Математика повторение 11 класс: Алгебра (математика) 11 класс

Содержание

Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания

Степени с рациональным показателем. Корни. Степенные функции

Понятие корня n-й степени из действительного числа
Функция корня n-й степени
Свойства корня n-й степени.
Преобразование иррациональных выражений
Способы упрощения выражений, содержащих радикалы
Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

Свойства степенных функций и их графики

Логарифмы.

Показательная и логарифмическая функции

Свойства показательной функции и её график
Методы решения показательных уравнений
Методы решения показательных неравенств

Понятие логарифма.
Основное логарифмическое тождество
Свойства логарифмической функции и её график
Базовые свойства логарифмов
Методы решения логарифмических уравнений
Методы решения логарифмических неравенств
Переход к новому основанию логарифма
Системы показательных и логарифмических уравнений
Системы логарифмических и показательных неравенств
Производная показательной и логарифмической функции

Первообразная.

Неопределённые и определённые интегралы

Понятие первообразной
Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования
Вычисление площадей с помощью интегралов

Начальные сведения комбинаторики

Правило суммы

Правило произведения
Перестановки.
Перестановки без повторений
Размещения. Размещения с повторениями
Сочетания и их свойства
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Начальные сведения теории вероятностей

Какие бывают случайные события
Комбинации событий.
Противоположные события
Вероятность события
Сложение вероятностей
Независимые события. Умножение вероятностей
Статистическая вероятность

Начальные сведения математической статистики

Случайные величины
Центральные тенденции
Меры разброса
Закон распределения вероятностей.
Закон больших чисел

Уравнения и неравенства

Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений
Общие методы решения уравнений
Равносильность неравенств.
Системы и совокупности неравенств
Уравнения и неравенства с двумя переменными
Общие методы решения систем уравнений
Уравнения и неравенства с параметром

Конспект урока по алгебре 11 класс «Повторение.

Подготовка к ЕГЭ»

Урок математики в 11 классе.

Тема: «Повторение. Подготовка к ЕГЭ».

Цель урока:

Повторение материала, подготовка учащихся к экзаменам.
Развитие логического мышления, навыков самостоятельной и групповой деятельности.
Воспитание коллективизма.

План урока:

Оргмомент.
Устная работа. Задания типа В2
Повторение темы « Площади». Составление кластера.
Повторение темы «Логарифмы», использование ЭОРов.
Подведение итогов урока

(Тип урока: урок повторения и закрепления пройденного материала.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический (частично-поисковый, метод самостоятельной работы).

Средства обучения: наглядный материал (карточки, плакаты, учебное пособие «Банк открытых заданий ЕГЭ»).

Формы работы: групповая, индивидуальная.

Триединая цель урока:

Задачи урока:

Выявить уровень подготовки учащихся по геометрии по данной теме, систематизировать полученные знания с помощью приема «Кластер»
Помочь в развитии и самореализации творческих способностей личности; обучить приемам организации интеллектуального труда
Научить учащихся находить главное
Продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности. )

Ход урока.

Оргмомент.

Устные упражнения: Разрешите открыть урок с высказывания Декарта: «Я мыслю, следовательно, существую». Сейчас вам дается возможность проявить свою мысль при выполнении ряда заданий для подготовки к ЕГЭ.

ЕГЭ это вершина ,к которой мы медленно поднимаемся, переходя из класса в класс, изучая одну тему за другой. Задания ЕГЭ это ступени, по которым легче покорить эту вершину. Сегодня на уроке мы преодолеем вместе с вами некоторые из этих ступеней.

Итак, первая ступенька на которую мы с вами сегодня поднимемся — задания В2. Их можно решить устно. Мы сейчас рассмотрим несколько разных заданий этого типа.

Задание B2

На рисунке изображен график осадков в г.Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм.

Определите по графику, сколько дней из данного периода осадков выпало между 2 и 8 мм.

Ответ: 3

Задание B2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году.

Ответ: 38

Задание B2

Посев семян тыквы рекомендуется проводить в мае при дневной температуре воздуха не менее ° С. На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в первой и второй декадах мая. Определите, в течение скольких дней за этот период можно производить посев тыквы.

Ответ: 7

Задание B2

На графике показано изменение температуры воздуха в некотором населённом пункте на протяжении трех суток, начиная с 0 часов субботы. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наименьшую температуру воздуха в ночь с субботы на воскресенье. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 10

Задание B2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 19 декабря.

Ответ: 4

Задание B2 (18881)

(показов: 1885, ответов: 1026)

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа выпало наибольшее количество осадков.

Ответ: 15

Задание B2

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года.

Ответ: 6

Задание B2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 1988 году.

Ответ: 24

Задание B2

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.

Ответ: 3

Обобщение и коррекция опорных знаний по теме «Площади плоских фигур»

Формулы для кластера

(ромб)
(трапеция)
(параллелепипед) S = ha

S= аbsinγ

S= (d1×d2×sinγ)

(прямоугольник) S = a*b
(квадрат)
(прямоугольный треугольник)
(треугольник)

Формула Геррона

S= 1/2ab sinγ

S=1/2 r×P

S= abc

(круг)

(круговой сектор) S=πR²α

360

(правильные многоугольники) n=3, S=a²√3

n =4, S=a²

n=6, S=3√3a²

(пирамида)

(правильная пирамида) Sбок=1/2Pоснd (апофему)

(усеченная пирамида) Sбок=1/2(P1 +P2)d (апофему)

(куб) S = 6a²

(прямоугольный параллелепипед) S = 2(ab+bc+ac)
(цилиндра) S бок= 2πRh

Sпол=2πR(R + h)

(призма)S= Sбок + 2Sосн

(прямой призмы) Sбок= Ph

(конус) Sбок=πrl

Sпол=πr(l + r)

(усеченный конус) Sбок=π (r + r1) l

(сфера)

Учащимся предлагается составить кластер по теме «Площади». На столах у каждого находится лист (формат А4).
На листе делается посередине надпись «Площади». Затем учащимся предлагается слева записать виды плоских фигур и их площадей.
Одному обучающемуся можно предложить это задание выполнить на доске. Затем групповое обсуждение полученного кластера. Корректировка кластера.

Деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний и умений при решении простейших геометрических задач. Работа устно.

Учащимся предлагается устно решить несколько задач из сборника «Банк открытых заданий ЕГЭ по математике». Работать предлагается в парах или индивидуально. Обязательно необходимо подчеркнуть, что при решении задач необходимо применять формулы площадей, можно пользоваться составленным кластером.
После небольшого обсуждения в парах, ответы вслух. Обсуждение.
Учитель показывает чертеж из сборника, дети говорят ответ.

Вопросы, задаваемые при обсуждении задач:

Площадь какой фигуры находили?
Какую формулу применяли?
Можно ли решить данную задачу другим способом?

Предлагаемые задачи для устной работы:

(количество заданий можно увеличить или уменьшить в зависимости от времени урока)

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена фигура. Найдите его площадь.

Теперь давайте перейдем к заданиям типа В5, В7. Логарифмы. Перед вами лежат формулы, выражающие свойства логарифмов. При работе можете ими пользоваться.

ЭОРы: а) работа вместе с учителем

Б) самостоятельная работа ученика.

Одновременно класс работает с ним, корректирует знания.

Откройте « Варианты ЕГЭ, 2018 год». Выполняете каждый свой вариант. Начинаем выполнять тест. Результаты тестирования отправьте на печать.
Подведение итогов урока
1. Домашнее задание.

– Задачи из банка открытых задач ЕГЭ: №5061, 5067,5201, 21337.
– Оформить кластер, ответить на вопросы, отмеченные в кластере

Выставление оценок
Рефлексия
– Что дает нам прием «Кластер»?
– Имеет ли практическое значение данная тема?
– Понравился ли вам урок?

Сегодня мы проводим урок – отчет самостоятельного решения

задачи. Вы решали одну задачу разными способами. Мы ждем от вас красивого решения, а добиться этого можно лишь в результате кропотливой работы над задачей.

Красивое решение приходит тогда, когда придумано несколько вариантов решения задачи. Метода, который гарантировал бы решение любой задачи – нет. Но все же существуют весьма общие приемы, которые при умелом применении заметно облегчают решение многих трудных задач. Разработка этих приемов называется — эвристика. Слово происходит от знаменитого «Эврика».

«Эврика» — нашел! – воскликнул, согласно легенде, древнегреческий ученый Архимед, выскочив из ванны, он понял как решить, возникшую перед ним задачу.

Стихотворение (читает ученица)

Преданье старинное знает весь свет,

Как, нежась горячею ванной,

Открыл свой великий закон Архимед,

Связав его с выходкой странной.

Сияющий выскочил вон Архимед,

Из ванны горячей, где мылся,

И прямо из бани, как был, неодет,

Куда-то бежать он пустился.

Картина, достойная кисти богов,

По улице, солнцем согретой,

Пунктир оставляя из мокрых следов,

Бежит Архимед неодетый.

Толпа сиракузцев несется во след,

В восторге от бешеной гонки,

И громко ликует, когда Архимед,

Выкрикнул «Эврика» звонко.

«Нашел!» Он нашел тот желанный ответ,

Который искал так упорно.

«Нашел!» В упоенье кричал Архимед,

«Нашел!» — повторяли задорно.

Подобно Архимеду, вы искали решение задачи, каждая группа предлагает свой способ. Когда вы получили задание сделать проект решения задачи, то вы думали, что это невозможно, но сейчас посмотрим, что из этого получилось

Заключение.

Сейчас, прослушав несколько способов решения одной задачи, мы повторили несколько тем. Вы должны выбрать тот способ решения, который вам больше понравился, и если на экзамене вам встретилась задача, которую не можете решить, то вспомните, что можно попытаться решить другим способом.

В этом году вы выпускаетесь из школы и вас ждут большие жизненные испытания. Так вы должны знать, что безвыходных ситуаций не бывает.

В любой ситуации можно найти решение.

Закончим наш урок словами Эйнштейна: «Каждый важный успех приносит новые вопросы».

Методическая разработка «Организация повторения по алгебре в 11-м профильном классе для подготовки к решению заданий №15 в ЕГЭ»

Система уроков повторения по теме «Решение неравенств функционально – графическим методом» содержит: примерное планирование учебного времени; краткий анализ знаний и умений учащихся, полученных на уроках повторения по выбранной теме; план-конспект одного из уроков; проверочную работу (в одном варианте).

Примерное планирование учебного времени

Использование области определения функций.(1 час)
Использование монотонности функций.(1 час)
Использование ограниченности функций. (2 часа)
Метод интервалов для непрерывных функций. (2 часа)
Использование графиков функций. (1 час)
Проверочная работа. (1 час)

Краткий анализ и умений знаний учащихся, полученных на уроках повторения по выбранной теме.

В результате повторения данной темы учащиеся должны иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению неравенств.

Уметь:

решать неравенства с использованием области определения входящих в них функций, свойства монотонности функций;
использовать при решении неравенств свойство ограниченности функции на некотором множестве, уметь находить наибольшее и наименьшее значение функций или их композиций на заданном множестве;
применять метод интервалов при решении неравенств, содержащих различные функции, а также при решении трансцендентных неравенств, используя идею рационализации неравенств;
уметь при решении неравенств рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение неравенства было очевидно;
использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

План-конспект урока по теме «Метод интервалов для непрерывных функций» (2 часа)

Цели урока:

Обучающие:

обобщить ранее изученный материал о решении неравенств методом интервалов;
возможность применения метода интервалов для решения неравенств различного типа;
выработка умений и навыков в решении неравенств различного типа методом интервалов;
решение трансцендентных неравенств, с использованием метода рационализации.

Развивающие:

повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения;
развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

Воспитательные:

формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;
развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

План урока:

Организационный момент.
Повторение и актуализация опорных знаний.
Решение неравенств методом интервалов.
Подведение итогов. Задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Повторение и актуализация опорных знаний.

Обобщенный метод интервалов.

Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.
Применяя метод интервалов к решению иррациональных, трансцендентных, комбинированных неравенств, говорим об обобщенном методе интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов:

Привести неравенство к виду f(x) ˅ 0. Рассмотреть функцию f(x).
Найти область определения функции f(x).
Найти нули функции f(x), решив уравнение f(x) = 0.
Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
Определить знаки функции на промежутках, входящих в область определения функции.
Записать ответ, включив в него промежутки в соответствии со знаком неравенства (не забыть включить в ответ изолированные точки).

Метод рационализации.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G9x) ˅ 0 равносильно неравенству F(x) ˅ 0 в области определения выражения F(x) (символ ˅ заменяет один из знаков неравенств: >, <., ≤, ≥).
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G.

Выражение F(x)	Выражение G(x)
log_hf — log_h g	(h – 1)(f – g)
log_fh — log_gh	(f – 1)(g – 1)(h – 1)(g – f)
h^f — h^g	(h – 1)(f – g)
f^h— g^h	(f – g)h
\| f \| — \| g \|	(f – g)(f + g)
log_hf · log_pg	(f – 1)(g – 1)(h – 1)(p – 1)
	f – g

3. Решение неравенств методом интервалов.

Каждое задание решает группа учащихся. Затем один из группы записывает решение на доске и поясняет его.

Список использованной литературы

Дорофеев Г.В. Обобщение метода интервалов. – Математика в школе, 1969, №3.
Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2007.
Панферов В.С., Сергеев И.Н. ЕГЭ – 2010. Математика. Задача С3, под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010.
Садовничий Ю.В. ЕГЭ. Практикум по математике: Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.

Математика и мы: Алгебра 11 класс

21.04.2020 Повторение. Уравнения

1. Вспомни способы решения основных типов уравнений.

Решение логарифмических уравнений

Решение показательных уравнений

Решение иррациональных уравнений

Решение линейных уравнений

Решение квадратных уравнений

2. Выполни тест, перейдя по ссылке.

23.04.2020 Тема урока: «Повторение . Тригонометрические уравнения»

1. Вспомни решение прстейших тригонометрических уравнений

2. Вспомни способы решения тригонометрических уравнений.

3. Выполни тест. перейдя по ссылке

24.04.2020. Тема урока : «Повторение. Уравнения»

1. Если ты отсуствовал на уроке, то выполни тест, перейдя по ссылке

01.05.2020 Тема урока «Повторение . Выражения. Уравнения»

1. Перейди по ссылке и выполни задания. Ссылка

05.05.2020 Тема урока: «Повторение. Степени»

1. Вспомни тему «Степень». Посмотри видеоуроки

2. Выполни задания, перейдя по ссылке.

06.05.2020 Тема урока: «Повторение. Функции»

1. Вспомни материал, просмотрев видеоуроки

07.05.2020 Тема урока: «Повторение. Действия с дробями»

1. Вспомни правила выполнения действий с дробями

2. Выполни задания, перейдя по ссылке.

08.05. 2020 Тема урока: «Повторение. Логарифмы.»

1. Вспомни материал.

2. Проверь себя, перейдя по ссылке. Пришлите мне скриншот результата.

