Ответы по математике 2 класс петерсон: ГДЗ по математике 2 класс Петерсон часть 1, 2, 3

По математике с несколькими вариантами ответов

Теперь, когда проект по обновлению моего старого апплета с множественным выбором до более современного и совместного формата находится в стадии реализации (см. Эту демонстрацию на стороне сервера и эту демонстрацию javascript / wiki, а также обсуждение здесь), я подумал, что это было бы хорошо пора собрать собственное мнение и мысли о том, как в настоящее время используются викторины с несколькими вариантами ответов при обучении математике, и о возможных путях их использования в будущем.Краткая версия моего мнения заключается в том, что тесты с несколькими вариантами ответов имеют значительные ограничения при использовании в традиционной обстановке в классе, но обладают большим интересным и малоизученным потенциалом при использовании в качестве инструмента самооценки.

— Тесты с несколькими вариантами ответов в классе —

В принципе, может показаться, что однозначная и точная природа математических утверждений хорошо подходит для формата множественного выбора; в отличие от некоторых других дисциплин знания, многие вопросы по математике – имеют единственный и объективный правильный ответ, а все остальные ответы считаются неправильными.С помощью викторины с несколькими вариантами ответов учащийся может быть объективно протестирован по таким вопросам; действительно, выставление оценок для таких тестов можно даже автоматизировать с помощью компьютера или сканирующего устройства. Пока вопрос сформулирован недвусмысленно (и что ключ решения правильный), оценка таких викторин менее спорна, чем другие методы экзамена. И наконец, формат множественного выбора очень знаком практически всем студентам колледжей (которые, вероятно, должны были пройти стандартизированные тесты с множественным выбором как часть процесса поступления в университет), и поэтому правила викторины требуют очень небольшого объяснения.

С другой стороны, формат множественного выбора, используемый в настоящее время на экзаменах по математике, имеет ряд серьезных недостатков, которые, на мой взгляд, делают его хуже других вариантов экзаменов для большинства курсов математики для старших классов, хотя есть способы устранения наиболее явных дефектов формата. Возможно, наиболее очевидной проблемой является подход нулевой терпимости к ошибкам, который может исказить взаимосвязь между способностями и кредитом: студент, который правильно подошел к вопросу, но допустил ошибку с одним знаком или немного неправильно понял вопрос, может потерять все баллов за вопрос, в то время как студент, который не имел ни малейшего представления о том, что делать, и просто гадал наугад, мог заработать баллы за вопрос с несколькими вариантами ответов благодаря чистой удаче, чего гораздо труднее добиться в других форматах экзаменов.(По общему признанию, можно смягчить эту проблему, если вопросы будут простыми и однозначными, а неправильные ответы, полученные из-за знаковых ошибок и т.п., не будут использоваться в качестве альтернативы.) Другая проблема заключается в том, что викторины с несколькими вариантами ответов более восприимчивы к определенные типы обмана и искажения, чем другие форматы экзаменов, поскольку ключ ответа легко скопировать и использовать даже студентам, которые на самом деле не понимают материала. (От этой конкретной проблемы можно до некоторой степени защититься, перетасовывая вопросы отдельно для каждого учащегося, хотя это, конечно, затрудняет оценку викторины или предоставление ключа решения впоследствии.Третья проблема заключается в том, что если ученик приходит к ответу, которого нет среди перечисленных вариантов, это часто вызывает довольно мучительную и не особенно логичную подделку вычислений, чтобы прийти к одному из перечисленных ответов, который не является Хорошую привычку привить математику.

Однако более коварная проблема заключается в том, что эти викторины дают неверное представление о том, что такое решение математических задач и как это следует делать. В реальных математических исследованиях задачи обычно не включают в себя список из пяти альтернатив, одна из которых верна; Часто выяснение того, какими могут быть потенциальные, правдоподобные или вероятные ответы, или даже того, каких ответов следует ожидать и следует ли вообще задавать вопрос, так же важно, как и собственно определение правильного ответа.Тесты с несколькими вариантами ответов также обычно поощряют быстрые и грязные или небрежные подходы к решению проблем, в отличие от осторожных, осознанных и тонких подходов; в частности, такие викторины, как правило, поощряют бездумное применение формальных правил для получения ответа, не уделяя много внимания тому, действительно ли эти правила применимы к рассматриваемой проблеме. (Действительно, чрезмерное обдумывание задачи с несколькими викторинами, поиск некой тонкой уловки, вырождения или исключения в формулировке задачи или попытка сыграть в какую-то «метагейм», в которой человек пытается угадать намерения экзаменатора [см. эта сцена из «Принцессы-невесты» является крайним примером этого], может означать, что более способные ученики, которые действительно понимают материал, могут в конечном итоге справиться с викториной хуже, чем те, кто просто применяет правила, которым их учат, без этого понимания.И наоборот, слишком сложная задача викторины, предназначенная для того, чтобы заманить в ловушку тех, кто неосторожно применяет стандартное правило, не проверив, что оно применяется, обычно (вполне справедливо) воспринимается как довольно несправедливое по отношению к ученику.) Хотя некоторое упражнение по основным формальным правилам (например, законы и алгоритмы исчисления), безусловно, необходимы, особенно в средней школе и на уровне бакалавриата математики, к тому времени, когда человек переходит к математике высшего уровня, он должен начать понимать основную теорию и обоснование, лежащее в основе такие правила, как часть разработки более концептуального обоснования предмета.(Кроме того, когда кто-то переходит к более сложным темам, у любого данного правила обычно бывает так много исключений и слабых мест, что становится довольно опасно применять такие правила бездумно. Например, вычисление интеграла путем одностороннего смещения контуров весьма вероятно даст неправильный ответ, если у человека нет четкого представления о том, какие контурные интегралы будут безопасно стремиться к нулю в каком-то пределе, а какие — нет. Обидно искать какое-нибудь легко запоминающееся правило, которое скажет, какие интегралы безопасны, а какие нет. какие из них не являются, поскольку существует так много различных вариантов, особенно в реальных приложениях; единственный надежный способ продолжить — это действительно понять бизнес оценки интегралов и вычислений пределов.)

