – выпускной экзамен, на котором алгебра является обязательной дисциплиной. Необходимы постоянные консультации профессионала, чтобы, не допуская пробелов в знаниях, постоянно поддерживать стабильную успеваемость по этому сложнейшему предмету. Именно для поддержки в этой напряжённой работе и разработан отличный репетитор старшеклассника «ГДЗ к учебнику по Математике для 11 класса Мордкович А. Г., Смирнова И. М. (Мнемозина)». В издание включены 8 глав с разбивкой на 51 тематический параграф. Задания отражают все разделы основного учебника алгебры за текущий учебный год, и краткий обзор ранее изученного материала:

  1. Простейшие вероятностные задачи.
  2. Многогранники, вписанные в сферу.
  3. Принцип Кавальери.
  4. Многогранники в задачах оптимизации.
  5. Статистическая обработка данных.
  6. Определённый интеграл.

Также в пособие включены вопросы для самопроверки. Удобная навигация помогает ученику без потери времени найти нужный раздел. Решебник станет надёжным помощником при добросовестной работе старшеклассника – пособие консультирует подростка при самостоятельном выполнении программных упражнений. Изучая образцы правильных ответов, школьник сможет получить твёрдые знания всех сложных тем курса алгебры и геометрии:

  • свойства логарифмов;
  • равносильность уравнений;
  • лента Мёбиуса;
  • формула бинома Ньютона;
  • ориентация плоскости.

Пособие станет самым надёжным репетитором ученика при финальной подготовке к выпускному экзамену.

ГДЗ по математике за 11 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия Мордкович, Смирнова Базовый уровень

Авторы: Мордкович А.Г., Смирнова И.М..

Безусловно, при возникновении проблем напрашивается вариант – попросить помощь профессионального репетитора. В совершенно тупиковой ситуации это тоже можно считать подходящим вариантом. Но следует помнить, что этот метод потребует огромный дополнительный расход времени. А где его возьмет выпускник? Правильно, отнимет у тех же физики, химии и информатики. И следующим шагом тогда станет поиск репетитора и по тем предметам. Гораздо разумнее использовать поддержку совершенно другого участника учебного процесса – качественной учебно-вспомогательной литературы, своего рода виртуального репетитора: ГДЗ по математике 11 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия базовый уровень Мордкович.

Подготовка к выпускным экзаменам для учеников одиннадцатых классов – это настоящий стресс. Уровень подготовки у всех подростков разный, поэтому преподаватель не может индивидуально заниматься с каждым в зависимости от его уровня знаний, а преподносит своим ученикам общую программу.

У многих ребят проблемы возникают не только с алгеброй, но и с геометрией. Это сложнейшая наука, которая требует умение совмещать теорию с ее практическим применением, элементарные навыки по черчению и умение мыслить логически. А ведь параллельно с алгеброй и геометрией ученики осваивают и другие, не менее сложные предметы – физику, химию, информатику.

Помощник выпускника – ГДЗ по математике за 11 класс «Алгебра и начала математического анализа, геометрия» Мордковича (базовый уровень)

Издание позволяет выпускникам изучить и надежно усвоить все темы, в соответствии со структурой основной учебной литературы для одиннадцатого класса. Коротко о содержании пособия:

  • пятьдесят один тематический параграф;
  • вопросы для самопроверки;
  • подробные образцы решения ко всем упражнениям.

Удобная навигация пособия позволит мгновенно найти в нем нужный раздел.

Безусловно, учащиеся выпускного класса уже давно умеют правильно пользоваться учебно-вспомогательной литературой и не используют ГДЗ в качестве шпаргалки. Полноценная подготовка по сборнику открывает ученикам возможности:

  • уверенно подготовиться к выпускному экзамену;
  • с минимальными затратами времени поддерживать стабильную успеваемость;
  • быстро выполнять ежедневные домашние задания.

Решебник по математике для 11 класса «Алгебра и начала математического анализа, геометрия» (авторы: Мордкович А. Г., Смирнова И. М.) послужит отличным справочником и при непосредственной подготовке к ЕГЭ.

Календарно-тематическое планирование по математике ФГОС СОО 11 класс (углубленный уровень), учебники Мордкович А. Г., Атанасян Л. С.

Календарно – тематическое планирование

на 2020/2021 учебный год

Предмет математика

Класс 11

Учитель _______________________-

Планирование составлено на основе Примерной основной образовательной программы среднего общего образования, базисного учебного плана общеобразовательных учреждений Российской Федерации в соответствии с примерной программой «Программы. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы / авт.- сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. М. : Мнемозина», примерной программы «Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 10 – 11 классы. Составитель: Т. А. Бурмистрова. М: «Просвещение».

Учебники:

1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровни) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. М.: Мнемозина. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый и углубленный уровни) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. М.: Мнемозина.

2) Геометрия: учеб, для 10 – 11 кл. / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение.

Дополнительная литература:

1) Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе: кн. для учителя / Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. – М.: Просвещение.

2) Сборник задач по математике с решениями: Учеб пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин. – М.: ООО «Издательство Астрель»; «Издательство АСТ».

3) Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Тригонометрия: задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S.

4) Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. – М.: Просвещение.

5) Задачи по алгебре и началам анализа: пособие для учащихся 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Саакян, А. М. Гольдман, Д. В. Денисов. – М.: Просвещение.

Календарно – тематическое планирование

(7 часов в неделю, всего 238 часов)

Дата урока

№ урока

Тема урока

Деятельность учащихся

Форма

контроля

ТСО, эксперимент, наглядные пособия

Параграф

(или страница учебника)

с начала года

по теме

Повторение (15 часов)

1-5

1-5

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Общая,

фронтальная

ФО

CD« Математика 5-11 кл. »/ Виртуальная лаборатория «Тригонометрия»

CD « Математика 5-11 кл.» Упражнения «Определение тригонометрических функций»

6-10

6-10

Преобразование тригонометрических выражений

Тригонометрические уравнения

Общая,

фронтальная

ФО

Демонстрационный материал «Арксинус, арккосинус арктангенс и арккотангенс»

11-15

11-15

Производная, ее применение для исследования функции на монотонность

Общая,

фронтальная

ФО

Демонстрационный материал «Исследование функции по графику ее производной»

БЛОК 1 (45 часов)

Многочлены (14 часов)

16-19

1-4

Многочлены от одной переменной

Фронтальная

ФО

CD « Математика 5-11 кл. »

20-22

5-7

Многочлены от нескольких переменных

Общая,

фронтальная

ФО

CD « Математика 5-11 кл.»

23-28

8-13

Уравнения высших степеней

Фронтальная

ФО

CD « Математика 5-11 кл.»

29

14

Контрольная работа №1 по теме «Многочлены»

Индивидуальная

КР

Степени и корни. Степенные функции (31 час)

30-31

1-2

Понятие корня n-й степени из действительного числа

Индивидуальная

Индивидуальные

карточки

Демонстрационный материал «Свойства степени с рациональным показателем»

32-35

3-6

Функции у=n, их свойства и графики

Общая,

индивидуальная

СР

Тест на компьютере

ДМ «Корень n-й степени и его свойства»

36-38

7-9

Свойства корня n-й степени

Общая,

фронтальная

ФО

Задания для устного счета. Упр.11

«Степень с рациональным показателем»

39-44

10-15

Преобразование выражений, содержащих радикалы

Фронтальная,

индивидуальная

Тест

45

16

Контрольная работа №2 по теме «Степени и корни»

Индивидуальная

КР

46-49

17-20

Понятие степени с любым рациональным показателем

Фронтальная,

индивидуальная

ФО

Задания для устного счета. Упр.8

«Корень n-й степени и его свойства»

50-53

21-24

Степенные функции, их свойства и графики

Фронтальная

ФР

Задания для устного счета. Упр.8 «Степенные функции»

54-55

25-26

Извлечение корней из комплексных чисел

Фронтальная,

индивидуальная

ФО

56

27

Контрольная работа №3 по теме «Степенные функции»

Индивидуальная

КР

57-60

28-31

Подготовка к ЕГЭ по теме «Степени»

Индивидуальная

Тест

БЛОК 2 (21 час)

Векторы в пространстве (6 часов)

61-62

1-2

Понятие вектора в пространстве

Индивидуальная

Тест

Демонстрационный материал «Понятие вектора в пространстве»

Демонстрационный материал

«Координаты вектора»

63-64

3-4

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

Индивидуальная

СР

Демонстрационный материал

«Сложение и вычитание

векторов»

65-66

5-6

Компланарные векторы

Общая,

индивидуальная

СР

Демонстрационный материал

«Компланарные векторы»

Метод координат в пространстве (15 часов)

67-72

1-6

Координаты точки и координаты вектора

Общая,

Индивидуальная

СР

Задания для устного счета

«Координаты точки и координаты вектора»

73-78

7-12

Скалярное произведение векторов

Фронтальная

ФР

Демонстрационный материал

«Скалярное произведение векторов»

79

13

Контрольная работа №4 по теме «Векторы»

Индивидуальная

КР

80-81

14-15

Подготовка к ЕГЭ по теме «Координатный метод»

Индивидуальная

Тест

БЛОК 3 (38 часов)

Показательная и логарифмическая функции (38 часов)

82-84

1-3

Показательная функция, ее свойства и график

Общая,

индивидуальная

Индивид. карточки

Демонстрационный материал «Показательная функция, ее свойства и график»

85-88

4-7

Показательные уравнения

Индивидуальная

МД

89-91

8-10

Показательные неравен­ства

Общая,

фронтальная

ФР

CD« Математика 5-11 кл.

Упражнения «Показательные уравнения и неравенства»

92-93

11-12

Подготовка к ЕГЭ по теме «Показательная функция»

Индивидуальная

Тест

94-96

13-15

Понятие логарифма

Общая,

фронтальная

ФР

Демонстрационный материал

«Определение логарифма»

97-98

16-17

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Фронтальная,

групповая

ФР

Пр. работа

на компьютере

Демонстрационный материал «Логарифмическая функция, ее свойства и график»

99

18

Контрольная работа №5 по теме «Логарифмическая функция»

Индивидуальная

КР

100-102

19-21

Свойства логарифмов

Индивидуальная

ПР

103-104

22-23

Подготовка к ЕГЭ по теме «Свойства

логарифмов»

Индивидуальная

Тест

105-108

24-27

Логарифмические урав­нения

Индивидуальная

Практическая работа

CD« Математика 5-11 кл.

Упражнения «Логарифмические уравнения и неравенства»

109-112

28-31

Логарифмические неравенства

Общая,

индивидуальная

СР

CD« Математика 5-11 кл.

Упражнения «Логарифмические уравнения и неравенства»

113-114

32-33

Дифференцирование показательной и логарифмической функций

Фронтальная,

индивидуальная

ФО

Демонстрационный материал «Число е. Натуральный логарифм»

115

34

Контрольная работа №6 «Показательная и логарифмическая функция»

Индивидуальная

КР

116-119

35-38

Подготовка к ЕГЭ по теме «Показательная и логарифмическая функция»

Индивидуальная

Тест

БЛОК 4 (33 часа)

Цилиндр, конус и шар (16 часов)

120-122

1-3

Цилиндр

Общая,

фронтальная,

индивидуальная

ФР

Тест

Демонстрационный материал «Цилиндр»

123-125

4-6

Конус

Индивидуальная

ПР на компьютере

Индивид.

карточки

Модель конуса

«Конус. Конические сечения»

(Эл. уч. «Открытая математика, стереометрия»)

126-128

7-9

Сфера

Общая,

фронтальная

ФР

Модели сферы и шара

«Сфера»

(Эл. уч. «Открытая математика, стереометрия»)

129-131

10-12

Решение задач

Индивидуальная,

групповая

МД,

работа

в парах

Задания для устного счета

«Цилиндр», «Конус», «Сфера»

132

13

Контрольная работа №7 по теме «Цилиндр, конус, шар»

Индивидуальная

КР

133-135

14-16

Подготовка к ЕГЭ по теме «Цилиндр, конус, шар»

Индивидуальная

Тест

Объемы тел (17 часов)

136-138

1-3

Объем прямоугольного параллелепипеда

Фронтальная,

Индивидуальная

ФР

СР

Определение объема тела

(Эл. уч. «Открытая математика, стереометрия»)

139-141

4-6

Объем прямой призмы и цилиндра

Фронтальная,

индивидуальная

ФР.

ПР на

компьютере

Математика. Практикум. 5-11 классы.

Электронное учебное издание.

142-144

7-9

Объем наклонной призмы, пирамиды, конуса

Индивидуальная

Индивид.