12.05.2020 Тема урока: «Повторение. Неравенства»

1. Вспомни решение неравенств

2. Проверь себя перейдя по ссылке.

15.05. 2020 Тема урока: «Повторение. Неравенства. «

1. Выполните решение заданий, перейдя по ссылке.

19.05. 2020 Тема урока: «Повторение. Функции. «

1. Выполни задания и пришли решения мне на почту.

21.05. 2020 Тема урока: «Повторение. Функции. «

1. Выполни задания и пришли решения мне на почту.

22.05.2020 Тема урока: «Повторение. Уравнения и неравенства»

1. Выполни задания.

26.05.2020 Тема урока: «Повторение. Уравнения и неравенства»

1. Выполни задания.

Урок математики 11 класс «Математический ринг»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

«Математический ринг» 11класс
Презентацию составила Халекова Тянзиля Алиакбяровна учитель математики Энгуразовского филиала МБОУ М-Алабушской СОШ .
«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Слайд 2

ЦЕЛЬ
Долгосрочная цель: качественная подготовка к ЕГЭ. Цель урока: повторить задания В1, В3,В5, В7,В8,В9.

Слайд 3

Задача.
Уметь выполнять вычисления и преобразования, действия с функциями, исследовать простейшие модели. Применять знания ,умения навыки при решении поставленной задачи в любой нестандартной обстановке

Слайд 4

Повторение теории
Какие уравнения называются иррациональными. Дайте определение логарифма числа. Перечислите основные свойства логарифмов. Показательное уравнение-это уравнение… В чем заключается геометрический смысл производной?

Слайд 5

Вычислите

Слайд 6

Вычислите
9

Слайд 7

Вычислите
9
25/27

Слайд 8

Вычислите
9
25/27
-1

Слайд 9

Вычислите
9
25/27
-1
45

Слайд 10

Вычислите
9
25/27
-1
45
0,008

Слайд 11

Одна таблетка лекарства весит 20мг и содержит 18% активного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,35 мл активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребенку в возрасте 4 месяцев и весом 8 килограммов в течение суток?
Решите задачу

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

На клетчатой бумаге размером 1х1 изображен ромб. Найдите его площадь.

Слайд 16

На клетчатой бумаге размером 1х1 изображен ромб. Найдите его площадь.
S=1/2х6х4=12

Слайд 17

Физкультминутка

Слайд 18

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Слайд 19

Слайд 20

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
f’(x)=2/8=1/4=0,25

Слайд 21

= -9
=5
4 x -2 x =0
log 9 (x-1) 2 =1
0,5 1-x =16 x
log 2 (x-15) =4
Решите уравнение
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Слайд 22

= 9
=5
4 x -2 x =0
log 9 (x-1) 2 =1
0,5 1-x =16 x
log 2 (x-15) =4
Решите уравнение
1)
2)
3)
4)
5)
6)
31
±5
-1/3
83
0
-2;4

Слайд 23

Найдите значение выражения

Слайд 24

Найдите значение выражения
-24

Слайд 25

Найдите значение выражения
-24
-28

Слайд 26

В куб вписан шар радиуса 2. Найдите объем куба.

Слайд 27

В куб вписан шар радиуса 2. Найдите объем куба.
V=64

Слайд 28

Самостоятельная работа

Слайд 29

Итог урока
Доска бела от мела Рука устала, затекла спина, Мы друг на друга смотрим очумело, А все таки задача решена! Додумались! Добились! «Раскололи»! Намаялись, однако же смогли! Забыли о кино и о футболе Звонку не рады – до чего дошли.

Дидактические материалы по математике

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 1.	Арифметика не простая, а золотая! (4-6 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 2.	Комбинированные задачи для итогового повторения (6 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 3.	ОДЗ в школьном курсе алгебры (7 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 4.	Упражнения для итогового повторения (8 класс)(материал обновлен)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 5.	Система упражнений для итогового повторения курса алгебры (8 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 6.	148 хороших графиков квадратичной функции (8 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 7.	Построение графиков функций (9-11 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 8.	Квадратные неравенства и уравнения — часть 3 (материал обновлен)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 9.	Логарифмы и графики функций (10 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 10.	Логарифмические уравнения (10 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 11.	Простейшие тригонометрические уравнения (9-11 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 12.	Основные типы тригонометрических уравнений (10-11 классы) &nbsp(материал обновлен)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 13.	Тригонометрические&nbspуравнения&nbspбез&nbspтригонометрических&nbspпреобразований&nbsp(11&nbspкласс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 14.	Нетрадиционные задания для повторения (11 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 15.	Вычисление площадей (11 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp	&nbsp&nbsp&nbsp====	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspА&nbspэтих&nbspматериалов&nbspв&nbspкниге&nbspнет:
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 16.	Арифметическая прогрессия (9 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 17.	Системы с очень простенькими неравенствами (8 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 18.	Итоговое повторение всех вычислительных навыков (6 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 19.	Простейшие тригонометрические неравенства (10 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 20.	Решаем квадратные уравнения устно (8 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 21.	Программы-тренажеры по квадратным уравнениям (8 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 22.	Логические игры (математические)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 23.	Программа-тренажер по системе координат (5 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 24.	Программа-тренажер: «Золотая арифметика 1» (4-6 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 25.	Программа-тренажер: «Золотая арифметика 2» (5-7 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 26.	Презентация по теме «Квадратные уравнения» (8 класс) + компьютерные тренажеры!
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 27.	«Сложение и вычитание в пределах 100 и многозначных чисел» (4-5 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 28.	«Нахождение производных» (11 класс)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 29.	«Примеры на все действия с многозначными числами» (4-5 классы)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbspСкачать	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp 30.	«Урок одного квадратного уравнения» (повторение в 11 классе)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp	&nbsp&nbsp&nbsp	&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Онлайн уроки по математике для одиннадцотого класса

Подготовка к профильному ЕГЭ по математике

Подготовка к ЕГЭ. тестирование знаний

Подготовка к входной контрольной работе

Показательная функция и логарифмы

Повторение материала 10 класса (Тригонометрические уравнения итд)

Логарифмы производные вектора

Подготовка к ЕГЭ (решение экономических задач на вклады и кредиты)

Нахождение одной из тригонометрических функций урок 1

Подготовка к ЕГЭ: задача с экономическим содержанием.

Проверка домашнего задания. Разбор ошибок

Задачи на движения по воде

Сложные задачи на движение. Экономическая задача.

Подготовка к ЕГЭ: текстовые задачи.

Тригонометрия: повторение

Формулы приведения. Решение тригонометрических неравенств.

Тригонометрия: уравнения

Профильная маткматика

Подготовка к ЕГЭ (профиль)

Математика профиль ЕГЭ

Арифметическая и Геометрическая прогрессии.

Степени. Обобщение множеств.

Преобразование числовых выражений, содержащих корень урок 3

МГУ. Вступительные экзамены.

Подготовка к сдаче экзамена в институте.

Вычисления примитивов сложных функций интеграл х(корень)х+1•dx [0,3]

Почему не помогает — и может навредить — провал ученикам с плохими оценками по математике

Многие южноафриканцы были возмущены недавним объявлением о том, что в 2016 году ученики с 7 по 9 классы могут перейти в следующий класс только с 20% по математике.

Обычный минимум составлял 40% при соблюдении всех остальных требований для продвижения. Учащиеся с менее чем 30% по математике в 9 классе должны пройти курс математической грамотности (это включает в себя то, что Департамент базового образования называет «использованием элементарного математического содержания», и это не то же самое, что математика) в качестве основного предмета.

Обеспокоенность общественности понятна. Южноафриканцы должны быть серьезно обеспокоены состоянием преподавания и обучения математике. Страна заняла второе с последнего места по математическим достижениям в последнем исследовании «Тенденции международных исследований в области математики и естественных наук».

Исследования, проведенные ближе к дому, показали, что учащиеся, особенно из более бедных школ и школ с меньшими ресурсами, не успевают по математике по сравнению с результатами учебной программы. Эти недостатки в обучении со временем усугубляются, что затрудняет решение проблем с обучением математике в старших классах.

Все это означает, что дети и молодые люди могут посещать классы математики, но не учатся. Но ответ на эту проблему заключается не в том, чтобы заставлять учеников повторять весь класс из-за плохой математической успеваемости. Существуют обширные исследования, свидетельствующие о том, что повторение оценок приносит больше вреда, чем пользы.

Повторение неэффективно

Повторение оценок практикуется во всем мире, несмотря на очень мало доказательств его эффективности.Фактически, можно утверждать, что его последствия в основном негативны для повторных учеников. Повторение оценок является предиктором раннего окончания школы, иногда называемого «отсевом».

Учащиеся, которые повторяют классы и уходят из своей возрастной когорты, разочаровываются в школе. Они перестают учиться.

Повторение оценки снижает мотивацию к обучению и редко связано с улучшением результатов обучения.

В Южной Африке высокий уровень второгодничества.Исследования Департамента базового образования показывают, что в среднем 12% всех учеников с первого по 12 класс повторяют год обучения. Самыми высокими показателями второгодничества являются 9-й класс (16,3%), 10-й класс (24,2%) и 11-й класс (21,0%).

И повторение классов — это вопрос справедливости. Отчет Social Survey-CALS (2010) показал, что чернокожие дети с большей вероятностью будут повторять классы, чем их белые или индийские сверстники. Это отражает линии перелома, которые сигнализируют о неблагополучном социально-экономическом положении в Южной Африке.

Показатели второгодничества снижаются по мере повышения уровня образования главы домохозяйства. Плохой доступ к инфраструктурным ресурсам, таким как водопровод и туалеты со смывом, связаны с более высокими показателями второгодничества. Мальчики чаще повторяют, чем девочки. Существует также неопределенная связь между успеваемостью учеников и повторением оценок, особенно для чернокожих учеников в старших классах.

Так почему же продолжается повторение оценок?

Школы и общества по-прежнему верят в ценность повторения классов для детей, несмотря на свидетельства обратного.

Недавний опрос 95 учителей в Йоханнесбурге, который в настоящее время рассматривается для публикации в журнале, показал, как учителя считают, что дополнительное время, потраченное на повторный год, позволяет ученикам «наверстать упущенное» и лучше подготовиться к следующему классу. Эта точка зрения отражена в недавних отчетах о том, что учителя против новой 20-процентной концессии, которая вызвала столько споров. Их возражение разделяют бесчисленные абоненты ток-шоу, которые, похоже, полагают, что повторение тематического содержания приводит к лучшему пониманию.

Но если причины неправильного понимания учащимися понятий не будут выявлены и устранены, какое-либо улучшение маловероятно. Учитывая, что недостатки в математическом понимании могут распространяться на начальную фазу (1-3 классы), сомнительно, что простого повторения оценки на старшей фазе будет достаточно для исправления ситуации.

И учителя могут изо всех сил пытаться оказать поддержку ученикам, которые повторяют класс. Исследования, проведенные в Южной Африке, показывают, что учителя не уверены в своей способности обучать учеников, испытывающих трудности в обучении.Они предпочли бы направить таких учеников к специалистам по поддержке обучения и психологам, которые обладают большим опытом.

Многие из опрошенных нами учителей считают, что повторение классов решает проблемы, присущие ученикам. Незрелость рассматривается как одна из причин трудностей в обучении, и учителя ожидают, что повторный год компенсирует это. Другие учителя рассматривают угрозу удержания как средство мотивации учеников, которые недостаточно прилежны, или являются «медлительными» или «слабыми».Когда трудности в обучении рассматриваются как присущие ученикам, маловероятно, что факторы в системе образования будут рассматриваться как причина препятствий для обучения.

Неудачные ученики — не выход

Плохая успеваемость по математике не будет решена путем повторной оценки учащихся. Повторение фактически заставляет учеников и их семьи платить дополнительную — финансовую и эмоциональную — цену за сбой системы.

Повторение из-за плохой успеваемости по математике в старшей школе усугубляет мрачные перспективы для этих учеников.У них уже есть минимальное понимание математики, что лишает их доступа к предметам науки, техники, инженерии и математики (STEM) и карьеры. Кроме того, они рискуют досрочно бросить школу и пополнить ряды безработных.

Предоставленная Министерством базового образования уступка в размере 20% указывает на то, что оно знает, что повторное обучение не принесет многого. Общественный резонанс не должен выражаться в том, что этим учащимся предоставляется «бесплатный пропуск» и они не заслуживают повышения по службе. Вместо этого гражданское общество должно требовать от правительства ответственности за преодоление кризиса в преподавании и обучении математике во всех классах, особенно в решающие годы начальной школы.

5.3 Упражнение 3 — Перестановки и комбинации

1) Найдите факториалы ниже:

а) 4!

б) 0!

в) (3!) (2!)

г) 10! / 8!

2) Оценить каждую:

а) ₉ П ₉

б) ₉ С ₉

c) ₉ P ₅

г) ₉ С ₅

Будьте осторожны, я смешал некоторые задачи, не относящиеся к Перестановке / Комбинации, в приведенный ниже набор.

3) Сколько способов вы можете сдать бейсбольную команду, если у вас всего 9 игроков?

4) Предположим, юрист должен выбрать 4 присяжных из шести кандидатов? Сколько групп возможно?

5) Сколько способов можно выбрать для участия в Олимпийских играх из 5 участников?

6) Сколько способов могут быть присуждены первые 3 места в гонке с участием 5 участников (исключая ничьи)?

7) Сколько способов можно назначить должности президента и вице-президента из группы из 8 человек?

8) Найдите возможное количество объятий в семье из 5 человек (без повторных объятий).

9) У вас 9 семей, которых вы хотите пригласить на свадьбу. К сожалению, вы можете пригласить только 6 семей. Сколько разных наборов приглашений вы могли бы написать?

10) Предположим, нам нужно выбрать 5 менеджеров из списка 10. Сколько способов это можно сделать? Дайте правильное выражение, дающее ответ.

11) Предположим, нам нужно выбрать менеджера, помощника менеджера и ночного менеджера из списка из 10 человек. Сколько способов это можно сделать? Дайте правильное выражение, дающее ответ.

12) Сколько способов можно выбрать комбинацию из трех карт из стандартной колоды из 52 карт? Дайте правильное выражение, дающее ответ.

13) Три карты выбираются случайным образом и раздаются 3 игрокам. Сколько существует возможностей? Дайте правильное выражение, дающее ответ.

14) Карта выбирается из стандартной колоды карт, затем кладется обратно, и колода перемешивается. Это делается 3 раза. Сколько 3-карточных рук вы можете получить?

Покажи ответ

52 * 52 * 52 = 140 608

15) В представительстве Fiat необходимо перевезти в общей сложности 3 автомобиля определенной модели в другой дилерский центр.Если имеется 25 автомобилей этого типа, сколько вариантов доступно для перевозки?

16) В представительстве Fiat необходимо перевезти в общей сложности 3 автомобиля определенной модели в другой дилерский центр. Если имеется 25 автомобилей этого типа, сколькими способами они могут быть загружены в грузовик для транспортировки?