Но, пожалуй, больше всего вопросы с несколькими вариантами ответов продвигают идею о том, что ответ на математический вопрос более важен, чем процесс , который использовал для получения этого ответа (и идеи, полученные в ходе этого процесса, и искусство передачи этого процесса эффективно другим). По правде говоря, процесс гораздо важнее, чем ответ, особенно если ответ — на искусственный вопрос, например, разработанный специально для экзаменационных целей. Знание мыслительных процессов, которые использовались учеником для получения ответа — даже неверного — дало бы мне подробную картину того, насколько хорошо ученик был бы подготовлен для решения подобных (или более сложных) вопросов в будущем, тогда как простое знание того, что ученик выбрал один правильный ответ из пяти вариантов, дает мне гораздо меньше информации в этом отношении.Это также позволяет получить гораздо более ценную обратную связь в процессе выставления оценок, чем просто сообщить, был ли дан ответ на данный вопрос правильно или неверно, путем определения конкретных сильных и слабых сторон в рассуждениях учащегося.

— Тесты с несколькими вариантами ответов для самопроверки —

Я обсудил свои сомнения относительно использования тестов с несколькими вариантами ответов на школьных экзаменах, особенно на курсах математики для старших классов. С другой стороны, я действительно чувствую, что такие викторины могут сыграть очень полезную вспомогательную роль в экзамене self по таким курсам, особенно в отношении базового материала (например.г. определения или основные правила расчета). Я проиллюстрирую это гипотетическим курсом алгебры в старших классах, хотя это, безусловно, применимо к более продвинутым математическим курсам.

Предположим, этот курс алгебры предназначен для обучения студентов тому, как решать различные алгебраические уравнения. Конечно, есть несколько стандартных ошибок, с которыми студент сталкивается, когда пытается решить такие уравнения; распространенный — начинается с такого уравнения, как и неверный вывод о том, что, когда вместо этого лучше всего можно сказать, что или.Теперь можно предостеречь от этой ошибки в классах, и ученик может даже записать это предупреждение, делая заметки, но все же слишком часто случается, что эта ошибка совершается при решении более сложной задачи алгебры на экзамене (или, что еще хуже, в реальном применении школьной алгебры). В этот момент студент может хорошо понять причину ошибки, но эта обратная связь может поступить через несколько дней или недель после первого изучения материала; без подкрепления та же ошибка может повториться позже в курсе или в последующих курсах.Повторное изучение алгебры в конечном итоге устранит ошибку, но это может быть неэффективным процессом.

Здесь может помочь самостоятельная викторина с несколькими вариантами ответов (в частности, онлайн-викторина) с такими вопросами, как

Вопрос 1. Если x и y такие действительные числа, то лучшее, что мы можем сказать о x, — это

1. .
2. .
3. .
4. или.
5. или.

смешано с вариантами, такими как

Вопрос 2. Пусть x и y — действительные числа. Какое из следующих утверждений не является достаточным для этого?

1. .
2. .
3. x либо равно либо.
4. .
5. .

и

Вопрос 3. Если x и y — действительные числа, такие что, то лучшее, что можно сказать о x, — это

1. .
2. .
3. или.
4. .
5. или.

Такие вопросы могут напрямую (и с немедленной обратной связью) ответить на вопрос, есть ли у кого-то недопонимание по этому поводу, без необходимости прямого вмешательства лектора или ассистента преподавателя.(В идеале автоматическая викторина должна не только сразу определять, был ли выбран правильный ответ верным или ложным, но и объяснять, в чем заключалась ошибка во втором случае.)

Обратите внимание на некоторые различия между этими типами вопросов с несколькими вариантами ответов и вопросами, которые появляются на экзамене в классе. В условиях экзамена обычно хочется иметь более сложные вопросы, которые проверяют сразу несколько аспектов материала (например, факторизацию, сбор терминов, подстановку и т. Д.), А не сосредотачиваются узко и просто на одном аспекте.(В частности, ученик, который действительно знает материал, должен быть в состоянии ответить на каждый вопрос здесь легко, без необходимости значительных вычислений.) Кроме того, в то время как викторины в классе стараются сделать правильный ответ совершенно отличным от неправильных альтернатив (чтобы отделить те, кто в основном понимает материал от тех, кто действительно потерян), для самопроверки более эффективно иметь лишь очень тонкие различия между правильным ответом и другими ответами, чтобы побудить ученика тщательно подумать и обратиться к любому заблуждения в лоб; такого рода «вопросы с подвохом» были бы довольно несправедливыми в стрессовой обстановке оцениваемого школьного экзамена, но их можно безопасно задать в ходе самоанализа.

Вопросы с множественным выбором кажутся здесь наиболее эффективными для подкрепления точного определения ключевого понятия (было ли это «Для каждого существует« или для каждого существует свое »?»), Точной формулировки некоторого правила (является производным от равно, или, или и т. д.?), или прямое тестирование конкретной и часто допускаемой ошибки (если, означает ли это, или? См. также этот список распространенных ошибок в математике колледжа). Но проявив немного воображения, можно было бы придумать несколько полезных вопросов с несколькими вариантами ответов для самопроверки в других целях, даже для довольно сложных математических тем.Например, рассмотрите следующий вопрос, чтобы проверить, насколько хорошо разбираются в свойствах преобразования Фурье:

Вопрос 4. Позвольте быть функцией. Среди всех перечисленных ниже гипотез какая самая слабая, которая все еще подразумевает, что преобразование Фурье существует и непрерывно?