карточки

Объем пирамиды

(Эл. уч. «Открытая математика, стереометрия»)

145-147

10-12

Объем шара и площадь сферы

Фронтальная,

Индивидуальная

ФР

Объем шара

(Эл. уч. «Открытая математика, стереометрия»)

148

13

Контрольная работа №8 по теме «Объёмы тел»

Индивидуальная

КР

149-152

14-17

Подготовка к ЕГЭ по теме «Объемы»

Индивидуальная

Тест

БЛОК 5 (22 час)

Первообразная и интеграл (11 часов)

153-157

1-5

Первообразная

Групповая

СР

с взаи-мопроверкой

Демонстрационный материал «Определение первообразной»

158-162

6-10

Определенный интеграл

Фронтальная

ФР

Задания для устного счета. Упр.4 «Первообразная»

163

11

Контрольная работа №9 по теме «Первообразная и интеграл»

Индивидуальная

Индивид. карточки

ДМ «Первообразная линейной функции»

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей (11 часов)

164-165

1-2

Статистическая обработка данных

Фронтальная,

групповая

Работа в парах

166-167

3-4

Простейшие вероятностные задачи

Общая,

Фронтальная

ФР

168-169

5-6

Сочетания и размещения

Фронтальная,

индивидуальная

Индиви-

дуальные карточки

ФР

170

7

Формула бинома Ньютона

Фронтальная

ФР

171-172

8-9

Случайные события и их вероятности

Индивидуальная

СР

173-174

10-11

Подготовка к ЕГЭ по теме «Вероятность»

Индивидуальная

Тест

БЛОК 6 (40 часов)

Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств (40 часов)

175-178

1-4

Равносильность уравнений

Индивидуальная

ПР

179-184

5-10

Общие методы решения уравнений

Общая,

индивидуальная

ФР

Демонстрационный материал «Применение свойств функций для решения уравнений»

185-187

11-13

Равносильность неравенств

Общая,

индивидуальная

ФР

188-192

14-18

Уравнения и неравенства с модулями

Фронтальная, индивидуальная

ФР

Индивид.

карточки

Демонстрационный материал «Использование графиков при решении неравенств».

193-195

19-21

Уравнения и неравенства с двумя переменными.

Общая,

индивидуальная

ПР

196-198

22-24

Доказательство неравенств

Фронтальная,

индивидуальная

ФР

199-203

25-29

Системы уравнений

Индивидуальная

ПР

204-207

30-33

Уравнения и неравенства с параметрами

Общая,

индивидуальная

ПР

Демонстрационный материал «Задачи с параметрами»

208

34

Контрольная работа №10 по теме

«Уравнения, неравенства, системы»

Индивидуальная

КР

209-214

35-40

Подготовка к ЕГЭ по теме «Решение уравнений, неравенств, систем»

Индивидуальная

Тест

Повторение (24 часа)

215-216

1-2

Повторение. Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем.

Общая,

фронтальная

ФР

СD «Математика, 5-11 кл.

217-218

3-4

Повторение. Решение неравенств методом интервалов

Индивидуальная

СР

Демонстрационный материал «Использование графиков при решении неравенств».

219-220

5-6

Повторение. Решение тригонометрических уравнений.

Индивидуальная

Тест на компьютере

КР

Задания для устного счета. Упр.11

«Простейшие тригонометрические уравнения»

221-222

7-8

Повторение. Наибольшее и наименьшее значение функции. Множество значений функции.

Индивидуальная

Индивид. карточки

СD «Интерактивная математика» / Виртуальная лаборатория «Графики функций».

223-224

9-10

Повторение. Решение иррациональных уравнений.

Индивидуальная

СР

Задания для устного счета. Упр.9

«Иррациональные уравнения»

225-227

11-13

Повторение. Решение показательных уравнений и неравенств.

Общая,

Индивидуальная

СР

CD« Математика 5-11 кл.

Упражнения «Показательные уравнения и неравенства»

228-230

14-16

Повторение. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Общая,

фронтальная

ФР

Индивид.

карточки

Демонстрационный материал «Логарифмическая функция, ее свойства и график»

231-232

17-18

Повторение. Решение задач на проценты, движение, совместную работу.

Групповая

ПР

233-238

19-24

Повторение. Решение задач по геометрии.

Индивидуальная

СР

ГДЗ по математике 11 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия Мордкович А.Г. Базовый уровень

Получить превосходный аттестат поможет «ГДЗ по математике 11 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия Мордкович, Смирнова, Базовый уровень (Мнемозина)».

На этом завершается школьная пора ребят. Одиннадцатый класс является завершающим годом обучения. После него абитуриентам останется лишь сдать единый государственный экзамен по двум обязательным предметам: русскому и математике, и еще одному или нескольким необязательным предметам для поступления в высшее учебное заведение. Качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ не так просто. Необходимо проработать огромное количество типовых заданий для тестовой части, а также подготовиться к сложным упражнениям из второй части экзамена. Преподаватель в этом году все силы и умения отдаёт на то, чтобы его подопечные сдали ЕГЭ на проходные баллы. Практически весь год школьникам предстоит настраиваться психологически и накапливать знания. По ходу учёбы нужно будет сдать несколько пробников. Это нужно в первую очередь для учителя, чтобы он смог выявить пробелы у учащихся и наверстать упущенные темы.

Программа для одиннадцатиклассников

Рассмотрим несколько параграфов из учебника для создания общего впечатления степени нагрузки на школьников:

  • повторение производной и таблицы, геометрический смысл;
  • формулы двойного и половинного аргумента, универсальной тригонометрической подстановки;
  • логарифмические неравенства, их основные свойства;
  • обобщение понятий показателя степени;
  • системы уравнений, метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных;
  • решение сложных показательных неравенств.

Справиться с затруднительными моментами поможет «ГДЗ по математике 11 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Базовый уровень (Мнемозина)».

Онлайн-решебник по математике за 11 класс от Мордковича – помощник одиннадцатиклассников

Решебник по данному предмету является отличным подспорьем при изучении, перечислим положительные стороны сборника:

  • онлайн-доступ;
  • номера верных ответов на упражнения легко ищутся, так как присутствует удобная система навигации;
  • содержит комментарии с пояснениями к каждому заданию.

Школьник, благодаря данному пособию, сможет самостоятельно расправиться со всеми неподъёмными для него темами. Желаем успехов!

Мордкович А. Г., Смирнова И. М. Математика 11 класс (базовый уровень) ОНЛАЙН


Математика. 11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова [и др.]. — 8-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2013. — 416 с. : ил.
Учебник написан в соответствии с программой курса математики средней школы общеобразвоательного уровня (курс А), на изучение которого отводится три урока в неделю и преподавание осуществляется в рамках единого курса. Концептуальную основу учебника составили широко апробированные в российских школах учебные пособия тех же авторов по алгебре и началам анализа (учебник, задачник) и геометрии ( учебник) для 10-11-го классов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
ГЛАВА 1. степени и корни, степенные функции
§ 1. Понятие корня n-й степени из действительного числа 5
§ 2. Функции у = ух, их свойства и графики 11
§ 3. Свойства корня n-й степени 19
§ 4. Преобразование выражений, содержащих радикалы 26
§ 5. Обобщение понятия о показателе степени 35
§ 6. Степенные функции, их свойства и графики 43
ГЛАВА 2. Показательная и логарифмическая функции
§ 7. Показательная функция, ее свойства и график 57
§ 8. Показательные уравнения и неравенства 74
§ 9. Понятие логарифма 85
§ 10. Функция у = loga х, ее свойства и график 90
§ 11. Свойства логарифмов 98
§ 12. Логарифмические уравнения 109
§ 13. Логарифмические неравенства 116
§ 14. Переход к новому основанию логарифма 123
§ 15. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 127
ГЛАВА 3. Первообразная и интеграл
§ 16. Первообразная 139
§ 17. Определенный интеграл 148
ГЛАВА 4. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§ 18. Статистическая обработка данных 164
§ 19. Простейшие вероятностные задачи 183
§ 20. Сочетания и размещения 192
§ 21. Формула бинома Ньютона 206
§ 22. Случайные события и их вероятности 208
ГЛАВА 5. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
§ 23. Равносильность уравнений 225
§ 24. Общие методы решения уравнений 236
§ 25. Решение неравенств с одной переменной 247
§ 26. Уравнения и неравенства с двумя переменными 262
§ 27. Системы уравнений 269
§ 28. Уравнения и неравенства с параметрами 280
ГЛАВА 6. Круглые тела
§ 29. Цилиндр, конус 289
§ 30. Фигуры вращения 293
§ 31. Взаимное расположение сферы и плоскости 301
§ 32″.Многогранники, вписанные в сферу 306
§ 33″.Многогранники, описанные около сферы 311
§ 34*. Сечения цилиндра плоскостью 315
§ 35. Симметрия пространственных фигур 318
§ 36″. Ориентация плоскости. Лист Мёбиуса 324
ГЛАВА 7. Объем и площадь поверхности
§ 37. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра 329
§ 38. Принцип Кавальери 335
§ 39. Объем пирамиды 339
§ 40. Объем конуса 345
§ 41. Объем шара 349
§ 42. Площадь поверхности 353
§ 43. Площадь поверхности шара 357
ГЛАВА 8. Координаты и векторы
§ 44. Прямоугольная система координат в пространстве 361
§ 45. Векторы в пространстве 367
§ 46. Координаты вектора 371
§ 47. Скалярное произведение векторов 374
§ 48. Уравнение плоскости в пространстве 378
§ 49″. Уравнение прямой в пространстве 382
§ 50*. Аналитическое задание пространственных фигур 385
§ 51*. Многогранники в задачах оптимизации 389
Ответы 394

Рабочие программы по математике 10-11 классы (Мордкович, Атанасян) | Рабочая программа по алгебре на тему:

№ урока

спец

Тема урока

Уч.матер.

дом.зад.

Средства обучения

Метод обучения

Требования к базовому уровню подготовки

Тип урока

Вид контроля

Дата

Глава 1. Числовые функции — 9 ч

а

Определение числовой функции

Гл.1, §1

ЧИИ

УЛ

ДМ

НП

ИР

Уметь: строить графики элементарных функций, прообразовывать их.

Знать: могут самостоятельно искать, и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию

Уметь: задавать функции различными способами. Переходить от одного способа к другому.

– участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, подбирать аргументы для ответа на поставленный вопрос, приводить примеры

Уметь читать график функции, доказывать четность или нечетность функции,

Знать алгоритм исследования функции, и уметь исследовать функцию.

– выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям, применить знания для решения практических задач

Уметь строить графики обратных функций.

 – передавать информацию сжато, полно, выборочно;

– работать по заданному алгоритму, аргументировать ответ или ошибку

К

ВП

а

Способы задания числовой функции

УО

а

Определение и способы задания числовой функции

ПДЗ

а

Свойства функций

Гл.1, §2

ВП

а

Чтение графиков функций

ФО

а

Решение задач «Свойства функций»

Р, ТР

ПЗУ

РК

а

Обратная функция

Гл.1, §3

ИР

ПП

К

Т

а

Свойства обратной функции

ВП

а

Симметричность функций

СП

Некоторые сведения из планиметрии – 12 ч

г

Углы, связанные с окружностью

пп.85-99

ЧИИ

НП

ДМ

СУЛ

ПП

ИР

Р

Иметь представление:

о ряде теорем об углах и отрезках, связанных с окружностью;

о вписанных и описанных четырёхугольниках.

Знать формулы для медианы и биссектрисы треугольника, использующие радиусы вписанной и описанной окружностей.

Уметь различать такие объекты, как окружность и прямая Эйлера.

Знать:

содержание теорем Менелая и Чевы;

геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы;

их канонические уравнения

К

УО

г

Отрезки, связанные с окружностью

ПДЗ

г

Вписанные четырёхугольники

СП

г

Описанные четырёхугольники

ФО

г

Формулы для медианы и биссектрисы треугольника

ПДЗ

г

Формулы площади треугольника

ВП

г

Решение треугольников

ФО

г

Теорема Менелая

ПДЗ

г

Теорема Чевы

ИО

г

Эллипс

СП

г

Гипербола

ВП

г

Парабола

ПДЗ

Глава 2.  Тригонометрические функции – 1-16 ч из 26 ч

а

Числовая окружность

Гл.2, §4

УЛ, ДМ, ИИ, ТК

ИР

Знать, как можно на единичной окружности определять длины дуг

Уметь: – найти на числовой окружности
точку, соответствующую данному числу;

– собрать материал для сообщения

по заданной теме; – заполнять и оформлять таблицы, отвечать на вопросы с помощью таблиц

Знать, как определить координаты точек числовой окружности.

