Задачи по математике перспектива 2 класс: Контрольные работы по математике 2 класс УМК Перспектива

Математика через решение задач | Math Goodies

Что такое «подход к решению проблем»?

По мере того, как акцент сместился с обучения решению проблем на обучение через решение проблем (Lester, Masingila, Mau, Lambdin, dos Santon and Raymond, 1994), многие авторы пытались разъяснить, что подразумевается под подходом к решению проблем. обучение математике.Основное внимание уделяется преподаванию математических тем через контекст решения проблем и ориентированную на запросы среду, для которых учитель помогает учащимся сформировать глубокое понимание математических идей и процессов, вовлекая их в выполнение математических задач: создание, предположение, исследование, тестирование и т. Д. и проверка »(Lester et al., 1994, p.154). Конкретные характеристики подхода к решению проблем включают:

• взаимодействия между студентами / студентами и учителями / студентами (Van Zoest et al., 1994)
• математический диалог и консенсус между студентами (Van Zoest et al., 1994)
• учителей, предоставляющих достаточно информации, чтобы установить предысторию / намерение проблемы, а учащиеся разъясняют, интерпретируют и пытаются построить один или несколько процессов решения (Cobb et al., 1991)
• учителей, принимающих правильные / неправильные ответы без оценки (Cobb et al., 1991)
• учителей направляют, обучают, задают проницательные вопросы и рассказывают о процессе решения проблем (Lester et al., 1994)
• учителей, знающих, когда уместно вмешаться, а когда отступить и позволить ученикам идти своим путем (Lester et al., 1994)
• Еще одна особенность состоит в том, что подход, основанный на решении задач, может использоваться для поощрения учащихся к обобщению правил и концепций, процессу, который является центральным в математике (Evan and Lappin, 1994).

Schoenfeld (в Olkin and Schoenfeld, 1994, стр. 43) описал способ, которым использование решения проблем в его обучении изменилось с 1970-х годов:

Мои ранние курсы решения проблем были сосредоточены на проблемах, которые можно решить с помощью эвристики типа Polya: рисовать диаграмму, исследовать частные случаи или аналогии, специализироваться, обобщать и т. Д.С годами курсы эволюционировали до такой степени, что они меньше фокусировались на эвристике как таковой и больше на знакомстве студентов с фундаментальными идеями: важностью математических рассуждений и доказательств …, например, и постоянных математических исследований (которым служили мои задачи. в качестве отправной точки для серьезных исследований, а не для выполнения задач).

Шенфельд также предположил, что хорошей проблемой должна быть такая, которую можно было бы расширить, чтобы привести к математическим исследованиям и обобщениям.Он описал три характеристики математического мышления:

1. ценит процессы математизации и абстракции и имеет склонность применять их
2. развитие компетенции с инструментами торговли и использование этих инструментов на службе цели понимания структуры — математического осмысления (Schoenfeld, 1994, p.60).
3. As Cobb et al. (1991) предположили, что цель участия в решении проблем заключается не только в решении конкретных проблем, но и в « поощрении интериоризации и реорганизации задействованных схем в результате деятельности » (стр.187). Этот подход не только развивает у студентов уверенность в своей способности мыслить математически (Schifter and Fosnot, 1993), но и является средством для студентов конструировать, оценивать и уточнять свои собственные теории о математике и теории других (NCTM, 1989). ). Поскольку это стало преобладающим требованием в обучении, важно более подробно рассмотреть сами процессы.

Роль решения задач в обучении математике как процессу

Решение задач — важный компонент математического образования, потому что это единственное средство, которое, кажется, способно достичь на школьном уровне всех трех ценностей математики, перечисленных в начале этой статьи: функционального, логического и эстетического.Давайте рассмотрим, как решение проблем является полезным средством для каждого из них.

Уже отмечалось, что математика является важной дисциплиной из-за ее практической роли для человека и общества. Этот аспект математики можно развить с помощью подхода, основанного на решении проблем. Представление проблемы и развитие навыков, необходимых для решения этой проблемы, более мотивирует, чем обучение навыкам без контекста. Такая мотивация придает решению проблем особую ценность как средство изучения новых концепций и навыков или закрепления уже приобретенных навыков (Станик и Килпатрик, 1989, NCTM, 1989).Подход к математике через решение проблем может создать контекст, который имитирует реальную жизнь и, следовательно, оправдывает математику, а не рассматривает ее как самоцель. Национальный совет учителей математики (NCTM, 1980) рекомендовал сделать решение задач в центре обучения математике, потому что, по их словам, оно включает в себя навыки и функции, которые являются важной частью повседневной жизни. Кроме того, это может помочь людям адаптироваться к изменениям и неожиданным проблемам в их карьере и других аспектах их жизни.Совсем недавно Совет одобрил эту рекомендацию (NCTM, 1989), заявив, что решение задач должно лежать в основе всех аспектов преподавания математики, чтобы дать учащимся возможность ощутить силу математики в окружающем их мире. Они рассматривают решение проблем как средство, с помощью которого учащиеся конструируют, оценивают и уточняют свои собственные теории математики и теории других.