1. f плавный и быстро убывающий.
2. f абсолютно интегрируемый.
3. f интегрируется с квадратом.
4. f — непрерывный.
5. f является непрерывным и компактно закрепленным.
6. f — умеренный дистрибутив.

Тип знания в анализе Фурье, который исследует этот вопрос, кажется трудным для проверки другими типами опроса (кроме устного экзамена).

Еще одна интересная возможность — использовать тесты с несколькими вариантами ответов для изучения решения конкретных математических задач. тактика — проблема, которая лишь косвенно решается большинством методов экзамена. Например, в курсе исчисления с одной переменной можно сосредоточиться на тактике интеграции, используя такие вопросы, как эти:

Вопрос 5. Какой из следующих методов вы считаете первым хорошим шагом к поиску первообразной функции?

1. Интеграция по частям, дифференциация и интеграция.
2. Интеграция по частям, дифференциация и интеграция.
3. Замена, установка.
4. Замена, установка.
5. Замена, установка.
6. Пробная дифференциация с использованием таких функций, как.
7. Набросок графика.
8. Расширение серии Тейлора.
9. Запустите Maple, Mathematica или SAGE. 🙂

Обратите внимание, что этот вопрос носит более субъективный характер, чем предыдущие вопросы, с разными ответами, имеющими разные сильные и слабые стороны; здесь нет однозначного «правильного» или даже «лучшего» ответа. Таким образом, это был бы ужасный вопрос для оценочного экзамена, но я думаю, что это было бы хорошим вопросом, заставляющим задуматься, чтобы задать его в тесте, который проводится самостоятельно. (Это может быть один из примеров вопроса, в котором процесс получения выбранного ответа определенно более ценен, чем сам ответ.Кроме того, наличие места для обсуждения различных ответов на такой вопрос — как, например, было бы, если бы вопрос был размещен в вики — также добавило бы дополнительное измерение к этому упражнению.) Обратите внимание на разницу между вышеупомянутый вопрос и более традиционный «Вычислить первообразную.»; акцент теперь делается на тактике, а не на расчетах.

Таким образом, я считаю, что существует ряд интересных способов — многие из которых в настоящее время, похоже, недостаточно изучены, — с помощью которых некоторые хорошо разработанные и самостоятельно задаваемые онлайн-вопросы с несколькими вариантами ответов могут эффективно оценить сильные и слабые стороны в данной математической тема.Конечно, общение один на один с лектором или ассистентом преподавателя было бы гораздо предпочтительнее для достижения такого рода мгновенной обратной связи, но это непрактично для больших классов. Верно также и то, что со стороны ученика необходим определенный уровень зрелости и дисциплины, чтобы действительно извлечь пользу из такого рода самооценок, тем более, что они не влияют напрямую на оценку ученика в классе, но моя философия здесь заключается в том, чтобы дать учащимся возможность сомневаться в этом отношении; Я считаю, что способность изучать знания, выходящие за рамки минимума, необходимого для получения проходного балла, является частью того, чему должен быть посвящен курс для старших классов.

Как это:

Нравится Загрузка …

Математика 6-го класса Вопросы с несколькими вариантами ответов и ответами

6-Й КЛАСС ПО МАТЕМАТИКЕ НЕСКОЛЬКО ВОПРОСОВ НА ВЫБОР С ОТВЕТАМИ

Математика для 6-х классов Вопросы с несколькими вариантами ответов:

В этом разделе мы увидим некоторые практические задачи для учащихся 6-х классов.

Вопрос 1:

Какой наименьший шестизначный номер данного числа.

(A) 100050 (B) 100095 (C) 10000

Решение:

В данном числе 100050.

Вопрос 2:

Сумма двух целых чисел равна 48. Если один целого числа -24, определить другое

(A) 62 (B) 72 (C) 50

Решение:

Пусть x и y будут двумя целыми числами

x + y = 48

Одно целое число составляет -24.

-24 + y = 48

y = 48 + 24

y = 72

Следовательно, требуется 72.

Вопрос 3:

Каждое простое число, кроме 2, является __________ числом.

(A) Нечетный (B) Четный (C) Дробный

Решение:

Единственное четное простое число — 2. Все остальные нечетные.

Вопрос 4:

Найдите отношение 250 кг к 10 кг

(A) 25: 1 (B) 1: 25 (C) 1: 5

Решение:

= 250: 10

Упрощая это, мы получаем 25: 1.

Вопрос 5:

Решите уравнение

3x — 4 = 4 — (8 + 3x)

(A) 7 (B) 0 (C) -7

Решение:

3x — 4 = 4 — (8 + 3x)

3x — 4 = 4-8 — 3x

3x + 3x = -4 + 4

6x = 0

x = 0/6

x = 0

Вопрос 6:

Точка дает нам представление о линии _____________

(A) луча (B) (C)

Решение:

Точка дает нам представление о точке.

Вопрос 7:

Диаметр круга 12 см. Найти его радиус?

(A) 4 см (B) 6 см (C) 8 см

Решение:

Диаметр круга = 12 см

Радиус = 12/2

Радиус = 6 см

Вопрос 8 :

Найдите периметр прямоугольника, длина и ширина которого равны 16 см и 8 см соответственно.