Уметь: – составить таблицу для точек числовой окружности и их координат; – по координатам находить точку числовой окружности;

– участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, подбирать аргументы для ответа на поставленный вопрос, приводить примеры

– владеть навыками самоанализа и самоконтроля

Знать понятие синуса,   произвольного угла; радианную меру угла.

Уметь: – вычислить синус  и косинус числа;

– вывести некоторые свойства синуса косинуса;

– воспринимать устную речь, участвовать в диалоге, записывать главное, приводить примеры

Знать понятие тангенса, котангенса произвольного угла; радианную меру угла.

Уметь: – вычислить тангенси котангенс числа;

– вывести некоторые свойства тангенсаи котангенса;

– выполнять и оформлять задания программированного контроля

Уметь: – совершать преобразования простых тригонометрических выражений, зная основные тригонометрические тождества;

– составлять текст научного стиля;

– пользоваться энциклопедией, математическим справочником, записанными правилами .

Уметь: – совершать преобразования простых тригонометрических выражений, зная основные тригонометрические тождества;

– передавать информацию сжато, полно, выборочно;

– работать по заданному алгоритму, аргументировать ответ или ошибку .

Знать, как вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса градусной  и радианной меры угла, используя табличные значения; формулы перевода градусной меры в радианную меру и наоборот.

Знать вывод формул приведения.

Уметь: – упрощать выражения, используя основные тригонометрические тождества и формулы приведения;

– выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям, применить знания для решения практических задач

Знать вывод формул приведения.

Уметь: – упрощать выражения, используя основные тригонометрические тождества и формулы приведения;

– выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям, применить знания для решения практических задач

Уметь вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса градусной  и радианной меры угла, используя табличные значения; применять формулы перевода градусной меры в радианную меру и наоборот.

К

ПДЗ

а

Решение задач по теме «Числовая окружность»

§ 4

Р

ЗИ

РК

а

Числовая окружность на координатной плоскости

§ 5

ИР

ОНМ

УО

а

Решение задач по теме «Числовая окружность на координатной плоскости»

Р

ЗИ

ВП

а

Проверочная работа ««Числовая окружность на координатной плоскости»

ТР, Р

а

Контрольная работа № 1 «Числовая окружность»

§§ 4-5

ТР, Р

ПКЗУ

КР

а

Синус

§ 6

ИР

ПП

ОНМ

УО

а

Косинус

К

ФО

а

Тангенс и котангенс

СУЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

ПП

К

ПДЗ

а

Тригонометрические функции числового аргумента

§ 7

ИР

УО

а

Решение задач «Тригонометрические функции числового аргумента»

ТР

ПЗУ

ВП

а

Тригонометрические функции углового аргумента

§ 8

ИР, Р

ОНМ

ФО

а

Решение задач «Тригонометрические функции углового аргумента»

ТР

ЗИ

РК

а

Формулы приведения

§ 9

ИР

К

УО

а

Решение задач «Формулы приведения»

ТР

ЗИ

ПР

а

Контрольная работа № 2 «Тригонометрические функции»

§§ 6-9

Р

ПКЗУ

КР

Введение – 3 ч

г

Предмет и аксиомы стереометрии

п.1-3

СУЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

ИР

ПП

Имеют представление об аксиоматическом способе построения геометрии, знают основные фигуры в пространстве, способы их обозначения, знают формулировки аксиом стереометрии, умеют применять их для решения простейших задач

Знают формулировки следствий, умеют проводить доказательные рассуждения и применять их для решения задач, имеют представление об элементарных построениях в пространстве,  знают три способа построения плоскостей

Знают формулировки следствий, умеют проводить доказательные рассуждения и применять их для решения задач, имеют представление об элементарных построениях в пространстве,  знают три способа построения плоскостей

К

УО

г

Некоторые следствия из аксиом

ВП

г

Применение аксиом стереометрии и их следствий

УО

Глава 2.  Тригонометрические функции – 17-26 ч из 26 ч

а

Функция , её свойства и график

§ 10

УЛ, ДМ, ЧИИ, НП, ДКИМ

УЛ, ДМ, ЧИИ, НП, ДКИМ

ПП, ИР

Знать тригонометрическую функцию y = sin x, ее свойства и построение графика.

Уметь объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах

Знать тригонометрическую функцию y = cos x, ее свойства и построение графика

Уметь: – использовать для решения познавательных задач справочную литературу;

– оформлять решения или сокращать решения, в зависимости от ситуации

Знать о периодичности и основном периоде функций
y = sin x и y = cos x.

Уметь объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах

Уметь: – график y = f(x) вытянуть и сжать от оси OX в зависимости от значения m;

– использовать для решения познавательных задач справочную литературу;

– оформлять решения, выполнять задания по заданному алгоритму, участвовать в диалоге .

Уметь: – график y = f(x) вытянуть и сжать от оси OY, в зависимости от значения k;

– работать с учебником, отбирать и структурировать материал;

– составлять конспект, проводить сравнительный анализ, сопоставлять, рассуждать

Уметь: – график y = f(x) вытянуть и сжать вдоль оси OY в зависимости от значения k;

– привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы;

– составлять план выполнения построений, приводить примеры, формулировать выводы .

Знать формулу гармонических колебаний.

Иметь представление о графике гармонических колебаний.

Уметь объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах .

Знать тригонометрическую функцию y = tg x ее свойства и построение графика.

Уметь: – извлекать необходимую информацию из учебно- научных текстов;  

– отражать в письменной форме свои решения, сопоставлять и классифицировать, участвовать в диалоге

Знать тригонометрическую функцию

y = сtg x  ее свойства и построение графика.

Уметь: – извлекать необходимую информацию из учебно- научных текстов;  

– отражать в письменной форме свои решения, сопоставлять и классифицировать, участвовать в диалоге

Уметь: – строить графики тригонометрических функций и описывать их свойства;

– владеть навыками самоанализа и самоконтроля

ОНМ

УО

а

Решение задач «Функция , её свойства и график»

§ 10

Р

ЗИ

ВП

а

Функция , её свойства и график

§ 11

ПП

ОНМ

ФО

а

Решение задач «Функция , её свойства и график»

ТР

Р

ЗИ

РП

а

Периодичность функций ,

§ 12

ПП

К

СП

а

Как построить график функции y =mf(x), если известен график функции y = f(x)

§ 13

ПП

ОНМ

ФО

а

Как построить график функции y = f(kx), если известен график функции y = f(x)

К

ПДЗ

а

Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

§ 14

УО

а

Решение задач «Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики»

Р

ПЗУ

РК

а

Контрольная работа № 3 «Свойства и графики тригонометрических функций»

§§ 10-14

ТР, Р

ПКЗУ

КР

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей – 16 ч

г

Параллельные прямые в пространстве

п.4-5

УЛ, ДМ, ЧИИ, НП, ДКИМ

ПП, ИР

Знают определение параллельных прямых в пространстве, формулировки основных теорем о параллельности прямых, умеют их доказывать и распознавать в конкретных условиях, применять теоремы к решению задач

Знают определение параллельных прямых в пространстве, формулировки основных теорем о параллельности прямых, умеют их доказывать и распознавать в конкретных условиях, применять теоремы к решению задач

Знают определение параллельных прямых в пространстве, формулировки основных теорем о параллельности прямых, умеют их доказывать и распознавать в конкретных условиях, применять теоремы к решению задач

Знают определение параллельных прямых в пространстве, формулировки основных теорем о параллельности прямых, умеют их доказывать и распознавать в конкретных условиях, применять теоремы к решению задач

Могут различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; угол между прямыми в пространстве. Владение навыками контроля и оценки своей деятельности, умением предвидеть возможные последствия своих действий.

К

УО

г

Параллельность прямой и плоскости

п.6

ИР

УО

г

Решение задач «Параллельность прямой и плоскости»

п.4-6

Р,ПП

ПЗУ

ВП

г

Параллельность прямой и плоскости вокруг нас

ПП

К

ВП

г

Скрещивающиеся прямые

п.7

ИР, Р

УО

г

Углы с сонаправленными сторонами

п.8-9

ИР, Р

УО

г

Угол между прямыми

ВП

г

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Контрольная работа № 4 «Параллельность прямых, прямой и плоскости» (20 мин)

п.4-9

ПП, Р

ТР

К

ПКЗУ

УО

КР

г

Параллельность плоскостей

п.10

ИР, Р

Могут различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; угол между прямыми в пространстве. Могут найти и устранить причины возникших трудностей   Знают определение и признаки параллельности плоскостей. Поиск нескольких способов решения, аргументация рационального способа, проведение доказательных рассуждений.

Знают определение и признаки параллельности плоскостей. Могут самостоятельно искать, и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию 

Могут отличать тетраэдр от других видов пространственных тел.
Знают определение тетраэдра, всех его элементов. Могут излагать  информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории. 

Могут отличать тетраэдр от других видов пространственных тел.
Знают определение тетраэдра, всех его элементов. Осуществляют проверку выводов, положений, закономерностей, теорем. 

Могут узнавать параллелепипед среди множества многогранников, знают определение параллелепипеда, основных его элементов, знать свойства параллелепипеда. Умеют проводить самооценку собственных действий.

Могут узнавать параллелепипед среди множества многогранников, знают определение параллелепипеда, основных его элементов, знать свойства параллелепипеда. Восприятие устной речи, участие в диалоге, запись главного, приведение примеров. 

Учащихся демонстрируют: понимания основных элементов стереометрии, пространственных фигур, параллельности прямых в пространстве,  параллельности прямой и плоскости; параллельности двух плоскостей

Учащихся демонстрируют: понимания основных элементов стереометрии, пространственных фигур, параллельности прямых в пространстве,  параллельности прямой и плоскости; параллельности двух плоскостей.

К

ПДЗ

г

Свойства параллельных плоскостей

п.11

ИР

ФО

г

Тетраэдр

п.12

СП

г

Параллелепипед

п.13

ИР, ПП

УО

г

Задачи на построение сечений

п.14

ПП, Р

ПДЗ

г

Свойства параллелепипеда

п.12-14

ИР, ПП

ВП

г

Контрольная работа № 5 «Параллельность плоскостей»

п.12-14

ТР, Р

ПКЗУ

КР

г

Зачёт № 1 «Параллельность прямых и плоскостей»

п.12-14

З, ИО

Глава 3. Тригонометрические уравнения — 10 ч

а

Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений. Арккосинус

Гл.3,§15

СУЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ, НП, ТК

ИР, Р

Знать определение арккосинуса.

– извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов;

– воспринимать устную речь, участвовать в диалоге,

 Уметь: – решать простейшие уравнения

сos t = a;

Знать определение арксинуса.

 Уметь:– передавать информацию сжато, полно, выборочно;

– отражать в письменной форме свои решения, рассуждать и обобщать,участвовать в диалоге, выступать с решением проблемы;

 Знать определение арксинуса.

Уметь: – решать простейшие уравнения

sin t = a; – извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов; – подбирать аргументы, соответствующие решению, участвовать в диалоге.

Знать определение арктангенса, арккотангенса.

Уметь: – решать простейшие уравнения
tg t = a и ctg t = a; – обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры.

Уметь: – решать простейшие тригонометрические уравнения по формулам; – обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры;– излагать информацию, обосновывая свой собственный подход.

Уметь: – решать тригонометрические уравнения методом замены переменной, методом разложения на множители;

– участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение. – владеть навыками самоанализа и самоконтроля

К

УО

а

Решение уравнения

§ 15

ОНМ

ПДЗ

а

Арксинус

§ 16

ИР

ОНМ

ФО

а

Решение уравнения

§ 16

ТР

ЗИ

ПР

а

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений  tg x = a, ctg x = a

§ 17

ИР, ТР

К

СП

а

Простейшие тригонометрические уравнения

§ 18 п. 1

ПП

ИР

Р

К

УО

а

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

§ 18 п. 2

К

ПДЗ

а

Однородные тригонометрические уравнения

§ 18 п. 3

ИР, ТР

К

ВП

а

Решение тригонометрических уравнений

§ 18

Р, ТР

ПЗУ

РК

а

Контрольная работа № 6 «Тригонометрические уравнения»

§§ 15-18

ПКЗУ

КР

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей – 17 ч

г

Перпендикулярные прямые в пространстве

п.15-16

СУЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

ИР

Могут найти угол между прямыми различно расположенных в пространстве. Могут выделить и записать главное, могут привести  примеры.  Знают признак перпендикулярности прямой и плоскости; понятие ортогональное проектирование. Умеют добывать информацию по заданной теме в источниках различного типа.  Знают признак перпендикулярности прямой и плоскости; понятие ортогональное проектирование. Умеют пользоваться энциклопедией, математическим справочником, записанными правилами.  Знают понятие перпендикуляр и наклонная; теорему о трех перпендикулярах. Восприятие устной речи, участие в диалоге, понимание точки зрения собеседника.   Знают признак перпендикулярности прямой и плоскости; понятие ортогональное проектирование. Умеют пользоваться энциклопедией, математическим справочником, записанными правилами.  Умеют находить расстояние от точки до прямой. Знают понятие перпендикуляр и наклонная; теорему о трех перпендикулярах. Восприятие устной речи, проведение информационно-смыслового анализа текста и лекции, приведение и разбор примеров. Знают понятие перпендикуляр и наклонная; теорему о трех перпендикулярах. Участие в диалоге, отражение в письменной форме своих решений, работа с математическим справочником,  Знают понятие двугранный угол; признак перпендикулярности двух плоскостей. Формировать умение выбрать и выполнить задание по своим силам и знаниям, применить знания для решения практ. задач.