По словам Резника (1987), подход к решению проблем способствует практическому использованию математики, помогая людям развить средства, которые можно будет адаптировать, когда, например, технологии ломаются.Таким образом, это также может помочь людям перейти в новую рабочую среду в то время, когда наиболее вероятно, что они столкнутся с несколькими карьерными изменениями в течение рабочей жизни (NCTM, 1989). Резник выразил убеждение, что «школа должна сосредоточить свои усилия на подготовке людей к тому, чтобы они были хорошими адаптивными учениками, чтобы они могли эффективно действовать в непредсказуемых ситуациях, а задачи требуют изменения» (стр. 18). Кокрофт (1982) также выступал за решение проблем как средство развития математического мышления в качестве инструмента повседневной жизни, говоря, что способность решать проблемы лежит «в основе математики» (стр.73), потому что это средство, с помощью которого математика может быть применена к множеству незнакомых ситуаций.

Однако решение проблем — это больше, чем средство обучения и закрепления математических знаний, а также помощь в решении повседневных задач. Это также навык, который может улучшить логическое мышление. Люди больше не могут оптимально функционировать в обществе, просто зная правила, которым нужно следовать, чтобы получить правильный ответ. Они также должны быть в состоянии решить посредством процесса логического вывода, какой алгоритм, если таковой имеется, требуется в ситуации, а иногда должны быть в состоянии разработать свои собственные правила в ситуации, когда алгоритм не может быть применен напрямую.По этим причинам решение проблем может развиваться как ценный навык сам по себе, как способ мышления (NCTM, 1989), а не просто как средство для поиска правильного ответа.

Многие писатели подчеркивали важность решения проблем как средства развития логического мышления в математике. «Если образование не способствует развитию интеллекта, очевидно, что оно неполное. Тем не менее, интеллект — это, по сути, способность решать проблемы: повседневные проблемы, личные проблемы… »(Поля, 1980, с.1). Современные определения интеллекта (Gardner, 1985) говорят о практическом интеллекте, который позволяет «человеку решать реальные проблемы или трудности, с которыми он или она сталкивается» (стр. 60), а также побуждает человека находить или создавать проблемы », тем самым закладывая фундамент. для приобретения новых знаний »(с.85). Как указывалось ранее, стандартная математика с упором на приобретение знаний не обязательно удовлетворяет эти потребности. Резник (1987) описал несоответствия, существующие между алгоритмическими подходами, которым обучают в школах, и «изобретенными» стратегиями, которые большинство людей используют на рабочем месте для решения практических задач, которые не всегда четко вписываются в обучаемый алгоритм.По ее словам, большинство людей разработали «эмпирические правила» для расчета, например, количества, скидок или суммы сдачи, которую они должны дать, и они редко включают стандартные алгоритмы. Обучение методам решения проблем дает людям возможность легче адаптироваться к подобным ситуациям.

Еще одна причина, по которой подход к решению проблем ценен, — это эстетическая форма. Решение проблем позволяет учащемуся испытать ряд эмоций, связанных с различными этапами процесса решения.Математики, которые успешно решают задачи, говорят, что опыт решения этих задач способствует пониманию «силы и красоты математики» (NCTM, 1989, стр. 77), «радости удара головой о математическую стену, а затем обнаружив, что есть способы обойти или пересечь эту стену »(Olkin and Schoenfeld, 1994, p.43). Они также говорят о готовности или даже желании заниматься задачей в течение продолжительного времени, что приводит к тому, что задача перестает быть «головоломкой» и позволяет ей превратиться в проблему.Однако, хотя именно это вовлечение изначально мотивирует решателя к решению проблемы, все же необходимо, чтобы определенные методы были доступны для успешного продолжения вовлечения. Следовательно, необходимо больше понимать, что это за методы и как их лучше всего сделать доступными.

В последнее десятилетие было высказано предположение, что методы решения проблем можно сделать доступными наиболее эффективно, если сделать решение проблем центральным элементом учебной программы по математике.Хотя математические задачи традиционно были частью учебной программы по математике, только сравнительно недавно решение задач стало рассматриваться как важное средство преподавания и изучения математики (Stanic and Kilpatrick, 1989). В прошлом решение задач имело место в классе математики, но обычно оно использовалось символически, как отправная точка для получения единственного правильного ответа, обычно путем следования единственной «правильной» процедуре. Однако совсем недавно профессиональные организации, такие как Национальный совет учителей математики (NCTM, 1980 и 1989), рекомендовали, чтобы учебная программа по математике была построена вокруг решения задач, сосредоточив внимание на:

• Развитие навыков и умение применять эти навыки в незнакомых ситуациях
• сбор, систематизация, интерпретация и передача информации
• формулирование ключевых вопросов, анализ и концептуализация проблем, определение проблем и целей, обнаружение закономерностей и сходств, поиск подходящих данных, экспериментирование, перенос навыков и стратегий в новые ситуации
• развитие любопытства, уверенности и непредубежденности (NCTM, 1980, стр.2-3).