17) В дилерском центре Fiat 25 автомобилей определенной модели. У пятнадцати есть АКПП. У двенадцати есть кожаные сиденья. Десять машин имеют как автоматическую коробку передач, так и кожаные сиденья.

а) Сколько стоит автоматическая коробка передач или кожаные сиденья.

б) Сколько нет ни АКПП, ни кожаных сидений.

18) Номера социального страхования состоят из 9 цифр (0-9). Если ограничений нет, сколько разных номеров социального страхования возможно?

Покажи ответ

10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10 ⁹ = 1000000000

19) Предположим, что на номерных знаках одного штата есть 4 буквы, за которыми следуют 2 цифры.

а) Сколько номеров можно создать, если нет других ограничений?

Покажи ответ

(26 ⁴) (10 ²) = 45 687 600

б) Что делать, если нельзя повторять только буквы?

Покажи ответ

26 (25) (24) (23) (10 ²) = 35 880 000

c) Что делать, если нельзя повторять только цифры?

Покажи ответ

(26 ⁴) (10) (9) = 41,127,840

20) В компьютерный магазин поступила партия из 20 дисководов.Четыре диска неисправны. Выборка из 2 выбирается случайным образом.

а) Сколько различных образцов можно выбрать?

Покажи ответ

Комбинированная задача: 20C2 = 190

б) Сколько образцов содержит 2 неисправных диска?

Покажи ответ

Комбинированная задача: 4C2 = 6

c) Предположим, что один из образцов протестирован и один образец продан. Сколько способов это можно сделать?

Покажи ответ

Задача перестановки: 20P2 = 380

21) Предположим, что из стандартной колоды карт выбрана комбинация из 5 карт.Сколько способов можно сделать следующее?

a) Выберите 3 короля и 2 туза

Покажи ответ

(4C3) (4C2) = 4 (6) = 24

б) Выберите ровно 3 четверки.

Покажи ответ

(4C3) (48C2) = 4 (1128) = 4512

в) Не менее 4 сердечек

Покажи ответ

27885 + 1287 = 29 172

22) Предположим, у нас есть офис из 5 женщин и 6 мужчин, и нам нужно выбрать комитет из 4 человек. Сколько способов мы можем выбрать

а) 2 мужчины и 2 женщины?

Покажи ответ

(5C2) (6C2) = 150

б) 3 мужчины и 1 женщина?

Покажи ответ

(5C3) (6C1) = 60

в) Все женщины?

Покажи ответ

(5C0) (6C4) = 15 или просто 6C4 = 15

23).Лотерея состоит из 54 номеров. Для покупки билета вы выбираете 6 номеров из 54 без повторения. Сколько вариантов выбора возможно? (В лотереях порядок обычно не имеет значения.)

Покажи ответ

54C6 = 25 827 165

Просто для удовольствия, что, если бы вам нужно было получить числа в выбранном порядке?

Покажи ответ

54P6 = 18 595 558 800 (не задерживайте дыхание)

24) Из 30 поступающих 11 женщин, 17 — выпускников колледжей, 7 — двуязычных, 3 — выпускниц, 2 — двуязычных женщин, 6 — двуязычных выпускников и 2 — двуязычных выпускниц.Найдите количество женщин-выпускниц, которые не владеют двумя языками.

25) а) Сколько трехбуквенных кодовых слов можно выбрать, если нет ограничений? б) Сколько трехбуквенных кодовых слов можно выбрать, если повторение запрещено?

26) Подброшено семь монет. Сколько разных способов они могут приземлиться?

27)

В классе 7 женщин и 5 мужчин. Инструктор должен выбрать 5 человек, чтобы войти в комитет. Сколько способов может выбрать инструктор,

а) группа из 3 женщин и 2 мужчин?

б) группа из 2 женщин и 3 мужчин?

в) группа всех женщин?

г) группа всех мужчин?

баллов в США воняют из-за того, как в школах преподают уроки

Позитивный разговор с самим собой может помочь вашему ребенку лучше учиться по математике

Недавнее исследование показало, что позитивный разговор с самим собой об усилиях помог детям улучшить свои оценки по математике.

Buzz60

Американские школьники испытывают трудности в математике.

По последним результатам международного экзамена среди подростков США заняли девятое место по чтению и 31 место по математической грамотности из 79 стран и экономик. В Америке доля студентов-математиков с лучшими успеваемостями ниже среднего, и в течение двух десятилетий их оценки практически не меняются.

Одна из вероятных причин: в средних школах США математику преподают иначе, чем в других странах.

Классы здесь часто сосредоточены на формулах и процедурах, а не на обучении студентов творческому мышлению при решении сложных задач, включающих все виды математики, говорят эксперты.Из-за этого студентам становится труднее соревноваться в глобальном масштабе, будь то на международных экзаменах или в колледжах и по специальностям, которые ценят сложное мышление и науку о данных.

Растет хор экспертов по математике, которые рекомендуют способы перенести американскую математическую программу в 21 век, чтобы сделать ее более отражающей то, что изучают дети из более успешных стран. Некоторые школы экспериментируют, пытаясь сделать математику более увлекательной, практичной и инклюзивной.

«Есть много исследований, которые показывают, что когда вы преподаете математику по-другому, дети добиваются большего успеха, в том числе по результатам тестов», — сказал Джо Боулер, профессор математики Стэнфордского университета, который стоит за серьезным толчком к изменению учебной программы по математике в Америке. .

Стандартные тесты: Сколько экзаменов должны сдать дети?

Вот несколько идей по его улучшению:

Прекратите преподавать «бутерброд с геометрией»

В большинстве средних школ Америки преподают алгебру I в девятом классе, геометрию в 10 классе и алгебру II в 11 классе — то, что Болер называет «бутербродом с геометрией» . »

В других странах три года подряд преподают комплексную математику — I, II и III — в рамках которой вместе преподаются концепции алгебры, геометрии, вероятности, статистики и науки о данных, что позволяет студентам глубоко погрузиться в сложные проблемы.

Географическое неравенство: государства с лучшими (и худшими) школами

В странах с более высокими показателями производительности статистика или наука о данных — компьютерный анализ данных, часто в сочетании с кодированием — составляет большую часть учебной программы по математике. — сказал Боулер. По ее словам, большинство американских классов сосредоточено на обучении механическим процедурам.

В следующем году Болер и группа исследователей планируют рекомендовать Калифорнии постепенно отказаться от курса алгебры и геометрии в пользу интегрированной математики для всех учащихся — что она предложила руководителям образования по всему штату.

Некоторые штаты, например Юта, перешли на такой переход. Академические стандарты Common Core, версия которых принята в большинстве штатов, гласят, что математику в старших классах можно преподавать в любом формате.

Работает ли Common Core? Несмотря на новые стандарты и большее количество тестов, результаты по чтению и математике не росли за десять лет.

Этот шаг требует дополнительного времени и ресурсов для обучения учителей. В Грузии с 2008 года в старших классах школ было введено обязательное преподавание комплексной математики. После противодействия учителей и родителей это дало школам возможность вернуться к старой последовательности в 2016 году.В одном большом опросе учителя Джорджии заявили, что не хотят специализироваться более чем в одной математической области.

В октябрьском подкасте Freakonomics был показан выпуск об особенностях американской математической программы. Организованный экономистом Чикагского университета Стивом Левиттом, он подчеркнул работу Болера и получил значительную обратную связь, учитывая специфику темы, сказал Левитт USA TODAY.

Левитт занимается движением, чтобы перевернуть традиционное обучение математике. Он сказал, что средние школы могут рассмотреть возможность сокращения наиболее полезных элементов геометрии и второго года алгебры до одногодичного курса.Тогда в расписании учащихся будет больше места для более подходящих занятий по математике.

«Когда вы разговариваете с людьми из сферы математического образования, они называют это безумно радикальным», — сказал Левитт. «Я думаю, что большинство родителей не сочли бы радикальным преподавать только лучшие из двух предметов, которые не нравятся большинству людей».

Освободите место для науки о данных

«Девяносто процентов данных, которыми мы располагаем в мире сейчас, были созданы за последние два года», — сказал Болер.«Мы находимся в той точке этого мира, где все меняется, и нам нужно помочь студентам ориентироваться в этом новом мире».

Другие страны быстрее отреагируют на эту идею. Студенты из Эстонии заняли первое место среди европейских стран по математике, чтению и естествознанию в Программе международной оценки учащихся 2018 года. Многие факторы могли помочь: страна предлагает высококачественное дошкольное образование для всех детей, размеры классов небольшие, а также мало тестов с высокими ставками, что оставляет больше времени для обучения.

В отличие от других стран, Эстония преподает компьютерное программирование на всех уровнях обучения — стратегия, начатая в старших классах в конце 90-х годов и распространенная на начальные школы примерно в 2012 году. Страна экспериментирует с внедрением новой компьютерной программы обучения математике.

Компьютерная математика: Как это выглядит и почему это важно

В США около 3300 студентов в этом году в 15 школьных округах Южной Калифорнии проходят новый курс «Введение в науку о данных», который включает данные и статистику. сбор и кодирование реальных данных для анализа данных.Курс был разработан Калифорнийским университетом в Лос-Анджелесе и Объединенным школьным округом Лос-Анджелеса, и он считается статистическим зачетом.

В классе есть составленная по сценарию учебная программа с увлекательными упражнениями, например, когда учащиеся записывают, сколько времени они тратят на уход за собой, а затем сравнивают это с национальными данными, собранными для американского исследования использования времени.

Учителей готовят вести класс, так как многие из них раньше не сталкивались с программированием, — сказала Суйен Мачадо, директор проекта Introduction to Data Science.

Ученики, прошедшие новый курс, показали значительный рост своих статистических знаний за год, как показывают исследования. Студенты сказали, что они считают обучение программированию ценным навыком.

«Многие студенты сообщают, что они считают, что содержание более применимо к реальной жизни», — сказал Мачадо. «Одна из самых сложных задач курса — это изучение программирования. Говорят, это сложно, но они хотят это сделать ».

Прекратите так сильно разделять учащихся и не торопитесь с учебной программой

На протяжении многих лет некоторые школы пытались повысить успеваемость по математике, опустив алгебру до восьмого класса.Учащиеся с высоким уровнем подготовки могут адаптироваться и иметь возможность посещать более продвинутые классы средней школы. Ускорение учебной программы может увеличить разрыв в успеваемости между учениками с более низкой успеваемостью, включая экономически неблагополучных и расовых меньшинств.

Практика отражает давнюю особенность американского математического образования: еще в средней школе ученики часто разбиваются на «следы», что предопределяет, кто будет брать продвинутые классы в старшей школе. В продвинутых классах часто бывают белые или азиатские ученики, посещающие пригородные школы, в то время как черные и латиноамериканские ученики по-прежнему недопредставлены, как показывают исследования.

Около шести лет назад руководители школ Сан-Франциско пытались решить эту проблему. Они перестали преподавать алгебру I в восьмом классе. По словам Лиззи Халл Барнс, супервайзера по математике Объединенного школьного округа Сан-Франциско, учащиеся проходят ту же трехлетнюю последовательность курсов математики в средней школе, и все обучаются в классах с разной степенью способностей.

В старшей школе все ученики изучают алгебру в девятом классе и геометрию в 10 классе. После этого студенты могут выбрать свой путь: одни могут выбрать алгебру II, другие могут выбрать курс, сочетающий алгебру II и предварительное исчисление.Некоторые могут ускориться до статистики AP.

До изменений 40% выпускников вузов Сан-Франциско должны были повторять алгебру I в своей академической карьере. Для Класса 2019 года, первой когорты студентов, которые следовали новой последовательности, только 8% студентов должны были повторить курс.

Эти изменения привели к значительному увеличению числа учащихся из неблагополучных семей, поступающих в старшие и младшие классы математики в старшие и младшие классы, сказал Барнс. Повышение успеваемости чернокожих и латиноамериканских студентов не повредило успеваемости белых и азиатских студентов, добившихся высоких результатов.

«Это был сейсмический сдвиг», — сказал Барнс.

В Нью-Йорке поднялся шум по поводу исключения одаренных треков: Эта школа все равно этим занимается

Измените то, как учителя начальных классов думают о математике

Улучшение математических способностей старшеклассников в США связано с сообщениями, которые слышат учащиеся почему математика важна и кто хорошо разбирается в ней, когда они моложе.

Эти сообщения часто исходят от учителей начальной школы, многие из которых сами не любили математику.

«Математическая фобия реальна. Математическая тревога реальна», — говорит ДеАнн Хьюнкер, профессор математического образования Университета Висконсин-Милуоки, которая обучает будущих учителей начальной и средней школы.

Новое исследование показывает, что когда учителя улучшают свое отношение к математике, это может помочь поднять результаты тестов учащихся. В Стэнфорде Болер и ее команда разработали онлайн-курс для учителей, в котором представлены исследования, показывающие, что любой может выучить математику с достаточной практикой, интеллект не фиксирован, а математика связана со всеми видами повседневной деятельности.

Они наняли учителей пятого класса из округа в центральной Калифорнии, чтобы они прослушали курс и обсудили его. В течение года ученики участвовавших учителей показали значительно более высокие баллы по математике по сравнению с предыдущими годами. По словам Болера, скачки были особенно значительными для девочек и студентов из малообеспеченных семей.

«Они думали, что им нужно обучать процедурам, а затем поняли, что могут обучать этим открытым, визуальным и творческим способом», — сказал Булер. «Многие исследования показывают, что для того, чтобы изменения произошли, требуется много времени.В этом все было быстро ».

Сделайте математику средней школы отражающей реальную жизнь

Помимо науки о данных, в некоторых округах есть курсы дизайна, которые включают больше реальной математики и такие темы, как финансовая алгебра и математическое моделирование.

Такой подход привел к успеху другие страны. Подростки в Нидерландах получают одни из самых высоких результатов по математике в мире в тесте PISA. Во многом это потому, что на экзамене отдается приоритет применению математических понятий в реальных жизненных ситуациях, а голландцы учат математике, основанной на реальности и актуальной для общества.

Несколько давних голландских экспертов по математике принимали участие в разработке PISA, которая началась в 2000 году и проводится каждые три года среди 15-летних студентов из развитых стран и стран.

В средней школе Свитуотер в Чула-Виста, Калифорния, учитель математики Мелоди Моррис ведет новый курс для 12-го класса, который исследует такие темы, как игры для двух игроков, теория графов, последовательности, ряды и криптография. Курс под названием Discrete Math был разработан в сотрудничестве с Государственным университетом Сан-Диего.

В одном упражнении Моррис учит студентов играть в игру в стиле «захват флага», показанную в телешоу «Survivor». Они узнают, что используя математику, они могут выигрывать каждый раз.

«Выживший: победители на войне»: Предыдущие чемпионы соревнуются в сезоне 40

«Их типичный ответ:« Это математика? »- сказал Моррис. «Они думают, что это значит играть в игры и развлекаться. Но на самом деле они учатся разбивать большие проблемы на мелкие, а также выдвигать гипотезы и проверять их.”