Знают понятие двугранный угол; признак перпендикулярности двух плоскостей. Восприятие устной речи, участие в диалоге, умеют аргументировано отвечать, приведение примеров.

Знают понятие перпендикуляр и наклонная; теорему о трех перпендикулярах. Восприятие устной речи, участие в диалоге, понимание точки зрения собеседника.  

Знают понятие перпендикуляр и наклонная; теорему о трех перпендикулярах. Проведение информационно-смыслового анализа текста, выбор главного и основного.

Учащихся демонстрируют: систематические сведения о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве,  обобщают  и систематизируют знания   о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонных, известные им из курса планиметрии.         

Учащихся обобщают  и систематизируют знания   о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонных, известные им из курса планиметрии.

– владеть навыками самоанализа и самоконтроля

К

ПДЗ

г

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Р

ВП

г

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

п.17

ИР

ФО

г

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

п.18

ИР

Р

К

ПДЗ

г

Перпендикулярность прямой и плоскости

§ 1, с.34-38

ИР

ОНМ

ФО

г

Расстояние от точки до плоскости

п.19-20

ИР, ПП

К

СП

г

Теорема о трёх перпендикулярах

УО

г

Применение теоремы о трёх перпендикулярах

п.21

ОНМ

ВП

г

Решение задач «Применение теоремы о трёх перпендикулярах»

Р

ЗИ

ФО

г

Угол между прямой и плоскостью

§ 2

ИР

ОНМ

ПДЗ

г

Решение задач «Угол между прямой и плоскостью»

Р

ЗИ

ФО

г

Двугранный угол

п.22

СУЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

ИР

ОНМ

ПДЗ

г

Признак перпендикулярности двух плоскостей

п.23

ИР

ОНМ

ПДЗ

г

Прямоугольный параллелепипед

п.24

ИР

ОНМ

ПДЗ

г

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Гл.2

ИР

ОНМ

ПДЗ

г

Контрольная работа № 7 «Перпендикулярность прямых и плоскости»

Гл.2

Р, ТР

ПКЗУ

КР

г

Зачёт № 2 «Перпендикулярность прямых и плоскости»

Гл.2

З, ИО

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений – 15 ч

а

Синус и косинус суммы аргументов

§ 19

УЛ, ДМ, ДКИМ

ИР

Знать формулу синуса, косинуса суммы углов.

Уметь: – преобразовывать простейшие выражения, используя

основные тождества, формулы приведения;

– передавать информацию сжато, полно, выборочно;

– участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение

Знать формулу синуса, косинуса суммы двух углов.

Уметь: –преобразовывать простейшие выражения, используя основные тождества, формулы приведения;

– извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов;

– выделить и записать главное, привести примеры

Знать формулу тангенса и котангенса суммы и разности двух углов.

Уметь: – преобразовывать простые тригонометрические выражения;

– составлять текст научного стиля;

– воспроизводить правила и примеры, работать по заданному алгоритму

 Знать формулы двойного угла синуса, косинуса и тангенса.

Уметь: – применять формулы для упрощения выражений;

– объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах

Знать формулы двойного угла синуса, косинуса и тангенса.

Уметь: – применять формулы для упрощения выражений;

– обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры

 Знать формулы понижения степени синуса, косинуса и тангенса.

Уметь: – применять формулы для упрощения выражений;

– использовать для решения познавательных задач справочную литературу

Уметь: – преобразовывать суммы тригонометрических функций
в произведение; простые тригонометрические выражения;

– обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры

Знать, как преобразовывать произведения тригонометрических функций в сумму; преобразования простейших тригонометрических выражений.

Уметь развернуто обосновывать суждения

Знать формулу перехода от суммы двух функций с различными коэффициентами в одну из тригонометрических функций. Уметь обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, примеры

Уметь: – расширять и обобщать сведения о преобразовании тригонометрических выражений, применяя различные формулы;

– владеть навыками контроля и оценки своей деятельности

К

УО

а

Решение задач «Синус и косинус суммы аргументов»

ТР

ЗИ

РК

а

Синус и косинус разности аргументов

ИР

ОНМ

ПДЗ

а

Решение задач «Синус и косинус разности аргументов»

ТР

ЗИ

ВП

а

Тангенс суммы и разности аргументов

§ 20

ИР

ОНМ

ФО

а

Решение задач «Тангенс суммы и разности аргументов»

ТР

ЗИ

СП

а

Формулы двойного аргумента

§ 21

СУЛ, ДМ, ДКИМ, НП

ИР

К

УО

а

Решение задач «Формулы двойного аргумента»

ТР

ЗИ

ПР

а

Формулы понижения степени

ИР, ТР

РК

а

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения. Сумма и разность синусов

§ 22

К

ФО

а

Сумма и разность косинусов

К

ВП

а

Преобразование выражения

A sin x + B cos x к виду C sin (x + t)

УО

а

Контрольная работа № 8 «Преобразование тригонометрических выражений»

§§ 19-22

ДКИМ

Р, ТР

ПКЗУ

КР

а

Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

§ 23

К

ПДЗ

а

Решение задач на преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

ПЗУ

РК

Глава III. Многогранники – 14 ч

г

Понятие многогранника

Гл.3, §1

ЧИИ

РТ

ДМ

КИМ

ИР, Р

Знают, как распознавать на чертежах и моделях пространственные формы. Умеют  соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями. Могут рассуждать, обобщать, аргументировать решение и ошибки, участие в диалоге

Имеют представление о многогранниках, различают виды многогранников, знают определение призмы, ее элементов, различают виды призм

Имеют представление о площади поверхности призмы (боковой и полной), знают формулу вычисления площади поверхности призмы задач. Владеют основными видами публичных выступлений.  

   

Имеют представление о виде многогранников – пирамиде, знают определение и виды пирамиды, умеют характеризовать правильные пирамиды, знают и описывают их свойства. Умеют вступать в речевое общение, участвовать в диалоге.

Имеют представление о виде многогранников – пирамиде, усеченной пирамиде, знают определение и виды пирамиды, умеют характеризовать правильные пирамиды, знают и описывают их свойства

 

Имеют представление о правильных многогранниках, знают виды правильных многогранников. Воспроизведение изученных правил и понятий, подбор аргументов, соответствующих решению, могут работать с чертежными инструментами. 

Могут четко различать виды многогранников, знают характерные их свойства, умеют изображать их на чертежах и решать  задачи с многогранниками. Могут работать по заданному алгоритму, аргументировать решение и найденные ошибки, участие в диалоге.

Учащихся демонстрируют: систематические сведения о  многогранных углах, о выпуклых многогранниках и правильных многогранники на  теоретическом зачете.

Учащихся демонстрируют: систематические сведения о  многогранных углах, о выпуклых многогранниках и правильных многогранники   на практической работе.

– владеть навыками самоанализа и самоконтроля

К

СП

г

Виды многогранников

ИР, ПП

ФО

г

Призма

ПЗУ

ВП

г

Пирамида

§2

ИР

Р

ОНМ

ФО

г

Решение задач на свойства призмы и пирамиды

ЗИ

ВП

г

 Усеченная пирамида

ПП

К

ФО

г

Решение задач на свойства усеченной пирамиды

Р

ПЗУ

РК

г

Многогранники

§3

ИР

ПП

ОНМ

ФО

г

Правильные многогранники

К

ИО

г

Виды многогранников

ВП

г

Свойства правильных многогранников

ПДЗ

г

Решение задач «Правильные многогранники»

Р, ТР

ПЗУ

ВП

г

Контрольная работа № 9 «Многогранники»

Гл. 3

ПКЗУ

КР

г

Зачёт № 3 «Многогранники»

Гл. 3

З, ИО

Глава 5. Производная – 31 ч

а

Числовые последовательности (определение, примеры, свойства)

§ 24

УЛ, ДМ, ДКИМ

ИР

Знать определение числовой последовательности и способы ее задания.

Уметь:

– определять понятия, приводить доказательства;

– воспринимать устную речь, участвовать в диалоге, аргументированно рассуждать и обобщать, приводить примеры

Знать и приводить примеры на свойства числовой последовательности.

Уметь:

– объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах;

– использовать данные правила и формулы, аргументировать решение, правильно оформлять работу

Знать определение предела числовой последовательности; свойства сходящихся последовательностей.

Уметь:

– составлять текст научного стиля;

– собрать материал для сообщения

по заданной теме

Знать способы вычисления пределов последовательностей;

как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Уметь развернуто обосновывать суждения; определять понятия, приводить доказательства

Знать понятие  о пределе функции на бесконечности и в точке.

Уметь:

– посчитать приращение аргумента и функции; вычислить простейшие пределы;

– собрать материал для сообщения по заданной теме

Знать понятие
о производной функции, геометрическом смысле производной.

Уметь работать с учебником, отбирать и структурировать материал

Знать понятие  о производной функции, физический смысл производной.

Отражение в письменной форме своих решений, рассуждение, выступление с решением проблемы

Уметь:

– находить производные суммы, разности, произведения, частного; производные основных элементарных функций;

– собрать материал для сообщения по заданной теме

 

Знают понятие сложной функции; могут составлять сложные функции и их дифференцировать

– владеть навыками самоанализа и самоконтроля

Умеют составлять уравнения касательной к графику функции по алгоритму. Могут привести примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы. Умеют решать проблемные задачи и ситуации.  

Умеют исследовать в простейших случаях функции на монотонность функций, строить графики функций. Используют для решения познавательных задач справочную литературу.

Могут работать по заданному алгоритму, аргументировать решение и найденные ошибки, участие в диалоге.

Умеют  строить графики функций. Умеют извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов. Восприятие устной речи, проведение информационно-смыслового лекции, составление конспекта, разбор примеров.

Умеют  строить графики функций. Умеют извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов. Восприятие устной речи, проведение информационно-смыслового лекции, составление конспекта, разбор примеров.

Учащихся демонстрируют  умение расширять и обобщать сведения по исследованию функции, с помощью производной и умение составлять уравнения касательной к графику функции.  Владеют навыками самоанализа и самоконтроля.  

 Умеют исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций. Умеют составлять текст научного стиля. Выступать с решением проблемы, аргументировано отвечать на вопросы собеседников.

Умеют исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.    – владеть навыками самоанализа и самоконтроля

К

УО

а

Предел числовой последовательности.