Одна из целей обучения через решение проблем — побудить студентов совершенствовать и развивать свои собственные процессы в течение определенного периода времени, поскольку их опыт позволяет им отбросить некоторые идеи и осознать дальнейшие возможности (Карпентер, 1989). Учащиеся не только развивают знания, но и начинают понимать, когда уместно использовать определенные стратегии. При использовании этого подхода акцент делается на том, чтобы сделать студентов более ответственными за собственное обучение, а не дать им почувствовать, что алгоритмы, которые они используют, являются изобретением какого-то внешнего и неизвестного «эксперта».Большое значение придается исследовательской деятельности, наблюдениям и открытиям, методам проб и ошибок. Студентам необходимо разработать свои собственные теории, проверить их, проверить теории других, отбросить их, если они непоследовательны, и попробовать что-то еще (NCTM, 1989). Студенты могут стать еще более вовлеченными в решение проблем, формулируя и решая свои собственные проблемы или переписывая проблемы своими словами, чтобы облегчить понимание. Особенно важно отметить, что их поощряют к обсуждению процессов, которые они предпринимают, чтобы улучшить понимание, получить новое понимание проблемы и поделиться своими идеями (Thompson, 1985, Stacey and Groves, 1985).

Заключение

В этой главе было высказано предположение, что существует множество причин, по которым подход, основанный на решении задач, может существенно повлиять на результаты математического образования. Это не только средство для развития логического мышления, оно может предоставить учащимся контекст для изучения математических знаний, оно может улучшить передачу навыков в незнакомые ситуации и само по себе является эстетической формой. Подход, основанный на решении проблем, может предоставить учащимся средство для построения собственных представлений о математике и принятия ответственности за собственное обучение.Нет сомнений в том, что программу математики можно улучшить за счет создания среды, в которой учащиеся будут обучаться через решение проблем, в отличие от более традиционных моделей обучения решению проблем. Задача учителей на всех уровнях состоит в том, чтобы развить процесс математического мышления наряду со знаниями и искать возможности представлять даже рутинные математические задачи в контексте решения проблем.

Список литературы

Карпентер Т.П. (1989). «Обучение как решение проблем». В Р. И. Чарльз и Э. А. Сильвер (ред.), Обучение и оценка решения математических задач, (стр 187-202). США: Национальный совет учителей математики.

Кларк Д. и Макдонаф А. (1989). «Задачи решения задач в классе», Австралийский учитель математики, 45, 3, 20-24.

Кобб П., Вуд Т. и Якель Э. (1991). «Конструктивистский подход к математике второго класса». Фон Глэзерфилд, Э. (Ред.), Радикальный конструктивизм в математическом образовании, стр.157-176. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers.

Кокрофт, W.H. (Ред.) (1982). Математика имеет значение. Отчет Комиссии по расследованию преподавания математики в школах, Лондон: Канцелярия Ее Величества.

Эван Р. и Лаппин Г. (1994). «Построение осмысленного понимания содержания математики», в Aichele, D. и Coxford, A. (Eds.) Professional Development for Teachers of Mathematics, pp. 128-143. Рестон, Вирджиния: NCTM.

Гарднер, Ховард (1985).Рамки разума. N.Y: Основные книги.

Лестер, Ф.К. младший, Масингила, Дж. О., Мау, С. Т., Ламбдин, Д. В., дос Сантон, В. М. и Раймонд А. (1994). «Научиться учить через решение проблем». in Aichele, D. и Coxford, A. (Eds.) Профессиональное развитие учителей математики, стр. 152-166. Рестон, Вирджиния: NCTM.

Национальный совет учителей математики (NCTM) (1980). Программа действий: Рекомендации для школьной математики 1980-х годов, Рестон, Вирджиния: NCTM.

Национальный совет учителей математики (NCTM) (1989).Учебная программа и стандарты оценки школьной математики, Рестон, Вирджиния: NCTM.

Олкин И. и Шенфельд А. (1994). Обсуждение главы Брюса Резника. В А. Шенфельде (Ред.). Математическое мышление и решение проблем. (стр. 39-51). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

Поля, Г. (1980). «О решении математических задач в средней школе». В С. Крулик (Ред). Решение задач в школьной математике, (стр. 1-2). Рестон, Вирджиния: NCTM.

Резник, Л.Б. (1987). «Учеба в школе и вне ее», Исследователь в области образования, 16, 13-20 ..

Ромберг, Т. (1994). Обучение в классе, которое способствует математическому мышлению и решению проблем: связь между теорией и практикой. В А. Шенфельде (Ред.). Математическое мышление и решение проблем. (стр. 287-304). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

Шифтер Д. и Фоснот К. (1993). Реконструкция математического образования. Нью-Йорк: Издательство Педагогического колледжа.