Учащиеся Sweetwater все еще проходят традиционный« бутерброд с геометрией »с девятого по одиннадцатый класс. Моррис сказала, что многие из тех, кто выбирает ее класс в старшем классе, гораздо больше увлечены материалом. По словам Морриса, они разрабатывают инструментарий, который позволит им подойти к любой жизненной проблеме.

«Многое из того, что мы создаем, — это привычки», — сказала она.

Кто лучше всех разбирается в технологиях и инжиниринге? Девочки превосходят мальчиков на экзаменах, «независимо от того, идут они в класс или нет»

Охват образования в США СЕГОДНЯ стал возможен частично благодаря гранту Фонда Билла и Мелинды Гейтс.Фонд Гейтса не предоставляет редакционных материалов.

2016-12 гг. — Почему не помогает — и может навредить — провал ученикам с плохими оценками по математике

13 декабря 2016 — Элизабет Уолтон

Обычный минимум составлял 40% при соблюдении всех остальных требований для продвижения.Учащиеся с менее чем 30% по математике в 9 классе должны пройти курс математической грамотности (это включает в себя то, что Департамент базового образования называет «использованием элементарного математического содержания», и это не то же самое, что математика) в качестве основного предмета.

Все это означает, что дети и молодые люди могут посещать классы математики, но не учатся. Но ответ на эту проблему заключается не в том, чтобы заставлять учеников повторять весь класс из-за плохой математической успеваемости.Существуют обширные исследования, свидетельствующие о том, что повторение оценок приносит больше вреда, чем пользы.

Повтор не эффективен

Повторение оценок практикуется во всем мире, несмотря на очень мало доказательств его эффективности. Фактически, можно утверждать, что его последствия в основном негативны для повторных учеников. Повторение оценок является предиктором раннего окончания школы, иногда называемого «отсевом».

Повторение оценки снижает мотивацию к обучению и редко связано с улучшением результатов обучения.

В Южной Африке высокий уровень второгодничества. Исследования Департамента базового образования показывают, что в среднем 12% всех учеников с первого по 12 класс повторяют год обучения. Самыми высокими показателями второгодничества являются 9-й класс (16,3%), 10-й класс (24,2%) и 11-й класс (21,0%).

И повторение классов — это вопрос справедливости.Отчет Social Survey-CALS (2010) показал, что чернокожие дети с большей вероятностью будут повторять классы, чем их белые или индийские сверстники. Это отражает линии перелома, которые сигнализируют о неблагополучном социально-экономическом положении в Южной Африке.

Так почему же продолжается повторение оценок?

Убеждения о пользе повторения

Недавний опрос 95 учителей в Йоханнесбурге, который в настоящее время рассматривается для публикации в журнале, показал, как учителя считают, что дополнительное время, потраченное на повторный год, позволяет ученикам «наверстать упущенное» и лучше подготовиться к следующему классу.Эта точка зрения отражена в недавних отчетах о том, что учителя против новой 20-процентной концессии, которая вызвала столько споров. Их возражение разделяют бесчисленные абоненты ток-шоу, которые, похоже, полагают, что повторение тематического содержания приводит к лучшему пониманию.

И учителя могут изо всех сил пытаться оказать поддержку ученикам, которые повторяют класс. Исследования, проведенные в Южной Африке, показывают, что учителя не уверены в своей способности обучать учеников, испытывающих трудности в обучении. Они предпочли бы направить таких учеников к специалистам по поддержке обучения и психологам, которые обладают большим опытом.

Многие из опрошенных нами учителей считают, что повторение классов решает проблемы, присущие ученикам. Незрелость рассматривается как одна из причин трудностей в обучении, и учителя ожидают, что повторный год компенсирует это.Другие учителя рассматривают угрозу удержания как средство мотивации учеников, которые недостаточно прилежны, или являются «медлительными» или «слабыми». Когда трудности в обучении рассматриваются как присущие ученикам, маловероятно, что факторы в системе образования будут рассматриваться как причина препятствий для обучения.

Отставшие ученики — не решение

Повторение из-за плохой успеваемости по математике в старшей школе усугубляет мрачные перспективы для этих учеников. У них уже есть минимальное понимание математики, что лишает их доступа к предметам науки, техники, инженерии и математики (STEM) и карьеры. Кроме того, они рискуют досрочно бросить школу и пополнить ряды безработных.

Предоставленная Министерством базового образования уступка в размере 20% указывает на то, что оно знает, что повторное обучение не принесет многого.Общественный резонанс не должен выражаться в том, что этим учащимся предоставляется «бесплатный пропуск» и они не заслуживают повышения по службе. Вместо этого гражданское общество должно требовать от правительства ответственности за преодоление кризиса в преподавании и обучении математике во всех классах, особенно в решающие годы начальной школы.

Элизабет Уолтон, доцент Университета Витватерсранда. Эта статья изначально была опубликована в The Conversation. Прочтите оригинальную статью.

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколько разных способов выбрать k предметов из n предметов.С / без повторения, с / без заказа.

Расчет:

Ck (n) = (nk) = n! K! (N − k)! n = 10 k = 4 C4 (10) = (104) = 10! 4! (10−4)! = 10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅2⋅1 = 210Ck (n) = (kn) = k! (n − k)! n! n = 10 k = 4 C4 (10) = (410) = 4! (10−4)! 10! = 4⋅3⋅2⋅110⋅9 ⋅8⋅7 = 210

Количество комбинаций: 210

Варианты

Вариантом k-го класса из n элементов является упорядоченная группа из k элементов, сформированная из набора из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (следовательно, упорядочены).

Количество вариантов можно легко вычислить, используя комбинаторное правило произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1,2,3,4,5 и мы должны сделать вариации третьего класса, их V ₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk (n) = n (n − 1) (n − 2) … (n − k + 1) = n! (N − k)! Vk (n) = n (n − 1) ( п-2) … (п-к + 1) = (п-к)! п!

п! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначения с факториалом только нагляднее, эквивалентны.Для расчетов вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом разновидности n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.

P (N) = N (N — 1) (N — 2) … 1 = N! P (N) = N (N — 1) (N — 2) … 1 = N!

Типичный пример: у нас есть 4 книги, и сколькими способами мы можем расположить их рядом на полке?

Вариации с повторением

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа из k элементов, сформированная из набора из n элементов, причем элементы могут повторяться и зависит от их порядка.Типичный пример — формирование чисел из чисел 2, 3, 4, 5, и нахождение их количества. Подсчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:

Vk ′ (n) = n⋅n⋅n⋅n … n = nkVk ′ (n) = n⋅n⋅n⋅n … n = nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка — это упорядоченная группа из k элементов, состоящая из n элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.

Pk1k2k3 … км ′ (п) = п! K1! K2! K3! … км! Pk1 k2 k3 … км ′ (п) = k1! K2! K3! … км! п!

Типичный пример — узнать, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу из k элементов, сформированную из набора из n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов в группе не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами.Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:

Ck (n) = (nk) = n! K! (N − k)! Ck (n) = (kn) = k! (N − k)! N!

. Типичный пример комбинаций: у нас 15 учеников, и нам нужно выбрать троих. Сколько их будет?

Комбинации с раппортом

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их количество:

Ck ′ (n) = (n + k − 1k) = (n + k − 1)! K! (N − 1)! Ck ′ (n) = (kn + k − 1) = k! ( п — 1)! (п + к — 1)!

Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству расположений n — 1 разделителей на n-1 + k местах.Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 конфет. Предлагают всего 3 вида. Сколько у нас вариантов? к = 6, п = 3.

Основы комбинаторики в задачах со словом

Trinity
Сколько различных триад можно выбрать из учащихся группы 38?
Карты
Сколько способов можно раздать 32 игральные карты 7 игрокам?
Дискотека
На дискотеку выходит 12 мальчиков и 15 девочек. Какими способами мы можем выбрать четыре танцевальные пары?
Фруктовый сад
В саду растет 10 деревьев в 5 рядов.Сколько деревьев в саду?
Школьный парламент
В классе 18 мальчиков и 14 девочек. Какими способами можно избрать 3 представителя в школьный парламент, если это должны быть: a) сами мальчики b) один мальчик и две девочки
туристическое агентство
Небольшое туристическое агентство предлагает 5 различных туров во время медового месяца. Какова вероятность, что жених и невеста выберут один и тот же тур (они выбирают самостоятельно)?
Вечеринка
На вечеринке все чокаются со всеми.Вместе они звенят 406 раз. Сколько человек было на вечеринке?
Простое число
Ян написал любое число от 1 до 20. Какова вероятность того, что он написал простое число?
Комбинации 6
6 кошельков 9 клапанов 12 ремней Каждая комбинация должна включать 1 кошелек, 1 клапан и 1 ремешок. Сколько возможных комбинаций?
Золотые, серебряные, бронзовые
Сколько способов мы можем разделить золотые, серебряные, бронзовые медали, если соревнуются 6 человек?
Команда из четырех человек
В классе 14 девочек и 11 мальчиков.Сколькими способами можно выбрать команду из четырех человек, чтобы в ней было ровно два мальчика?
Футбольная лига
В футбольной лиге 16 команд. Сколько разной последовательности результатов может произойти в конце соревнования?
Стрелок
Стрелок стреляет в цель, предполагая, что отдельные выстрелы независимы друг от друга и вероятность попадания в каждый из них равна 0,2. Стрелок стреляет до первого попадания в цель, затем прекращает стрельбу.−6). Вычислить вероятность того, что выбранный радиус w
Биты, байты
Вычислите, сколько различных чисел можно закодировать в 16-битном двоичном слове?
Сумма цифр
Сколько трехзначных чисел имеют цифру 6?

следующие задачи по математике »

Преподавание математики с помощью концептуальной мотивации и практического обучения

Это концептуальный документ, основанный на практических примерах, описывающий избранные средства для практического обучения и концептуальной мотивации на всех уровнях математического образования.В нем подробно описан подход, используемый авторами для разработки идей для практиков преподавания математики. В статье показано, что такой подход в математическом образовании, основанный на практическом обучении в сочетании с естественной мотивацией, проистекающей из здравого смысла, является эффективным. Кроме того, стимулирующие вопросы, компьютерный анализ (включая поиск в Интернете) и классические известные задачи являются важными инструментами мотивации в математике, которые особенно полезны в рамках практического обучения. Авторы утверждают, что вся учебная программа по математике K-20 под единым зонтом возможна, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом широком спектре.Этот аргумент подтверждается различными примерами, которые могут быть полезны на практике школьным учителям и преподавателям вузов. Авторы нашли прагматическую причину для практического обучения в рамках математического образования практически на любом этапе академической жизни учащихся.

1. Введение

В настоящее время студентам требуется как познавательный, так и практический опыт на протяжении всего их математического образования, чтобы быть продуктивными гражданами 21 века. Происхождение этого утверждения можно проследить до работ Джона Дьюи, который подчеркивал важность образовательной деятельности, которая включает «развитие любого рода артистических способностей, особых научных способностей, эффективных гражданственности, а также профессиональных и деловых качеств». профессий »([1], с.307). Совсем недавно Биллетт [2], основываясь на своих исследованиях интеграции опыта обучения студентов высших учебных заведений в дисциплинах, связанных с сестринским уходом и подобными услугами в поддержку человеческих потребностей, предположил, что «возможно, можно полностью интегрировать практический опыт в совокупность опыта высшего образования, которая способствует развитию прочных и критических профессиональных знаний »(стр. 840). Главный аргумент данной статьи состоит в том, что в контексте математического образования практическое обучение (концепция, представленная в разделе 3) — это сам процесс передачи этого опыта в сочетании с концептуальной мотивацией (термин, введенный в разделе 2) при обучении математике. по всей учебной программе K-20.С этой целью в этом концептуальном документе, основанном на практических примерах, подробно описывается подход, использованный авторами для разработки идей для практикующих преподавателей математики, предлагается обзор избранных средств практического обучения в рамках формального континуума математического образования. В определенной степени эта статья продвигает идею обучения на практике [3] в контексте математического образования. Представлены аргументы, подтверждающие ценность практического обучения для всех вовлеченных лиц (на уровне колледжа, добавление к дуэту студента и преподавателя математики третьего сообщества или университетского профессионала, не являющегося математиком) (разделы 2–4).Также рассматривается интеграция компьютерной педагогики подписи (CASP) и нецифровой технологии, а также эффективное опросы с обучением действием (разделы 5 и 6).

Студенты могут с радостью получать формальное математическое образование в течение двадцати и более лет, и они могут быть мотивированы повсюду с помощью обширных учебных программ по математике. Практическое обучение в математическом образовании в сочетании с механической теорией переносит математические темы в реальный мир. Естественно, что примеры начального уровня имеют основополагающее значение, и это подкрепляется практическим обучением на вторичном уровне (разделы 4.1.1 и 4.1.2). Открытые проблемы математики часто могут быть представлены учащимся начальных, средних и высших учебных заведений (Раздел 7). Традиционно классические результаты и открытые задачи мотивируют не только студентов, но и самих педагогов. Поскольку необходимы эффективные учителя математики, практическое обучение следует использовать на всех уровнях математического образования, зная, что будущие преподаватели входят в число нынешних учащихся. Конечно, возможность участвовать в открытиях очень мотивирует всех, включая студентов и учителей математики, по крайней мере.

2. Любознательность и мотивация

Хотя необходимость изучения математики в начальной, средней и высшей школе общеизвестна, вопрос о том, как преподавать математику, остается спорным. Как более подробно описано в [4] со ссылками на [5–10], разногласия связаны с неоднородностью программ подготовки учителей, разногласиями между формализмом и смыслом между преподавателями математики и различными взглядами на использование технологий. Мы считаем, что надлежащий способ преподавания математики на всех уровнях — это делать это через приложения, а не использовать традиционные лекции, подчеркивая формализм математического аппарата.Реальные приложения поддерживают мотивацию заинтересованных людей в изучении математики. Эту естественную мотивацию можно рассматривать как зависящий от возраста процесс, простирающийся от естественного детского любопытства в начальной школе до истинного интеллектуального любопытства на уровне высшего образования. Независимо от возраста учащихся, любопытство можно рассматривать как мотивацию «приобретать или преобразовывать информацию в обстоятельствах, которые не представляют немедленной адаптивной ценности для такой деятельности» ([11], с. 76). То есть любопытство и мотивация — тесно связанные психологические черты.

Большинство исследований по развитию любознательности касается начального образования. Однако эти исследования могут помочь нам понять, как любопытство превращается в мотивацию стать высококлассным профессионалом. Например, Видлер [12] проводил различие между эпистемическим и перцептивным любопытством, которые проявляются, соответственно, «исследованием знания» и проявляются, например, когда ребенок ломает голову над какой-то научной проблемой, с которой он столкнулся… [и] повышенное внимание дается объектам в ближайшем окружении ребенка, например, когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру на экране »(стр.18). Точно так же взрослые учащиеся на высшем уровне могут быть мотивированы призывом своего учителя математики задать вопросы, касающимся информации, которой они поделились, или их опытом общения с окружающим миром, когда они пытаются интерпретировать «ткань мира … [используя] какую-то причину максимум и минимум »(Эйлер, цит. по [13], с. 121).