(A) 55 см (B) 39 см (C) 48 см

Решение:

Периметр прямоугольника = 2 (l + b)

длина = 16 см и ширина = 8 см

Периметр = 2 ( 16 + 8)

= 2 (24)

= 48 см

Вопрос 9:

Решите относительно x, x — 3 = 11

(A) 14 (B) 17 (C) 15

Решение:

x — 3 = 11

x = 11 + 3

x = 14

Вопрос 10:

Если сумма двух углов составляет 90 °, тогда углы называются __________ углами. .

(A) Дополнительные (B) Дополнительные углы

(C) Нулевой угол

Решение:

Сумма дополнительных углов составляет 90 градусов.

связанные страницы

Мы надеемся, что после того, как студенты выполнили все вышеперечисленное, решали задачи на рабочем листе.

Помимо материалов, представленных на этой веб-странице, если вам нужны другие сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

v4formath @ gmail.com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямому и обратному изменению

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по количеству слов

задачи по сравнению ставок

Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи

Преобразование в метрические единицы в словесных задачах

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами в виде прибыли и убытка

89 9294 задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанные фракции

задачи со словами на одноэтапное уравнение

словесные задачи с линейным неравенством

90

задачи

задачи со временем и работой со словами

задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

задачи со словами на возрастах

задачи со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времени

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

000 Домен и диапазон рациональных функций 9284 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делящихся на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Математика, часть II Решения для класса 10 по математике, глава 1

Страница № 5:

Вопрос 1:

Основание треугольника 9 и высота 5.Основание другого треугольника равно 10, а высота — 6. Найдите соотношение площадей этих треугольников.

Ответ:

Пусть ABC и PQR — два прямоугольных треугольника, причем AB ⊥ BC и PQ ⊥ QR.
Дано:
BC = 9, AB = 5, PQ = 6 и QR = 10.
∴A △ ABCA △ PQR = AB × BCPQ × QR = 5 × 96 × 10 = 34

Страница № 6:

Вопрос 2:

На данном рисунке BC ⊥ AB, AD ⊥ AB, BC = 4, AD = 8, затем найдите A∆ABCA∆ADB.

Ответ:

Дано:
BC = 4
AD = 8
∴A △ ABCA △ ADB = AB × BCAB × AD = BCAD ∵BC = 4 и AD = 8 = 48
= 12

Страница № 6:

Вопрос 3:

На следующем рисунке сегмент PS ⊥ сегмент RQ сегмент QT сегмент PR. Если RQ = 6, PS = 6 и PR = 12, то найти QT.

Ответ:

Дано:
PS ⊥ RQ
QT ⊥ PR
RQ = 6, PS = 6 и PR = 12
С основанием PR и высотой QT, A △ PQR = 12 × PR × QT
С основанием QR и высотой PS, A △ PQR = 12 × QR × PS
∴A △ PQRA △ PQR = 12 × PR × QT12 × QR × PS⇒1 = PR × QTQR × PS⇒PR × QT = QR × PS
⇒QT = QR × PSPR = 6 × 612 = 3
Следовательно, размер стороны QT составляет 3 единицы.

Страница № 6:

Вопрос 4:

На следующем рисунке, AP ⊥ BC, AD || BC, затем найдите A (∆ABC): A (∆BCD).

Ответ:

Дано:
AP ⊥ BC
AD || BC
∴A △ ABCA △ BCD = AP × BCAP × BC = 11
Следовательно, соотношение A (∆ABC) и A (∆BCD) равно 1: 1.

Страница № 6:

Вопрос 5:

На соседней фигуре PQ ⊥ BC, AD⊥ BC найдите следующие соотношения.

(i) A∆PQBA∆PBC

(ii) A∆PBCA∆ABC

(iii) A∆ABCA∆ADC

(iv) A∆ADCA∆PQC

Ответ:

(i)
A △ PQBA △ PBC = PQ × BQPQ × BC = BQBC
(ii)
A △ PBCA △ ABC = PQ × BCAD × BC = PQAD
(iii)
A △ ABCA △ ADC = AD × BCAD × DC = BCDC
(iv)
A △ ADCA △ PQC = AD × DCPQ × QC

Страница № 13:

Вопрос 1:

Ниже приведены некоторые треугольники и длины отрезков.Определите, на каких рисунках луч PM представляет собой биссектрису ∠QPR.
(1)

(2)

(3)

Ответ:

(1)
In QMP, QMQP = 3.57 = 12
In △ MRP, MRRP = 1,53 = 12
∴QMQP = MRRP
Согласно теореме о биссектрисе угла, луч PM является биссектрисой ∠QPR.

(2)
In QMP, QMQP = 810 = 45
In △ MRP, MRRP = 67
∴QMQP ≠ MRRP
Следовательно, луч PM не является биссектрисой ∠QPR.
(3)
In QMP, QMQP = 3,69 = 25
In MRP, MRRP = 410 = 25
∴QMQP = MRRP
Согласно теореме о биссектрисе угла, луч PM является биссектрисой ∠QPR.

Страница № 13:

Вопрос 2:

В ∆PQR, PM = 15, PQ = 25 PR = 20, NR = 8. Укажите, параллельна ли линия NM стороне RQ. Обоснуйте.

Ответ:

Дано:
PM = 15,
PQ = 25,
PR = 20 и
NR = 8
Теперь PN = PR — NR
= 20 — 8
= 12
Кроме того, MQ = PQ — PM
= 25 — 15
= 10
In △ PRQ, PRNR = 128 = 32
Кроме того, PMMQ = 1510 = 32
∴PRNR = PMMQ
Согласно основной теореме пропорциональности, NM параллельна стороне RQ или NM || RQ.

Страница № 14:

Вопрос 3:

В ∆MNP NQ является биссектрисой ∠N. Если MN = 5, PN = 7 MQ = 2,5, тогда найдите QP.