Понятие предела последовательности

ОНМ

ПДЗ

а

Бесконечная геометрическая прогрессия

§ 25

К

СП

а

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

ИР, Р

ФО

а

Предел функции. Предел функции на бесконечности

§ 26 п. 1

ФО

а

Предел функции в точке

§ 26 п. 2

ПДЗ

а

Приращение аргумента. Приращение функции

§ 26 п. 3

ВП

а

Задачи, приводящие к понятию производной

§ 27 п. 1

ПП

К

СП

а

Определение производной

§ 27 п. 2

К

ФО

а

Алгоритм отыскания производной

§ 27

ТР

ПЗУ

СП

а

Вычисление производных. Формулы дифференцирования

§ 28 п. 1

ИР

ОНМ

УО

а

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного. Правила дифференцирования функций

y = x n, y = tg x, y = ctg x

§ 28 п. 2

УЛ, ДМ, ДКИМ

ИР, ТР

К

ПДЗ

а

Дифференцирование функции y=f(kx+m)

§ 28 п. 3

ИР, ТР

К

ВП

а

Контрольная работа № 10 «Вычисление производной»

§§ 24-28

Р, ТР

ПКЗУ

КР

а

Уравнение касательной к графику функции

§ 29

УЛ, ДМ, ДКИМ

ИР

УО

а

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x)

ТР

ЗИ

ВП

а

Применение производной для исследования функций. Исследование функций на монотонность

§ 30 п. 1

ПП

ОНМ

УО

а

Точки экстремума функции и их нахождение

§ 30 п. 2

ОНМ

УО

а

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы

§ 30 п. 2

ПЗУ

ВП

а

Построение графиков функций

§ 31

ОНМ

ПДЗ

а

Схема исследования свойств функции и построения графика функции

ЗИ

ФО

а

Решение задач на построение графиков функций

Р

ПЗУ

РК

а

Контрольная работа № 11 «Применение производной для исследований функций»

§§ 29- 31

УЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

ТР

ПКЗУ

КР

а

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции

§ 32 п. 1

ПП

ОНМ

УО

а

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

§ 32 п. 1

ПП

ОНМ

ПДЗ

а

Решение заданий на отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

УЛ, ДМ, ДКИМ, ЧИИ

Р, ТР

ПЗУ

ВП

а

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин

§ 32 п. 2

ПП

К

ФО

а

Задачи на оптимизацию

СП

а

Решение задач на оптимизацию

ТР, Р

ПЗУ

РК

а

Контрольная работа № 12 «Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции»

§ 32

КИМ

ПКЗУ

КР

а

Итоговое повторение – 17 ч

а

Числовые функции

§§ 1-3

ЧИИ

ДМ

ТР, Р

Умеют исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.    

Знают тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Умеют работать с учебником, отбирать и структурировать материал. Отражение в письменной форме своих решений, могут рассуждать, выступать с решением проблемы, аргументировано отвечать на вопросы собеседников.

Умеют преобразовывать простые тригонометрические выражения; решать простые тригонометрические уравнения; решать  тригонометрические уравнения. Умеют извлекать необходимую информацию из учебно-научных текстов.

Знают тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Умеют работать с учебником, отбирать и структурировать материал. Отражение в письменной форме своих решений, могут рассуждать, выступать с решением проблемы, аргументировано отвечать на вопросы собеседников.

Могут использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально – экономических, задачах. Умеют развернуто обосновывать суждения, воспринимать устную речь, участвуют в диалоге.

Умение находить производную функции, владение геометрическим  или физическим смыслом производной. Используют для решения познавательных задач справочную литературу.   Воспроизведение правил и примеров. Могут работать по заданному алгоритму.

Знают основные понятия, аксиомы и их следствия

Имеют представление о геометрических телах и их поверхностях, об изображении пространственных фигур на чертеже, о прикладном значении геометрии, о многогранниках.

Знают возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве; свойства и признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Умеют применять полученные знания при выполнении практических заданий.

Умеют проводить самооценку собственных действий.

ОСЗ

ВП

а

Тригонометрические функции

§§ 4-14

УО

а

Свойства тригонометрических функций

ФО

а

Графики тригонометрических функций

СП

а

Тригонометрические уравнения

§§ 15-18

ДМ

РК

а

Преобразование тригонометрических выражений

§§ 19-23

СП

г

Параллельность прямых

Глава 1

ЧИИ

РТ

ТО

г

Параллельность прямой и плоскости

ИО

г

Параллельность плоскостей

ФО

г

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Глава 2

РК

г

Перпендикулярность плоскостей

УО

а

Формулы дифференцирования

§§ 24-33

ДМ

ВП

а

Правила дифференцирования

ФО

а

Вычисление производных

ВП

а

Физический и геометрический смысл производной. Применение производной для исследований функций

ЧИИ

РТ

СП

г

Правильные многогранники

Глава 3

ФО

м

Контрольная работа № 13 «Итоговая»

КИМ

ПКЗУ

КР

Гусев Литивиненко Мордкович Решение задач по геометрии Мир 1988 | PDF | Треугольник

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 8 по 19 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 27 по 36 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 49 по 83 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 92 по 93 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы 102–112 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 121 по 125 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 134 по 155 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 164 по 171 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 176 по 192 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 198 по 210 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 215 по 223 не показаны в этом предварительном просмотре.

Вы читаете бесплатный превью
Страницы с 232 по 243 не показаны в этом предварительном просмотре.

Как читать третье свойство алгебраических дробей. Правила алгебраических дробей. Основное свойство алгебраической дроби

От школьной программы курса алгебры перейдем к конкретике. В этой статье мы подробно рассмотрим особые видовые рациональные выражения — рациональные дроби , а также рассмотрим, какие характерные идентичные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определяем ниже, называются алгебраическими дробями в некоторых учебниках алгебры.То есть в этой статье мы будем иметь в виду то же, что и рациональные и алгебраические дроби.

Как обычно, начнем с определения и примеров. Далее поговорим о приведении рациональной дроби к новому знаменателю и об изменении знаков членов дроби. После этого разберем, как происходит сокращение фракций. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Вся информация будет снабжена примерами с подробным описанием решений.

Навигация по страницам.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби преподаются на уроках алгебры 8-го класса. Воспользуемся определением рациональной дроби, которое дано в учебнике алгебры для 8 классов Ю.Н. Макарычев и др.

В этом определении не указано, должны ли полиномы в числителе и знаменателе рациональной дроби быть полиномами стандартного вида или нет. Поэтому будем предполагать, что записи рациональных дробей могут содержать как стандартные, так и нестандартные многочлены.

Вот несколько примеров рациональных дробей … Итак, x / 8 и — рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них нет полинома в числителе, а во втором и в числителе, и в знаменателе есть выражения, не являющиеся полиномами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель любой дроби являются самодостаточными математическими выражениями, в случае рациональных дробей это многочлены, в частном случае — одночлены и числа.Следовательно, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить идентичные преобразования. Другими словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменить идентичным ему выражением, а также знаменателем.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно произвести одинаковые преобразования. Например, в числителе можно сгруппировать и вывести похожие термины, а в знаменателе — произведение нескольких чисел, заменить его на его значение.А поскольку числитель и знаменатель рациональной дроби являются многочленами, с ними можно производить преобразования, характерные для многочленов, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения на нескольких примерах.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы числитель содержал многочлен стандартной формы, а знаменатель содержал произведение многочленов.

Решение.

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном используется при сложении и вычитании рациональных дробей.

Замена знаков перед дробью, а также ее числителя и знаменателя

Основное свойство дроби можно использовать для изменения знаков членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 эквивалентно изменению их знаков, и в результате получается дробь, которая тождественно равна заданной.К этому преобразованию приходится обращаться довольно часто при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если вы одновременно измените знаки числителя и знаменателя дроби, вы получите дробь, равную исходной. Этому утверждению соответствует равенство.

Приведем пример. Рациональная дробь может быть заменена на идентично равную дробь с измененными знаками числителя и знаменателя формы.

Еще одно идентичное преобразование можно провести с дробями, у которых меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе.Мы объявим соответствующее правило. Если вы замените знак дроби на знак числителя или знаменателя, вы получите дробь, идентичную исходной. Письменное заявление соответствует равенствам и.

Доказать эти равенства несложно. Доказательство основано на свойствах умножения чисел. Докажем первую из них: Равенство доказывается с помощью аналогичных преобразований.

Например, можно заменить дробь на или.

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и. То есть, если изменить знак только числителя или только знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и.

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак членов дроби, часто используются при преобразовании дробно-рациональных выражений.

Сокращение рациональных фракций

Следующее преобразование рациональных дробей, которое называется сокращением рациональных дробей, основано на том же основном свойстве дроби.Это преобразование соответствует равенству, где a, b и c — некоторые полиномы, а b и c ненулевые.

Из приведенного выше равенства становится ясно, что уменьшение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Уменьшить рациональную дробь.

Решение.

Общий множитель 2 виден сразу, по нему произведем редукцию (записывая общие множители, которыми удобно зачеркивать).У нас есть … Так как x 2 = xx и y 7 = y 3 y 4 (см., Если необходимо), ясно, что x является общим делителем числителя и знаменателя получившейся дроби, например y 3. Давайте уменьшим на эти факторы: … Это завершает сокращение.

Выше мы последовательно проводили сокращение рациональной дроби. И можно было произвести редукцию за один шаг, сразу уменьшив дробь на 2 · x · y 3. В этом случае решение будет выглядеть так:.

Ответ:

.

При отбрасывании рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя не всегда виден. Более того, он существует не всегда. Чтобы найти общий множитель или убедиться, что он отсутствует, нужно разложить числитель и знаменатель рациональной дроби на множители. Если общего множителя нет, то исходную рациональную дробь отменять не нужно, в противном случае выполняется отмена.

В процессе сокращения рациональных фракций могут возникать различные нюансы.Основные тонкости с примерами и подробно рассмотрены в статье редукции алгебраических дробей.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование идентично, и основная сложность его реализации заключается в факторизации многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Довольно специфичным, но в некоторых случаях очень полезным является преобразование рациональной дроби, которое состоит в ее представлении в виде суммы нескольких дробей или суммы целочисленного выражения и дроби.

Рациональная дробь, в числителе которой стоит многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, … Это представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

В общем, любая рациональная дробь может быть представлена ​​как сумма дробей множеством различных способов.Например, дробь a / b может быть представлена ​​как сумма двух дробей — произвольной дроби c / d и дроби, равной разнице между дробями a / b и c / d. Это утверждение верно, поскольку равенство … Например, рациональная дробь может быть представлена ​​как сумма дробей различными способами: Давайте представим исходную дробь как сумму целочисленного выражения и дроби. Разделив числитель на знаменатель в столбце, получим равенство …Значение выражения n 3 +4 для любого целого числа n является целым числом. И значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1, -1, 3 или -3. Эти значения соответствуют значениям n = 3, n = 1, n = 5 и n = -1 соответственно.

Ответ:

-1 , 1 , 3 , 5 .

Библиография.

  • Алгебра: учеб. за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд.С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 7-й класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для студентов общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 13 изд., Перераб. — М .: Мнемосина, 2009. — 160 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стерт. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учебное пособие. руководство по эксплуатации. — М .; Выше. шк., 1984.-351 с., ил.

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе, можно решить двумя способами:

    Приведение дробей к общему знаменателю

    Использование основного соотношения сторон

Независимо от выбранного метода, необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных приемлемых значений, то есть таких, которые не превращают знаменатель в $ 0 $.

1 путь. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пример 1

$ \ frac (2x + 3) (2x-1) = \ frac (x-5) (x + 3)

долл. США

Решение:

1. Переместите дробь из правой части уравнения влево

\ [\ frac (2x + 3) (2x-1) — \ frac (x-5) (x + 3) = 0 \]

Чтобы сделать это правильно, помните, что когда элементы переносятся в другую часть уравнения, знак перед выражениями меняется на противоположный.Это означает, что если с правой стороны перед дробью был знак «+», то с левой стороны перед ним будет знак «-». Тогда в левой части получаем разницу дробей.

2. Теперь заметим, что дроби имеют разные знаменатели, а это значит, что для восполнения разницы необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов от знаменателей исходных дробей: $ (2x-1) (x + 3) $

.

Чтобы получить идентичное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $ (x + 3) $, а второй — на многочлен $ (2x-1) $.

\ [\ frac ((2x + 3) (x + 3)) ((2x-1) (x + 3)) — \ frac ((x-5) (2x-1)) ((x + 3 ) (2x-1)) = 0 \]

Выполним преобразование в числителе первой дроби — умножим многочлены. Напомним, что для этого необходимо умножить первый член первого полинома, умножить на каждый член второго полинома, затем умножить второй член первого полинома на каждый член второго полинома и сложить результаты

\ [\ left (2x + 3 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 2x \ cdot x + 2x \ cdot 3 + 3 \ cdot x + 3 \ cdot 3 = (2x) ^ 2 + 6x + 3x +9 \ ]

Представим аналогичные члены в полученном выражении

\ [\ left (2x + 3 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 2x \ cdot x + 2x \ cdot 3 + 3 \ cdot x + 3 \ cdot 3 = (2x) ^ 2 + 6x + 3x + 9 = \] \ [(= 2x) ^ 2 + 9x + 9 \]

Проделаем аналогичное преобразование в числителе второй дроби — будем умножьте многочлены

$ \ left (x-5 \ right) \ left (2x-1 \ right) = x \ cdot 2x-x \ cdot 1-5 \ cdot 2x + 5 \ cdot 1 = (2x) ^ 2-x-10x + 5 = (2x) ^ 2-11x + 5 $

Тогда уравнение примет вид:

\ [\ frac ((2x) ^ 2 + 9x + 9) ((2x-1) (x + 3)) — \ frac ((2x) ^ 2-11x + 5) ((x + 3) (2x- 1)) = 0 \]

Теперь дроби с тем же знаменателем, что означает, что вы можете вычесть.2 + 11x-5 = 20x + 4 $

Тогда дробь примет вид

\ [\ frac ((\ rm 20x + 4)) ((2x-1) (x + 3)) = 0 \]

3. Дробь равна $ 0 $, если ее числитель равен 0. Следовательно, мы приравниваем числитель дроби к $ 0 $.