Связанный с высшим уровнем, Видлер [14] определил мотивацию достижения как «образец… действий… связанных со стремлением достичь некоторого усвоенного стандарта качества» (стр.67). Есть также взрослые ученики, которые «заинтересованы в совершенстве ради него самого, а не ради вознаграждения, которое оно приносит» ([14], с. 69). Биггс [15] допускает, что внутренняя мотивация в изучении математики связана с «интеллектуальным удовольствием от решения проблем независимо от каких-либо вознаграждений, которые могут быть вовлечены… [предполагая, что] цели глубокого обучения и мотивации достижений в конечном итоге расходятся» (стр. 62). Классическим примером в поддержку этого предположения является решение гипотезы Пуанкаре (столетней давности), выполненное геометром Григорием Перельманом, который после почти десятилетия «глубокого обучения» отказался от нескольких международных наград за свою работу, включая медаль Филдса («Медаль Филдса»). Нобелевская премия ») и (1 миллион долларов) премии Clay Millennium Prize (https: // www.Claymath.org/).

Поскольку любопытство является источником мотивации к обучению, Мандельброт [16] в пленарной лекции по экспериментальной геометрии и фракталам на 7-м Международном конгрессе по математическому образованию посоветовал аудитории, состоящей в основном из дошкольных преподавателей математики, как сосредоточиться на любопытстве, когда преподавание математики: «Мотивируйте студентов тем, что увлекательно, и надейтесь, что возникающий энтузиазм создаст достаточный импульс, чтобы продвинуть их через то, что не весело, но необходимо» (стр.86). Именно такую мотивацию авторы называют концептуальной мотивацией. Более конкретно, в этой статье термин «мотивация концепции» означает стратегию обучения, с помощью которой, используя любопытство учащихся в качестве стержня, введение новой концепции оправдывается за счет ее использования в качестве инструмента в приложениях для решения реальных проблем. Например, операция сложения может быть мотивирована необходимостью регистрации увеличения большого количества объектов другой такой величиной, концепция иррационального числа может быть мотивирована необходимостью измерения периметров многоугольных ограждений на плоскости решетки ( называется геодиской на начальном уровне), или концепция интеграла может быть мотивирована необходимостью найти области криволинейных плоских фигур.

Еще один математически значимый инструмент мотивации — конкретность. Согласно Дэвиду Гильберту, математика начинается с постановки задач в контексте конкретных действий, «подсказываемых миром внешних явлений» ([17], с. 440). Мы считаем, что «конкретность» является подходящим синонимом мотивации в отношении математического образования. Сам термин бетон указывает на то, что различные ингредиенты объединяются и синтезируются. Цель изучения математики — конкретизировать как теоретические, так и прикладные понятия.Полезно иметь четкое представление о чем-либо. Люди по своей природе хотят иметь «полное» знание определенных вещей. Зная детали и конкретизируя идеи, мы уменьшаем беспокойство, связанное с описанием и использованием этих идей. Конкретность мотивирует все стороны, вовлеченные в математическое образование. Даже на административном уровне существует понимание того, что «основная учебная программа FKL [Основы знаний и обучения] предоставит вам возможность изучить множество жизненно важных областей обучения, сделав вас более осведомленными и вовлеченными в понимание проблем, которые глобальные реальности требуют »([18], курсив, добавлено), где мы делаем упор на« реальности ».Это мотивация для всех, поскольку все мы хотели бы использовать математическую теорию или, по крайней мере, увидеть ее применение. Следовательно, мотивация у взрослых учащихся пропорционально выше, чем у детей, которые могут не видеть «полезности» в математике. В Университете Южной Флориды преподавателей определенных курсов (например, последовательности исчисления) просят включить утверждение FKL в свои учебные планы.

До недавнего времени термины «промышленный» и «технический» имели довольно уничижительный оттенок в математическом образовании.Традиционное формальное чтение лекций по-прежнему преобладает в большинстве классных комнат. Однако при изучении математической теории часто используется некоторая «отрасль» или «техника», поэтому эти два понятия не дополняют друг друга. Трудно выделить часть огромного объема учебных программ по математике K-20, которая исключает использование теории или возможного практического применения. Кроме того, теория неявно включена в образование в области STEM из-за ее научного компонента.

В контексте подготовки учителей математики акцент на приложениях дает будущим учителям очень важную способность наглядно демонстрировать математические идеи.Затем эту способность можно передать своим ученикам. На уровне дошкольного образования можно понять, что математические знания возникают из необходимости разрешать реальные жизненные ситуации разной степени сложности. Принцип учебной программы, выдвинутый Национальным советом учителей математики [19], включает в себя представление о том, что всем учащимся на этом уровне следует предлагать опыт, «чтобы увидеть, что математика имеет мощное применение в моделировании и прогнозировании явлений реального мира» (стр. 15 -16). Этот акцент на приложениях выходит за рамки дошкольного уровня.Действительно, математика сильно развивалась и проникала во все сферы жизни, делая университетское математическое образование необходимым, но спорным элементом современной культуры.

3. Обучение действиям

Многие люди прагматичны, делая то, что работает. Когда что-то не работает, человек вынужден задавать вопросы, как заставить это работать. Начиная с 1940-х годов Реджинальд Реванс начал разрабатывать концепцию обучения действием, метод решения проблем, характеризующийся действием и размышлением о результатах, в качестве педагогической педагогики для развития бизнеса и решения проблем [20, 21].С тех пор обучение действием стало описывать различные формы, которые оно может принимать, и контексты, в которых его можно наблюдать. В контексте достижения высокого качества университетского обучения «целью практического обучения является обучение отдельного учителя» ([22], с. 7). В общем контексте повышения профессиональной результативности Дилворт [23] утверждает, что практическое обучение начинается с исследования реальной проблемы, так что независимо от того, является ли проблема «тактической или стратегической… [процесс] обучения является стратегическим» (стр.36). Практическое обучение в математическом образовании можно определить как обучение через индивидуальную работу учащихся над реальной проблемой с последующим размышлением над этой работой. В большинстве случаев эту работу поддерживает «более знающий друг».

В математическом образовании практическое обучение, зародившееся в раннем детстве, имеет естественный уровень зрелости. Прежде чем мы займемся повседневными обязанностями, связанными с взрослой жизнью, мы можем свободно рассмотреть практическое обучение в игровой форме.Наша страсть к играм и изучению выигрышных стратегий переносится и в более позднюю жизнь как средство развлечения и как инструмент для обучения следующего поколения детей. Мотивация к практическому обучению в математическом образовании постепенно меняется от выигрыша в играх к успеху в реальных предприятиях. Залог успеха — умение решать проблемы. Исследования показывают, что любопытство можно охарактеризовать как волнение по поводу необычных наблюдений и неожиданных явлений [24].Кроме того, «то, что будет интересно детям, во многом зависит от природы окружающего их мира и их предыдущего опыта» ([12], с. 33). Учащиеся на всех уровнях образования стремятся к конкретности, естественно интересуются реальным миром и пользуются преимуществами практического обучения, особенно когда они неоднократно используют его в математическом образовании. В частности, в программе послесреднего математического образования для нематематических специальностей проблемы должны иметь применимость к реальности. Интересно, что мы, кажется, возвращаемся к «играм», когда имеем дело с чистой теорией, поскольку мы можем искать абстрактное решение ради самого решения.

Макс Вертхаймер, один из основателей гештальт-психологии, утверждал, что для многих детей «имеет большое значение, есть ли реальный смысл вообще ставить проблему» ([25], с. 273). Он привел пример 9-летней девочки, которая не училась в школе. В частности, она не могла решать простые задачи, требующие использования элементарной арифметики. Однако, когда ей давали проблему, которая возникла из конкретной ситуации, с которой она была знакома и решение которой «требовалось ситуацией, она не сталкивалась с необычными трудностями, часто проявляя превосходный смысл» ([25], с.273-274). Другими словами, лучшая стратегия развития у студентов интереса к предмету — это сосредоточить преподавание на темах, которые находятся в их сфере интереса. Как сказал Уильям Джеймс, классик американской психологии, который первым применил ее к обучению учителей, «Любой объект, не интересный сам по себе, может стать интересным, если ассоциируется с объектом, к которому интерес уже существует» ( [26], стр. 62). Интерес также можно использовать для развития мотивации в образовании, поскольку он «относится к модели выбора среди альтернатив — моделей, которые демонстрируют некоторую стабильность во времени и которые, по-видимому, не являются результатом внешнего давления» ([27], с.132).

Отражение так же важно, как и действие. Способность размышлять о выполняемых действиях составляет так называемый внутренний контроль, когда люди считают себя ответственными за свое поведение, что отличается от внешнего контроля, когда они видят, что другие или обстоятельства являются основной мотивацией индивидуального поведения [28 ]. Процесс практического обучения при решении реальной проблемы обычно начинается с трех основных вопросов. Мы спрашиваем: во-первых, что должно происходить? Во-вторых, что нам мешает это сделать? В-третьих, что мы можем сделать?

Практическое обучение (часто называемое в академических кругах практическим исследованием [29, 30]) традиционно использовалось для обучения управлению бизнесом и социальным наукам [31, 32], проведению научных исследований [33] и повышению квалификации учителей [22, 34–36].В математическом образовании [4, 37] практическое обучение как метод обучения было принято как педагогика, ориентированная на самостоятельное решение реальных проблем с последующей рефлексией. Обучение — это основная цель, даже если решение проблем реально и важно. Обучение облегчается за счет отказа от устоявшихся мировоззрений, тем самым создавая несколько незнакомую обстановку для проблемы. Теперь у нас есть методика практического обучения с использованием технологий для преподавания математики через реальные проблемы под руководством инструкторов STEM и специалистов сообщества, использующих компонент проекта [4].Цифровые технологии видны, по крайней мере, в рамках необходимой типологии рукописей. Конечно, он может пойти намного дальше и включать в себя важную утилиту (например, числовой интегратор, электронную таблицу или специализированное программное обеспечение). Наконец, действие action learning (берущее начало в бизнес-образовании [20, 21]) обеспечивает эффективный и четкий подход к математическому образованию. Этот подход был разработан на основе различных (и, как упоминалось в начале раздела 2, иногда спорных) активных методов обучения, которые повсеместно используются преподавателями математики в различных контекстах обучения, ориентированных на конструктивизм и ориентированных на учащихся [38–41 ].

4. Практическое обучение на практике математического образования

Наша команда USF-SUNY [4] установила, что практическое обучение является положительной педагогической чертой на всех уровнях обучения (K-20). Кто-то может возразить, что, поскольку многие люди учатся на протяжении всей жизни, некоторые из нас могут использовать практическое обучение (возможно, в качестве преподавателей математики) за пределами K-20. Наша мотивация к практическому изучению математики может дать молодым ученикам возможность познакомиться с интересным, что известно о математике. Основные концепции могут быть довольно сложными, и студенты могут вернуться к идеям и развить их дальше по мере накопления опыта.Примеры практического обучения представлены в подразделах ниже по уровням обучения. Эти примеры даны с акцентом на конкретность, которая, в свою очередь, мотивирует учащихся. Использование компонента проекта делает модель зонтика математики «один + два» доступной на высшем уровне (раздел 4.2.2).

4.1. Мотивация и обучение действиям на уровне начальной и средней школы

На уровне начальной школы математические концепции можно мотивировать с помощью надлежащим образом разработанных практических занятий, подкрепленных манипулятивными материалами.Такие действия должны объединять богатые математические идеи со знакомыми физическими инструментами. Как упоминалось выше, важным аспектом обучения действием является его ориентация на игру. Педагогической характеристикой игры в контексте обучения математике с помощью инструментов является «нестандартное мышление», то есть то, что в присутствии учителя как «более знающего другого» открывает окно для будущего обучения учащихся. Тем не менее, отсутствие опоры можно наблюдать, как выразился Видлер [12], «когда ребенок дольше смотрит на асимметричную, а не на симметричную фигуру» (стр.18) интуитивно, через любопытство восприятия, осознавая, что устойчивость фигуры зависит от ее положения. То есть перцептивное любопытство в сочетании с творческим мышлением часто выходит за рамки деятельности, предназначенной для одного уровня, и сливается с изучением более продвинутых идей на более высоком когнитивном уровне. В следующих двух разделах показано, как использование двусторонних счетчиков и квадратных плиток, физических инструментов, обычно используемых в настоящее время в классе элементарной математики, может поддерживать, соответственно, введение чисел Фибоначчи, что позволяет с помощью вычислений открыть окно. к концепции золотого сечения и связать построение прямоугольников (из плиток) с обсуждением особых числовых соотношений между их периметрами и площадями.В обоих случаях переход от начального уровня к второстепенному может быть облегчен за счет использования цифровых технологий. То есть математические идеи, рожденные в контексте практического обучения с помощью физических инструментов, могут быть расширены на более высокий уровень с помощью вычислительных экспериментов, поддерживаемых цифровыми инструментами.

4.1.1. От двусторонних счетчиков к золотому сечению посредством обучения действием

Рассмотрим следующий сценарий обучения действиям:

Определите количество различных вариантов расположения одного, двух, трех, четырех и т. Д. На двусторонних (красных / желтых) счетчиках в котором не появляются две красные фишки подряд.

Экспериментально можно сделать вывод, что один счетчик можно расположить двумя способами, два счетчика — тремя способами, три счетчика — пятью и четыре счетчика — восемью (рис. 1). В частности, на рисунке 1 показано, что все комбинации с четырьмя счетчиками могут быть подсчитаны путем рекурсивного сложения 3 + 5 = 8, поскольку их можно разделить на две группы, так что в первой группе (с мощностью три) крайний правый счетчик равен красный, а во второй группе (мощность пять) крайняя правая фишка желтая.Реализуя эту идею под руководством учителя, молодой ученик может обнаружить, что следующая итерация (пять счетчиков — 13 способов, так как 13 = 5 + 8) согласуется с описанием на рисунке 1. Увеличение для единообразия последовательность 2, 3, 5, 8, 13 двумя единицами (при условии, что пустой набор счетчиков имеет только одно расположение) позволяет описать завершение вышеупомянутого сценария обучения действиям (то есть размышления о результатах воздействия на конкретный материалов согласно определенному правилу) через последовательность 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13,…, (в которой первые два числа равны единице, а каждое число, начинающееся с третьего, является суммой два предыдущих числа) — одна из самых известных числовых последовательностей во всей математике, названная в честь Фибоначчи (1270–1350), самого выдающегося итальянского математика своего времени.В рамках размышления над сценарием юным студентам можно сказать, что, какими бы эзотерическими ни казались числа Фибоначчи, они, вероятно, столкнутся с ними снова.

