Математика 5 класс виленкин учебник ответы на все: Виленкин Математика 5 класс

Содержание

математика 5 класс виленкин гдз ответы

ГДЗ решебник по математике 5 класс Виленкин gdz-putina.ru›5 класс›Математика›…-5-klass-vilenkin Рубрики. Главная » 5 класс » Математика » ГДЗ решебник по математике 5 класс Виленкин. … Здесь представлены ответы к учебнику по математике 5 класс Виленкин Жохов Чесноков Шварцбурд ФГОС. ГДЗ по математике 5 класс Виленкин, Жохов — ответы… GDZ.name›5-klass/gdz…matematike-5-klass-vilenkin ГДЗ по математике 5 класс Виленкин — решебник, ответы онлайн. Учебник Математика 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд используется в огромном количестве школ… ГДЗ решебник по математике 5 класс Виленкин 2013 год… mnogo-reshebnikov.ru›5 класс›Математика›…-5-klass-vilenkin-2013… Главная » 5 класс » Математика » ГДЗ решебник по математике 5 класс Виленкин 2013 год ФГОС. … Здесь вы можете просмотреть онлайн ГДЗ по математике за 5 класс. Виленкин Математика 5 класс vcevce.ru›Математика 5 класс Главная Кошелек О проекте Математика 5 класс Виленкин Математика 6 класс Виленкин. … Тем кто интересуется готовыми домашними заданиями — сокращенно ГДЗ — наш сайт так же поможет. Решебник по Математике Н.Я. Виленкин 5 класс ГДЗ… gitem.ru›Решебники›5 класс›Математика›Виленкин 5 класс ГДЗ Gitem.ru — решебники, гдз. Главная Решебники Переводчик Калькулятор. … Онлайн решебник содержит ответы к заданиям учебника по математике 5 класс Н.Я. Виленкин 2004 и ответы к учебнику 2009 года. Решебник ГДЗ по математике 5 класс Виленкин. Ответы… zoobrilka.com›ГДЗ›Математика 5 класс›Математика ГДЗ. Решебники. Ответы. Математика 5 класс. … Решения к домашней работе Н.Я. Виленкин и др. — М.: «Мнемозина», 2000. ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я. Решебник otbet.ru›Решебники›5 класс›ГДЗ по Алгебре за 5 класс›Решебник Авторское пособие «Решебник по математике 5 класс» автора Виленкина Н. Я. содержит полностью разобранное … Как правило, в пятом классе ГДЗ предназначено не для детей, а для родителей. Представленные в книге ответы помогут не просто… Решебник по математике 5 класс, автор Виленкин zoobrilka.org›load/matematika/5_klass/vilenkin/20… ГДЗ по математике 5 класс Виленкин. Решебник и ГДЗ к учебнику по математике для 5 класса, авторов Виленкин Жохов Чесноков. Математика. 5 класс. Виленкин 30school.ru›5-klass/matematika/reshebnik…vilenkin… Готовые домашние задания (ГДЗ) по математике. 5 класс. Решебник к учебнику «Математика. … 5 класс». Виленкин Н.Я. Ответы к заданиям. 1. ГДЗ Решебник Математика 5 класс Виленкин (2004 и 2009) 5erka.ru›gdz-po…matematika-5-klass-vilenkin.html Главная » ГДЗ и решебники по математике » Решебник Математика 5 класс Виленкин (2004 и 2009). … На сегодня, данный решебник отличается тем, что к нему есть в наличие решения абсолютно всех упражнений, все ответы перепроверены… Вместе с «математика 5 класс виленкин гдз ответы» ищут: русский язык 5 класс ладыженская математика 6 класс виленкин гдз математика 5 класс н я виленкин 2014 гдз решебник учебник ответы фгос русский язык 5 класс разумовская математика 5 класс виленкин решебник ответы на все задания английский язык 5 класс биболетова русский язык 5 класс русский язык 5 класс ладыженская 2 часть гдз математика 5 класс виленкин жохов чесноков шварцбурд 2014 английский язык 5 класс биболетова учебник ответы 2014

Математика 5 Класс Виленкин Учебник Ответы Решебник – Telegraph


>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

Математика 5 Класс Виленкин Учебник Ответы Решебник

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Виленкина, Жохова, Чеснокова . Бесплатное ГДЗ для учеников и их родителей .  Решебник , ответы и решения к учебнику . 

Решебник по математике 5 класс : Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбур В таблице номера ответов соответствуют нумерации заданий в 31-м издании учебника для 5 класса Виленкина Н .Я . Он был издан в году и включает в себя две большие главы 

ГДЗ решебник и ответы Математика 5 класс . Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И . Учебник .  Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И . -2020 год . К списку упражнений . 

Н .Я . Виленкин , В .И . Жохов, А .С . Чесноков . Решебник (ГДЗ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд издательство Мнемозина .
Ответы сделаны к книге 2019 года от Мнемозина ФГОС .  А для того, чтобы этот процесс проходил еще более успешно и результативно, рекомендуется использовать онлайн-решебник по математике для 5 класса от Виленкина Н .Я ., Жохова В .И ., Чеснокова А .С .,Шварцбурд С .И . 

Основные составляющие решебника по Математике за 5 класс Виленкин . Многие школьники сталкиваются с тем, что не могут быстро  Пособие «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Виленкин Н . Я . Мнемозина» станет лучшим другом-помощником, так как верные ответы . . 

Разбит решебник к учебнику «Математика 5 класс Учебник Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина» на отдельно взятые главы, каждая из которых соответствует конкретной теме в математике за данный период времени . 

Тип: Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбурд С .И . Издательство: Мнемозина . Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда . ГДЗ по математике для 5 класса от . . 

ГДЗ (решебник ) по математике за 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд — ответы онлайн . Работа с натуральными числами дается легко, а вот изучение дробных величин у многих вызывает  Решебник по математике за 5 класс Виленкин охватывает все разделы учебника 

На решаторе имеются гдз по математике 5 класс Виленкина , где можно найти в решебнике пояснение любой задачи или примера из учебника Виленкина в режиме  На решаторе вы найдете решебник по математике за 5 класс Виленкин , где представлены не просто ответы . . 

Решебник по математике за 5 класс включает в себя все ответы с подробным разбором упражнений . ГДЗ идеально подходит для самостоятельного обучения .  Задачи удобно расположены в соответствии с номерами заданий в самом учебнике . 

ГДЗ по математике за пятый класс в доступной форме . В этом возрасте дети еще  Готовые задания по математике для пятого класса к учебнику Виленкина помогут не только найти  Для работы пятиклассникам необходимы качественные учебные материалы и решебники к ним . 

Здесь вы можете бесплатно пользоваться решебником (ГДЗ) для учебника по математике Виленкин за 5 -й класс . Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия . 

ГДЗ:Математика . Автор:Виленкин Н .Я . Класс:5 класс . Год издания: . Математика .  Изображение ответа появляется под этой надписью . Ответы по Математике за 5 класс . Виленкин Н .Я .  

Математика 5 класса Виленкина лидирует в России в качестве основного учебника . Наша команда пытается научить понимать математику . Математика — очень интересный предмет . Некоторые считают, что он сложный, на самом деле развивает логическое мышление, учит . . 

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Виленкина, Жохова, Чеснокова . Бесплатное ГДЗ для учеников и их родителей .  Решебник , ответы и решения к учебнику . 

Решебник по математике 5 класс : Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбур В таблице номера ответов соответствуют нумерации заданий в 31-м издании учебника для 5 класса Виленкина Н .Я . Он был издан в году и включает в себя две большие главы 

ГДЗ решебник и ответы Математика 5 класс . Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И . Учебник .  Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбург С .И . -2020 год . К списку упражнений . 

Н .Я . Виленкин , В .И . Жохов, А .С . Чесноков . Решебник (ГДЗ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд издательство Мнемозина .
Ответы сделаны к книге 2019 года от Мнемозина ФГОС .  А для того, чтобы этот процесс проходил еще более успешно и результативно, рекомендуется использовать онлайн-решебник по математике для 5 класса от Виленкина Н .Я ., Жохова В .И ., Чеснокова А .С .,Шварцбурд С .И . 

Основные составляющие решебника по Математике за 5 класс Виленкин . Многие школьники сталкиваются с тем, что не могут быстро  Пособие «ГДЗ по математике 5 класс Учебник Виленкин Н . Я . Мнемозина» станет лучшим другом-помощником, так как верные ответы . . 

Разбит решебник к учебнику «Математика 5 класс Учебник Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина» на отдельно взятые главы, каждая из которых соответствует конкретной теме в математике за данный период времени . 

Тип: Учебник . Авторы: Виленкин Н .Я ., Жохов В .И ., Чесноков А .С ., Шварцбурд С .И . Издательство: Мнемозина . Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда . ГДЗ по математике для 5 класса от . . 

ГДЗ (решебник ) по математике за 5 класс Виленкин , Жохов, Чесноков, Шварцбурд — ответы онлайн . Работа с натуральными числами дается легко, а вот изучение дробных величин у многих вызывает  Решебник по математике за 5 класс Виленкин охватывает все разделы учебника 

На решаторе имеются гдз по математике 5 класс Виленкина , где можно найти в решебнике пояснение любой задачи или примера из учебника Виленкина в режиме  На решаторе вы найдете решебник по математике за 5 класс Виленкин , где представлены не просто ответы . . 

Решебник по математике за 5 класс включает в себя все ответы с подробным разбором упражнений . ГДЗ идеально подходит для самостоятельного обучения .  Задачи удобно расположены в соответствии с номерами заданий в самом учебнике . 

ГДЗ по математике за пятый класс в доступной форме . В этом возрасте дети еще  Готовые задания по математике для пятого класса к учебнику Виленкина помогут не только найти  Для работы пятиклассникам необходимы качественные учебные материалы и решебники к ним . 

Здесь вы можете бесплатно пользоваться решебником (ГДЗ) для учебника по математике Виленкин за 5 -й класс . Кроме полного решения всех заданий и ответов, в нем есть пояснения, которые помогут вам, если вы пропустили занятия . 

ГДЗ:Математика . Автор:Виленкин Н .Я . Класс:5 класс . Год издания: . Математика .  Изображение ответа появляется под этой надписью . Ответы по Математике за 5 класс . Виленкин Н .Я .  

Математика 5 класса Виленкина лидирует в России в качестве основного учебника . Наша команда пытается научить понимать математику . Математика — очень интересный предмет . Некоторые считают, что он сложный, на самом деле развивает логическое мышление, учит . . 