Ответ:

In △ PNM, QMQP = MNPN По теореме о биссектрисе угла⇒2.5QP = 57
⇒QP = 2,5 × 75 = 3,5
Следовательно, мера QP равна 3,5.

Страница № 14:

Вопрос 4:

На рисунке приведены размеры некоторых углов.Докажите, что APPB = AQQC

Ответ:

Дано:
∠APQ = 60 ^∘
∠ABC = 60 ^∘
Поскольку, соответствующие углы ∠APQ и ∠APC равны.
Следовательно, строка PQ || ДО Н.Э.
In △ ABC, PQ∥BCAPPB = AQQC По основной теореме пропорциональности

Страница № 14:

Вопрос 5:

В трапеции ABCD, сторона AB || сторона PQ || сторона ∆C, AP = 15, PD = 12, QC = 14, Найдите BQ.

Ответ:

Построение: Соедините BD, пересекающую PQ в точке X.

In △ ABD, PX || AB
DPPA = DXXB … 1 По основной теореме пропорциональности
In △ BDC, XQ || DC
DXXB = CQQB … 2 По основной теореме пропорциональности
Из (1) и (2) получаем
DPPA = CQQB ⇒1215 = 14QB⇒QB = 17,5

Страница № 14:

Вопрос 6:

Найдите QP, используя информацию на рисунке.

Ответ:

In △ PNM, QMQP = MNPN По теореме о биссектрисе угла⇒14QP = 2540
⇒QP = 14 × 4025 = 22,4
Следовательно, мера QP равна 22,4.

Страница № 14:

Вопрос 7:

На данном рисунке, если AB || CD || FE затем найдите x и AE.

Ответ:

Строительство: Присоединяйтесь к AFintersecting CD в X.

In △ ABF, DX || AB
FDDB = FXXA … 1 По основной теореме пропорциональности
In △ AEF, XC || FE
FXXA = ECCA … 2 По основной теореме пропорциональности
Из (1) и (2) получаем
FDDB = ECCA ⇒48 = x12⇒x = 6
Итак, AE = AC + CE
= 12 + 6
= 18

Страница № 15:

Вопрос 8:

В ∆LMN луч MT делит пополам ∠LMN. Если LM = 6, MN = 10, TN = 8, найдите LT.

Ответ:

In △ LNM, LTNT = LMNM По теореме о биссектрисе углов⇒LT8 = 610
⇒LT = 8 × 610 = 4,8
Следовательно, мера LT равна 4,8.

Страница № 15:

Вопрос 9:

В ∆ABC сегмент BD делит пополам ∠ABC. Если AB = x , BC = x + 5, AD = x — 2, DC = x + 2, найдите значение x.

Ответ:

In △ ABC, ∠ABD = ∠DBC
ADDC = ABCB По теореме о биссектрисе угла⇒x-2x + 2 = xx + 5⇒x2 + 3x-10 = x2 + 2x
⇒3x-2x = 10⇒x = 10

Страница № 15:

Вопрос 10:

На данном рисунке X — любая точка внутри треугольника. Точка X соединяется с вершинами треугольника. Seg PQ || сегмент DE, сегмент QR || сег EF.Заполните пропуски, чтобы доказать это, сегмент PR || сег DF.

Ответ:

Дано:
Seg PQ || сегмент DE
сегмент QR || seg EF
In △ DXE, PQ || DE
XPPD = XQQE … I По основной теореме пропорциональности
In △ XEF, QR || EF …. Дано
∴XQQE = XRRF ….. II По основной теореме пропорциональности
∴XPPD = XRRF From I и II
∴ seg PR || seg DF (Обратное к основной теореме пропорциональности)

Страница № 15:

Вопрос 11:

В ∆ABC луч BD делит пополам ABC, а луч CE — ACB.Если seg AB ≅ seg AC, то докажите, что ED || ДО Н.Э.

Ответ:

Дано:
луч BD делит пополам ∠ABC
луч CE делит пополам ACB.
сегмент AB ≅ сегмент AC

In ABC, ∠ABD = ∠DBC
ADDC = ABBC … I По теореме о биссектрисе угла
In ABC, ∠BCE = ∠ACE
AEEB = ACBC … II По биссектрисе угла теорема
Из (I) и (II)
ADDC = AEEB ∵seg AB ≅ seg AC
∴ ED || BC (Обратное к основной теореме пропорциональности)

Страница № 21:

Вопрос 1:

На данном рисунке ABC = 75 °, ∠EDC = 75 °. Укажите, какие два треугольника похожи и по какому критерию? Также запишите подобие этих двух треугольников соответствующим взаимно однозначным соответствием.

Ответ:

Дано:
∠ABC = 75 °, ∠EDC = 75 °
Теперь, в △ ABC и △ EDC
∠ABC = ∠EDC = 75 ° (дано)
∠C = ∠C (Common)
По проверке AA похож на
△ ABC ∼ △ EDC

Страница № 21:

Вопрос 2:

Подобны ли треугольники на рисунке? Если да, то каким тестом?

Ответ:

Дано:
PQ = 6
PR = 10
QR = 8
LM = 3
LN = 5
MN = 4
Теперь,
PQLM = 63 = 2, QRMN = 84 = 2, RPNL = 105 = 2
∴ PQLM = QRMN = RPNL
По тесту сходства SSS
△ PQR ∼ △ LMN

Страница № 21:

Вопрос 3:

Как показано на рисунке, две опоры высотой 8 м и 4 м перпендикулярны земле.Если длина тени меньшего столба от солнечного света составляет 6 м, то какой длины будет одновременно тень большего столба?