Действительно, на вторичном уровне числа Фибоначчи можно исследовать в терминах отношений двух последовательных членов. С этой целью можно использовать электронную таблицу, чтобы продемонстрировать, что отношения приближаются к числу 1,61803 по мере увеличения n , независимо от первых двух членов последовательности, и. Точное значение, число, известное как золотое сечение.Это пример того, как использование компьютера может предоставить ученикам и их учителям неформальный мост, соединяющий более низкий когнитивный уровень с более высоким. Без простоты вычисления соотношений двух последовательных чисел Фибоначчи, представленных в электронной таблице, было бы гораздо труднее связать простую обучающую деятельность по конкретному расположению двусторонних счетчиков с когнитивно более сложной идеей сходимости отношения к числу, известному с древности как золотое сечение.Золотое сечение, мотивируемое компьютером, может быть обнаружено в контексте изучения специальной числовой последовательности, описывающей задачу обучения действиям, подходящую для маленьких детей. Другими словами, компьютер может естественным образом открыть окно для будущего практического обучения учащихся (см. Примечание об исследовании болезни Альцгеймера в Разделе 6 ниже).
В связи с использованием двусторонних счетчиков в контексте чисел Фибоначчи следует отметить, что многие кандидаты в учителя считают, что конкретные материалы можно использовать только на элементарном уровне, а выше этого уровня они бесполезны.Имея это в виду, авторы хотели бы утверждать, что, как и в случае с числами Фибоначчи, конкретные материалы могут использоваться для введения довольно сложных понятий, чтобы добавить фактор конкретности в изучение абстрактных идей. В частности, двусторонние счетчики могут служить воплощением двоичной арифметики во вводном курсе информатики. Более конкретно, если записать первые 16 натуральных чисел в двоичной форме, то при поддержке двусторонних счетчиков можно увидеть следующее.Есть два однозначных числа, в которых в ряду не появляются никакие единицы (без красных жетонов подряд), три двузначных числа без единиц, стоящих подряд, пять трехзначных чисел, в которых в ряду не появляются никакие единицы, и восемь четырехзначных чисел, в которых подряд не встречаются единицы. Числа 2, 3, 5 и 8 — это последовательные числа Фибоначчи, которые, таким образом, могут быть использованы в качестве фрагментов предыдущих знаний учащихся при разработке новых идей посредством практического обучения. Более подробные исследования вторичного (и третичного) уровня с числами Фибоначчи см. В [43].
Очевидно, что мотивация связана с ожидаемым будущим успехом как следствие подросткового возраста. Теперь студенты стремятся к большей конкретизации понятий. Когда учащиеся средней школы имеют сильную мотивацию к практическому обучению, они могут создавать проекты уровня бакалавриата, как описано для студентов в Разделе 4.2 ниже. Постепенное ощущение «серьезности» сопровождает «зрелую» проектную работу. Прекрасные примеры практического обучения учащихся средних школ, выступающих на уровне колледжа, можно увидеть в проекте Publix Лорен Вудбридж «Pallet Physics» ([44], v.3, 2 (8)), проект квантовых вычислений Бо Муна «Проблема суммы подмножеств: уменьшение временной сложности NP-полноты с помощью квантового поиска» ([44], т. 4, 2 (2)), ракетный проект Логана Уайта « Моделирование полета ракеты в приближении низкого трения »([44], v. 6, 1 (5)), и проект Рошана Вармана по спиновым вычислениям« Spintronic Circuits: The Building Blocks of Spin-based Computing »([44] , т. 7, 1 (1)).
4.1.2. Креативность и обучение действиям
Люди творческие, когда они мотивированы, и можно проявить больше творчества после общей, формирующей конкретизации идей.Важно рано распознавать творческие способности студентов. Педагоги рассматривают творчество как «один из важнейших навыков 21 века… жизненно важный для индивидуального и организационного успеха» ([45], стр. 1). Способность учителей распознавать творческие способности своих учеников, которые могут быть скрыты за их незрелой успеваемостью в классе, имеет решающее значение для успешного преподавания и продуктивного обучения. Если скрытые творческие способности учеников не признаются и не поддерживаются учителем, они, скорее всего, останутся бездействующими, если не исчезнут [46].Следующая история, взятая из класса второго класса, поддерживает идею о том, что учителя являются главными хранителями раскрытия творческого потенциала маленьких детей.
Кандидат в учителя начальных классов, работая индивидуально с учеником второго класса (под руководством классного руководителя), попросил его построить все возможные прямоугольники из десяти квадратных плиток (настоящая проблема для второго класса), ожидая, что ученик Постройте два прямоугольника, 1 на 10 и 2 на 5, каждый из которых представляет собой факт умножения числа 10, что будет изучено позже (в третьем классе).Кандидат в учителя был удивлен, увидев три прямоугольника, как показано на рисунке 2. Большое количество обучающих идей для практического обучения может быть связано с принятием прямоугольника с отверстием, которое демонстрирует скрытые творческие способности ребенка. Некоторые идеи могут быть связаны со вторичной математикой. Чтобы уточнить, подумайте о том, чтобы изучить взаимосвязь между площадью и периметром этого прямоугольника с отверстием, считая как внешний, так и внутренний периметры (размышление под руководством учителя о действиях ученика с использованием конкретных материалов).Видно, что площадь составляет 10 квадратных единиц, а периметр — 20 погонных единиц. То есть численно периметр в два раза больше площади. Сравнение площадей с периметрами прямоугольников известно еще со времен Пифагора [47]. В режиме обучения действием можно исследовать следующую ситуацию: существуют ли другие прямоугольники с прямоугольными отверстиями, у которых периметр в два раза больше площади? С этой целью на уровне средней школы можно ввести четыре переменные: a , b , c и d , как длину и ширину большего и меньшего прямоугольников.Отсюда следует соотношение ab — cd = a + b + c + d . Используя Wolfram Alpha — вычислительную систему знаний, доступную бесплатно в Интернете, — можно попросить программу решить указанное выше уравнение над положительными целыми числами. В результате получится следующий результат:

Установив a = b = 3, можно выбрать c = 1, откуда d = 1. Это дает нам квадрат с квадратным отверстием (рисунок 3).Этот пример показывает, как знание алгебры и возможности использования технологий могут помочь практикующим учителям в работе с маленькими детьми по развитию критического мышления и развитию творческих способностей. То есть, опять же, технологии служат неформальным мостом, мотивирующим связующим звеном между двумя разными классами учебной программы по математике. Принимая во внимание, что учитель может не обязательно видеть богатую среду обучения за нетрадиционным ответом ученика, сам факт того, что такой ответ был принят и похвален, будет мотивировать этого и других учеников продолжать мыслить нестандартно.

В заключение этого раздела отметим, что тройку, ученика начальной школы, классного учителя и кандидата в учителя, можно сравнить в контексте практического обучения с учеником бакалавриата, математическим факультетом и предметом. Area Advisor, как описано ниже в Разделе 4.2.2. Сходство этих двух сред (с разницей в несколько лет) заключается в двойном наблюдении за учеником, изучающим математику, дуэтом «других более знающих».
4.2. Бакалавриат по математике и практическому обучению
4.2.1. Понимание абстрактности с обучением на практике
Математический язык абстрактен с большей абстракцией на более высоких уровнях. Традиционно университетская математика для нематематических специальностей преподается, дистанцируясь от реальности, без связи с профессиональными интересами студентов. В этом контексте многие будущие профессионалы не видят важности математики в своих перспективных областях [48]. Кроме того, абстрактность в обучении часто приводит к проблемам в общении.Как отмечено в [49], в связи с преподаванием инженерной математики могут быть несоответствия между терминологией и идеями, используемыми математиком-преподавателем, и их интерпретацией студентами. Из-за того, что математическое образование на университетском уровне слишком теоретическое, оно становится неэффективным: нематематические специальности изучают предмет «потому что они должны». Альтернативный подход к математическому образованию основан на хорошо известном и прагматичном понятии «обучение на практике» (напр.ж., [50–54]), что делает возможным конструктивное взаимодействие чистых и прикладных идей. Этот подход имеет большой потенциал для внедрения экспериментального обучения в математический анализ — базовую последовательность курсов в учебной программе по высшей математике.
4.2.2. Математика Umbrella Model
Вся университетская учебная программа по математике для нематематических специальностей может извлечь выгоду из практического обучения. Было обнаружено, что, особенно на университетском уровне, следует придерживаться «середины пути» в отношении относительных весов, придаваемых теории и применению.Зонтичная группа математики (MUG) Университета Южной Флориды (USF), инициированная Аркадием Гриншпаном в 1999 году [55], занимает эту «позицию». Он устраняет разрыв между математическим образованием и приложениями, одновременно вдохновляя студентов STEM на приобретение математических навыков, необходимых для успеха в их соответствующих дисциплинах. Эта инициатива привела к разработке модели «Зонтик математики» в образовании STEM, включающей сотни междисциплинарных (прикладных математических) студенческих проектов.За десять лет, прошедших с момента сообщения о том, что программа MUG была первой организацией, которая содействовала персонализированным математическим проектам, при поддержке консультантов по математике и предметным областям, для обучения нематематических дисциплин студентам STEM [56], MUG оставалась уникальной в этом отношении. Каждый проект выполняется под двойным контролем: консультант по математике (математический факультет) и консультант по предметной области (университетский или общественный специалист), который обычно предлагает проблему [4, 48, 55, 57–59].
Отличительной чертой MUG является уловка, заключающаяся в соединении одного студента бакалавриата с как минимум двумя специалистами. Ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4. В результате ученики получают доступ к более широкому кругу знаний, чем обычно присваивается одному преподавателю математики.

Еще одной сильной стороной является наличие связей с сообществом, которые возможны, или междисциплинарные связи, которые, по крайней мере, имеют место за пределами математического факультета вуза.Практическое обучение привносит «реальность» в абстракции математики. Даже когда преподаватели математики пытаются решить задачи с помощью приложений, их полезность не осознается из первых рук, пока студенты не начнут применять их. Это мотивационный подход для всех участников трио. Позже студенты могут решить провести исследование в связи с их опытом работы в проекте. Кроме того, они, вероятно, сохранят задействованные концепции дольше, чем при подходе «чистой лекции».
4.2.3. Практическое обучение на курсах математического анализа верхнего уровня
Практическое обучение является сильным мотивирующим фактором для всех участников, участвующих в математической группе Umbrella. Этот фактор, кажется, является общей нитью во всем спектре практического обучения K-20. Заинтересованность участников в практическом обучении может быть пропорциональна индивидуальному опыту. Преподаватели математики потенциально могут получить наибольшую пользу, но от студентов ожидается, что они будут знать теорию достаточно, чтобы их можно было мотивировать. Что касается программ бакалавриата по математике, таких как математический анализ II и III, считается, что учащимся достаточно пройти несколько небольших тестов и домашних заданий, а затем направить свою энергию на практическое обучение, а не требовать от них успешной сдачи выпускного экзамена.В частности, эта педагогика практического обучения помогает студентам, которые «незначительно преуспели», позволяя в их итоговые оценки включать компонент практического обучения, которому по праву придается значительный вес в общей оценке курса.
Чаще встречаются «успешные», которые могут быть очень продуктивными в своих проектах по обучению действиям. Есть вероятность, что работы студентов будут опубликованы или, возможно, даже отмечены [4, 57], как и многие студенты за последние два десятилетия.Это прекрасные мотиваторы для всех сторон, участвующих в практическом обучении. Поскольку действие проистекает из мотивации, важно осознавать роль «мотиваторов действия». Для студентов высших учебных заведений мощный мотиватор часто заключается в том, чтобы узнать что-то полезное и что-то, на чем можно построить или улучшить успешную карьеру.
Примечательно, что студенты естественным образом мотивированы успехом в изучении математики. Влияние практического обучения было проанализировано в Университете Южной Флориды на курсах инженерного расчета, в которых участвовали тысячи студентов, прошедших эти курсы и последующие курсы с весны 2003 г. по весну 2015 г. [59].Некоторые результаты (сгруппированные по расе и этнической принадлежности) представлены на Рисунке 5 [59]. На этом рисунке показан эффект обучения действием, параллельных разделов обучения без действия и исторических (традиционных) разделов. В этой части исследования участвовали 1589 студентов, изучающих действие, и 1405 студентов, обучающихся на курсах, не использующих элемент обучения действием. Наконец, еще 2316 человек были отмечены как «исторические», что означает, что они прошли курс до весны 2003 г. (то есть до того, как было проведено различие в отношении использования или неиспользования практического обучения в своих курсах).Исследователи тщательно включили доверительные интервалы в свои результаты. Очевидно, что в этой относительно большой подгруппе из более крупного исследования все четыре категории расы / этнической принадлежности предпочитают быть участниками обучения действием. Для размышления есть много информации из [59]. Во всяком случае, этот и другие результаты демонстрируют академическое превосходство в действии над обучением без действия. Прагматический вывод — обучение действиям, поскольку оно работает.