ГДЗ Математика 6 Класс 1151
ГДЗ По Математике Рабочая Тетрадь Миракова
ГДЗ По Русскому Языку 9 Класс Коровина
ГДЗ По Математике 5 Класс Учебник Ломоносова
ГДЗ По Физике 7 Класс Гельфгат
Решебник По Математике 2 Класса Демидовой
ГДЗ По Английскому Activity Book 3
Решебник По Математике 6 Класс Муравин Учебник
ГДЗ По Русскому 5 Класс Беднарская Бабайцева
ГДЗ По Математике 4 Класс Никольский Потапов
ГДЗ По Алгебре 9 Класс 29
ГДЗ По Английскому Учебник Просвещение
Решебник Учебник Мордковича
ГДЗ По Биологии Восьмой Класс Рабочая Тетрадь
Решебник Гимназия 2 Класс
ГДЗ Математика 1 Класс Рабочая Тетрадь Кочурова
ГДЗ По Английскому 5 Виргина
ГДЗ Английский Язык 4 Быкова Сборник
ГДЗ По Английскому 9 Комарова Учебник
ГДЗ Решебник Математика 4 Класс Моро
ГДЗ По Русскому Языку 3 Класс Гармония
ГДЗ Матем Дидактический Материал
Rainbow English Афанасьева 4 Класс ГДЗ
ГДЗ Путина 9 Класс Русский Язык Разумовская
Алгебра 8 Класс Макарычев ГДЗ Номер 20
ГДЗ Впр По Математике Ответы
Starlight 11 Student S Book Решебник
ГДЗ По Русскому 5 Класс Канакин
ГДЗ По Биологии 10 Класс Беляев
ГДЗ Верещагина Афанасьева 6
ГДЗ По Английскому Языку Стр
ГДЗ Чуракова 2 Класс Тетрадь
Задачник Абрамян Решебник
ГДЗ Математика 2 Класс Стр 7 Упр3
ГДЗ По Английскому Афанасьева Михеева
ГДЗ По Русскому 8 Шмелев
ГДЗ По Английскому Языку Верещагина Учебника
ГДЗ Матем 2 Класс 2 Часть
5 Класс ГДЗ Сивоглазов Учебник
ГДЗ По Информатике 10 Класс Поляков Еремин
ГДЗ По Биологии 7 Класс Просвещение
ГДЗ По Английскому Практикум 6 Класс Вербицкая
ГДЗ По Русскому 4 Класс Моро
ГДЗ Spotlight 8 Тренировочные Упражнения
Решебник По Алгебре 10 11 Алимов
ГДЗ По Физике 10 Касьянов
Решебник Английский В Фокусе Тетрадь
ГДЗ Решебник По Алгебре 9 Класс Теляковского
Зубарева Мордкович 9 Класс ГДЗ
ГДЗ По Математике 6 Класс 1200

ГДЗ Русский Канакина 2 Класс Тетрадь

ГДЗ 2020 5 Класс

ГДЗ Физика 8 9 Класс

ГДЗ Английский 6 Биболетова Рабочая

Гдз По Английскому 9 Spotlight


Страница не найдена

Новости

1 окт

Заведующая отделом по связям с общественностью Общероссийского профсоюза образования Елена Елшина рассказала о подарках ко Дню учителя.

1 окт

Минпросвещения и Рособрнадзор опубликовали проект расписания проведения Единого государственного экзамена (ЕГЭ) и Основного государственного экзамена (ОГЭ) в 2022 году.

1 окт

Следователи возбудили уголовное дело после сообщений о том, что более 20 учеников гимназии в Брянске обратились за медпомощью с признаками кишечной инфекции. Об этом сообщили в региональном главке СК России.

1 окт

Генеральный консул КНР в Санкт-Петербурге Ван Вэньли прокомментировала популярность ЕГЭ по китайскому языку.

1 окт

Более 20 учеников гимназии № 3 в Брянске обратились в больницу с признаками кишечной инфекции, сообщила директор департамента образования и науки области Елена Егорова.

30 сен

Научный руководитель Института всеобщей истории РАН Александр Чубарьян рассказал о Всемирном конгрессе школьных учителей истории, который открывается в понедельник, 4 октября, в Москве.

30 сен

Мальчик пострадал при стрельбе в школе в американском городе Мемфис, штат Теннесси.

ГДЗ по Математике 5 класс Виленкин

Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда. ГДЗ по математике для 5 класса от Виленкин Н.Я.,Жохов В.И.,Чесноков А.С.,Шварцбурд С.И. , позволит:

  • решать домашнее задание в несколько раз быстрее;
  • заранее готовиться к уроку и приходить уже с готовыми ответами, чтобы заслужить уважение перед одноклассниками и получить одобрение учителя;
  • получать исключительно пятерки за все домашние и контрольные работы;
  • иметь подсказку в самых сложных и запутанных примерах.

Такая полезная книга подойдет не только двоечникам, но и отличникам. Просто каждый школьник будет использовать ее по-разному, кто-то займется регулярным списыванием, а для кого-то пособие станет возможностью освоить новые горизонты и закрепить полученный материал.

Каждое упражнение, которое вы найдете в ГДЗ, дополнено поэтапным решением, позволяющим подробно разобраться с примерами, и понять, какие принципы использовались для выполнения.

Для тех, кто хочет знать математику лучше всех, будет полезно заняться самостоятельным обучением, в чем также поможет ГДЗ. С помощью

пособия с ответами для 5 класса под авторством Виленкина Н.Я. школьник сможет устраивать себе тренировки, решая примеры по пройденным темам и проверяя себя с помощью решебника. Такие регулярные тренировки позволят надолго закрепить пройденный материал и разобраться во всех тонкостях науки.

Ну а те, у кого не лежит душа к математике, смогут использовать сборник к для списывания и ознакомления хотя бы с базовыми аспектами предмета. Теперь вам не придется бояться двоек, ведь пятерки будут даваться без особых усилий. Достаточно только открыть онлайн-пособие с ответами и готовые номера у вас под рукой.

Использовать решебник могут не только школьники, но также учителя и родители. Особенно это актуально для преподавателей, которые таким образом смогут сбросить с себя часть ненужных обязанностей, превратить процесс перепроверки горы тетрадей в быстрое и приятное занятие, а свободное время можно потратить на заслуженный и такой долгожданный отдых.

ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Виленкин Н.Я. (синий) можно посмотреть здесь.

ГДЗ к тестам по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Попов М.А. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Чесноков А.С. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради Универсальные учебные действия по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к контрольным работам по математике за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к математическому тренажёру за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Лебединцева Е.А. можно посмотреть здесь.

решебник по фото учебника by Sfera LLC

Мечта школьников!

Краткие изложения школьной программы на лето с 5 по 11 класс.

Решебник по фотографии. Достаточно сфотографировать страницу с домашним заданием из учебника или рабочей тетради камерой смартфона, и приложение подскажет ответ. В библиотеке вы найдете готовые домашние задания и решебники по всем школьным предметам с 1 по 11 класс.

У нас вы найдете ответы и готовые домашние задания по самым популярным предметам школьной программы:
— Математика
— Русский язык
— Алгебра
— Английский язык
— Геометрия Физика
— Биология/Окружающий мир
— История
— География
— Литература
— Химия
— Немецкий язык
— Информатика
— Обществознание

В библиотеке приложения вы найдете ГДЗ к учебникам, рабочим тетрадям, контрольно-измерительным материалам, дидактическим материалам, тестам, контрольным работам, тренажерам, сборникам задач следующих авторов: Александрова, Алимов, Атанасян, Афанасьева, Баранов, Баранова, Бархударов, Башмаков, Боголюбова, Босова, Бунеев, Бунимович, Бутузов, Быстрова, Ваулина, Виленкин, Волкова, Габриелян, Гаврилова, Гамбарин, Глазков, Гольцова, Горецкий, Демидова, Дорофеев, Дудницын, Евстафьева, Егорова, Ерина, Ефремова, Желтовская, Жохов, Звавич, Зив, Зубарева, Иванов, Истомина, Иченская, Канакина, Кауфман, Кибирева, Климанова, Ключникова, Козлов, Колягин, Комарова, Коровина, Кузнецова, Кузовлев, Купалова, Ладыженская, Ларионова, Литвинова, Львова, Макарычев, Мартышова, Мерзляк, Меркин, Минаева, Миндюк, Миракова, Мищенко, Мордкович, Моро, Муравин, Мякишев, Никитина, Никольский, Перышкин, Песняева, Петерсон, Пичугов, Погорелов, Полонский, Попов, Попова, Потапов, Разумова, Разумовская, Рамзаева, Рубин, Рудницкая, Рыбченкова, Смирнова, Соловейчик, Ткачева, Тростенцова, Чекин, Чесноков, Чулков, Шарыгин, Шмелев, Яценко и других.

Решения по всей школьной программе за 1 класс, 2 класс, 3 класс, 4 класс, 5 класс, 6 класс, 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс.

Вы можете найти наше приложение, если введете: гдз, математика, gdz, brainly, знания, решение уравнений, якласс, учебник, решение примеров, решебник по математике, решебник по английскому, решебник по алгебре, гдз по алгебре, гдз английский, учеба, математика решение, алгебра, решебник, решение по фото, решение, учебники, шпаргалки, матиматика, гдз ру, гдз решебник, гдз по фото, задания, решать примеры, решения, класс, приложения для школы, гдз по русскому, гдз без интернета, уроки, решебник по фото, домашнее задание, учи, ответы, гдз по математике, еуроки, гдз по английскому, готовые домашние задания, решение задач, шпоргалки, математика 6 класс, дз, химия решение, решение математики, гдз домашка, фотокалькулятор, гдз от путина, решебник уравнений, гдз алгебра, ответы по фото, шпоры, решение задач по фото, онлайн уроки, решения по фото, шпора, гдз русский, гдз и решебник по алгебре, гдз геометрия, домашние задания, задачи по математике.

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин, Жохов

Учебник
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.
Мнемозина


Здесь вы найдете полные ответы на задания популярного учебника математики Наума Яковлевича Виленкина для учащихся 5 класса. Решебник Виленкина поможет пропустившим уроки школьникам выполнять домашняя работу по ключевому предмету — математике. В свою очередь родители пятиклассников смогут проконтролировать правильность хода решения упражнений из учебника. ГДЗ ЛОЛ КЕК созданы только для проверки!

Ответы по математике 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд:

← Предыдущая

1

Следующая →


Сегодня в большинстве школ используется учебник Математика 5 класс Виленкин, как одно из самых качественных изданий по освоению предмета. Предусматривается в первую очередь развитие мышления ребенка, которое закрепляется при применении полученных знаний на примерах. Специальные задания с высоким уровнем сложности помогут определить математический склад ума вашего ребенка.