Ответ:

Дано:
PR = 4
RL = 6
AC = 8
In △ PLR и △ ABC
∠PRL = ∠ACB (Вертикально противоположные углы)
∠LPR = ∠BAC (Углы, образуемые солнечным светом сверху, совпадают)
По критерию подобия AA
△ PLR ∼ △ ABC
∴PRAC = LRBC Соответствующие стороны пропорциональны ⇒48 = 6x⇒x = 12
Следовательно, длина тени большего полюса от солнечного света составляет 12 м.

Страница № 21:

Вопрос 4:

Затем в ∆ABC, AP ⊥ BC, BQ ⊥ AC B– P – C, A – Q — C докажите, что ∆CPA ~ ∆CQB. Если AP = 7, BQ = 8, BC = 12, тогда найдите AC.

Ответ:

Дано:
AP ⊥ BC
BQ ⊥ AC
Доказательство: ∆CPA ~ ∆CQB
Доказательство: В ∆CPA и ∆CQB
∠CPA = ∠CQB = 90 ^∘ (дано)
∠C = ∠C ( Common)
По проверке сходства AA
∆CPA ~ ∆CQB
Следовательно, доказано.
Теперь APBQ = ACBC Соответствующие стороны пропорциональны ⇒ AC = APBQ × BC = 78 × 12 = 10,5

Страница № 22:

Вопрос 5:

Дано: В форме трапеции PQRS, сторона PQ || сторона SR, AR = 5AP, AS = 5AQ, тогда докажите, что SR = 5PQ

Ответ:

Дано:
сторона PQ || сторона SR
AR = 5AP,
AS = 5AQ
Доказательство: SR = 5PQ
Доказательство: In ∆APQ и ∆ARS
∠PAQ = ∠RAS (Вертикально противоположные углы)
∠PQA = ∠RSA (Альтернативные углы, сторона PQ || сторона SR и QS является поперечной линией)
По проверке сходства AA
∆APQ ~ ∆ARS
PQSR = APAR Соответствующие стороны пропорциональны⇒PQSR = 15 AR = 5AP⇒SR = 5PQ
Следовательно, доказано.

Страница № 22:

Вопрос 6:

В трапеции ABCD, сторона AB || сторона DC, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Если AB = 20, DC = 6, OB = 15, то найти OD.

Ответ:

Дано:
сторона AB || сторона DC
AB = 20,
DC = 6,
OB = 15
In △ COD и △ AOB
∠COD = ∠AOB (Вертикально противоположные углы)
∠CDO = ∠ABO (Альтернативные углы, CD || BA и BD является поперечной прямой)
По критерию сходства AA
△ COD ∼ △ AOB
∴CDAB = ODOB Соответствующие стороны пропорциональны ⇒620 = OD15⇒OD = 4.5

Страница № 22:

Вопрос 7:

◻ABCD — точка параллелограмма E на стороне BC. Прямая DE пересекает луч AB в точке T. Докажите, что DE × BE = CE × TE.

Ответ:

Дано: ◻ABCD — параллелограмм
Доказательство: DE × BE = CE × TE
Доказательство: In ∆BET и ∆CED
∠BET = ∠CED (Вертикально противоположные углы)
∠BTE = ∠CDE (Альтернативные углы, AT || CD и DT — поперечная прямая)
По проверке сходства AA
∆BET ∼ ∆CED
∴BECE = ETED Соответствующие стороны пропорциональны ⇒BE × ED = CE × ET
Следовательно, доказано.

Страница № 22:

Вопрос 8:

На данном рисунке сегменты AC и сегменты BD пересекаются друг с другом в точке P и APCP = BPDP. Докажите, что ∆ABP ~ ∆CDP

Ответ:

Дано: APCP = BPDP
Для доказательства: ∆ABP ~ ∆CDP
Доказательство: In ∆ABP и ∆DCP
APCP = BPDP (дано)
∠P = ∠P (Common)
С помощью теста на подобие SAS
APCP = BPDP

Страница № 22:

Вопрос 9:

На данном рисунке в ∆ABC точка D на стороне BC такова, что ∠BAC = ∠ADC.Докажите, что CA ² = CB × CD

Ответ:

Дано: BAC = ∠ADC
Чтобы доказать: CA ² = CB × CD
Доказательство: In ∆ABC и ∆DAC
∠BAC = ∠ADC (дано)
∠C = ∠C (Common)
By AA проверка на подобие
∆ABC ∼ ∆DAC
∴BCAC = ACDC Соответствующие стороны пропорциональны ⇒AC2 = BC × DC
Следовательно, доказано.

Страница № 25:

Вопрос 1:

Соотношение сторон одинаковых треугольников 3: 5; Затем найдите соотношение их площадей.

Ответ:

Согласно теореме о площадях одинаковых треугольников «Когда два треугольника похожи, отношение площадей этих треугольников равно отношению квадратов их соответствующих сторон».
Следовательно, соотношение площадей треугольников = 3252
= 925

Страница № 25:

Вопрос 2:

Если ∆ABC ~ ∆PQR и AB: PQ = 2: 3, то заполните пропуски.
A∆ABCA∆PQR = AB2 = 2232 =

Ответ:

Дано:
∆ABC ~ ∆PQR
AB: PQ = 2: 3
Согласно теореме о площадях одинаковых треугольников «Когда два треугольника подобны, отношение площадей этих треугольников равно отношению квадратов их соответствующие стороны ».
∴A∆ABCA∆PQR = AB2PQ2 = 2232 = 4 9

Страница № 25:

Вопрос 3:

Если ∆ABC ~ ∆PQR, A (∆ABC) = 80, A (∆PQR) = 125, то заполните пропуски.
A∆ABCA∆. . . . = 80125 ∴ ABPQ =

Ответ:

Дано:
∆ABC ~ ∆PQR
A (∆ABC) = 80
A (∆PQR) = 125
Согласно теореме о площадях одинаковых треугольников «Когда два треугольника похожи, отношение площадей этих треугольников равно к отношению квадратов соответствующих сторон ».
∴A∆ABCA∆PQR = AB2PQ2⇒80125 = AB2PQ2⇒1625 = AB2PQ2
⇒4252 = AB2PQ2⇒ABPQ = 45
Следовательно, A∆ABCA∆PQR = 80125 и ABPQ = 45

Страница № 25:

Вопрос 4:

∆LMN ~ ∆PQR, 9 × A (∆PQR) = 16 × A (∆LMN).Если QR = 20, найдите MN.