4.2.4. Практическое обучение как универсальная образовательная концепция
Мотивация преподавателей математики возникает в результате знакомства с новым опытом практического обучения. В настоящее время зарегистрированы многие сотни проектов практического обучения, представляющих широкий круг тем. Кроме того, всегда происходит обучение тонким действиям, которое никогда не документируется. Из тех проектов, которые доступны в Журнале для студентов по математическому моделированию: один + два (UJMM) [44], очевидно, что практически во всех областях можно использовать практическое обучение.Есть проекты, посвященные очень специфическим отраслям инженерии, например, биомедицинским нанотехнологиям. Есть также много других проектов, помимо «собственно инженерной мысли», например, связанных с музыкой или даже образованием. Другие — это кросс-полевые типы, которые не поддаются четкой категоризации. Типы мостов часто представляют особый интерес. Это мотивирует преподавателей увидеть, что входит в смесь и какие области могут быть связаны посредством практического обучения. Это междисциплинарные особенности, желательные для всех учебных программ (в «вселенной учебных программ», то есть в образовании).Некоторые подробности доступны на главном веб-сайте Mathematics Umbrella Group (см. Центр промышленной и междисциплинарной математики). В журнале представлена избранная подгруппа из более чем 2400 студенческих проектов, представленных с 2000 года. Признак разнообразия тематики проектов и участников студенческих работ очевиден из разнообразия тем, рассматриваемых в последних изданиях UJMM ([44], v. 8 , 1-2): «Применение простых гармоник для моделирования толчка» Кая Раймонда, «Силы, действующие на парусную лодку» Келли Стукбауэр, «Оптимизация топливного элемента» Эдуардо Гинеса, «Анализ осадков в Тампе» Эми Полен, «Аппроксимация площади поверхности колеблющихся липидных листочков с использованием взвешенной сеточной мозаики» Анаф Сиддики, «Рудиментарная модель реакции глюкозы на стресс» Нашей Риос-Гусман, «Органический сельскохозяйственный анализ: эффективность общепринятой практики» Брэдли Биега, «Использование Баланс скорости энтропии для определения теплопередачи и работы во внутренне обратимом, политрофическом, установившемся процессе потока »Саванна Гриффин,« Модельная функция улучшения мирового рекорда женщин на 1500 м с течением времени »Энни Аллмарк , «Максимальная мощность солнечного модуля из поликристаллического кремния» Джейнил Патель, «Оптимизация реакции сдвига водяного газа» Али Албулуши и «Волны цунами» Саманты Пеннино.
В дополнение ко многим опубликованным проектам бакалавриата существуют «сценарии практического обучения», которые можно рассматривать как сочетание различных практических занятий. Этот смешанный опыт имеет несколько идеалистических проблем. Проблемы можно считать типичными для того, что может быть рассмотрено в проекте, а не реальными примерами. Эти сценарии мотивируют преподавателя математики включать практическое обучение в обычный теоретический курс.Этим опытом, вероятно, поделятся любые преподаватели математики, занимающие аналогичные должности в математическом образовании. Непосредственной мотивацией здесь является расширение нашего понимания взаимосвязи между теорией математики и решением актуальных проблем в реальном мире.
5. Мотивирующие вопросы как основное средство изучения математики
5.1. Вопросы как орудия обучения
Вопросы обычно становятся более сложными по мере взросления учащихся.Преподаватели на всех уровнях математического образования используют знания и опыт, чтобы ответить на вопросы. Желательны конкретные и уверенные ответы, при этом иногда (как правило, на более высоких уровнях) вопросы могут потребовать дополнительного размышления перед их изложением. В контексте постановки проблем и их решения важно различать два типа вопросов, которые могут быть сформулированы так, чтобы стать проблемой: вопросы, требующие информации, и вопросы, требующие объяснения полученной информации [60].Подобно двум типам знаков — символам первого порядка и символике второго порядка [61] — можно относиться к вопросам, ищущим информацию, как к вопросам первого порядка, а те, которые требуют объяснения, как к вопросам второго порядка [46]. В то время как на вопросы первого порядка можно ответить, используя разные методы, похоже, что не все методы могут быть использованы для объяснения того, что было получено при поиске информации, то есть для предоставления ответа на вопрос второго порядка. Часто просьба о объяснении является разумным размышлением о методе предоставления информации.
Что означает, что учителя должны обладать «глубоким пониманием» математики? Зачем им нужно такое понимание? У будущих учителей есть несколько причин, по которым они должны быть тщательно подготовлены к математике, чтобы иметь положительное влияние на успеваемость молодых изучающих математику. Во-первых, в современном классе математики ожидается, что ученики всех возрастов будут задавать вопросы, и их даже поощряют. В Соединенных Штатах национальные стандарты уже для классов до K-2 предполагают, что «необходимо воспитывать естественную склонность учащихся задавать вопросы… [даже] когда ответы не сразу очевидны» ([19], с.109). Это предложение подтверждается следующим комментарием кандидата в учителя начальной школы: «Не зная ответа на вопрос — это нормально, но нельзя оставлять этот вопрос без ответа». Кандидат описывает себя как «тот педагог, который всегда будет побуждать моих учеников задавать себе одни и те же вопросы, которые позволят им участвовать в глубоком размышлении».
5.2. Международный характер обучения посредством задавания вопросов
Министерство образования Онтарио в Канаде, расположенное прямо на границе с США, в рамках своей учебной программы по математике для младших классов ожидает, что учителя будут иметь возможность «задавать учащимся открытые вопросы … поощряйте студентов задавать себе подобные вопросы… [и] моделируйте способы, которыми можно ответить на различные вопросы »([62], с.17). Для развития такого мастерства «учителя должны знать способы использования математических рисунков, диаграмм, материалов для манипуляций и других инструментов для освещения, обсуждения и объяснения математических идей и процедур» ([63], с. 33). В Чили учителя математики должны «использовать представления, опираться на предварительные знания, задавать хорошие вопросы и стимулировать любознательное отношение и рассуждение учащихся» ([64], с. 37). В Австралии учителя математики знают, как мотивировать «любопытство, бросить вызов мышлению учащихся, обсудить математический смысл и моделировать математическое мышление и рассуждения» ([65], с.4). Репертуар возможностей обучения, которые преподаватели предлагают своим ученикам, включает постоянный поиск альтернативных подходов к решению проблем, а также помощь ученикам в изучении конкретной стратегии решения проблем, с которой они боролись. В национальной учебной программе по математике в Англии используются такие термины, как «практика со все более сложными задачами с течением времени… [и] может решать задачи… с возрастающей степенью сложности» ([66], стр. 1). С этой целью учителя должны быть готовы иметь дело с ситуациями, когда естественный поиск вопросов приводит учеников к этой изощренности и усложнению математических идей.Необходимость такой подготовки учителя подтверждается кандидатом в учителя, который сформулировал это следующим образом: «Если ученик спрашивает, почему, а учитель не может объяснить, как что-то произошло, ученик теряет всякую веру и интерес к предмету и уважение к учителю ».
На уровне бакалавриата часто обсуждаются вопросы второго порядка. Преподаватели математики знают, что такие вопросы могут быть полезны для стимулирования дальнейших исследований. Возможно, правда, что математика, с которой приходится сталкиваться на уровне начальной и средней школы, должна быть безупречно понята преподавателями математики и что учащиеся могут быть «уверены» в том, чему их учат.Когда мы начинаем заниматься, скажем, теорией множеств или двумерной / трехмерной геометрией, могут быть загадочные результаты, которые действительно побуждают учащихся задуматься об изучении высшей математики. Любопытство математики — это то, что ученики, вероятно, найдут привлекательными. Конечно, преподавателю математики полезно иметь глубокое понимание темы; однако в ответе могут быть детали, которые не поддаются немедленному описанию. В некоторых редких случаях ответ даже не доступен. Ожидается, что зрелость студентов позволит им признать, что на более высоких уровнях математики они не должны терять веру и уважение к преподавателю, если объяснение откладывается.На более ранних этапах математического образования учащиеся верят, что математика идеальна. Однако математика так же несовершенна, как и все остальное, изобретенное людьми. Студенты должны это знать.
6. Компьютерная сигнатурная педагогика и модель обучения и преподавания 3P
Любопытство и мотивация также могут поддерживаться использованием цифровых инструментов в качестве инструментов практического обучения. Как было показано на примерах из дошкольного математического образования, компьютеры могут способствовать переходу с одного познавательного уровня на другой (более высокий).Это согласуется с современным использованием компьютеров в математических исследованиях, когда новые результаты возникают в результате вычислительных экспериментов. Например, радость перехода от визуального к символическому, когда двухсторонние счетчики были предложены как средство рекурсивного построения чисел Фибоначчи, которые затем можно было смоделировать в электронной таблице, где, возможно, благодаря интуиции, определился определенный образец в поведении соотношений могут быть обнаружены два последовательных члена. Это открытие мотивирует формальное объяснение того, почему отношения ведут себя определенным образом.Точно так же переход от числового описания прямоугольников с точки зрения периметра и площади приводит к их формальному представлению. В то время как прямоугольник с отверстием был обнаружен путем мышления «нестандартно», наличие цифрового инструмента облегчает переход от визуального к символическому с последующим использованием последнего представления в ситуации математического моделирования.
Мощь вычислительного моделирования может служить мотивацией для разработки и последующего исследования более сложных рекуррентных соотношений, чем у чисел Фибоначчи.Как обсуждалось в [58], использование моделирования электронных таблиц может быть применено в контексте исследования болезни Альцгеймера для изучения популяции трансгенных мышей с упором на финансовую осуществимость покупки двух родительских мышей (самца и самку) и выращивания популяции мышей определенного размер. Эффективный подход к этой проблеме включает теорию рекуррентных соотношений, которые первоначально были введены на вторичном уровне через числа Фибоначчи. Результаты, полученные с помощью моделирования в электронной таблице, затем могут быть использованы для проверки теоретических результатов.Подробнее об этом проекте см. [55].
Все это приводит к понятию компьютерной сигнатурной педагогики (CASP), когда побуждает размышлять и поддерживать анализ действий, предпринятых учеником в контексте практического обучения, обеспечивает CASP глубинную (а не поверхностную) структуру обучения [67] нанят учителем как «более знающий друг». Точно так же в более ранней публикации Биггс [15] проводил различие между поверхностной и глубинной структурой подходов студентов к обучению , описывая первый подход в терминах студента, «вкладывающего минимальное время и усилия в соответствии с видимостью соответствия требованиям… [ тогда как последний подход] основан на интересе к предмету задачи; стратегия максимального понимания »(стр.6). Адаптировав модель обучения в классе, предложенную Данкином и Биддлом [68], Биггс [15] представил теперь известную 3P-модель обучения студентов, основанную на представлениях студентов об обучении в целом и их текущей учебной среде (предзнаменование), студенческий подход к обучению (процессу) и результат обучения студента (продукт). Исследование того, как первый P модели влияет на второй P и, как следствие, на третий P, было проведено Лиццио, Уилсоном и Саймонсом [69], которые выдвинули семь теоретических положений.Одно из этих предположений было основано на аргументе о том, что если студенты университетов воспринимают преподавание курсов их профессорами как надежное, то они с большей вероятностью выберут глубокий подход к обучению. Авторы пришли к выводу, что этот аргумент верен не только для учебных курсов по высшей математике, но и для курсов по методам математики для будущих школьных учителей. В современном преподавании математики правильное использование технологий является важной характеристикой учебной среды.В частности, в контексте студенческого подхода к обучению в глубокой структуре под эгидой CASP, можно расширить использование единого цифрового инструмента, такого как электронная таблица, другими современными технологиями, такими как Wolfram Alpha. С этой целью CASP, структурированный на основе глубоких подходов к преподаванию и обучению, может включать использование так называемых интегрированных электронных таблиц [70], которые поддерживают преподавание математики на всех образовательных уровнях с вычислительной надежностью обучения учащихся.
7.Проблемы и догадки, которые вдохновляют и мотивируют
Студент, изучающий математику (на любом уровне образования), скорее всего, столкнется с «бесполезностью» математического совершенства. В математике есть легко выражаемые вопросы (предположения), на которые нет ответов (доказательство). Это похоже на принцип неопределенности Гейзенберга, где есть «пределы точности», например, при нахождении как положения, так и импульса. Важное понятие состоит в том, что не всегда есть «стандартные» решения математических задач.Зная это, учащиеся могут продолжить изучение математики для решения некоторых задач. В этих случаях действует «нестандартное» обучение действиям. Первоначальные размышления носят в основном теоретический характер, но в конечном итоге будет вызвано приложение. Заметьте, что проблему даже не нужно решать, многое предстоит узнать в этой попытке. Это мотивационный процесс. Кроме того, размышления привносят конкретность в концепции проблемы и относятся к общей «природе» проблем и решению проблем.
Реальные приложения математики в значительной степени стимулируют различные виды исследований в предметной области, в которых участвуют как профессиональные математики, так и студенты разных специальностей. Это не означает, что прикладная математика является единственным значимым источником развития математической мысли. Действительно, в самой математике есть много проблем, которые раньше мотивировали и продолжают мотивировать тех, кто стремится в полной мере оценить математику как фундаментальную науку.Некоторые из этих задач (иногда называемых предположениями) можно рекомендовать для включения в учебную программу по математике для не математических специальностей, а также для кандидатов в учителя. Опыт авторов показывает, что теоремы и предположения, берущие начало как в чистой, так и в прикладной математике, могут вызвать воображение и мыслительный процесс тех, чей ум открыт для оспаривания.
Например, формулировки и исторические подробности таких захватывающих проблем, как Великая теорема Ферма, доказанная Эндрю Уайлсом [71], и гипотеза Бибербаха, доказанная Де Бранжем [72] (см. Также [73]), могут быть включены в некоторые базовые курсы математики. для нематематических специальностей.Доказательства этих теорем требуют не только элементарных средств, но и чрезвычайно сложны. Однако, как заметил Стюарт [74], «тот факт, что доказательство важно для профессионального математика, не означает, что преподавание математики данной аудитории должно ограничиваться идеями, доказательства которых доступны этой аудитории» (стр. 187). . Давайте посмотрим на них.
Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений для x, y и z при .В частности, эта теорема может быть представлена различным группам студентов-математиков как способ ответить на вопрос: Можно ли расширить интерпретацию троек Пифагора как разделение квадрата на сумму двух квадратов, чтобы включить аналогичные представления для более высоких степеней ? Как подробно описано в [75], использование электронной таблицы со второстепенными кандидатами в учителя позволяет визуализировать Великую теорему Ферма путем моделирования несуществующих решений вышеуказанного уравнения для почти таким же образом, как и для.Точно так же вполне возможно, что с помощью технологий или других средств естественный мост между утверждением Великой теоремы Ферма и некоторыми геометрическими свойствами модульных эллиптических кривых в доказательстве Уайлса станет доступным для будущих студентов-математиков.
Гипотеза Бибербаха утверждает, что для каждой аналитической функции, взаимно однозначной в единичном круге, выполняется неравенство. Один только этот легендарный результат с его потрясающими рекордами (см., Например, [76]) может вызвать у студентов интерес к изучению таких важных математических понятий, как взаимно однозначные функции, степенные ряды, сходимость и коэффициенты Тейлора, которые, в частности, являются целесообразно обсудить с инженерами-майорами.Здесь также стоит упомянуть о глубоких геометрических корнях гипотезы Бибербаха. Например, его доказательство для основано на представлении плоской заданной области как контурного интеграла и, таким образом, доступно для нематематических специальностей, зачисленных на курс исчисления верхнего уровня.
Существует также известная гипотеза Гольдбаха [77], которая утверждает, что каждое четное число больше двух может быть записано как сумма двух простых чисел (возможно, более чем одним способом). Было бы чудом, если бы эта гипотеза оказалась ложной.Пока встречных примеров не найдено. Хотя поиск противоположного примера кажется бесплодным, эмпирически было показано, что гипотеза Гольдбаха верна для всех четных чисел больше двух и меньше некоторого известного числа, состоящего из 17 цифр.
Другой известной, но простой для понимания проблемой является гипотеза палиндрома [78]. Он имеет дело со свойством палиндромов (т. Е. Целых чисел, которые читаются так же, как вперед и назад) привлекать целые числа в соответствии со следующей процедурой: начать с любого целого числа, перевернуть его цифры и сложить два числа; повторите процесс с суммой и продолжайте видеть, что это приводит к палиндрому.Примечательно, что эта «игра с числами» недавно была упомянута как одна из двенадцати нерешенных проблем современной математики [79]. Именно эта проблема и, как отмечается в Принципах и стандартах школьной математики [19], ее образовательный потенциал для учащихся средних школ, позволяющий «оценить истинную красоту математики» (стр. 21), побудили кандидата в учителя средней школы работать с один из авторов по разработке вычислительных обучающих сред для учебных презентаций и экспериментов с большим классом развлекательных задач, как решенных, так и нерешенных [80].Как выразился Гаусс, «в арифметике самые элегантные теоремы часто возникают экспериментально в результате более или менее неожиданной удачи, а их доказательства лежат настолько глубоко погруженными в темноту, что опровергают самые острые вопросы» (цитируется в [81]. ], стр. 112).
Похоже, что использование технологий для значимых экспериментов с числами под эгидой CASP может вдохновить и мотивировать студентов уже на уровне дошкольного образования к новым открытиям в элементарной теории чисел.Каким-либо образом расширяя наше понимание математики, мы потенциально расширяем нашу способность «процветать». Это неотъемлемая ценность и мотивация для обучения действиям. Предполагается, что вся математика может иметь приложения. Нам нужно только иметь мотивацию для разработки этих приложений.
8. Заключение
В этой статье, используя опыт авторов в преподавании математики и надзоре за приложениями этого предмета в практике государственных школ и промышленности, представлена структура совместного использования практического обучения и концептуальной мотивации в контексте К-20 математического образования.Были представлены различные примеры практического обучения — индивидуальная работа над реальной проблемой с последующим размышлением под наблюдением «более знающего другого». Такой надзор может включать в себя «дуэт других» — классного учителя и кандидата в учителя в школе K-12, а также преподавателя математики и советника по предметной области в университете. В статье показано, что практическое изучение математики идет рука об руку с концептуальной мотивацией — методикой обучения, в которой введение математических концепций мотивируется (соответствующими классу) реальными приложениями, которые могут включать в себя действия учащихся над объектами, ведущие к формальному описанию этого. действие через символику математики.Этот подход основан на важных рекомендациях математиков [5, 16, 17] и педагогических психологов [1, 25, 26, 61].
Главный вывод статьи состоит в том, что за счет многократного использования концептуальной мотивации и практического обучения на всех уровнях математического образования общий успех учащихся имеет большой потенциал для улучшения. Это сообщение подкрепляется примерами творческого мышления молодых учащихся в классе, основанного на всестороннем сотрудничестве школьных учителей и преподавателей университета (в духе Группы Холмса [82]).Точно так же это сообщение было подкреплено примерами интереса студентов к изучению математического анализа посредством практического обучения в реальной жизни. Похоже, что растущий интерес студентов к математике связан с практическим обучением и концептуальной мотивацией, которые использовались для исправления широко распространенного формализма в преподавании математики, который, в частности, стал препятствием на пути к успеху STEM-образования [4, 7, 8] . Когда учащиеся имеют опыт практического изучения математики в школьные годы, они, вероятно, продолжат изучение предмета в том же духе, тем самым избежав многих препятствий на пути перехода от среднего образования к высшему.Как упоминалось в разделе 4.2.3, исследование по внедрению практического обучения инженерному исчислению с участием тысяч студентов Университета Южной Флориды [4, 59] показывает, что, хотя интерес студентов к практическому обучению может быть пропорционален индивидуальному опыту в этом случае их результаты обучения демонстрируют академическое превосходство практического обучения над другими педагогическими средствами проведения расчетов.
На начальном этапе формального математического образования школьники должны начать знакомство с педагогикой практического обучения и концептуальной мотивации, усиленной, в зависимости от обстоятельств, задаванием вопросов и ответами на них, а также обучением использованию технологий.Как было показано в документе, не только учебные программы по математике K-12 во многих странах поддерживают обучение учащихся, задавая вопросы, но и их будущие учителя ценят такой вид математического обучения. Аналогичным образом, компьютерная сигнатурная педагогика [37] может использоваться для максимального понимания учащимися математики и поощрения их глубокого подхода к обучению [15]. У студентов университетов больше мотивации, чем у школьников, чтобы справляться с обязанностями взрослой жизни. Тем не менее, обе группы студентов все еще могут быть мотивированы своим естественным «бросающим вызов возрасту» любопытством.В этом отношении стимулирующие вопросы, склонность к использованию компьютеров и известные классические задачи являются важными инструментами мотивации при изучении математики. Объединение всей учебной программы по математике K-20 в единую систему возможно, когда методы концептуальной мотивации и обучения действиям используются во всем этом образовательном спектре. Наконец, очевидно, что есть прагматическая причина для того, чтобы знакомить учащихся с радугой обучения действием, и это потому, что среди сегодняшних учеников есть завтрашние учителя.Процесс должен и дальше развиваться.
Доступность данных
Данные, использованные для подтверждения результатов этого исследования, включены в статью.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Учебная программа по математике в Калифорнии вызывает новые споры об ускоренном обучении
Кредит: Эллисон Шелли из американского образовательного центра
Кредит: Эллисон Шелли из американского образовательного центра
В Калифорнии возникла математическая проблема.
Спустя почти десять лет после того, как в Калифорнии были приняты стандарты математики Common Core, большинство школьников K-12 еще не соответствуют критериям уровня своего класса, а черные и латиноамериканские ученики недостаточно представлены в строгих ускоренных программах. Теперь рекомендация государства пересмотреть математические методы встречает сопротивление.
В среду Комиссия штата по качеству обучения столкнулась с шквалом комментариев от родителей и учителей, выступающих против спорного переписывания California Mathematics Framework, добровольного руководства, которое направлено на то, чтобы помочь школам, учителям и компаниям, выпускающим учебники, внедрить общепринятые стандарты математики штата.
Комиссия проголосовала за внесение одобренных изменений, в том числе определение руководства для округов по ускоренным математическим курсам и удаление ссылок на спорное исследование. В настоящее время структура направляется на второй общественный обзор в июне, и комиссия рассмотрит дополнительные изменения, если Совет штата по образованию потребует этого. Рамки будут представлены в Государственный совет по образованию в ноябре.
В проекте документа особое внимание уделяется альтернативным математическим курсам, таким как наука о данных и моделирование, и математические темы структурированы по классам, а не по отдельным курсам.Но горячей точкой в дебатах является рекомендация, чтобы учащиеся посещали одни и те же классы математики в средней школе и на втором курсе средней школы, а не помещали учащихся на продвинутые или традиционные курсы математики, начиная с шестого класса.
Рекомендации также ставят под сомнение концепцию одаренности учащихся, утверждая, что это понятие «привело к значительной несправедливости в математическом образовании. Особенно вредна идея «математического мозга» — что люди рождаются с мозгом, который подходит (или не подходит) для математики », — говорится в документе.
В среду члены комиссии поделились опытом, который, по их словам, заставил цели концепции резонировать с ними.
«Меня перевели на углубленный курс математики, и я изучал алгебру в восьмом классе», — сказал председатель комиссии и учитель истории средней школы Мануэль Растин. «Я бегал по математике, как и другие студенты, которые полны решимости попасть в систему UC. Но со временем математика стала чем-то, с чем я больше не мог отождествляться. Это было похоже на крысиные бега за запоминанием процедур и формул.… Видя, что у нас здесь, я видел себя повсюду ».
Группы
, включая Калифорнийскую ассоциацию учителей, Education Trust-West и California STEM Network, выразили поддержку проекту концепции. Но другие, такие как Калифорнийская ассоциация одаренных, заявили, что это ограничивает возможности для учащихся, и отдельные учителя и десятки родителей вызвали встречу, чтобы выступить против изменений на виртуальном слушании в среду.
Некоторые, в том числе сенатор штата Бен Аллен из Санта-Моники, указали на проблемы с дифференцированным преподаванием для класса, где учащиеся находятся на совершенно разных уровнях, особенно потому, что Калифорния сталкивается с нехваткой профессионалов, решивших стать учителями математики.Многие родители ссылались на опасения по поводу того, что уникальные способности их ребенка будут недооценены для учащихся, признанных одаренными.
«Меня беспокоят предложения по упразднению продвинутых классов математики в средней школе», — сказала Венди Маркус, родитель троих учениц из Moorpark Unified в округе Вентура, включая дочь, которую она назвала одаренной. «Помещение продвинутых учеников со средним и ниже среднего в один класс не работает. Часто они просто отбрасывают этих детей в сторону и дают им дополнительную работу.”
Родитель и выпускник Los Angeles Unified по имени Виктор сказал, что он поддерживает некоторые части системы, но отверг идею «ограничения доступа к ускоренной математике в государственных школах», — сказал он. «Продвинутая математика — это путь, по которому многие студенты первого поколения, такие как я, достигли среднего класса».
Система не требует от округов отмены программ по математике с отличием, а также не предписывает школам удерживать учащихся от прохождения строгих математических курсов. Округа, которые решили отменить ускоренные курсы в средней школе, могут по-прежнему предлагать курсы математики и другие продвинутые курсы математики, необходимые для программ STEM для юниоров и пожилых людей.
Многие сторонники нового предложения указывают на такие примеры, как организация San Francisco Unified, которая в 2014 году проголосовала за отмену ускоренных классов математики в средней школе.
Через пять лет после изменения политики в выпускном классе Объединенного университета Сан-Франциско в 2018–1919 годах процент повторных занятий по алгебре 1 снизился с 40% до 8%, а 30% учащихся старших классов изучали курсы, выходящие за рамки алгебры 2.
Однако в среду двое родителей заявили, что усилия по «отказу от отслеживания» в их округах не привели к заметным улучшениям для учащихся из малообеспеченных семей, а вместо этого лишили учащихся возможности преуспевать.
«Если у нас нет здесь четких указаний о том, как ускорить обучение тех студентов, которым нужно больше или нужно двигаться быстрее, у вас будут округа, которые не внедряют рамки», — сказала член комиссии Линси Готанда, заместитель суперинтенданта Палос Вердес. Объединенный школьный округ полуострова. «Это не то, что нам нужно как комиссия».
Вслед за ожесточенными дебатами по поводу учебной программы по этническим исследованиям в штате государственные органы образования теперь пытаются устранить как дезинформацию, так и вполне реальные опасения, которые родители испытывают по поводу будущего своих детей с математикой.Заголовки, такие как «Калифорнийские левые пытаются отменить математику» в Wall Street Journal, уже разжигают опасения.
«Дезинформация — это своего рода реальность сегодняшнего дня и будущего. Мы занимались этим и с учебной программой по этническим исследованиям », — сказал Растин. «Но проблема равенства, расы и расизма в классах никуда не денется».
Некоторые оппоненты утверждают, что эта структура пытается ввести в математику критическую расовую теорию, академический подход, который утверждает, что история рабства и сегрегации живет в нынешних законах и социальных структурах, увековечивая расизм в Соединенном Королевстве.С.
Не упоминая прямо критическую теорию рас, структура указывает на исследования, которые поддерживают преподавание математики через призму социальной справедливости. Он также предлагает использовать примеры из реальной жизни, чтобы уроки математики более соответствовали жизненному опыту учащихся, поощряя различные способы показать ответ. И это показывает, как раса, класс и пол играют роль в сообщениях, которые студенты получают о своем месте в классе математики.
Несколько комментариев из последнего публичного обзора отвергают, в частности, отчет, цитируемый в структуре под названием «Путь к справедливому обучению математике», который призывает к демонтажу расизма и превосходства белых, которые проявляются в математике, путем отслеживания, выбора курса и списки интервенций, а также поиск только одного «правильного» ответа.
Комиссия согласилась удалить ссылки на исследование из проекта рамок в среду, заявив, что оно несовместимо с обучением стандартам.
Тем не менее, некоторые родители обеспокоены тем, что, по их мнению, живет вне сферы расы и политики.
«Эта математическая структура — гигантский шаг назад и пропаганда против заслуг», — сказал один из родителей из Сан-Диего. «Не превращайте математику в поле идеологической битвы».
Как и все руководящие принципы штата по предметам, математическая структура регулярно пересматривается с семилетним циклом.Обновленная структура находится в разработке с 2019 года и будет представлена на утверждение в Государственный совет по образованию в ноябре 2021 года. Наряду с 60-дневным периодом общественного обсуждения с февраля по апрель 2021 года, исходные данные, направляющие документ, поступили от четырех организаций. группы учителей вместе с фокус-группой студентов, чтобы поделиться своим опытом с математикой и курсами.
Предложение еще предстоит получить, чтобы заслужить общественное одобрение: около 53% тех, кто предоставил комментарии во время публичного обзора, оценили руководство системы для обучения всех учащихся как «неудовлетворительное».