Ко всем задачам должны быть и ответы, поэтому и к данному учебнику они прилагаются. Решебник поможет детям полностью усвоить материал, разъясняя непонятные моменты, а родителям — не потерять авторитет в глазах ребенка, когда нужно что-то подсказать. Следите, чтобы ребенок не списывал ответы, а путем размышления и анализа сам постепенно приходил к нему.

Прежде всего представленные ответы по математике на 1 и 2 части учебника Виленкина лучше всего использовать родителям. Вам остается только проверить выполнение, что существенно сохранит время, если бы вы решали это сами. К тому же гораздо проще найти ошибку и указать на нее, если ученик затрудняется самостоятельно определить метод решения задачи.

Математика для пятиклассников – один из самых сложных предметов. На 5 год обучения значительно усложняется программа и ученики к этому оказываются не готовы. Поэтому онлайн решебник по математике за 5 класс Виленкина является эффективным способом повысить успеваемость, предлагая правильно выполненные домашние задания бесплатно. Сэкономьте время на домашку и подсмотрите верный ответ на lolkek.ru.

Еще решебники из раздела Математика 5 класс

Решебник по математике 5 класс виленкин краткая запись и решение

Скачать решебник по математике 5 класс виленкин краткая запись и решение fb2

Качественные видеоролики с решениями задач по Математике за 5 класс. Автор Виленкин Н.Я. Смотри ролики и решай домашние задания на 5+.  Решение задач по учебнику Математики за 5 класс автора Виленкин Н.Я. Все решения с объяснением в наших видеороликах. Решение задач от 1 до Решение задач от до Решение задач от до Решение задач от до Решение задач от до Учебник по математике по алгебре за авторством Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд находится школьная программа изучения предмета под выпуском издательства Мнемозина от года.

Целью разработки пособия является всестороннее изучение математической науки и его разделов: алгебры, геометрии, арифметики, теорий вероятностей и множеств.  Авторское ГДЗ для 5 класса по учебнику Виленкина имеет в себе полностью решённые задания из учебного издания для общеобразовательных учреждений. Главным достоинством его является то, что здесь даны не только ответы на вопросы и упражнения, но и имеются краткие комментарии, видеорешение и алгоритмы производимых действий.

Здесь представлены ответы к учебнику по математике 5 класс Виленкин Жохов Чесноков Шварцбурд ФГОС. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств. Быстрый поиск.

НАЙТИ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Разбит решебник к учебнику «Математика 5 класс Учебник Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд Мнемозина» на отдельно взятые главы, каждая из которых соответствует конкретной теме в математике за данный период времени.

К примеру, дается четкое пояснение вопросов, связанных с дробями, а также началом элементарной алгебры. Несмотря на то, что последняя тема начинается несколько позже, в пятом классе дается ознакомительный курс по этому направлению. Обратите внимание. Пособие предлагает много интересного материала, оформленного и подготовленного в рамках соответствия со школьной программой и адаптир.

ГДЗ по математике 5 класс Виленкин Н.Я. Тип: Учебник. Авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И..

Издательство: Мнемозина Все еще не знаете, каким образом решебник помогает в обучении? Пришло время разобраться в этом вопросе раз и навсегда. ГДЗ по математике для 5 класса от Виленкин Н.Я.,Жохов В.И.,Чесноков А.С.,Шварцбурд С.И., позволит: решать домашнее задание в несколько раз быстрее; заранее готовиться к уроку и приходить уже с готовыми ответами, чтобы заслужить уважение перед одноклассниками и получить одобрение учителя.

Данный решебник по математике за 5 класс поможет ученикам быстро списать решения номеров к учебнику Виленкина. В таблице представлены решения заданий за год по ФГОСам: номера №1-№ ГДЗ по математике 5 класса позволит проверить домашнюю работу по Виленкину и исправить ошибки.

Учебник по математике для 5 класса авторов Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд предназначен для пятиклассников, которые закончили начальную школу и продолжают изучать этот интересный, но сложный предмет. Рабочая программа этих методистов используется во многих общеобразовательных учреждениях и подходит не только для базового, но и для углубленного изучения дисциплины. В любом случае на школьников ложится внушительная нагрузка, с которой не каждому под силу преодолеть.  В решебнике приведены не только ключи, но и подробные решения.

Запомнив их алгоритм, ребенок сможет без труда справляться с подобными примерами на классных, самостоятельных и контрольных работах. ГДЗ к учебнику по математика за 5 класс авторов Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков поможет справиться с любыми трудностями по курсу данного учебника. Авторы данного решебника подробно расписали решения ко всем задачам учебника. Решебник содержит ответы ко всем заданиям учебника. Данным решебником могут пользоваться не только школьники, но и родители, ведь каждый родитель хочет, чтобы их ребёнок хорошо учился.

Благодаря данному решебнику родители могут легко и быстро проверять знания своих детей. Задания: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3.

txt, djvu, PDF, doc

Похожее:

  • 11 клас фонетика тесты
  • Презентація на англійську мову про катерину білокур
  • Гдз укр мова 9 клас заболотний о в
  • Географія 7 класс пестушко 2015
  • Фізика контрольні роботи 10 клас репей відповіді
  • 404 не найдено

    404 не найдено

    Запрошенный URL /~aterras/advanced%2520calculus%2520lectures.pdf не найден на этом сервере.


    Наиболее частые причины этой ошибки:
    • Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
    • Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.
    Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.
    Информацию о веб-сайтах класса см. В списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

    Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.


    Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу [email protected]

    Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

    • Точный URL-адрес, который вы пытаетесь достичь, указан в вашем веб-браузере:
      REQUEST_URI = http: // math.ucsd.edu/~aterras/advanced%2520calculus%2520lectures.pdf
    • Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас к этому URL-адресу:
      HTTP_REFERER = (нет)
    • Полное название используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
      HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
    • Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
    • Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
    • Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
      REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 85.140.3.214 (214.mtsnet.ru)
    • Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
      DATE_LOCAL = суббота, 2 октября 2021 г. 12:28:12 PDT
    Спасибо!

    Правильные и неправильные дроби. Неправильная фракция

    Обычные дроби делятся на \ textit (правильные) и \ textit (неправильные) дроби.Это деление основано на сравнении числителя и знаменателя.

    Правильные дроби

    Правильные дроби , называемые обыкновенными дробями $ \ frac (m) (n) $, числитель которых меньше знаменателя, т.е. $ m

    Пример 1

    Например, дроби $ \ frac (1) (3) $, $ \ frac (9) (123) $, $ \ frac (77) (78) $, $ \ frac (378567) (456298) $ равны правильно, так как в каждом из них числитель меньше знаменателя, что соответствует определению правильной дроби.

    Существует определение правильной дроби, которое основано на сравнении дроби с единицей.

    правильно , если она меньше единицы:

    Пример 2

    Например, обычная дробь $ \ frac (6) (13) $ верна, потому что условие $ \ frac (6) (13)

    неверно дроби

    Неправильная дробь — это обычная дробь $ \ frac (m) (n) $, числитель которой больше или равен знаменателю, то есть $ m \ ge n $.

    Пример 3

    Например, дроби $ \ frac (5) (5) $, $ \ frac (24) (3) $, $ \ frac (567) (113) $, $ \ frac (100001) (100000) $ равны неверно, так как в каждом из них числитель больше или равен знаменателю, что соответствует определению неправильной дроби.

    Дадим определение неправильной дроби, основанное на сравнении ее с единицей.

    Обычная дробь $ \ frac (m) (n) $ — это неверно , если она больше или равна единице:

    \ [\ frac (m) (n) \ ge 1 \]

    Пример 4

    Например, дробь $ \ frac (21) (4) $ недействительна, поскольку выполняется условие $ \ frac (21) (4)> 1 $;

    обыкновенная дробь $ \ frac (8) (8) $ недействительна, поскольку выполняется условие $ \ frac (8) (8) = 1 $.

    Давайте подробнее рассмотрим понятие неправильной дроби.

    Возьмем для примера неправильную дробь $ \ frac (7) (7) $. Значение этой дроби — семь частей предмета, которые делятся на семь равных частей. Таким образом, из семи доступных долей можно составить предмет целиком. Те. несобственная дробь $ \ frac (7) (7) $ описывает объект целиком и $ \ frac (7) (7) = 1 $. Поэтому не исправляйте дроби, в которых числитель равен знаменателю, описывайте один объект целиком и такую ​​дробь можно заменить натуральным числом $ 1 $.

      $ \ frac (5) (2) $ — совершенно очевидно, что из этих пяти секундных долей можно сделать целые предметы по 2 доллара (одна целая вещь будет долями по 2 доллара, а составить две целые вещи вам нужно 2 доллара + 2 = 4 доллара) и остается одна вторая акция. То есть неправильная дробь $ \ frac (5) (2) $ описывает $ 2 $ элемента, а $ \ frac (1) (2) $ — долю этого элемента.

      $ \ frac (21) (7) $ — двадцать одна седьмая акция может составить 3 доллара целиком (3 доллара с акциями по 7 долларов каждая).Те. дробь $ \ frac (21) (7) $ описывает $ 3 $ целых объектов.

    Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод: неправильную дробь можно заменить натуральным числом, если числитель полностью делится на знаменатель (например, $ \ frac (7) (7) = 1 $ и $ \ frac (21) (7) = 3 $), или сумма натурального числа и правильной дроби, если числитель не полностью делится на знаменатель (например, $ \ \ frac (5) (2) = 2 + \ frac (1) (2) $).Поэтому такие дроби ошибочно называются .

    Определение 1

    Процесс представления неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби (например, $ \ frac (5) (2) = 2 + \ frac (1) (2) $) называется с разделением целая часть из неправильной дроби .

    При работе с неправильными дробями между ними и смешанными числами существует тесная связь.

    Неправильная дробь часто записывается как смешанное число — число, состоящее из целой и дробной части.

    Чтобы записать неправильную дробь как смешанное число, необходимо разделить числитель на знаменатель и остаток. Частное будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем дробной части, а делитель — знаменателем дробной части.

    Пример 5

    Запишите неправильную дробь $ \ frac (37) (12) $ как смешанное число.

    Решение.

    Разделите числитель на знаменатель с остатком:

    \ [\ frac (37) (12) = 37: 12 = 3 \ (остаток \ 1) \] \ [\ frac (37) (12) = 3 \ frac (1) (12) \]

    Ответ. $ \ frac (37) (12) = 3 \ frac (1) (12) $.