Ответ:

Дано:
∆LMN ~ ∆PQR
9 × A (∆PQR) = 16 × A (∆LMN)
Рассмотрим, 9 × A (∆PQR) = 16 × A (∆LMN)
A∆LMNA∆PQR = 916⇒MN2QR2 = 3242⇒MNQR = 34
⇒MN = 34 × QR⇒MN = 34 × 20 ∵QR = 20⇒MN = 15

Страница № 25:

Вопрос 5:

Площади двух одинаковых треугольников 225 кв.см. 81 кв. См. Если сторона меньшего треугольника равна 12 см, найдите соответствующую сторону большего треугольника.

Ответ:

Согласно теореме о площадях подобных треугольников «Когда два треугольника подобны, отношение площадей этих треугольников равно отношению квадратов их соответствующих сторон».
∴Площадь большего треугольникаПлощадь меньшего треугольника = 22581⇒Сторона большего треугольника2Сторона меньшего треугольника2 = 15292⇒Сторона большего треугольника Сторона меньшего треугольника = 159
⇒Сторона большего треугольника = 159 × Сторона меньшего треугольника⇒Сторона большего треугольника = 159 × 12 = 20

Следовательно, соответствующая сторона большего треугольника равна 20.

Страница № 25:

Вопрос 6:

∆ABC и ∆DEF — равносторонние треугольники. Если A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2 и AB = 4, найдите DE.

Ответ:

Рассмотрим, A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2
⇒A∆ABCA∆DEF = 12⇒AB2DE2 = 12⇒DE2 = 2AB2
⇒DE2 = 2 × 42 ∵AB = 4⇒DE = 32⇒DE = 42

Страница № 25:

Вопрос 7:

На данном рисунке 1.66, сегмент PQ || сегмент DE, A (∆PQF) = 20 единиц, PF = 2 DP, затем найдите A (◻DPQE), выполнив следующее действие.

Ответ:

Дано:
seg PQ || seg DE
A (∆PQF) = 20 единиц
PF = 2 DP
Предположим, DP = x
∴ PF = 2 x
DF = DP + PF = x + 2x = 3x
In △ FDE и △ FPQ
∠FDE = ∠FPQ (соответствующие углы)
∠FED = ∠FQP (соответствующие углы)
По проверке подобия AA
△ FDE ∼ △ FPQ
∴A △ FDEA △ FPQ = FD2FP2 = 3x22x2 = 94 94A △ FPQ = 94 × 20 = 45
∴A □ DPQE = A △ FDE-A △ FPQ = 45-20 = 25

Страница № 26:

Вопрос 1:

Выберите подходящий вариант.
(1) В ∆ABC и ∆PQR при взаимно однозначном соответствии ABQR = BCPR = CAPQ, тогда

(A) EFPR = DFPQ (B) DEPQ = EFRP

(C) DEQR = DFPQ (D) EFRP = DEQR

(3) In ∆ABC и ∆DEF ∠B = ∠E, ∠F = ∠ C и AB = 3DE, тогда какое из утверждений относительно двух треугольников верно?
(A) Треугольники не совпадают и не похожи.
(B) Треугольники похожи, но не совпадают.
(C) Треугольники совпадают и похожи.
(D) Ни одно из приведенных выше утверждений не соответствует действительности.

(4) ∆ABC и ∆DEF — равносторонние треугольники, A (∆ABC): A (∆DEF) = 1: 2
Если AB = 4, то какова длина DE?
(A) 22
(B) 4
(C) 8
(D) 42

(5) На данном рисунке сегмент XY || seg BC, тогда какое из следующих утверждений верно?

(A) ABAC = AXAY (B) AXXB = AYAC

(C) AXYC = AYXB (D) ABYC = ACXB

Ответ:

(1)
Дано: ABQR = BCPR = CAPQ
По тесту на подобие SSS
∆PQR ~ ∆CAB
Следовательно, правильный вариант — (B).

(2)
In ∆DEF и ∆PQR
∠D ≅ ∠Q
∠R ≅ ∠E
По проверке сходства AA
∆DEF ~ ∆PQR
∴DEPQ = EFQR = DFPR Соответствующие стороны одинаковых треугольников равны
∴DEPQ ≠ EFRP
Следовательно, правильный вариант — (B).

(3)
В ∆ABC и ∆DEF
∠B = ∠E,
∠F = ∠C
По проверке сходства AA
∆ABC ~ ∆DEF
Поскольку, нет никаких критериев соответствия, подобных AA.
Таким образом, ∆ABC и ∆DEF не совпадают.
Следовательно, правильный вариант — (B).

(4)
Дано: ∆ABC и ∆DEF — равносторонние треугольники
Построение: начертите перпендикуляр из вершины A и D на AC и DF в обоих треугольниках.