\ [(\ rm 20x + 4 = 0) \]

Решим линейное уравнение:

4. Сделаем выборку корней. Это означает, что необходимо проверить, не превращаются ли знаменатели исходных дробей в $ 0 $ для найденных корней.

Зададим условие, что знаменатели не равны $ 0 $

x $ \ ne 0,5 $ x $ \ ne -3 $

Это означает, что разрешены все значения переменных, кроме $ -3 $ и $ 0,5 $.

Найденный нами корень является допустимым значением, поэтому его можно смело считать корнем уравнения. Если бы найденный корень не был допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и, конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ: -0,2 $.$

Теперь мы можем составить алгоритм решения уравнения, содержащего переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, содержащего переменную в знаменателе

    Переместите все элементы из правой части уравнения влево. Чтобы получить идентичное уравнение, необходимо поменять все знаки перед выражениями в правой части на противоположные

    Если в левой части получается выражение с разными знаменателями, то мы приводим их к общему, используя главное свойство дроби.Выполните преобразования, используя идентичные преобразования, и получите финальную дробь, равную $ 0 $.

    Установите в числителе значение $ 0 $ и найдите корни полученного уравнения.

    Давайте возьмем образец корней, т.е. найдем допустимые значения для переменных, которые не преобразуют знаменатель в $ 0 $.

Метод 2. Использование основного свойства пропорции

Основное свойство пропорции состоит в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.2-10x-x + 5 \]

Решив полученное уравнение, находим корни исходного

2. Найдем допустимые значения переменной.

Из предыдущего решения (метод 1) мы уже обнаружили, что допустимы любые значения, кроме $ -3 $ и $ 0,5 $.

Затем, установив, что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $ -0.2 $ будет корнем.

Гипермаркет знаний >> Математика >> Математика 8 класс >> Математика: Умножение и деление алгебраических дробей.Возведение в степень алгебраической дроби

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение в степень алгебраической дроби

Умножение алгебраических дробей осуществляется по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей :

Аналогичная ситуация с делением алгебраических дробей, при возведении алгебраических дробей в натуральную степень. Правило деления выглядит так:

и правило возведения в степень

Перед тем, как выполнять умножение и деление алгебраических дробей, полезно иметь их числители и знаменатели факторизации — это упростит уменьшение алгебраической дроби, полученной в результате умножения или деления.

Пример 1. Выполните следующие действия:

Воспользуемся тем, что (b — a) 2 = (a — b) 2. Получаем

Мы учли, что деление a — b на b — a даст -1.
Однако в этом случае лучше переместить знак «-» в знаменатель:

Пример Z. Выполните следующие действия:


А.Г. Мордкович, Алгебра … 8 класс: Учебное пособие.для общего образования. учреждения. — 3-е изд., Перераб. — М .: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

Математика для 8 класса скачать бесплатно, планы конспектов уроков, подготовка к школе онлайн

Если у вас есть исправления или предложения по этому уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания по урокам, смотрите здесь — Форум по образованию.

Алгебраические дроби. Приведение алгебраических дробей

Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей, рекомендуем вам вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

Любая дробь, содержащая буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

Примеры алгебраических дробей .

Как и обычная дробь, алгебраическая дробь имеет числитель (вверху) и знаменатель (внизу).

Приведение алгебраических дробей

Алгебраическая дробь может быть отменена … При сокращении используйте правила сокращения обыкновенных дробей.

Напоминаем, что при отмене обыкновенной дроби мы разделили числитель и знаменатель на одно и то же число.

Алгебраическая дробь может быть сокращена таким же образом, но только числитель и знаменатель делятся на один и тот же многочлен.

Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби .

Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен «а». Наименьшая степень монома «а» стоит в знаменателе — это вторая степень.

Разделите числитель и знаменатель на 2. При делении одночленов мы используем свойство степени частного.

Напоминаем, что любая буква или цифра с нулевым градусом является единицей измерения.

Нет необходимости каждый раз подробно записывать, к чему сводилась алгебраическая дробь. Достаточно помнить о степени снижения и записывать только результат.

Краткое обозначение сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

Можно уменьшить только одинаковые буквенные множители.

Не режется

Укорачивается

Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

Как сократить дробь с многочленами

Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь с полиномом в числителе.

Отменить полином в скобках можно только с точно таким же полиномом в скобках!

Ни в коем случае нельзя вырезать часть полинома внутри скобок!

Определить, где заканчивается многочлен, очень просто.Между многочленами может быть только знак умножения. В скобках указан весь многочлен.

После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, мы сокращаем многочлен «(m — n)» в числителе с многочленом «(m — n)» в знаменателе.

Примеры сокращения алгебраических дробей многочленами.

Вычитание общего множителя при уменьшении дроби

Чтобы одни и те же многочлены фигурировали в алгебраических дробях, иногда необходимо вынести общий множитель за скобки.

Невозможно сократить алгебраическую дробь в этой форме, так как многочлен
«(3f + k)» может быть сокращен только с помощью многочлена «(3f + k)».

Следовательно, чтобы в числителе получилось «(3f + k)», выньте общий множитель «5».

Сокращение дробей с сокращенными формулами умножения

В других примерах сокращение алгебраических дробей требует применения
сокращенных формул умножения.

Отменить алгебраическую дробь в ее первоначальном виде невозможно, так как нет одинаковых многочленов.

Но если применить формулу разности квадратов для многочлена «(a 2 — b 2)», то появятся такие же многочлены.

Еще примеры сокращения алгебраических дробей с использованием формул сокращенного умножения.

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей используйте правила умножения обыкновенных дробей.

Правило умножения алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей
числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель.

Рассмотрим пример умножения алгебраических дробей .

При отмене алгебраических дробей используются правила отмены алгебраических дробей.

Рассмотрим другой пример умножения алгебраических дробей, которые содержат многочлены как в числителе, так и в знаменателе.

При умножении алгебраических дробей, которые содержат полиномы как в числителе, так и в знаменателе, заключайте полиномы в круглые скобки.

Неправильно

Как умножить алгебраическую дробь на одночлен (букву)

Рассмотрим пример умножения алгебраической дроби на одночлен.

Представим моном «21z 5» в виде алгебраической дроби со знаминателем «1». Это можно сделать, потому что деление на «1» дает тот же моном.

Не забудьте использовать правило знаков при умножении алгебраической дроби.

Рассмотрим пример умножения двух отрицательных алгебраических дробей.

Перед тем, как умножать алгебраические дроби, определим окончательный знак по правилу знаков: «минус на минус дает плюс».

Это означает, что окончательным знаком работы будет знак «+».

Методические разработки по теме «Алгебраические дроби». 7 класс

Разделы: Математика

Данный урок проводился по окончании изучения темы «Алгебраические дроби» с целью повторения и закрепления знаний об основных алгоритмах преобразований и действий с алгебраическими дробями.

Тема методической разработки.

Методика организации урока обобщения и систематизации знаний в соответствии с требованиями нового ФГОС.

Цели методического развития .

Использование различных видов студенческой деятельности, использование элементов современных педагогических технологий (метапредметные технологии, технологии многоуровневого обучения, проблемно-развивающее обучение, работа в команде, работа в парах).

Методическое обоснование темы.

Изучение темы «Алгебраические дроби» является трудным для многих студентов, особенно сложение и вычитание алгебраических дробей. Умение выполнять преобразования с алгебраическими дробями предполагает наличие у учащихся знаний и умений по предыдущим темам, изученным в 7 классе: «Алгебраические выражения», «Мономы и многочлены», «Полиномиальная факторизация», а также правил действий с обыкновенные дроби и др….

Решение многих теоретических и практических задач сводится к составлению математических моделей в виде алгебраических выражений, включая алгебраические дроби. Приобретая опыт работы с такими моделями, учащиеся могут использовать этот опыт для изучения других предметов в школе и в практической жизни.

Сложность данной темы и ее важность для развития метапредметных навыков учащихся очевидны и требуют особенно внимательного подхода к ее изучению с учетом внедрения в школе новых образовательных стандартов.

На изучение темы «Алгебраические дроби» по учебнику Ш.А. Алимова отведено 22 часа. Из них 5 часов — на тему «Совместные действия с алгебраическими дробями». Рассматриваемый урок рекомендуется проводить по окончании изучения данной темы перед тестом.

Учитывая математическую подготовленность класса, можно варьировать объем самостоятельной работы учащихся, допуская повторение изученных алгоритмов действий с алгебраическими дробями в учебнике.

Тема урока: «Алгебраические дроби»

Тип урока: Урок повторения, систематизация и обобщение знаний, закрепление навыков .

Тип урока: Конкурсное занятие.

Формы работы на уроке: Коллективная, индивидуальная, в паре, в диалоге.

Методическая цель: Более глубокое усвоение, обобщение и систематизация знаний по теме «Алгебраические дроби» для обеспечения возможности их содержательного использования учащимися вне уроков математики.

  • Обучение : Закрепление знаний, развитие навыков использования сокращенных формул умножения, методов факторизации многочленов, правил преобразования, совместных действий над алгебраическими дробями. Обобщение материала по теме.
  • Развитие: Создание условий, обеспечивающих активную познавательную позицию учащихся на уроке путем использования различных видов анкетирования, самостоятельной работы, межпредметного общения, развития умения объяснять особенности, закономерности, анализировать, сравнивать, сравнивать.
  • Образование: Повышение самооценки, самоконтроля при самостоятельном выборе уровня сложности заданий. Воспитание общей культуры труда.

    • Материально-техническое обеспечение урока: карточки с многоуровневыми заданиями, жетоны (синий — 1 балл, зеленый — 2 балла, красный — 3 балла), компьютерная техника (компьютер, мультимедийный проектор, мобильный экран).

    • Урок постановка цели и мотивация учебной деятельности учащихся (презентация преподавателя).
    • Воспроизведение и исправление базовых знаний по теме «Алгебраические дроби», которая включает операции приведения, сложения и вычитания, умножения и деления алгебраических дробей, а также совместные операции с алгебраическими дробями. Сравнение алгоритмов действий с обыкновенными и алгебраическими дробями. Решение задач разной степени сложности.
    • Расслабляющая пауза (включается в ход урока после повторения темы «Сложение и вычитание алгебраических дробей»).
    • Решение проблемы, показывающей междисциплинарное общение.
    • Подведение итогов урока.
    • Домашнее задание.

      • 1. Вступительное слово учителя

      Сегодня на уроке мы повторим большую тему «Алгебраические дроби», подготовимся к тестовой работе и попробуем разобраться, зачем нам нужны знания по этой теме.

      Наше занятие будет проходить в форме соревнований на личное первенство. В процессе работы на уроке каждый из вас может «заработать» баллы за правильно выполненные задания, ответы и получить соответствующую оценку.

      Попробуем ответить на вопросы:

    • Что такое алгебраическая дробь?
    • Какие операции выполняются с алгебраическими дробями?
    • Математическая модель. Что это?
    • Где используются алгебраические дроби?

      • Студенты отвечают на вопросы.

      Презентация учителя «В мире алгебраических дробей» поможет нам правильно оценивать ответы. (Приложение 1) .

      Какие выводы мы можем сделать после просмотра презентации?

      Студенты высказывают свое мнение.

    • Алгебраические дроби используются не только на уроках математики, но и во многих областях человеческой деятельности.
    • Чтобы использовать алгебраические дроби, вам нужно научиться правильно ими пользоваться: выполнять сокращение, сложение, вычитание, умножение, деление.

      • 2. Повтор темы: «Алгебраическая дробь. Редукция алгебраических дробей ».

      2.1. Дифференцированный обзор досок по картам:

      2.2. При подготовке респондентов у доски — фронтальный опрос (за каждый правильный ответ — 1 балл):

    • Дайте определение алгебраической дроби.
    • Как мне найти его числовое значение?
    • Могут ли буквы в алгебраической дроби иметь какое-либо значение?
    • Какое главное свойство дроби?
    • Что значит отменить обыкновенную дробь?
    • Что значит сократить алгебраическую дробь?
    • Отличаются ли правила сокращения обыкновенных и алгебраических дробей?
    • Какие методы разложения многочлена вы знаете?