    Чтобы записать смешанное число как неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целую часть числа, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель дроби . Знаменатель неправильной дроби будет равен знаменателю дробной части смешанного числа.

    Пример 6

    Запишите смешанное число $ 5 \ frac (3) (7) $ как неправильную дробь.

    Решение.

    Ответ. $ 5 \ frac (3) (7) = \ frac (38) (7) $.

    Сложение смешанного числа и правильной дроби

    Сложение смешанного числа $ a \ frac (b) (c) $ и правильной дроби $ \ frac (d) (e) $ выполняется добавлением к заданному дробь дробная часть данного смешанного числа:

    Пример 7

    Складываем правильную дробь $ \ frac (4) (15) $ и смешанное число $ 3 \ frac (2) (5) $.

    Решение.

    Воспользуемся формулой для сложения смешанного числа и правильной дроби:

    \ [\ frac (4) (15) +3 \ frac (2) (5) = 3 + \ left (\ frac (2) (5 ) + \ frac (4) (15) \ right) = 3 + \ left (\ frac (2 \ cdot 3) (5 \ cdot 3) + \ frac (4) (15) \ right) = 3 + \ frac (6 + 4) (15) = 3 + \ frac (10) (15) \]

    Разделив на число \ textit (5), можно определить, что дробь $ \ frac (10) (15) $ можно отменить. Выполним редукцию и найдем результат сложения:

    Итак, результат сложения правильной дроби $ \ frac (4) (15) $ и смешанного числа $ 3 \ frac (2) (5) $ будет $ 3 \ frac (2) (3) $.

    Ответ: $ 3 \ frac (2) (3) $

    Сложение смешанного числа и неправильной дроби

    Сложение неправильной дроби и смешанного числа сводятся к сложению двух смешанных чисел, для чего достаточно выберите целую часть из неправильной дроби.

    Пример 8

    Вычислить сумму смешанного числа $ 6 \ frac (2) (15) $ и несобственной дроби $ \ frac (13) (5) $.

    Решение.

    Сначала выберите целую часть из неправильной дроби $ \ frac (13) (5) $:

    Ответ: $ 8 \ frac (11) (15) $.

    При слове «фракции» у многих бегают мурашки по коже. Потому что вспоминаю школу и задачи, которые решались по математике. Это был долг, который нужно было выполнить. Но что, если мы будем рассматривать задачи, содержащие правильные и неправильные дроби, как головоломку? Ведь многие взрослые решают цифровые и японские кроссворды. Разобрались с правилами, вот и все. Здесь то же самое. Стоит только вникнуть в теорию — и все встанет на свои места. А примеры превратятся в способ тренировать ваш мозг.

    Какие бывают фракции?

    Для начала о том, что это такое. Дробь — это число, в котором дробь равна единице. Это можно записать в двух формах. Первый называется обыкновенным. То есть тот, который имеет горизонтальную или наклонную линию. Приравнивается к знаку деления.

    В такой записи число над тире называется числителем, а под ним — знаменателем.

    Среди обыкновенных различают правильные и неправильные дроби. В первом случае числитель по модулю всегда меньше знаменателя.Неправильные называются так потому, что у них наоборот. Правильная дробь всегда меньше единицы. А неправильный всегда больше этого числа.

    Существуют также смешанные числа, то есть такие, которые имеют целую и дробную части.

    Второй вид записи — десятичный … О ней отдельный разговор.

    Чем неправильные дроби отличаются от смешанных чисел?

    По сути, ничего. Это просто разные записи для одного и того же номера.Неправильные дроби легко превращаются в смешанные числа после простых действий. Наоборот.

    Все зависит от конкретной ситуации … Иногда в задачах удобнее использовать неправильную дробь. А иногда необходимо перевести его в смешанное число, и тогда пример решится очень легко. Следовательно, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, зависит от наблюдательности решателя задач.

    Смешанное число также сравнивается с суммой целой и дробной частей.Причем второй всегда меньше единицы.

    Как представить смешанное число как неправильную дробь?

    Если вам нужно произвести какое-либо действие с несколькими числами, записанными разными типами, то вам нужно сделать их одинаковыми. Один из способов — представить числа в виде неправильных дробей.

    Для этого необходимо выполнить действия по следующему алгоритму:

    • умножить знаменатель на целую часть;
    • добавить числитель к результату;
    • напишите ответ над строкой;
    • оставим знаменатель прежним.

    Вот примеры того, как записывать неправильные дроби из смешанных чисел:

    • 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
    • 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

    Как записать неправильную дробь как смешанное число?

    Следующая техника противоположна описанной выше. То есть когда все смешанные числа заменяются неправильными дробями. Алгоритм действий будет следующим:

    • делим числитель на знаменатель, чтобы получить остаток;
    • запишите частное вместо всей части смеси;
    • остаток следует разместить над линией;
    • делитель будет знаменателем.

    Примеры такого преобразования:

    76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответ — 5 целых чисел и 6/14; дробную часть в этом примере нужно уменьшить на 2, получится 3/7; окончательный ответ — 5 баллов 3/7.

    108/54; после деления частное равно 2 без остатка; это означает, что не все неправильные дроби могут быть представлены в виде смешанного числа; ответ целиком — 2.

    Как преобразовать целое число в неправильную дробь?

    Бывают ситуации, когда такое действие тоже необходимо.Чтобы получить неправильные дроби с известным знаменателем, вам потребуется выполнить следующий алгоритм:

    • умножить целое число на желаемый знаменатель;
    • запишите это значение над строкой;
    • поместите знаменатель под ним.

    Самый простой вариант — когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое приведено в примере, и поставить единицу под чертой.

    Пример : 5 дает неправильную дробь со знаминателем 3.Умножив 5 на 3, вы получите 15. Это число будет знаменателем. Ответ на проблему — дробь: 15/3.

    Два подхода к решению задач с разными числами

    В этом примере вам нужно вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых чисел 3/5 и 14/11.

    При первом подходе смешанное число будет представлено как неправильная дробь.

    После выполнения шагов, описанных выше, вы получите следующее значение: 13/5.

    Чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одному знаменателю. 13/5 после умножения на 11 становится 143/55. И 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы достаточно сложить числители: 143 и 70, а затем записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — это неправильная дробь ответа на проблему.

    При нахождении разницы вычитаются одинаковые числа: 143 — 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.

    При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно попарно умножить числители и знаменатели. Ответ 182/55.

    То же и с делением. Для правильного решения вам нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

    При втором подходе неправильная дробь становится смешанным числом.

    После выполнения шагов алгоритма 14/11 превратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.

    При подсчете суммы нужно отдельно складывать целую и дробную части. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Окончательный ответ — 3 балла 48/55. Первый раунд был 213/55. Вы можете проверить правильность, переведя его в смешанное число. Разделив 213 на 55, мы получим частное 3 и остаток 48. Легко убедиться, что ответ правильный.

    При вычитании знак + заменяется на -. 2 — 1 = 1,33 / 55 — 15/55 = 18/55. Чтобы проверить, ответ из предыдущего подхода должен быть преобразован в смешанное число: 73 делится на 55, частное равно 1, а остаток равен 18.

    Неудобно использовать смешанные числа для поиска работы и частного. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.

    В данной статье речь идет о обыкновенных дробях … Здесь мы познакомимся с понятием дроби целого, что приведет нас к определению обыкновенной дроби. Далее мы остановимся на принятых обозначениях обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем о числителе и знаменателе дроби.После этого мы дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче … В заключение перечислим основные действия с дробями.

    Навигация по страницам.

    Доли всего

    Сначала мы представляем концепцию долей .

    Предположим, у нас есть некий объект, состоящий из нескольких абсолютно идентичных (то есть равных) частей. Для наглядности вы можете представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных частей.Каждая из этих равных частей, составляющих единое целое, называется долей целого или просто долей .

    Обратите внимание, что акции разные. Поясним это. Допустим, у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе — на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.

    В зависимости от количества долей, составляющих предмет в целом, эти доли имеют свои собственные названия.Давайте проанализируем общих имен … Если объект состоит из двух частей, любая из них называется односекундной частью всего объекта; если объект состоит из трех частей, то любая из них называется одной третьей частью и так далее.

    Одна вторая акция имеет специальное название — , половина … Треть акции называется , третья , а одна четверть — , четверть .

    Для краткости введено обозначений акций … Одна вторая акция обозначается как 1/2, одна треть как 1/3; одна четверть равна или 1/4, и так далее. Обратите внимание, что обозначения с горизонтальной полосой используются чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает сто шестьдесят седьмую часть целого.

    Понятие доли естественным образом распространяется не только на предметы, но и на количества. Например, одним из критериев измерения длины является метр. Для измерения длины короче метра можно использовать доли метра.Таким образом, вы можете использовать, например, полметра или десятую или тысячную долю метра. Таким же образом применяются доли других величин.

    Общие дроби, определение и примеры дробей

    Для описания количества ударов используйте общих дробей … Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обычных дробей.

    Пусть у апельсина будет 12 частей. Каждая доля в данном случае представляет собой одну двенадцатую часть целого апельсина, то есть.Обозначим две доли как, три доли — как, и так далее, 12 долей обозначим. Каждая из этих записей называется дробью.

    Теперь давайте дадим общее определение обыкновенным дробям .

    Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеров обыкновенных дробей : 5/10 ,, 21/1, 9/4 ,. А вот записи не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть это не обыкновенные дроби.

    Числитель и знаменатель

    Для удобства выделена обыкновенная дробь в числителе и знаменателе .

    Определение.

    Числитель дробь (m / n) — натуральное число m.

    Определение.

    Знаменатель дроби (m / n) — натуральное число n.

    Итак, числитель находится над косой чертой (слева от косой черты), а знаменатель — под косой чертой (справа от косой черты). Например, мы дадим обыкновенную дробь 17/29, в числителе этой дроби будет число 17, а в знаменателе — число 29.

    Осталось обсудить значение числителя и знаменателя обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких частей состоит один предмет, числитель, в свою очередь, указывает количество таких частей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти частей, а числитель 12 означает, что таких частей взято 12.

    Натуральное число в виде дроби со знаминателем 1

    Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице.В этом случае можно предположить, что объект неделим, иными словами, это нечто целое. Числитель такой дроби показывает, сколько целых предметов было взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m / 1 имеет значение натурального числа m. Так мы доказали справедливость равенства m / 1 = m.

    Перепишем последнее равенство в следующем виде: m = m / 1. Это равенство позволяет нам представить любое натуральное число m в виде обыкновенной дроби. Например, 4 — это дробь 4/1, а 103 498 равно 103 498/1.