Шенфельд, А.(1994). Размышления о выполнении и преподавании математики. В А. Шенфельде (Ред.). Математическое мышление и решение проблем. (стр. 53-69). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

Стейси К. и Гровс С. (1985). Стратегии решения проблем, Мельбурн, Виктория: VICTRACC.

Станик, Г. и Килпатрик, Дж. (1989). «Исторические перспективы решения задач в учебной программе по математике». В R.I. Charles and E.A. Сильвер (ред.), Обучение и оценка решения математических задач, (стр.1-22). США: Национальный совет учителей математики.

Swafford, J.O. (1995). «Подготовка учителя». in Carl, I.M. (Ed.) Перспективы школьной математики, стр. 157-174. Рестон, Вирджиния: NCTM.

Swafford, J.O. (1995). «Подготовка учителя». in Carl, I.M. (Ed.) Перспективы школьной математики, стр. 157-174. Рестон, Вирджиния: NCTM.

Томпсон, П. У. (1985). «Опыт, решение проблем и изучение математики: соображения при разработке учебных программ по математике».В E.A. Сильвер (ред.), Преподавание и обучение решению математических задач: различные исследовательские перспективы, (стр. 189-236). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум.

Ван Зост, Л., Джонс, Г. и Торнтон, К. (1994). «Убеждения относительно преподавания математики, проводимые учителями до начала работы, участвующими в программе наставничества в первом классе». Журнал исследований математического образования. 6 (1): 37-55.

Соответствующая статья о ценностях обучения | Другие статьи

Исследование с точки зрения школьника.

Corpus, J. H., McClintic-Gilbert, M. S., & Hayenga, A.O. (2009). Внутригодовые изменения в

внутренних и внешних мотивационных ориентациях детей: контекстные предикторы и

академических результатов. Современная педагогическая психология, 34, 154–166.

Гомес Чакон, И. М. (2000). Политика обучения эмоциональной грамотности по математике: Отношения,

эмоций и убеждений. Один, 13, 7-22.

Хо, К.К., и Хён С. Ю. (2011). Разработка и валидация математической шкалы тревожности для

учащихся. Обзор образования в Азиатско-Тихоокеанском регионе, 12, 509-521

Kober (1991). Привлекайте родителей как партнеров. Интернет, Домашняя страница Pathways.

Мартин А. Дж. (2001). Шкала мотивации студентов: инструмент для измерения и повышения мотивации.

Австралийский журнал рекомендаций и консультирования, 11, 1–20.

Марзита, П. (2002). Факторы, связанные с математической тревогой.Куала-Лумпур: Университет

Teknologi Malaysia.

Масаали, С. (2007). Связь между изучением чтения и академической успеваемостью

студентов в IU. Исфахан: Хорасган Сламик. Университет Азада, персидский: диссерация.

Перри, Н., Филлипс, Л., и Даулер, Дж. (2004). Изучение характеристик задач и их потенциала

Содействовать саморегулируемому обучению. Отчет Педагогического колледжа, 106, 1854–1878 гг.

Программа PISA для международной оценки учащихся.(2009). Научные компетенции

завтрашнего мира. Париж: Автор.

Putwain, D. W., & Roberts, C. M. (2009). Разработка и проверка использования учителями анкеты страха

апелляций. Британский журнал педагогической психологии, 79, 643–661.

Сити Хамад Мохамед и Рохани Ахмад Тармизи (2010 г.). Беспокойство при обучении математике среди

учащихся средней школы: сравнительное исследование Танзании и Малайзии. Журнал

Процедурные социальные и поведенческие науки, 8, 498-504.

Винн П. Х. (2005). Взгляд на современные исследования саморегулируемого обучения.

Instructional Science, 33, 559-565.

Винтерс, Ф. И., Грин, Дж. А., и Костич, К. М. (2008). Саморегуляция обучения в компьютерной среде обучения на основе

: критический анализ. Обзор педагогической психологии, 20 (4), 429–

444.

Уолтерс, К. А. (2010). Саморегулируемое обучение и компетенции 21 века.Департамент

, Университет Хьюстона Получено 14 декабря,

2010 г., http://www.hewlett.org/uploads/Self_Regulated_Learning_21st_Century_Compe

tencies.pdf

«Математика — это естественная часть. Мнение)

(Это первая публикация из серии, состоящей из двух частей)

Новый «вопрос недели»:

Что учителя математики считают своими самыми большими проблемами и как они могут решить эту проблему? ответить на них?

Все мы, преподаватели, сталкиваемся с трудностями.В этой серии статей мы узнаем, с чем конкретно сталкиваются учителя математики.

Возможно, вам будет интересна предыдущая серия статей о том, что учителя естественных наук считают своими основными проблемами.

Сегодня свои ответы представили Македа Бром, Пиа Хансен, Линда Годжак, Мэриан Смолл, Кеннет Баум и Дэвид Крулвич. Вы можете послушать 10-минутный разговор, который у меня был с Македой и Пией на моем БАМе! Радиопередача. Вы также можете найти здесь список предыдущих выставок и ссылки на них.