In ∆ABX и ∆DEY
∠B = ∠C = 60 ^∘ (∆ABC и ∆DEF — равносторонние треугольники)
∠AXB = ∠DYB (По построению)
По проверке сходства AA
∆ABX ~ ∆ DEY
∴ABDE = AXDY Соответствующие стороны одинаковых треугольников пропорциональны
∴DEPQ ≠ EFRP

A △ ABCA △ DEF = 12⇒12 × AB × AX12 × DE × DY = 12⇒AB2DE2 = 12 ∵ABDE = AXDY ⇒DE2 = 32⇒DE = 42
Следовательно, правильный вариант — (D).

(5)
Дано: seg XY || seg BC
По основной теореме пропорциональности
AXBX = AYYC⇒BXAX + 1 = YCAY + 1⇒BX + AXAX = YC + AYAY
⇒ABAX = ACAY⇒ABAC = AXAY
Следовательно, правильный вариант — (D).

Страница № 27:

Вопрос 2:

В ∆ABC, B — D — C и BD = 7, BC = 20 найдите следующие соотношения.

(1) A∆ABDA∆ADC

(2) A∆ABDA∆ABC

(3) A∆ADCA∆ABC

Ответ:

Построение: Проведите перпендикуляр от вершины A к прямой BC.

(1)
A∆ABDA∆ADC = 12 × AX × BD12 × AX × DC = BDDC = 713 DC = BC-BD
(2)
A∆ABDA∆ABC = 12 × AX × BD12 × AX × BC = BDBC = 720
(3)
A∆ADCA∆ABC = 12 × AX × DC12 × AX × BC = DCBC = 1320 ∵DC = BC-BD

Страница № 27:

Вопрос 3:

Соотношение площадей двух треугольников одинаковой высоты равно 2: 3. Если основание меньшего треугольника 6 см, то каково соответствующее основание большего треугольника?

Ответ:

Площадь меньшего треугольника Площадь большего треугольника = 23⇒12 × Высота меньшего треугольника × Основание меньшего треугольника 12 × Высота большего треугольника × Основание большего треугольника = 23⇒6 Основание большего треугольника = 23
⇒ Основание большего треугольника = 32 × 6 = 9

Страница № 27:

Вопрос 4:

На данном рисунке ∠ABC = ∠DCB = 90 ° AB = 6, DC = 8, тогда A ∆ABCA ∆DCB =?

Ответ:

Дано:
∠ABC = ∠DCB = 90 °
AB = 6
DC = 8
Теперь, A ∆ABCA ∆DCB = 12 × AB × BC12 × DC × BC = 68 = 34

Страница № 27:

Вопрос 5:

На данном рисунке PM = 10 см A (∆PQS) = 100 кв.см A (∆QRS) = 110 кв. см, затем найдите NR.

Ответ:

Дано:
PM = 10 см
A (∆PQS) = 100 кв.см
A (∆QRS) = 110 кв.см
Теперь A ∆PQSA ∆QRS = 100110⇒12 × PM × QS12 × RN × QS = 1011
⇒10RN = 1011⇒RN = 11 см

Страница № 27:

Вопрос 6:

∆MNT ~ ∆QRS. Длина высоты, отсчитываемая от точки T, равна 5, а длина высоты, отсчитываемой от точки S, равна 9.Найдите отношение A∆MNTA∆QRS.

Ответ:

Площади двух одинаковых треугольников пропорциональны квадратам их соответствующих высот.
∴A∆MNTA∆QRS = 592 = 2581

Страница № 28:

Вопрос 7:

На данном рисунке A — D– C и B — E — C seg DE || сторона AB Если AD = 5, DC = 3, BC = 6.4, то найти BE.

Ответ:

Дано:
AD = 5,
DC = 3,
BC = 6.4
In △ ABC, DE || AB
∴CDDA = CEEB По основной теореме пропорциональности⇒35 = 6,4-xx⇒3x = 32-5x
⇒8x = 32⇒x = 4

Страница № 28:

Вопрос 8:

На этом рисунке сегменты сегментов PA, QB, сегментов RC и сегментов SD перпендикулярны линии AD. AB = 60, BC = 70, CD = 80, PS = 280, затем найдите PQ, QR и RS.

Ответ:

Дано:
AB = 60,
BC = 70,
CD = 80,
PS = 280
Итак, AD = AB + BC + CD
= 60 + 70 + 80
= 210
По теореме о перехвате мы имеем
PQAB = QRBC = RSCD = PSAD⇒PQ60 = QR70 = RS80 = 280210⇒PQ60 = QR70 = RS80 = 43
∴PQ = 43 × 60 = 80QR = 43 × 70 = 2803RS = 43 × 80 = 3203

Страница № 28:

Вопрос 9:

В ∆PQR seg PM — медиана.Биссектрисы углов ∠PMQ и ∠PMR пересекают стороны PQ и PR в точках X и Y соответственно. Докажите, что XY || QR.

Ответ:

В PMQ луч MX является биссектрисой PMQ.
∴PXXQ = MQMP ………. (I) теорема о биссектрисе угла.
В PMR луч MY является биссектрисой PMR.
∴PYYR = MRMP ………. (II) теорема о биссектрисе угла.
ButMPMQ = MPMR ……… M — это средняя точка QR, следовательно, MQ = MR.
∴PXXQ = PYYR
∴XY || QR ………. обратное основной теореме пропорциональности.

Страница № 29:

Вопрос 10:

На данном рисунке биссектрисы B и ∠C ∆ABC пересекаются друг с другом в точке X. Прямая AX пересекает сторону BC в точке Y. AB = 5, AC = 4, BC = 6, затем найти AXXY.

Ответ:

В △ ABY, ∠YBX = ∠XBA
AXXY = ABBY.