    Итак, любое натуральное число m может быть представлено как обыкновенная дробь со знаминателем 1 как m / 1, а любая обычная дробь формы m / 1 может быть заменена натуральным числом m .

    Косая черта после дроби как знак деления

    Представление исходного предмета в виде n долей — это не что иное, как разделение на n равных частей. После того, как предмет разделен на n долей, мы можем разделить его поровну между n людьми — каждый получит по одной доле.

    Если у нас изначально есть m идентичных объектов, каждый из которых разделен на n частей, то мы можем поровну разделить эти m объектов между n людьми, дав каждому человеку по одной доле каждого из m объектов. В этом случае у каждого человека будет m долей 1 / n, а m долей 1 / n дают обыкновенную долю m / n. Таким образом, обычная дробь m / n может использоваться для обозначения разделения m объектов между n людьми.

    Итак, мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (см. Общую идею деления натуральных чисел).Это соотношение выражается в следующем: косую черту дроби можно понимать как знак деления, то есть m / n = m: n .

    Используя обыкновенную дробь, вы можете записать результат деления двух натуральных чисел, для которых целочисленное деление не выполняется. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8, то есть каждый получит пять восьмых яблока: 5: 8 = 5/8.

    Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

    Довольно естественное действие — это сравнение обыкновенных дробей , ведь ясно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12, а 1/6 яблока то же самое, что еще 1/6 этого яблоко.

    В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае у нас равных дробей , а во втором — неравных дробей … Дадим определение равным и неравным обыкновенным дробям.

    Определение.

    равно , если верно равенство a d = b c.

    Определение.

    Две дроби a / b и c / d не равны , если не выполняется равенство a d = b c.

    Вот несколько примеров равных дробей. Например, обыкновенная дробь 1/2 равна 2/4, поскольку 1 4 = 2 2 (при необходимости см. Правила и примеры умножения натуральных чисел). Для наглядности вы можете представить два одинаковых яблока, первое разрезать пополам, а второе — на 4 части. При этом очевидно, что две четверти яблока — это 1/2 доли. Другими примерами равных общих дробей являются 4/7 и 36/63, а также пара дробей 81/50 и 1,620/1000.

    А обыкновенные дроби 4/13 и 5/14 не равны, так как 4 14 = 56 и 13 5 = 65, то есть 4 14 ≠ 13 5. Дроби 17/7 и 6/4 являются еще одним примером неравные обыкновенные дроби.

    Если при сравнении двух обыкновенных дробей выяснилось, что они не равны, то может потребоваться выяснить, какая из этих обыкновенных дробей меньше, другая, а какая — больше … Чтобы узнать, Используется правило сравнения обыкновенных дробей, суть которого сводится к приведению сравниваемых дробей к общему знаменателю и последующему сравнению числителей.Подробная информация по этой теме собрана в статье Сравнение дробей: правила, примеры, решения.

    Дробные числа

    Каждая дробь — это запись дробное число … То есть дробь — это всего лишь «оболочка» дробного числа, ее внешний вид, а вся смысловая нагрузка содержится именно в дробном числе. Однако для краткости и удобства понятия дроби и дробного числа объединены и просто обозначены как дробь.Здесь уместно перефразировать известную поговорку: мы говорим дробь — мы имеем в виду дробное число, мы говорим дробное число — мы имеем в виду дробь.

    Дроби на координатном луче

    Все дробные числа, соответствующие обыкновенным дробям, имеют свое уникальное место, то есть между дробями и точками координатного луча существует взаимно однозначное соответствие.

    Чтобы попасть на координатный луч в точку, соответствующую доле m / n, необходимо отложить m отрезков от начала координат в положительном направлении, длина которых составляет 1 / n доли единичного отрезка.Такие сегменты можно получить, разделив единичный сегмент на n равных частей, что всегда можно сделать с помощью циркуля и линейки.

    В качестве примера покажем точку M на координатном луче, соответствующую дроби 14/10. Длина отрезка с концами в точке O и ближайшей к нему точкой, отмеченной маленьким штрихом, составляет 1/10 единичного отрезка. Точка с координатой 14/10 находится на расстоянии 14 таких отрезков от начала координат.

    Равные дроби соответствуют одному и тому же дробному числу, то есть равные дроби являются координатами одной и той же точки на координатном луче.Например, одна точка соответствует координатам 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 на координатном луче, так как все записанные дроби равны (она находится на расстоянии половины единичного отрезка, задайте кроме начала координат в положительном направлении).

    На горизонтальном и направленном вправо координатном луче точка, координата которой является основной долей, расположена справа от точки, координата которой является второстепенной долей. Точно так же точка с меньшей координатой находится слева от точки с большей координатой.

    Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

    Среди обыкновенных дробей есть правильных и неправильных дробей … Это деление основано на сравнении числителя и знаменателя.

    Дадим определение правильной и неправильной обыкновенной дроби.

    Определение.

    Правильная дробь Обыкновенная дробь, числитель которой меньше знаменателя, т. Е. M

    Определение.

    Неправильная дробь Обычная дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, то есть, если m≥n, то обычная дробь неверна.

    Вот несколько примеров правильных дробей: 1/4 ,, 32 765/909 003. Действительно, в каждой записанной обыкновенной дроби числитель меньше знаменателя (при необходимости см. Статью о сравнении натуральных чисел), поэтому они верны по определению.

    А вот примеры неправильных дробей: 9/9, 23/4 ,.Ведь числитель первой из записанных обыкновенных дробей равен знаменателю, а у остальных дробей числитель больше знаменателя.

    Есть также определения правильной и неправильной дробей, основанные на сравнении дробей с единицей.

    Определение.

    правильно , если меньше единицы.

    Определение.

    Обычная дробь называется неправильной , если она либо равна единице, либо больше 1.

    Итак, обыкновенная дробь 7/11 верна, поскольку 7/111, а 27/27 = 1.

    Давайте задумаемся, почему обычные дроби с числителем больше или равным знаменателю заслужили такое название — «неправильные».

    Возьмем для примера неправильную дробь 9/9. Эта дробь означает, что вы взяли девять частей объекта, который состоит из девяти частей. То есть из девяти доступных частей мы можем составить целый объект. То есть неправильная дробь 9/9 по существу дает весь предмет, то есть 9/9 = 1.Обычно неправильные дроби с числителем, равным знаменателю, обозначают один объект целиком, и такую ​​дробь можно заменить натуральным числом 1.

    Теперь рассмотрим неправильные дроби 7/3 и 12/4. Совершенно очевидно, что из этих семи третей мы можем сделать два целых объекта (один целый объект состоит из 3 частей, тогда, чтобы составить два целых объекта, нам нужно 3 + 3 = 6 долей), а одна треть все еще остается. То есть неправильная дробь 7/3 по сути означает 2 предмета и даже 1/3 такого предмета.А из двенадцати четвертей мы можем сделать три целых объекта (три объекта с четырьмя долями в каждом). То есть дробь 12/4 по сути означает 3 целых объекта.

    Приведенные выше примеры приводят нас к следующему выводу: неправильные дроби могут быть заменены либо натуральными числами, когда числитель делится целиком на знаменатель (например, 9/9 = 1 и 12/4 = 3), либо на сумма натурального числа и правильной дроби, когда числитель не делится на знаменатель (например, 7/3 = 2 + 1/3).Возможно, именно поэтому неправильные дроби получили такое название — «неправильные».

    Особый интерес представляет представление неправильной дроби как суммы натурального числа и правильной дроби (7/3 = 2 + 1/3). Этот процесс называется отделением целой части от неподходящей фракции и заслуживает отдельного и более внимательного рассмотрения.

    Также стоит отметить, что существует очень тесная связь между неправильными дробями и смешанными числами.

    Положительные и отрицательные дроби

    Каждой дроби соответствует положительное дробное число (см. Статью положительные и отрицательные числа). То есть обыкновенные дроби — это положительные дроби … Например, обычные дроби 1/5, 56/18, 35/144 — положительные дроби. Когда необходимо подчеркнуть положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4, +72/34.

    Если поставить знак минус перед обыкновенной дробью, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу.В этом случае мы можем говорить о отрицательных дробях … Вот несколько примеров отрицательных дробей: −6/10, −65/13, −1/18.

    Положительные и отрицательные дроби m / n и -m / n — противоположные числа. Например, дроби 5/7 и −5/7 — противоположные дроби.

    Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение любого значения в сторону увеличения и т. Д. Отрицательные дроби соответствуют расходам, долгу, изменению любого значения в сторону уменьшения. Например, отрицательная дробь −3/4 может интерпретироваться как долг 3/4.

    По горизонтали и вправо отрицательные дроби расположены слева от начала координат. Точки координатной линии, координатами которых являются положительная дробь m / n и отрицательная дробь −m / n, расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O.

    Здесь стоит упомянуть дроби вида 0 / n. Эти дроби равны нулю, то есть 0 / n = 0.

    Положительные дроби, отрицательные дроби и дроби 0 / n объединяются в рациональные числа.

    Дробные действия

    Одно действие с обыкновенными дробями — сравнение дробей — мы уже обсуждали выше. Еще четыре арифметических действия с дробями — сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них.

    Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию.

    Умножение дробей можно рассматривать как действие, в котором присутствует дробь дроби.Приведем пример для пояснения. Предположим, у нас есть 1/6 яблока и нам нужно взять 2/3 от него. Нужная нам деталь — результат умножения дробей 1/6 и 2/3. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Далее рекомендуем изучить информацию статьи умножение дробей — правила, примеры и решения.

    Библиография.

    • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5-х классов. образовательные учреждения.
    • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
    • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

    Мы встречаемся с дробями в жизни гораздо раньше, чем они начинают их изучать в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, получится ½ части плода. Отрежь еще раз — будет ¼.Это дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого. Для ребенка (а эту тему начинают изучать в конце начальной школы) абстрактные математические понятия все еще пугающе непонятны, и учитель должен доступным образом объяснять, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная. , какие операции с ними можно проводить и главное зачем все это нужно.

    Какие бывают дроби

    Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей.Их легко узнать по горизонтальной линии, разделяющей два числа — вверху и внизу. Верх называется числителем, нижний — знаменателем. Существует также вариант написания неправильных и обычных обыкновенных дробей в нижнем регистре — через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Эта опция используется, когда высота строки ограничена и невозможно применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Потому что так удобнее. В этом мы убедимся чуть позже.