Ответ от Македы Бром

Македа Бром — учитель математики в средней школе и заведующий кафедрой Академии Линкольн-Парк в Форт.Пирс, штат Флорида. Она также является научным сотрудником преподавателей Флориды в Университете Флориды и в партнерстве с Центром качества преподавания:

Наша тема — продуктивная борьба, решение повседневных проблем и видение закономерностей в окружающем нас мире. Задачи — естественная часть математики. Как учителя, мы должны поставить перед собой цель преодолеть трудности в классе, чтобы наши ученики учились. Хотя учителя математики считают множество проблем самыми серьезными, есть три, на которые мы можем лучше всего ответить.Время — это вызов, который мы не можем изменить, так что я считаю тремя самыми большими проблемами, кроме времени? Это необходимые навыки, образ мышления студентов и ресурсы.

Необходимые навыки

Большинство учителей математики согласятся, что ученикам не хватает и / или не запоминаются необходимые навыки для своих математических курсов. «Летний слайд» вносит свой вклад — отсутствие практики математических навыков более 2 месяцев между предыдущим курсом и новым курсом бесполезно для студента.Большинство учебных программ начинается так, как если бы студент закончил свой последний курс накануне. Итак, что могут делать учителя? Мы можем предложить родителям и учащимся возможность не упасть с этой горки летом, 1) предоставив список предварительных навыков, которые должны быть профессионально освоены учащимися, чтобы начать следующий курс на уровне. и 2) определить ресурсы, которые родители и ученики могут использовать для отработки этих навыков (например, Khan Academy, веб-сайты, наборы задач).

Мышление учеников

Мышление учеников относительно математики обычно фиксировано.Они либо верят, что родились со способностями к математике, либо нет. Когда вы объединяете эту установку на данность с отсутствием и / или незнанием необходимых навыков, обучение математике может стать еще более сложной задачей. Чтобы бороться с этим, мы, как учителя, должны сначала оценить свое собственное отношение к математике. У нас должна быть установка на рост в математике. Если у нас есть установка на данность, ученики это поймут, и наш класс станет смесью тех, кто «может», и тех, кто «не может».«Есть много доступных ресурсов об установке на рост (мышление, Кэрол Двек). Существуют даже специальные ресурсы о математическом мышлении, предназначенные для родителей, учеников и учителей. Профессор и автор Стэнфордского университета Джо Болер написала книгу «Математические установки мышления» и даже предлагает бесплатный онлайн-курс под названием «Как изучать математику: для студентов». Курс разделен на две основные части: изучение мозга и математики и стратегии достижения успеха.

Ресурсы

И последнее, но не менее важное — это ресурсы.Внедрение Общих основных стандартов на национальном уровне заставило учителей изменить способ преподавания и представления математики на протяжении десятилетий. Студенты должны знать больше, чем просто беглость процедур или как решить задачу, просто выполняя шаги как можно быстрее и эффективнее. Прошли те времена, когда учителя просто следовали учебнику. Common Core Math требует строгости, глубины, согласованности между классами и применения в реальных жизненных обстоятельствах. Большинство учебников не полностью адаптированы к этим изменениям.

Новизна стандартов, их значения и внешнего вида еще не дошла до создателей учебников. На данный момент ни один учебник не соответствует стандартам на 100%. Обладая этими знаниями, учителя должны стать ищущими. Использование ресурсов Google и конкретных стандартов может привести к появлению множества ресурсов, в том числе действий, для стандартов. В EngageNY есть планы уроков, видео, задания и т. Д., Которые учителя могут использовать в качестве отправной точки. NCTM Illuminations, Illustrative Mathematics и Learn Zillion — это еще несколько сайтов с отличными ресурсами.Я искренне верю, что если вы будете искать, вы найдете, но может потребоваться некоторая работа, чтобы найти то, что вам нужно.

Ответ от Пиа Хансен

Пиа М. Хансен работает классным руководителем в течение двадцати семи лет, преподает от дошкольного до уровня колледжа. Она является соавтором Задания и рубрики для начальной элементарной математики: соответствие строгим стандартам и оценкам с Шарлоттой Дэниэлсон, опубликованных Routledge, и учебной программы для 3-го класса Bridges in Mathematics, , опубликованной Math Learning Center .Пиа продолжает работать с учителями над передовым опытом в качестве директора по профессиональному развитию Центра обучения математике:

Учителя математики сталкиваются с тремя основными проблемами: их убеждения в отношении преподавания и обучения, их содержание и педагогические знания и время для размышлений.