      • Учитель подводит итог:

      Правила исключения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

      2.3. Слушаем, добавляем пояснения, оцениваем ответы студентов, стоящих у доски.
      Студенты получают жетоны (баллы) за правильные дополнительные ответы.

      Учащиеся работают в парах, чтобы проверить правильность решения.

      3. Повтор темы: «Сложение и вычитание алгебраических дробей»

      3.1. Индивидуальный дифференцированный опрос по карточкам на доске. Выбор сложности задания не является обязательным.Срок исполнения — 10 минут.

      Ответы появятся на экране мобильного позже (во время проверки).

      3.2. Во время подготовки учеников по карточкам класс пишет диктант. Диктант состоит из выполненных упражнений. Задачи выводятся на экран мобильного телефона (ответы — позже). При решении некоторых из них были допущены ошибки. Запишите выполненные задания в блокнот. Если задание выполнено правильно, дайте краткий ответ: «Да», если неправильно: «Нет».Выделите место ошибки (карандашом).

      Учащиеся работают в парах, чтобы проверить правильность решения. Учитель объявляет правильные ответы.

      3.3. Слушаем, дополняем, комментируем ответы студентов, выполняющих задания на доске. Повторяем правила сложения и вычитания алгебраических дробей. Студенты получают жетоны (баллы) за правильные добавления.

      Вопрос: Что вы можете сказать, сравнивая правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей?

      Ответ: Да, правила сложения обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

      4. Релаксационная пауза.

      Выполняем упражнения для расслабления глаз. Сидеть прямо. Закройте глаза ладонями, опустите веки. Попробуйте вспомнить что-нибудь приятное, например, море, звездное небо, гладь реки. Даже через 15-30 секунд ваши глаза немного отдохнут.

      5. Повтор темы: «Умножение и деление алгебраических дробей».

      5.1. Индивидуально-дифференцированное обследование по картам:

      Примеры под номером 1) предлагают решение у доски, под номером 2) — самостоятельно, выбирая по желанию один пример из трех.

      Слушаем, дополняем, комментируем ответы студентов, выполняющих задания на доске. Студенты получают жетоны (баллы) за правильные добавления.

      5.2. Поперечное исследование:

    • Правило умножения алгебраических дробей (1 балл).
    • Правило деления алгебраических дробей (1 балл).
    • Правило возведения в степень алгебраической дроби (1 балл).
    • Правила умножения, деления, возведения в степень обыкновенных дробей.

    Вопрос: Какой вывод вы можете сделать?

    Ответ: Да, правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей аналогичны.

    6. Повтор темы: «Совместные действия над алгебраическими дробями».

    Контрольные вопросы:

  • Как устанавливается числовой порядок?
  • Как устанавливается порядок действий в алгебраическом выражении?
  • Какие способы написания решения при выполнении совместных действий над алгебраическими дробями вам известны?

Подготовительные работы — попарно, затем — фронтальная съемка.

Самостоятельная работа. Следуйте инструкциям:

Время работы ограничено. Выбор заданий — по желанию, после представления правильных ответов ученики проводят самотестирование самостоятельной работы.

7. Задача и учебник № 518 — как пример использования междисциплинарного общения.

Сопротивление R участка цепи, состоящей из двух параллельно соединенных проводов, рассчитывается по формуле:

8.Подводя итоги:

WikiHow работает как вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 9 человек (а).

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный студент может подумать, что с ними ничего нельзя поделать. Беспорядок переменных, чисел и даже степеней внушает страх. Однако те же правила используются для сокращения регулярных (например, 15/25) и алгебраических дробей.

ступеньки

Редукционные

Ознакомьтесь с шагами для простых дробей. Операции с обыкновенными и алгебраическими дробями аналогичны. Например, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, нужно найти общий делитель … Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 как в числителе, так и в знаменателе:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Теперь вы можете уменьшить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе.В результате получаем упрощенную дробь 3/7 … В алгебраических выражениях общие множители различаются так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко различить 5 из 15 — тот же принцип применяется к более сложным выражениям, таким как 15x — 5. Найдите общий множитель. В этом случае это будет 5, поскольку оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и раньше, выберите общий множитель и перенесите его на влево на .

15x — 5 = 5 * (3x — 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно выражение в скобках умножить на 5 — результатом будут те же числа, что были вначале.Сложные элементы можно выбирать так же, как и простые. Для алгебраических дробей применяются те же принципы, что и для обычных. Это самый простой способ уменьшить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

(x + 2) (x-3) (x + 2) (x + 10)

Обратите внимание, что как числитель (вверху), так и знаменатель (внизу) содержат член (x + 2), поэтому он может быть отменяется так же, как и общий множитель 5 в дроби 15/35:

(x + 2) (x-3) → (x-3) (x + 2) (x + 10) → (x + 10)

В результате получаем упрощенное выражение: (x- 3) / (х + 10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби.При отмене алгебраической дроби первым делом нужно упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь расширить его до как можно большего числа множителей. Рассмотрим следующую дробь в этом разделе:

9x-3 15x + 6

Начнем с числителя: 9x — 3. Для 9x и -3 общий множитель равен 3. Выньте 3 из скобок, как это делается с обычными числами: 3 * (3x- 1). В результате этого преобразования получится следующая дробь:

3 (3x-1) 15x + 6

Найдите общий множитель в числителе.Продолжим приведенный выше пример и выпишем знаменатель: 15x + 6. Как и раньше, найдите число, на которое делятся обе части. В этом случае общий множитель равен 3, поэтому вы можете написать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь следующим образом:

3 (3x-1) 3 (5x + 2)

Уменьшите идентичные элементы. На этом этапе вы можете упростить дробь. Отмените одинаковые термины в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x + 2) → (5x + 2)

Определите, что дробь имеет простейшую форму.Дробь полностью упрощается, если в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Обратите внимание, что вы не можете исключить те термины, которые находятся внутри скобок — в данном примере нет способа отделить x от 3x и 5x, поскольку полные члены (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит так:

(3x-1) (5x + 2)

Практикуйтесь в сокращении дробей самостоятельно. Лучший способ освоить метод — это самостоятельное решение задач.Правильные ответы приведены под примерами.

4 (x + 2) (x-13) (4x + 8)

Ответ: (x = 13)

2x 2 -x 5x

Ответ: (2x-1) / 5

Специальные приемы

Выносит знак минус из дроби. Допустим, дана следующая дробь:

3 (x-4) 5 (4-x)

Обратите внимание, что (x-4) и (4-x) «почти» идентичны, но их нельзя сократить сразу, потому что они «перевернуты». Однако (x — 4) можно записать как -1 * (4 — x), так же как (4 + 2x) можно записать как 2 * (2 + x).Это называется «смена знака».

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Теперь вы можете отменить те же условия (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Итак, окончательный ответ получаем: -3/5 … Научитесь распознавать разницу в квадратах. Разница квадратов — это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 — b 2). Разность полных квадратов всегда можно разложить на две части — сумму и разность соответствующих квадратных корней… Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 — b 2 = (a + b) (a-b)

Этот метод очень полезен при поиске общих терминов в алгебраических дробях.

  • Проверьте, правильно ли вы разложили на множители то или иное выражение. Для этого умножьте множители — в результате должно получиться такое же выражение.
  • Чтобы полностью упростить дробь, всегда выбирайте самые большие множители.

Эта статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие, как сокращение алгебраических дробей.Мы определим сам термин, сформулируем правило редукции и проанализируем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби учитывалась ее редукция. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Уменьшение алгебраической дроби — аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраических дробей Деление числителя и знаменателя на общий множитель.Более того, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), многочлен, в частности одночлен или число, может служить общим делителем числителя и знаменателя алгебраической дроби.

Например, алгебраическая дробь 3 x 2 + 6 xy 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 может быть уменьшена на 3, в результате получим: x 2 + 2 xy 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 Мы можем сократить ту же дробь переменной x, и это даст нам выражение 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 xy 2.Также возможно уменьшить данную дробь на одночлен 3 x или любой из многочленов x + 2 y , 3 x + 6 y, x 2 + 2 x y или 3 x 2 + 6 x y.

Конечная цель уменьшения алгебраической дроби — дробь большего, чем простой вид, в лучшем случае несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби сократимы?

Опять же, из материалов об обычных дробях мы знаем, что есть сокращаемые и несократимые дроби.Не подлежащие отмене дроби — это дроби, у которых нет общего знаменателя и множителя числителя, кроме 1.

С алгебраическими дробями все то же самое: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь за счет уменьшения. При отсутствии общих факторов оптимизировать данную фракцию методом редукции невозможно.

В общих случаях для данного вида дроби довольно сложно понять, можно ли его уменьшить.Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя между числителем и знаменателем очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 x 2 3 y совершенно ясно, что общий множитель равен 3.

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 мы также сразу понимаем, что ее можно уменьшить на x, y или на x · y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще он просто отсутствует.

Например, мы можем сократить дробь x 3 — 1 x 2 — 1 на x — 1, в то время как указанный общий множитель в записи отсутствует. Но дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 не может быть подвергнута редукционному действию, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос прояснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и часто легче работать с дробью заданной формы, чем пытаться выяснить, можно ли ее сократить.В этом случае имеют место такие преобразования, которые в отдельных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем подробнее этот вопрос в следующем абзаце статьи.

Правило отмены для алгебраических дробей

Правило отмены для алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

  • нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
  • в случае обнаружения таковой, осуществление прямого действия по уменьшению фракции.

Самый удобный метод нахождения общих знаменателей — это разложение многочленов в числителе и знаменателе данной алгебраической дроби. Это позволяет сразу визуализировать наличие или отсутствие общих факторов.

Само действие сокращения алгебраической дроби основано на основном свойстве алгебраической дроби, выраженном равенством undefined, где a, b, c — некоторые многочлены, а b и c ненулевые. На первом этапе дробь приводится к виду a c b c, в котором мы сразу замечаем общий множитель c.На втором этапе выполняется редукция, т.е. переход к дроби вида a b.

Типовые примеры

Несмотря на некоторую очевидность, поясним особый случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Такие дроби тождественно равны 1 на всей ODZ переменных этой дроби:

5 5 = 1; — 2 3 — 2 3 = 1; х х = 1; — 3, 2 х 3 — 3, 2 х 3 = 1; 1 2 x — x 2 y 1 2 x — x 2 y;

Поскольку обычные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, вспомните, как их можно сократить.Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

Например, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2105

Произведение простых равных множителей можно записать в виде степеней, а в процессе уменьшения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда приведенное выше решение будет таким:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 5 7 = 2105

(числитель и знаменатель делятся на общий множитель 2 2 3 ).Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, дадим решению следующий вид:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2105

По аналогии проводится редукция алгебраических дробей, у которых есть одночлены с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе.

Пример 1

Дана алгебраическая дробь — 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z. Надо его уменьшить.

Решение

Можно записать числитель и знаменатель данной дроби как произведение простых множителей и переменных, а затем выполнить сокращение:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 3 a a a a a a a b b c c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = — 3 3 a a a a 2 c c c c c c c c c = — 9 a 3 2 c 6

Однако более рациональным способом было бы записать решение в виде выражения со степенями:

27 a 5 b 2 cz 6 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 a 5 b 2 cz 2 3 a 2 b 2 c 7 z = — 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = — 3 3 — 1 2 a 5 — 2 1 1 1 c 7 — 1 1 = — 3 2 a 3 2 c 6 = — 9 a 3 2 c 6.

Ответ: — 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = — 9 a 3 2 c 6

Когда есть дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе алгебраической дроби, есть два возможных способа дальнейших действий: либо отдельно провести деление этих дробных коэффициентов, либо сначала избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель. некоторым натуральным числом … Последнее преобразование осуществляется в силу основного свойства алгебраической дроби (об этом вы можете прочитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Указанная дробь равна 2 5 x 0,3 x 3. Необходимо ее уменьшить.

Решение

Можно уменьшить дробь таким образом:

2 5 x 0,3 x 3 = 2 5 3 10 x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов — умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е.е. на LCM (5, 10) = 10. Тогда получаем:

2 5 x 0,3 x 3 = 10 2 5 x 10 0,3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Ответ: 2 5 x 0,3 x 3 = 4 3 x 2

Когда мы отменяем общий вид алгебраических дробей, в котором числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда виден сразу. Или, более того, его просто не существует. Затем для определения общего множителя или фиксации факта его отсутствия числитель и знаменатель алгебраической дроби факторизуются.

Пример 3

Рациональная дробь равна 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3. Необходимо уменьшить ее.