    Помимо общепринятых, есть еще и десятичные дроби. Отличить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или косая черта, то в другом — запятая, разделяющая последовательности чисел. Давайте посмотрим на пример: 2.9; 163,34; 1.953. Мы намеренно использовали точку с запятой в качестве разделителя для разделения чисел. Первый из них будет звучать так: «два целых, девять десятых».

    Новые концепции

    Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух типов.

    Определение правильной дроби следующее: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Посмотрим сейчас!

    У вас есть несколько яблок, разделенных пополам. Всего — 5 частей. Как сказать: у вас яблоки «два с половиной» или «пять секунд»? Конечно, первый вариант звучит более естественно, и мы воспользуемся им при общении с друзьями. Но если нужно посчитать, сколько плодов получит каждый, если в компании пять человек, запишем число 5/2 и разделим на 5 — с точки зрения математики это будет понятнее.

    Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило следующее: если целая часть может быть выделена в дроби (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то это неверно. Если это невозможно сделать, как в случае ½, 13/16, 9/10, это будет правильно.

    Основное свойство дроби

    Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, его значение не изменится. Представьте: торт разрезали на 4 равные части и вам дали одну.Один и тот же пирог они разрезали на восемь частей и дали вам две. Все равно? Ведь ¼ и 2/8 — это одно и то же!

    Сокращение

    Авторы задач и примеров в учебниках математики часто пытаются запутать учащихся, предлагая в письменной форме громоздкие дроби, которые на самом деле можно сокращать. Вот пример правильной дроби: 167/334, которая выглядит очень «устрашающей». Но на самом деле мы можем записать это как ½. Число 334 делится на 167 без остатка — таким образом мы получаем 2.

    Смешанные числа

    Неправильная дробь может быть представлена ​​как смешанное число. Это когда вся часть выдвигается вперед и записывается на уровне горизонтальной линии. Фактически, выражение принимает форму суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.

    Чтобы выделить часть целиком, нужно разделить числитель на знаменатель. Напишите остаток от деления над линией и целую часть перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильные дроби.

    Также можно провести обратную операцию — для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение в числитель. Ничего сложного.

    Умножение и деление

    Как ни странно, умножение дробей проще, чем сложение. Все, что требуется, это удлинить горизонтальную линию: (2/3) * (3/5) = 2 * 3/3 * 5 = 2/5.

    С делением тоже все просто: нужно умножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7 * 15/8 * 14 = 15/16.

    Сложение дробей

    Что делать, если вы хотите сложить или иметь разные числа в знаменателе? Проделать то же самое, что и с умножением, не получится — здесь вы должны понимать определение правильной дроби и ее суть. Необходимо привести члены к общему знаменателю, то есть внизу обеих дробей должны стоять одинаковые числа.

    Для этого следует использовать основное свойство дроби: умножить обе части на одно и то же число.Например, 2/5 + 1/10 = (2 * 2) / (5 * 2) + 1/10 = 5/10 = ½.

    Как выбрать, в какой знаменатель привести термины? Это должно быть минимальное кратное обоим числам в знаменателе дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 — 14, потому что не существует меньшего значения, делящегося на 2 и 7 без остатка.

    Использование

    Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить всю деталь, получить смешанное число — и все! Оказывается, если нужно умножить или разделить две дроби, выгоднее использовать неправильные.

    Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37/68).

    Казалось бы, резать вообще нечего. Но что, если в первых скобках записать результат сложения как неправильную дробь? Смотрите: (37/17) / (37/68)

    Теперь все становится на свои места! Напишем пример так, чтобы все стало очевидно: (37 * 68) / (17 * 37).

    Сократите 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделите верхнюю и нижнюю части на 17.Вы помните основное правило правильных и неправильных дробей? Мы можем умножать и делить их на любое число, если мы делаем это одновременно для числителя и знаменателя.

    Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит только одно число. Так часто бывает в математике. Главное — не бояться и соблюдать простые правила.

    Распространенные ошибки

    При выполнении упражнений ученик может легко сделать одну из распространенных ошибок. Обычно они возникают по неосторожности, а иногда — из-за того, что исследуемый материал еще должным образом не отложился в голове.

    Часто сумма чисел в числителе вызывает желание уменьшить ее отдельные компоненты. Например, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие студенты по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но этого делать ни в коем случае нельзя, ведь это грубейшая ошибка! Если бы вместо сложения был знак умножения, мы получили бы число 2. Но при выполнении сложения никакие операции с одним из членов не допускаются, только со всей суммой целиком.

    Также ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные неприводимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Студент может запутать и записать полученное выражение как (5 * 25) / (6 * 33). Но это было бы с умножением, а в нашем случае все будет несколько иначе: (5 * 33) / (6 * 25). Мы сокращаем то, что можно, и в ответ мы увидим 11/10. Получившаяся неправильная дробь записывается в виде десятичной дроби — 1.1.

    Скобки

    Помните, что в любом математическом выражении порядок действий определяется приоритетом знаков операции и наличием круглых скобок. При прочих равных последовательность действий считается слева направо. Это справедливо и для дробей — выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.

    В конце концов, это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся полностью, получается дробь — и все.

    Как написать дробь на компьютере

    Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», студенты иногда идут на разные уловки. Например, они копируют числители и знаменатели в графический редактор «Paint» и склеивают их вместе, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть вариант попроще, который, кстати, предоставляет множество дополнительных функций, которые вам пригодятся в будущем.

    Откройте Microsoft Word.Одна из панелей вверху экрана называется «Вставить» — щелкните по ней. Справа, сбоку, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, находится кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!

    При использовании этой функции на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, которых нет на клавиатуре, а также записывать дроби в классической форме. То есть разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой.Вы даже можете быть удивлены, что такую ​​правильную дробь так легко записать.

    Изучай математику

    Если ты учишься в 5-6 классах, то скоро знания математики (в том числе умение работать с дробями!) Потребуются по многим школьным предметам. Практически в любой задаче физики при измерении массы веществ в химии, геометрии и тригонометрии нельзя обойтись без дробей. Скоро вы научитесь считать все в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться все более сложные примеры.Так что узнайте, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте от учебной программы, делайте домашнее задание вовремя, и тогда у вас все получится.

    326. Заполните пустые поля.

    1) Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна 1.
    2) Дробь a / b (a и b — натуральные числа) называется правильной, если a3) Дробь a / b (a и b — натуральные числа) называется неправильным, если a> b или a = b.
    4) 9/14 — правильная дробь, так как 95) 7/5 — неправильная дробь, потому что 7> 5.
    6) 16/16 — неправильная дробь, так как 16 = 16.

    327. Выпишите из дробей 1/20, 16/9, 7/2, 14 / 28,10 / 10, 5 / 32,11 / 2: 1) правильные дроби; 2) неправильные дроби.

    1) 1/20, 14/23, 5/32

    2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

    328. Придумайте и запишите: 1) 5 правильных дробей; 2) неправильные дроби.

    1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

    2) 3/2, 4/2, 5 / 2U 6/2, 7/2

    329.Запишите все правильные дроби со знаменателем 9.

    1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

    330. Запишите все неправильные дроби с числителем 9 .

    9 / 1,9 / 2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

    331. Две одинаковые полосы были разделены на 7 равных частей. Закрасьте 4/7 одной полосы и 6/7 другой.

    Сравните полученные дроби: 4/7

    Сформулируйте правило для сравнения дробей с одинаковым знаменателем: из двух дробей с одинаковым знаменателем наибольшая имеет больший числитель.

    332. Две одинаковые полосы разделили на части. Одна полоса была разделена на 7 равных частей, а другая — на 5 равных частей. Закрасьте 3/7 первой полосы и 3/5 второй.

    Сравните полученные дроби: 3/7

    Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями наибольшая имеет меньший знаменатель.

    333. Заполните пустые поля.

    1) Все правильные дроби меньше 1, а неправильные дроби больше 1 или равны 1.

    2) Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной.

    3) На координатном луче двух дробей большая дробь расположена правее меньшей.

    334. Обведите правильные утверждения.

    335. Сравните числа.

    2) 17/25> 14/25

    4) 24/51> 24/53

    336. Какая из дробей 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 больше 1?

    Ответ: 16/4, 18/17, 310/303

    337.Расположите дроби 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

    Ответ: 29/29,17/29, 13/29, 29.07, 29.05, 29.04.

    338. Отметьте на координатном луче все числа, являющиеся дробями со знаминателем 5, расположенные между числами 0 и 3. Какие из отмеченных чисел правильные, а какие нет?

    0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

    Ответ: 1) правильные дроби: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

    2) неправильные дроби: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

    339. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь x / 8 верна.

    Ответ: 1,2,3,4,5,6,7

    340. Найдите натуральные выражения x, для которых дробь 11 / x будет неправильной.

    Ответ: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

    341. 1) Введите числа в пустые ячейки, чтобы получилась правильная дробь .

    2) Введите числа в пустые ячейки, чтобы получилась неправильная дробь.

    342. Постройте и отметьте отрезок, длина которого составляет: 1) 9/8 длины отрезка АВ; 2) 10/8 длины отрезка АВ; 3) 7/4 длины отрезка АВ; 4) длина отрезка АВ.

    Саша прочитал 42: 6 * 7 = 49 страниц

    Ответ: 49 стр.

    344. Найдите все натуральные значения x, для которых выполняется неравенство:

    1) х / 15

    2) 10 / x> 10/9.

    Ответ: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

    345. Используя числа 1,4,5,7 и косую черту, запишите все возможные правильные дроби.

    Ответ: ¼, 1 / 5.1 / 7.4 / 5.4 / 7.5 / 7.

    346. Найдите все натуральные значения m, для которых правильным будет 4m + 5/17.

    4 мес. + 5

    Ответ: m = 1; 2.

    347. Найдите все натуральные значения a, при которых дробь 10 / a будет неправильной, а дробь 7 / a — правильной.

    a≤10 и a> 7, т.е. 7

    Ответ: a = 8,9,10

    348. Натуральные числа a, b, c и d такие, что a

    Как перевести к общему знаменателю. Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

    Схема приведения к общему знаменателю

    1. Необходимо определить, каким будет наименьшее общее кратное для знаменателей дробей.Если вы имеете дело со смешанным или целым числом, то вы должны сначала превратить его в дробь, а только потом определить наименьшее общее кратное. Чтобы преобразовать целое число в дробь, нужно записать само число в числитель, а единицу — в знаменатель. Например, цифра 5 в виде дроби будет выглядеть так: 5/1. Чтобы смешанное число превратилось в дробь, нужно целое число умножить на знаменатель и прибавить к нему числитель. Пример: 8 целых чисел и 3/5 в виде дроби = 8×5 + 3/5 = 43/5.
    2. После этого необходимо найти дополнительный коэффициент, который определяется делением NOZ на знаменатель каждой дроби.
    3. Последний шаг — умножить дробь на дополнительный коэффициент.