1. Убеждения о преподавании и изучении математики: Многие исследователи сходятся во мнении о важности изменения убеждений учителей, но все же существуют разногласия по поводу того, что меняет убеждения и практику.Некоторые утверждают, что, поскольку убеждения влияют на восприятие мира, убеждения должны измениться, прежде чем человек сможет ощутить изменения, которые должны произойти (Pajares). С другой стороны, Гаски предлагает альтернативную модель, утверждая, что «значительные изменения в убеждениях и взглядах учителей могут произойти только после того, как станут очевидными изменения в результатах обучения учащихся». Проведя обзор многих исследований о взаимосвязи между изменениями в убеждениях и изменениями в действиях, Филипп (2007) приводит доводы в пользу диалектического подхода к этому очевидному противоречию, указывая на то, что эти двое работают вместе, чтобы способствовать обучению и росту учителей.Он пишет: «Определение того, какие изменения происходят в первую очередь, менее важно, чем поддержка учителей в изменении их убеждений и практик в тандеме, а размышления являются решающим фактором для поддержки меняющихся убеждений и практик учителей». Учителя могут ответить на этот вызов, рассматривая свои убеждения лично. Во что я верю относительно преподавания и преподавания математики? Каковы наиболее эффективные модели, стратегии и практики для развития математического мышления всех моих учеников? Как школьные / районные / государственные / национальные инициативы отражают мой собственный опыт в классе? Что я хочу изменить в своей практике?

2.Поверхностное содержание и педагогические знания: Более половины выпускников средней школы заканчивают курс коррекционной математики в первый год обучения в колледже. Некоторые молодые люди предпочитают преподавать, потому что не верят, что могут заниматься математикой. Они могут стать учителями, не обладая необходимыми знаниями математического содержания, чтобы научить их концептуальному пониманию. Они могут знать механические процедуры и придерживаться правил, которые они запомнили, вместо того, чтобы исследовать математические отношения и приветствовать многочисленные модели и стратегии.Их задача — справиться с очень реальной фобией и узнать больше о математике по крайней мере за 2 года до того места, где они преподают, что позволит им эффективно дифференцировать обучение своих учеников.

Другие ученики могли быстро справляться с математическими упражнениями и хорошо запоминать алгоритмы. Они решили преподавать математику, потому что им это давалось легко. У них есть содержательные знания, возможно, без педагогики. Их задача — развить установку на рост, веру в то, что все дети могут заниматься важной математикой.Визуализация, рассуждение и обоснование, решение проблем и совместная групповая работа — отличительные черты классных комнат по математике 21 века. Этих практик может не хватать в классе, где ценится скорость и запоминание.

Некоторые рекомендации по повышению как содержания, так и педагогики включают участие в изучении книги, связанной с практиками, моделями и стратегиями, создание исследовательской группы с коллегами для предстоящего подразделения или посещение онлайн-курсов или курсов местного университета.Этот опыт повысит вовлеченность и успеваемость учащихся и создаст культуру, в которой будет принята задача усердно работать над самым важным.

3. Время для размышлений: По словам Джона Дьюи, «дело не в том, что они делают; это размышления о действии «. Профессиональные учебные сообщества, изучение уроков, формальное и неформальное наставничество и отношения коучинга могут обеспечить это отражение. Когда учителя наблюдают за другими учителями и их учениками, делятся множеством точек зрения и формируют концептуальное понимание на основе обсуждения идей учеников Что касается математики, они развивают компетентность и уверенность в себе.Почти каждая модель оценки учителей включает в себя некоторый элемент саморефлексии, и все же немногие учителя имеют и находят время для размышлений. Помимо знаний об учениках, математических стандартах и ​​учебной программе, содержании и педагогике, учителя должны знать самих себя.

(Некоторые идеи в этом посте исходили из личной переписки с Карен Пригодич, основанной на ее диссертации, в процессе.)

Ответ Линды Годжак

Линда Годжак — бывший президент Национального совета учителей математики и Национального совета наблюдателей математики.Она проработала 28 лет в качестве специалиста по элементарной математике, преподавая все классы с 5 по 8 и работая с учителями K-8 в своей школе. В течение последних 15 лет она предоставляла возможности профессионального обучения учителям математики K-8 по всей стране. Она является автором The Common Core Companion K-2 и 3-5, What’s Your Math Problem? и Пути к решению проблем:

Я хотел бы поговорить с инструктором по математике K-8, поскольку он включает уровни моего опыта и работы.

Это отличный вопрос, и я часто слышу следующее беспокойство от учителей, с которыми я работаю.

a) Содержание математических знаний не только на уровне преподавания, но и на всех уровнях обучения, является важной информацией, поскольку учитель планирует обучение для своего класса. Это беспокоит многих учителей. Поскольку предметные знания являются главной проблемой, многие учителя не чувствуют себя комфортно при обучении математике. Учителя должны знать, откуда приходят их ученики и куда они собираются по математике.Слишком часто слишком много ценного учебного времени тратится на повторное обучение концепции из предыдущего (или нескольких предыдущих) уровня обучения. Это означает, что все учителя должны глубоко понимать содержание (а многие учителя прошли только 1 или 2 курса, чтобы подготовить их к более глубокому пониманию. Этого вряд ли достаточно). Как учителя реагируют? Посещение семинаров по профессиональному обучению, посвященных содержанию и педагогике, предлагаемых надежными фасилитаторами или организациями, а также поощрение администрации в их округах к предоставлению таких возможностей, которые сосредоточены на содержании математики и педагогике.Школы, в которых есть тренеры по математике, должны быть уверены, что учителя могут использовать свой опыт, чтобы помочь им глубже понять содержание и проанализировать мышление учащихся.

b) Хотя я считаю, что новые стандарты в математике меняют преподавание, некоторые учителя не понимают, что они влекут за собой. Наши стандарты больше не являются контрольным списком навыков, которые учащиеся должны «освоить» к концу класса; скорее, они требуют глубокого понимания того, как выглядит строгость в классе, то есть баланса концептуального понимания, процедурных навыков и возможностей применять математику в различных ситуациях.Кроме того, практики или процессы описывают, как ученик, разбирающийся в математике, думает о математике и занимается ею. Использование тренеров по математике для поддержки классных учителей, особенно учителей, которые несут ответственность за преподавание четырех или более различных предметов в день, является одним из способов помочь учителям лучше понимать и преподавать математику в соответствии со стандартами штата. Профессиональное обучение, включая изучение книг и выделение времени учителям для совместной работы над обсуждением, планированием и проверкой работы учеников, поможет всем учителям лучше понять глубину и прогресс своих стандартов.

Ответ от Мэриан Смолл

Мэриан Смолл — бывший декан образования Университета Нью-Брансуика в Канаде и написала около 100 ресурсов для учителей и учащихся по математике K-12. Большая часть работы, которую она делает, заключается в различении обучения и вопросов учителя:

Было время, не так давно, когда в учебнике математики было смоделировано, как правильно выполнять все виды задач, которые нужно выучить.Учитель мог поделиться теми моделями, которые ему или ему даже не нужно было создавать, и попросить учеников ответить на множество вопросов, где ответы можно было проверить на заднем плане. Учителя были в полной безопасности, и им приходилось принимать очень мало решений.

Но теперь мы просим учителей преподавать математику так, чтобы она имела смысл для ВСЕХ учеников, а не только для старшеклассников. Это означает, что учителя должны по-разному преподавать идеи разным ученикам; для этого необходимо решить, какой способ лучше подходит для разных студентов.Ой, учителя должны сейчас принимать решения.

Теперь мы также хотим, чтобы учителя заставляли учеников решать проблемы по-своему, а ученики защищали свои процессы. Что, если ученик решает проблему так, как учитель не может следовать? Куда делась теперь вся безопасность учителя?

Несмотря на всю эту неуверенность в том, что правильно, а что нет, и какие решения принимать, учителя испытывают давление, требуя, чтобы каждый из их учеников хорошо сдал «стандартизированные», часто с высокими ставками, тесты.Как может учитель, изучивший математику очень традиционным способом, помочь учащимся решить, является ли аргумент хорошим или нет, при подготовке к тому, чтобы учащиеся оценили аргумент на стандартном тесте?

Вдобавок ко всему, мы живем в мире без особого терпения. В то время как раньше студенты были готовы спокойно просидеть относительно скучные математические «речи», у студентов в нашем мире нет на это терпения, и, вдобавок ко всему, они ожидают, что их образ мышления будет подтвержден, а не отвергнут.

Я думаю, что лучше всего ответить:

1. Начни узнавать больше. Мы живем в эпоху Интернета. Google помогает учителям узнавать то, чего они раньше не знали. Так что, возможно, учитель обязан лучше понимать основы преподавания математики, а не просто жить на переднем плане.

2. Заимствования у других . Опять же, благодаря Интернету, существует культура обмена, которая предоставляет множество ресурсов, из которых учителя могут бесплатно выбирать, чтобы сделать свои уроки более интересными и значимыми.Учителя могут просто найти то, что им нужно, и это будет!

3. Рискуйте. Мы просим студентов рисковать каждый раз, когда мы даем им тест или задаем им вопрос. Но слишком многие учителя не склонны к риску. Вы не сможете быть эффективным учителем, если не рискуете. Это означает, что учителям необходимо пробовать новые подходы и стратегии и делать все возможное.

4. Слушайте внимательно. Учителя привыкли говорить, а не слушать.Лучший способ расти как учитель — это что-то выложить и слушать, что говорят ученики. Но учителя должны слушать внимательно и непредвзято.

5. Задавайте открытые вопросы , в которых может участвовать МНОГО учащихся, от самых слабых до самых сильных, и можно услышать и оценить множество мнений; в наши дни дети должны быть услышаны, а их интересные идеи, даже если они нетипичны, должны быть оценены.