Решение

Разложим многочлены в числителе и знаменателе на множители. Выполним скобки:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49)

Мы видим, что выражение в скобках можно преобразовать с помощью сокращенных формул умножения:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7)

Хорошо видно, что дробь можно уменьшить общим множителем b 2 (a + 7) … Сделаем сокращение:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a — 7) = 2 a + 14 a b — 7 b

Напишем короткое решение без пояснений в виде цепочки равенств:

2 a 2 b 2 + 28 ab 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 — 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a — 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a — 7) = 2 a + 14 ab — 7 b

Ответ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 — 49 b 3 = 2 a + 14 a b — 7 b.

Бывает, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально вынести числовые множители при наивысших степенях числителя и знаменателя за скобки.

Пример 4

Вам дана алгебраическая дробь 1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2. По возможности ее следует уменьшить.

Решение

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего знаменателя.Однако попробуем преобразовать данную дробь. Выносим множитель x в числителе за скобки:

1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2 = x 1 5-2 7 x 2 y 5 x 2 y — 3 1 2

Теперь вы можете увидеть некоторое сходство между выражением в скобках и выражением в знаменателе из-за x 2 y . Вынесем числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов из скобки:

x 1 5-2 7 x 2 y 5 x 2 y — 3 1 2 = x — 2 7-7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y — 1 5 3 1 2 = = — 2 7 x — 7 10 + х 2 у 5 х 2 у — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, проводим редукцию:

2 7 x — 7 10 + x 2 y 5 x 2 y — 7 10 = — 2 7 x 5 = — 2 35 x

Ответ: 1 5 x — 2 7 x 3 y 5 x 2 y — 3 1 2 = — 2 35 x.

Подчеркнем, что умение сокращать рациональные дроби зависит от умения разложить многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Архитектурный алфавит. Архитектура ABC, из элементов которой — алфавит архитектуры

Избранные выдержки из статей и высказываний выдающегося французского архитектора Огюста Переса, возвысившего железобетон до статуса благородного материала, из которого можно и нужно создавать шедевры.Его церковные проекты в Le Rensi, реконструкция Garass, Театр на Елисейских полях в Париже и подтверждение многих других построек. Литературное творчество Огюста Перре разнообразно: он оставил после себя множество горьких афоризмов об архитектуре и несколько теоретических работ (одна книга и ряд статей), в которых отразил свои творческие принципы. Мы публикуем некоторые из них.

Architect — Строитель, стремящийся удовлетворить переходные процессы, создает прочное.Это тот, кто, сочетая научные знания и интуицию, создает портик, неф, храм, надземное убежище, способное заключить в себе все разнообразие элементов, необходимых для жизнедеятельности.

Архитектор — Поэт, который думает и говорит, строит.

Архитектура Есть искусство организовывать пространство, и оно проявляется в строительстве.

Архитектура Разделяет пространство, окружает, ограничивает, закрывает. Он наделен даром создавать волшебную среду только силой духа художника.

Гармония — это то, чего греки добились идеальной адаптации к изменчивости: устойчивости к атмосферным и оптическим условиям и т. Д. Что касается пропорций, то она заложена в самом человеке.

Декор. Я слишком люблю живые цветы и поэтому считаю неприемлемыми декоративные мотивы , превращающие их в грубую материю.

Единообразие и разнообразие. Мы идем к единообразию в пространстве и во времени.Правящий людьми закон заставляет их, поскольку они, кажется, теряют из-за однообразия пространства, то, что они выигрывают от разнообразия из-за скорости во времени.

Корпус — это каркас, наделенный элементами и формами, которые продиктованы постоянными условиями; Подчиняясь своим законам природы, эти условия связывают здание с прошлым и придают ему долговечность.

True В архитектуре мы называем то, что здание несет с честью и дает убежище. Правда можно только восхищаться с помощью пропорции, а пропорция и — это сам человек.

Каркас Для постройки играет ту же роль, что и скелет для животного.

Так называемая классическая архитектура стоит только декорации с того момента, когда люди, строящие каменное здание, во избежание пожаров, начали имитировать фактуру и особенности конструкции дерева. Престиж деревянного каркаса, являющегося оригинальной формой архитектуры, был очень велик.

Колизей — Это ордена, ставшие украшениями.

Композиция — это искусство заключения самых сложных функций в простейший том: яйцо.

Красота — капитал, который платит проценты, когда мы на него смотрим.

Наука и искусство. Зло в том, что в специализированных школах разделены наука и искусство.

Обретение хорошей формы — Выплата долга ст.

Несущие конструкции. Тот, кто скрывает несущую конструкцию , лишает себя самого законного и превосходного архитектурного декора. Тот, кто массирует столб, совершает ошибку. Тот, кто создает ложную опору, совершает преступление.

Соблазнение. Тот, кто не владеет навыками, может только исследовать момент, но никогда не доставит истинного удовлетворения.

Ответственность — одна из основ стиля в архитектуре.

Архитектура руин Красиво, потому что, обнажая, они открывают правду.

Корпус — родной язык архитектора.

Если конструкция Недостаточна для того, чтобы оставаться видимой и обнаженной, это означает, что архитектор не выполнил свою миссию.

Technics Каждый день дарит ребячливую природу, это главная пища для воображения, подлинный источник вдохновения, самая действенная из всех молитв, техника — родной язык любого архитектора. Техника в руках поэта рождает архитектуру.

Условия . Из всех видов пластических искусств архитектура большинства остальных зависит от материальных условий. Природа диктует постоянные условия, а человек преходящ. Климат и его плохая погода, строительные материалы и их свойства, стабильность и его законы, визуальное восприятие и его деформация, вечное и всеобъемлющее ощущение линии и формы — условия постоянны . Назначение здания, обычаи, правила строительства, мода , условия передачи .

Характер и стиль . Если здание объединяет в себе все необходимые помещения и хорошо оборудовано, то с первого взгляда оно понятно по своему назначению, и это следует определять как символ . Если персонаж найден, то при затратах минимум материальных ресурсов постройка будет иметь свой стиль .

Цель искусства Не удивлять и не вызывать у нас эмоций. Удивление и эмоции — это всего лишь кратковременные потрясения и случайные переживания.Истинная цель искусства — диалектически привести нас от удовлетворения к удовлетворению, от любви к чистому удовольствию.

Эйфелева башня. Изначально его сочли некрасивым, сейчас создают шедевр архитектуры. По правде говоря, она не заслуживала ни беспокойства, ни этой чрезмерной чести. Красота — это величие истины, и правда здесь заключается в форме, придающей стойкости башне; Следовательно, необходимо было одобрить и дать великолепно развернуться в этой форме, нужно было быть единой волной, от основания до вершины, давайте поднимемся к этим четырем гиперболам, усилив их соответствующей мулурой или, в крайнем случае краской или золочением.Таким образом, Эйфель создал бы гиперболу и был бы равен тому, кто накрыл сооружение сферической аркой, создал купол.

Язык . Чтобы стать поэтом, недостаточно выучить наизусть чужие стихи. Нужно, прежде всего, выработать собственный язык .

Реферат предназначен для проведения урока математики в классе, где сидят ученики 5 и 6 классов …

Авторские работы учащихся литературного кружка «Вдохновение» (Виктория Баева (6-8 класс), Софья Орлова (8-9 класс), Яна Маша (10-11 класс), Надежда Медведева (10-11 класс)

«Географический КВН для учащихся 6-7 классов», «Мы в Японии» за 9 человек. -11 классы, разработка программы «Африка» для 11 класса.

Данные методической разработки Вы можете использовать при выставлении оценок в 6-11 классах. В разработке урока систематизируются знания учащихся по теме «Африка» в 11 классе ….

Урок-игра — одна из современных образовательных технологий. На таких уроках у студентов расширяется кругозор, развивается познавательная активность, определенные навыки и умения необходимы в …

Рабочая программа по географии на основе авторской программы. Герасимова 6 класс), И.В. Душа (7 класс), И.И. Баринова (8-9 классы) с нагрузкой 2 часа в каждом классе основной школы

Программа содержит пояснительную записку, список мультимедийной поддержки для использования на уроках географии, также содержит обязательный региональный компонент по географии Ростовской области …

Рабочие программы по математике для 5 класса, алгебре для 8 класса. УМК А.Г. Мордкович. Рабочие программы по геометрии для 7 и 8 класса. Программа соответствует учебнику Погореловой А.V. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы.

Рабочая программа содержит пояснительную записку, содержание учебного материала, учебно-тематическое планирование, Требования к математической подготовке, список рекомендуемой литературы, календари …

Часто можно встретить фразу, некогда довольно удачно записанную автором «Собора Парижской Богородицы» Виктором Гюго: «Архитектура — застывшая музыка». Звучит заманчиво, для такого суждения есть свои причины, но нам это не подходит.Даже если музыка, то уже заморожена, и нам будет интересен процесс написания «мелодий», когда еще есть идеи в сознании писателя, когда композитор начинает делать это в первых набросках или даже когда мелодия слышна только внутренним слухом. Любые аналогии обманчивы, создают иллюзию объяснений, но некоторая аналогия всегда полезна, и здесь мы предпочитаем сравнения с «адзами» из литературы.
Обычно говорят, что в распоряжении композитора всего семь нот — всего семь звуков, различающихся по высоте тона.На самом деле, конечно, вся палитра композитора намного шире, но семь нот — в основе всего мира мелодичного звучания. Черно-белая оперирует графикой. Взвешивание и выход из массы — скульптор. Черный, белый и три цвета — синий, красный и желтый — исходная основа работы художника.
А в чем основа творчества архитектора?
Это тройная основа. В первой группе «Буквы» пять основных конструкций: подставка, стена, балка, арка и купол. Все безграничное богатство архитектурных форм было создано путем объединения этих фигур устойчивости, но «слов» этих букв пока еще нет.Составьте полные фразы из имен существительных. Вторую, очень небольшую группу составляют «союзы» — органические «молекулы» пространственного решения: комната, коридор и лестница.
Все многообразие пространственных композиций, издавна составляющих сущность архитектурного творчества, забито сложным сочетанием этих элементов между собой. В отличие от грамматики текста, где наряду с высказыванием важную роль играют также отрицательная и вопросительная интонация, в архитектуре есть только одобрение и только восклицание — вынесенные суждения ничего не отрицают и ничего не задают.Его часто задают историку загадок, и именно он задает вопросы о структурах и ищет правдоподобные ответы.
Третья группа «элементов» образуют мелодические формулы — различные типы композиции или базовые фигуры сочетания основ.
Так просто? На самом деле все намного сложнее, потому что разнообразие форм, принимающих «элементы» в опыте мировой архитектуры, хоть и поддается подсчету, но с величайшим трудом.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто.Используйте форму ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в учебе и работе, будут Вам очень благодарны.

Похожие документы

    Понятие, сущность архитектуры. Архитектура как памятник культуры и истории. Развитие архитектуры в разные исторические периоды. Эпохи и стили в истории архитектуры: готика, классицизм, неоклассицизм, барокко, Neurokko. Виды архитектурного творчества.

    аннотация, добавлен 17.10.2010

    Аналитическое исследование истории массового жилищного строительства в совокупности с градостроительными особенностями и организацией массового жилищного строительства России с точки зрения архитектуры.Определение вектора последующего развития массовой жилищной архитектуры.

    статья, добавлен 23.02.2017

    Изучение архитектуры в нескольких малых городах Урала торгово-промышленного назначения. Обнаружение значимых архитектурных сооружений выбранных городов. Описание характерных художественных деталей и конструктивных особенностей исследуемых построек.

    курсовая работа, добавлен 07.02.2016

    Периоды в истории искусства Индии.Характерные черты индийской архитектуры. Особенности строения индуистского храма. Конструктивные архитектурные приемы. Традиции деревенского дизайна. Глина и камень в индийских зданиях. Архитектура Индии в примерах.

    аннотация, добавлен 26.11.2010

    Рассмотрение основных архитектурных стилей: романский, готический, барокко, рококо, классицизм, модернизм и строительство эпохи Возрождения. Архитектура (архитектура) как система зданий и сооружений, образующих пространственную среду жизни и деятельности людей.

    презентация, добавлен 10.03.2014

    Особенности архитектуры Ирана и появление новых типов гражданских построек (торговых, общественных, коммунальных). Создание ансамбля городской площади, Ханского дворца и Соборной мечети. Строительные материалы, конструкции, подъемные конструкции.

    аннотация, добавлен 03.12.2014

    Понятие коммуникативного процесса и коммуникативных моделей, их роль и признаки. Значение архитектуры как явления массовой культуры, история ее развития.Архитектура с точки зрения коммуникации. Функция коммуникативной архитектуры и реализация таких моделей.

    курсовая, добавлен 21.04.2011

Обновлено: 25.10.2020

103583

Если вы заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl + Enter

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

➤