    Важно помнить, что приведение к общему знаменателю нужно не только для сложения или вычитания. Чтобы сравнить несколько дробей с разными знаменателями, также нужно сначала привести каждую из них к общему знаменателю.

    Общий знаменатель дробей

    Чтобы понять, как привести дробь к общему знаменателю, необходимо разобраться в некоторых свойствах дробей.Итак, важным свойством приведения к НОЗ является равенство дробей. Другими словами, если числитель и знаменатель дроби умножить на число, то получится дробь, равная предыдущей. В качестве примера возьмем следующий пример. Чтобы привести дроби 5/9 и 5/6 к наименьшему общему знаменателю, вам нужно сделать следующее:

    1. Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей. В этом случае для чисел 9 и 6 НОК равно 18.
    2. Определите дополнительные коэффициенты для каждой фракции. Это делается следующим образом. Делим НОК на знаменатель каждой дроби, в результате получаем 18: 9 = 2 и 18: 6 = 3. Эти числа будут дополнительными множителями.
    3. Вносим в НОЗ две фракции. Когда вы умножаете дробь на число, вам нужно умножить и числитель, и знаменатель. Дробь 5/9 может быть умножена на дополнительный коэффициент 2, в результате чего получится дробь, равная этой — 10/18.То же самое проделываем со второй дробью: умножаем 5/6 на 3, получаем 15/18.

    Как видно из приведенного выше примера, обе дроби были приведены к наименьшему общему знаменателю. Чтобы окончательно разобраться, как найти общий знаменатель, нужно освоить еще одно свойство дробей. Он заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно сократить одним и тем же числом, которое называется общим делителем. Например, 12/30 можно уменьшить до 2/5, разделив его на общий делитель — число 6.

    Как перевести дроби к общему знаменателю

    Если у общих дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приводятся к общему знаменателю .

    Пример 1

    Например, дроби $ \ frac (3) (18) $ и $ \ frac (20) (18) $ имеют одинаковый знаменатель. Говорят, что у них общий знаменатель $ 18. Дроби $ \ frac (1) (29) $, $ \ frac (7) (29) $ и $ \ frac (100) (29) $ также имеют тот же знаменатель.Говорят, что у них общий знаменатель 29 долларов.

    Если дроби имеют разные знаменатели, то их можно привести к общему знаменателю. Для этого нужно умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.

    Пример 2

    Как привести две дроби $ \ frac (6) (11) $ и $ \ frac (2) (7) $ к общему знаменателю.

    Решение.

    Умножим дроби $ \ frac (6) (11) $ и $ \ frac (2) (7) $ на дополнительные множители $ 7 $ и $ 11 $ соответственно и приведем их к общему знаменателю $ 77 $:

    $ \ frac (6 \ cdot 7) (11 \ cdot 7) = \ frac (42) (77)

    долл. США

    $ \ frac (2 \ cdot 11) (7 \ cdot 11) = \ frac (22) (77) $

    Таким образом, приведение дробей к общему знаменателю называется умножением числителя и знаменателя этих дробей. дополнительными множителями, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.

    Общий знаменатель

    Определение 1

    Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называется общим знаменателем .

    Другими словами, общим знаменателем данных дробей является любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели данных дробей.

    Определение подразумевает бесконечный набор общих знаменателей данного набора дробей.

    Пример 3

    Найдите общие знаменатели дробей $ \ frac (3) (7) $ и $ \ frac (2) (13) $.

    Решение .

    Эти дроби имеют знаменатели 7 и 13 долларов соответственно. Положительные общие мультипликаторы 2 и 5 долларов равны 91, 182, 273, 364 доллара и т. Д.

    Любое из этих чисел может быть общим знаменателем дробей $ \ frac (3) (7) $ и $ \ frac (2) (13) $.

    Пример 4

    Определите, можно ли привести дроби $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ и $ \ frac (11) (9) $ к общему знаменателю $ 252 $.

    Решение.

    Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю 252 доллара, необходимо проверить, является ли число 252 доллара общим кратным знаменателям 2, 7 и 9 долларов. Для этого делим число 252 $ на каждый знаменатель:

    $ \ frac (252) (2) = 126, $ $ \ frac (252) (7) = 36 $, $ \ frac (252) (9) = 28 $.

    Число 252 доллара делится на все знаменатели, т.е. является общим кратным 2, 7 и 9 долларов.Следовательно, данные дроби $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ и $ \ frac (11) (9) $ могут быть сведены к общему знаменателю $ 252 $.

    Ответ: можно.

    Наименьший общий знаменатель

    Определение 2

    Среди всех общих знаменателей данных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называется наименьший общий знаменатель .

    Поскольку НОК является наименьшим положительным общим знаменателем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

    Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, необходимо найти НОК знаменателей этих дробей.

    Пример 5

    Даны дроби $ \ frac (4) (15) $ и $ \ frac (37) (18) $. Найдите их наименьший общий знаменатель.

    Решение .

    Знаменатели этих дробей — 15 и 18 долларов. Найдите наименьший общий знаменатель как НОК чисел 15 и 18 долларов. Для этого используем разложение чисел на простые множители:

    $ 15 = 3 \ cdot 5 $, 18 $ = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 $

    $ LCM (15, 18) = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 = 90 $.

    Ответ: 90 $.

    Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

    Чаще всего при решении задач по алгебре, геометрии, физике и т.д. принято приводить обыкновенные дроби к наименьшему общему знаменателю, а не к какому-либо общему знаменателю.

    Алгоритм :

    1. Используя НОК знаменателей данных дробей, найдите наименьший общий знаменатель.
    2. 2. Вычислить дополнительный коэффициент для заданных фракций.Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число будет дополнительным множителем этой дроби.
    3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на найденный дополнительный множитель.

    Пример 6

    Найдите наименьший общий знаменатель дробей $ \ frac (4) (16) $ и $ \ frac (3) (22) $ и сведите к нему обе дроби.

    Решение.

    Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

      Вычислите наименьшее общее кратное 16 и 22 долларов:

      Разобьем знаменатели на простые множители: $ 16 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, $ 22 = 2 \ cdot 11 $.

      $ LCM (16, 22) = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 11 = 176 $.

      Рассчитаем дополнительные множители для каждой дроби:

      $ 176 \ div 16 = 11 $ — для дроби $ \ frac (4) (16) $;

      $ 176 \ div 22 = 8 $ — для дроби $ \ frac (3) (22) $.

      Умножьте числители и знаменатели дробей $ \ frac (4) (16) $ и $ \ frac (3) (22) $ на дополнительные множители $ 11 $ и $ 8 $ соответственно. Получаем:

      $ \ frac (4) (16) = \ frac (4 \ cdot 11) (16 \ cdot 11) = \ frac (44) (176)

      долл. США

      $ \ frac (3) (22) = \ frac (3 \ cdot 8) (22 \ cdot 8) = \ frac (24) (176) $

      Обе дроби сводятся к наименьшему общему знаменателю 176 $.

    Ответ: $ \ frac (4) (16) = \ frac (44) (176) $, $ \ frac (3) (22) = \ frac (24) (176) $.

    Иногда, чтобы найти наименьший общий знаменатель, необходимо провести серию трудоемких вычислений, которые могут не оправдать цель решения проблемы. В этом случае вы можете использовать самый простой способ — привести дроби к общему знаменателю, который является произведением знаменателей этих дробей.

    Общий знаменатель дробей

    Дроби И имеют одинаковые знаменатели. Они говорят, что имеют общий знаменатель и 25. Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство дробей.Для этого найдите число, которое делится на 8 и 3, например 24. Сократите дроби до знаменателя 24, для этого умножаем числитель и знаменатель дроби на , дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно записывается слева над числителем:

    Умножьте числитель и знаменатель дроби на дополнительный коэффициент 8:

    Приведем дроби к общему знаменателю. Чаще всего в результате дроби получается наименьший общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным знаменателя дроби.Поскольку НОК (8, 12) = 24, то дроби можно свести к знаменателю 24. Найдите дополнительные множители дробей: 24: 8 = 3, 24:12 = 2. Тогда

    К общему знаменателю можно привести несколько дробей.

    Пример. Приведем дроби к общему знаменателю. Поскольку 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

    Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:

    Сравнение дробей

    На рис.4.7 показан отрезок AB длиной 1. Он разделен на 7 равных частей … Отрезок AC имеет длину, а отрезок AD — длину.


    Длина сегмента AD больше, чем длина сегмента AC, т.е. дробь больше дроби

    Из двух дробей с общим знаменателем дробь с большим числителем больше, т. Е.

    Например, или

    Для сравнения любых двух дробей их приводят к общему знаменателю, а затем применяется правило сравнения дробей с общим знаменателем.

    Пример. Сравнить дроби

    Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда Поскольку 21> 20, то

    Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.

    Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они имеют вид Так как первая дробь меньше

    второй, то r

    Дробь называется правильная , если ее числитель меньше знаменателя.

    Дробь называется неправильной , если ее числитель больше или равен знаменателю.

    Например, дроби правильные, а дроби неправильные.

    Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.

    В этом уроке мы рассмотрим приведение дробей к общему знаменателю и решим задачи по этой теме. Дадим определение понятию общего знаменателя и дополнительного множителя, напомним взаимно простые числа… Определим понятие наименьшего общего знаменателя (LCN) и решим ряд задач, чтобы найти его.

    Тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    Урок: Преобразование дробей к общему знаменателю

    Повторение. Основное имущество фракции.

    Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь.

    Например, числитель и знаменатель дроби можно разделить на 2. Получаем дробь. Эта операция называется дробным сокращением. Вы можете выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае они говорят, что мы уменьшили дробь до нового знаменателя. Число 2 называется дополнительным фактором.

    Выход. Дробь может быть уменьшена до любого знаменателя, кратного знаменателю данной дроби.Чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножаются на дополнительный множитель.

    1. Довести дробь до знаменателя 35.

    35 делится на 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Это означает, что это преобразование возможно. Найдем дополнительный фактор. Для этого делим 35 на 7. Получаем 5. Умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на 5.

    2.Приведем дробь к знаменателю 18.

    Найдем дополнительный коэффициент. Для этого делим новый знаменатель на исходный. Получаем 3. Умножаем числитель и знаменатель этой дроби на 3.

    3. Довести дробь до знаменателя 60.