Ответ Кеннета Баума и Дэвида Крулиджа

Кеннет Баум и Дэвид Крулвич, соответственно, бывшие и нынешние директора Школы прикладной математики и естественных наук Городской Ассамблеи, государственной школы в Бронксе, Нью-Йорк, обслуживающей с 6 по 12 классы.Они являются соавторами новой книги The Artisan Teaching Model for Instruction Leadership (ASCD 2016):

«Для чего это полезно?» Этот извечный вопрос — самая большая жалоба, которую учителя математики слышат от своих учеников, и источник большого беспокойства учителей математики. Педагоги математики совсем недавно пытались решить эту проблему, подчеркнув «математику реального мира» в государственных стандартах, учебниках и учебных программах. Взгляните практически на любой учебник, написанный за последние 10 лет, и вы увидите значки «реального мира», отображаемые почти в каждом наборе задач.Так почему же со всеми этими ресурсами учителям все еще трудно по-настоящему привлечь учеников? Учителя могут сделать четыре важных вещи.

Во-первых, не попадайтесь в ловушку следования учебнику вместо использования планов уроков, основанных на мышлении более высокого порядка. Когда учитель, по сути, использует учебник как основу урока, обучение обычно становится механическим, потому что именно так организовано большинство учебников — даже в эпоху общего ядра.В наборах упражнений есть масса простых задач типа «включи и пей», а проблемы с мышлением более высокого порядка отодвинуты на второй план.

В классе, если вы дадите студентам 20 механических задач, скажем, о теореме Пифагора, а затем 21-е — это словесная задача о ракете, студенты не только скучают, но и насыщаются, по сути, одной техникой. . Накачанные своей единственной техникой, ученики затем пытаются решить задачу со словом почти без учета контекста и совершенно без необходимости выбирать и подход.Это не решение проблемы — это условность. Хотя этот подход будет постоянно генерировать обманчиво ложные данные о «выходных проблесках», он не поможет учащимся лучше решать проблемы или лучше мыслить. Учебники могут быть ценным ресурсом, но не предназначены для замены хорошо составленных планов уроков.

Во-вторых, учителям необходимо не обращать внимания на блеск цветных фотографий своих ресурсов и определять, какое мышление нужно проявлять детям для решения проблемы или проекта. В частности, учителя должны «проверять» каждый учебный ресурс на предмет того, насколько он порождает и требует мышления более высокого порядка.Многие «реальные» проблемы, представленные в дорогих текстах, на самом деле вовсе не являются проблемами; то есть это простые задачи, «украшенные» красивыми картинками, чтобы выглядеть привлекательно, но на самом деле они лишены критического, контекстного мышления.

В-третьих, не предполагайте, что только потому, что математическая задача имеет «реальную» связь, она будет вызывать «реальный интерес» для детей. Слишком часто в учебниках и учебных программах «реальные» проблемы, которые ставятся перед учащимися, кажутся скучными.

ПРИМЕР. Обычное применение экспоненциального роста — это расчет пенсионных сбережений на основе сложных процентов.Конечно, пенсионные сбережения вполне реальны для 35-летнего учителя, но немногие 15-летние могут иметь отношение к пенсионным сбережениям. Сейчас мир подростков — это гораздо более увлекательное приложение экспоненциального роста к вирусному распространению видео на YouTube

В-четвертых, планируйте свои уроки и проекты вместе с другим учителем в вашей школе, который преподает тот же курс похожие группы студентов. Если в вашей школе нет такого учителя, возьмите на себя ответственность за свое профессиональное обучение, отстаивая ценность наличия кого-то, с кем можно действительно совместно планировать.

Спасибо Македе, Пиа, Линде, Мэриан, Кеннету и Дэвиду за их вклад!

Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять комментарии со своей реакцией на эту тему или непосредственно на все, что было сказано в этом сообщении.

Вы можете задать вопрос, ответ на который будет опубликован в одной из следующих публикаций. Вы можете отправить его мне по адресу [email protected]. Когда вы отправите его, сообщите мне, могу ли я использовать ваше настоящее имя, если оно выбрано, или если вы предпочитаете оставаться анонимным и иметь в виду псевдоним.

Вы также можете связаться со мной в Твиттере @Larryferlazzo.

Любой, чей вопрос выбран для этой еженедельной колонки, может выбрать одну бесплатную книгу от ряда издателей образовательных учреждений.

Education Week опубликовала коллекцию сообщений из этого блога, а также новые материалы в форме электронной книги. Он называется «Вопросы и ответы по управлению классом: экспертные стратегии преподавания».

Напоминаем, что вы можете подписаться и получать обновления этого блога по электронной почте или через программу чтения RSS.И, если вы пропустили какие-либо основные моменты первых пяти лет ведения этого блога, вы можете увидеть список по категориям ниже. В них нет ответов текущего года, но вы можете найти их, нажав на категорию «ответы» на боковой панели.

Самые популярные вопросы и ответы в этом году!

Консультации по управлению классом

Мотивация учащихся и социальное эмоциональное обучение

Внедрение Common Core

Проблемы расы и пола

Лучшие способы окончания учебного года

Обучение на основе мозга

Преподавание социальных наук

Обучение на основе проектов

Использование технологий в классе

Вовлеченность родителей в школы