Математика повторение 11 класс: Алгебра (математика) 11 класс

Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания

Степени с рациональным показателем. Корни. Степенные функции

Понятие корня n-й степени из действительного числа

Функция корня n-й степени

Свойства корня n-й степени.

Способы упрощения выражений, содержащих радикалы

Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

Свойства степенных функций и их графики

Логарифмы.

Свойства показательной функции и её график

Методы решения показательных уравнений

Методы решения показательных неравенств

Понятие логарифма.

Свойства логарифмической функции и её график

Базовые свойства логарифмов

Методы решения логарифмических уравнений

Методы решения логарифмических неравенств

Переход к новому основанию логарифма

Системы показательных и логарифмических уравнений

Системы логарифмических и показательных неравенств

Производная показательной и логарифмической функции

Первообразная.

Понятие первообразной

Неопределённые и определённые интегралы. Методы интегрирования

Вычисление площадей с помощью интегралов

Начальные сведения комбинаторики

Правило суммы

Правило произведения

Перестановки.

Размещения. Размещения с повторениями

Сочетания и их свойства

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Начальные сведения теории вероятностей

Какие бывают случайные события

Комбинации событий.

Вероятность события

Сложение вероятностей

Независимые события. Умножение вероятностей

Статистическая вероятность

Начальные сведения математической статистики

Случайные величины

Центральные тенденции

Меры разброса

Закон распределения вероятностей.

Уравнения и неравенства

Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

Общие методы решения уравнений

Равносильность неравенств.

Уравнения и неравенства с двумя переменными

Общие методы решения систем уравнений

Уравнения и неравенства с параметром

Конспект урока по алгебре 11 класс «Повторение.

Методическая разработка «Организация повторения по алгебре в 11-м профильном классе для подготовки к решению заданий №15 в ЕГЭ»

Ход урока

Математика и мы: Алгебра 11 класс

21.04.2020 Повторение. Уравнения

1. Вспомни способы решения основных типов уравнений.

Решение логарифмических уравнений

Решение показательных уравнений

Решение иррациональных уравнений

Решение линейных уравнений

Решение квадратных уравнений

2. Выполни тест, перейдя по ссылке.

23.04.2020 Тема урока: «Повторение . Тригонометрические уравнения»

1. Вспомни решение прстейших тригонометрических уравнений

2. Вспомни способы решения тригонометрических уравнений.

3. Выполни тест. перейдя по ссылке

24.04.2020. Тема урока : «Повторение. Уравнения»

1. Если ты отсуствовал на уроке, то выполни тест, перейдя по ссылке

01.05.2020 Тема урока «Повторение . Выражения. Уравнения»

1. Перейди по ссылке и выполни задания. Ссылка

05.05.2020 Тема урока: «Повторение. Степени»

1. Вспомни тему «Степень». Посмотри видеоуроки

2. Выполни задания, перейдя по ссылке.

06.05.2020 Тема урока: «Повторение. Функции»

1. Вспомни материал, просмотрев видеоуроки

07.05.2020 Тема урока: «Повторение. Действия с дробями»

1. Вспомни правила выполнения действий с дробями

2. Выполни задания, перейдя по ссылке.