    Разделив 60 на 15, мы получим дополнительный множитель. Это 4. Умножьте числитель и знаменатель на 4.

    4. Довести дробь до знаменателя 24

    В простых случаях приведение к новому знаменателю выполняется в уме.Допускается указывать только дополнительный множитель вне скобок справа и над исходной дробью.

    Дробь может быть уменьшена до знаменателя 15, а дробь может быть уменьшена до знаменателя 15. У дробей также есть общий знаменатель 15.

    Общий знаменатель дробей может быть любым общим кратным их знаменателям. Для простоты дроби дают наименьший общий знаменатель. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

    Пример. Привести дробь и к наименьшему общему знаменателю.

    Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Это число 12. Давайте найдем дополнительный множитель для первой и второй дроби. Для этого мы делим 12 на 4 и на 6. Три — это дополнительный множитель для первой дроби, а два — для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.

    Мы привели дроби к общему знаменателю, то есть нашли равные им дроби, имеющие одинаковый знаменатель.

    Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно

    Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно будет их наименьшим общим знаменателем;

    Во-вторых, разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели этих дробей, то есть найдите дополнительный множитель для каждой дроби.

    В-третьих, умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

    а) Уменьшить дробь и до общего знаменателя.

    Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби равен 4, а для второй — 3. Приведем дроби к знаменателю 24.

    б) Сократить дробь и к общему знаменателю.

    Наименьший общий знаменатель — 45. Деление 45 на 9 на 15 дает 5 и 3 соответственно. Довести дроби до знаменателя 45.

    в) Сократить дробь и к общему знаменателю.

    Общий знаменатель равен 24. Дополнительные множители равны 2 и 3 соответственно.

    Иногда бывает трудно найти в устной форме наименьшее общее кратное для знаменателей этих дробей. Затем общий знаменатель и дополнительные множители находятся с помощью разложения на простые множители.

    Приведите дробь и к общему знаменателю.

    Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Давайте запишем разложение 60 и сложим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения.Умножьте 60 на 14, чтобы получить общий знаменатель 840. Дополнительный коэффициент для первой дроби равен 14. Дополнительный коэффициент для второй дроби равен 5. Приведите дроби к общему знаменателю 840.

    Библиография

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и другие. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012.

    .

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6. класс — Гимназия, 2006.

    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.

    .

    4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математики 5-6 класс. — ЗШ МИФИ, 2011.

    .

    5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Учебное пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.

    .

    6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы… Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

    .

    Вы можете скачать книги, перечисленные в п. 1.2. этого урока.

    Домашнее задание

    Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и другие. Математика 6. — М .: Мнемосина, 2012. (см. Ссылку 1.2)

    Домашнее задание: # 297, # 298, # 300.

    Прочие назначения: 270, 290

    В этой статье объясняется, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель.Даны определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрены практические примеры.

    Что такое сокращение общего знаменателя?

    У обыкновенных дробей числитель вверху и знаменатель внизу. Если дроби имеют одинаковый знаменатель, говорят, что их приводят к общему знаменателю. Например, дроби 11 14, 17 14, 9 14 имеют одинаковый знаменатель 14. Другими словами, они приводятся к общему знаменателю.

    Если дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю с помощью простых действий.Для этого нужно умножить числитель и знаменатель на определенные дополнительные множители.

    Очевидно, что дроби 4 5 и 3 4 не приводятся к общему знаменателю. Для этого нужно привести их к знаменателю 20 с помощью дополнительных множителей 5 и 4. Как именно это сделать? Умножим числитель и знаменатель 4 5 на 4, а числитель и знаменатель 3 4 на 5. Вместо дробей 4 5 и 3 4 мы получим 16 20 и 15 20 соответственно.

    Общий знаменатель дробей

    Приведение дробей к общему знаменателю — это умножение числителей и знаменателей дробей на такие множители, что в результате получаются идентичные дроби с одинаковым знаменателем.

    Общий знаменатель: определение, примеры

    Какой общий знаменатель?

    Общий знаменатель

    Общим знаменателем дробей является любое положительное число, являющееся общим кратным всех данных дробей.

    Другими словами, общим знаменателем набора дробей будет натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.

    Диапазон натуральных чисел бесконечен, и поэтому, по определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечный набор общих знаменателей.Другими словами, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.

    Общий знаменатель для нескольких дробей легко найти, используя определение. Пусть есть дроби 1 6 и 3 5. Общим знаменателем дробей является любое положительное общее кратное 6 и 5. Эти положительные общие кратные равны 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 и так далее.

    Рассмотрим пример.

    Пример 1. Общий знаменатель

    Можно ли привести дробь 1 3, 21 6, 5 12 к общему знаменателю, равному 150?

    Чтобы узнать, так ли это, нужно проверить, является ли 150 общим кратным для знаменателей дробей, то есть для чисел 3, 6, 12.Другими словами, число 150 должно делиться на 3, 6, 12 без остатка. Проверим:

    150 ÷ ​​3 = 50, 150 ÷ ​​6 = 25, 150 ÷ ​​12 = 12, 5

    Следовательно, 150 не является общим знаменателем этих дробей.

    Наименьший общий знаменатель

    Наименьшее натуральное число из набора общих знаменателей набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.

    Наименьший общий знаменатель

    Наименьший общий знаменатель дробей — это наименьшее число среди всех общих знаменателей этих дробей.

    Наименьший общий делитель данного набора чисел — это наименьшее общее кратное (НОК). НОК всех знаменателей дробей является наименьшим общим знаменателем этих дробей.

    Как найти наименьший общий знаменатель? Его поиск сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Возьмем пример:

    Пример 2. Найдите наименьший общий знаменатель

    Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 1 10 и 127 28.

    Ищем НОК номеров 10 и 28.Разложим их на простые множители и получим:

    10 = 2 5 28 = 2 2 7 H O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

    Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю

    Есть правило, объясняющее, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.

    Правило приведения дробей к общему знаменателю

    1. Найдите наименьший общий знаменатель дробей.
    2. Найдите дополнительный множитель для каждой дроби.Чтобы найти множитель, вам нужно разделить наименьший общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
    3. Умножьте числитель и знаменатель на найденный дополнительный множитель.

    Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.

    Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю

    Есть дроби 3 14 и 5 18. Приведем их к наименьшему общему знаменателю.

    Как правило, сначала мы находим НОК знаменателей дробей.

    14 = 2 7 18 = 2 3 3 H O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

    Рассчитываем дополнительные коэффициенты для каждой дроби. Для 3 14 дополнительный множитель 126 ÷ 14 = 9, а для дроби 5 18 дополнительный множитель будет 126 ÷ 18 = 7.

    Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:

    3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.

    Приведение дробных дробей к наименьшему общему знаменателю

    Согласно рассмотренному правилу к общему знаменателю можно привести не только пары дробей, но и большее их количество.

    Приведем еще один пример.

    Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю

    Сократите дроби 3 2, 5 6, 3 8 и 17 18 до наименьшего общего знаменателя.

    Рассчитаем НОК знаменателей. Находим НОК трех и более чисел:

    H O C (2, 6) = 6 H O C (6, 8) = 24 H O C (24, 18) = 72 H O C (2, 6, 8, 18) = 72

    Для 3 2 дополнительный множитель 72 ÷ 2 = 36, для 5 6 дополнительный множитель 72 ÷ 6 = 12, для 3 8 дополнительный множитель 72 ÷ 8 = 9, наконец, для 17 18 дополнительный множитель 72 ÷ 18 = 4.

    Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:

    3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

    Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

    Рецензия на книгу: Космология для любопытных

    Кем вырастет Любопытный Джордж? Из любопытства Джордж задаст много вопросов. И если повезет, то судьба Джорджа — физика, потому что у физики, кажется, так много ответов.От самых больших до самых маленьких — вот в чем его компетенция. И Делия Перлова и Алекс Виленкин в своей книге «Космология для любопытных» стремятся ответить на очень многие из этих вопросов. Или, по крайней мере, те вопросы, которые касаются места человечества в космосе.

    Космология — это все о пространстве и времени. Это означает, что эта книга начинается с путешествия во времени. Путешествие во времена греков. Сотни лет до нашей эры. Очевидно, греческие философы много размышляли о мельчайших вещах, которые они называли атомами.А самые крупные они назвали планетарными эпициклами. Исходя из этого базового уровня, книга очень быстро продвигается через традиционный рост знаний с некоторыми вариантами описания.

    В качестве примера предлагается энергия как основная валюта природы. И это позволяет читателю задуматься. Интересно, почему небо ночью черное. И задавайте вопросы. Например, «почему скорость света такая же, как у Земли, движущейся вокруг Солнца?»

    Большинство описаний основаны на механике Ньютона для объяснения, но это лишь небольшой переход, поскольку книга быстро поднимает уравнения поля Эйнштейна, особенно подчеркивая инерциальные системы отсчета.Благодаря этому читателю предоставляется приятный вид на преобразования Лоренца, несколько абстрактный вид Солнца, выбрасываемого из солнечной системы очень большой клюшкой для гольфа, и понимание того, как навигационная система GPS включает в себя гравитационное замедление времени. И все же для читателя это всего лишь космологическая база.

    Самое интересное в космологии состоит в том, что здесь просто нет наблюдений из первых рук. Почти все интересное произошло давным-давно и в несколько другом относительном месте.И это следующий и самый полезный пункт назначения книги. Через множество аргументов или мысленных экспериментов он связывает космический микроволновый фон с красными смещениями и изменяющимися пространственными измерениями.

    Позже постулируемые темная материя и темная энергия переориентируют внимание читателя на самое начало Вселенной в результате Большого взрыва. Или, возможно, мультивселенная многих форм и различных физических законов. Что, конечно, наводит на размышления о том, что будет дальше. Как будет продолжаться наша Вселенная? Пойдет ли он к тихой тепловой смерти или нас поглотит еще одна пузырьковая вселенная? Мы не можем определить это с нашей выгодной позиции на Земле.Но в этой книге есть своя точка зрения.

    Этой книге помогает ряд приятных дополнений. Например, часто, когда упоминается опытный исследователь, к нему прилагается довольно дополняющая фотография. И уравнения широко распространены повсюду, как будто дразнят читателя, чтобы он исследовал больше. Но в книге очень мало математики. А лучше всего — вопросы в конце каждой главы. Эти вопросы не типичны для учебников. Например, подумайте: «Инфляция почти наверняка вечна для будущего.Это тоже вечно для прошлого? Почему, почему нет?» Разве это не отличный вопрос? И тот, в котором вы действительно не ошибетесь.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *