Математика 6 класс виленкин видеоуроки: Уроки по математике 6 класс

«Замечательный тур по современной космологии, остроумно направленный одним из самых одаренных практиков в этой области. Приятно читать ». — Марио Ливио, старший научный сотрудник Научного института космического телескопа, а также автор недавней работы «Уравнение, которое не может быть решено»

«Алекс Виленкин исследует тончайшие явления, формирующие космос, чтобы получить самые грандиозные последствия. Это замечательный материал — фантастический и трогательный по своему содержанию — но это не фантастика и не научная фантастика.Космический портрет Виленкина указывает на логическую возможность множественности вселенных, событий и жизней и заставляет задуматься о нашем собственном значении в этом море бесконечных возможностей ». — Жанна Левин, профессор физики и астрономии Барнард-колледжа Колумбийского университета и автор книги «Как Вселенная получила свои пятна»

«« Многие миры в одном »Алекса Виленкина — одна из лучших научных книг, которые я когда-либо читал. Виленкин не только один из великих пионеров в области современной космологии, но также он исключительно ясен, замечательно остроумен и часто полон мудрости.- Леонард Сасскинд, профессор физики Стэнфордского университета Феликса Блоха и автор книги «Космический ландшафт: теория струн и иллюзия разумного замысла».

«Неужели наша Вселенная — лишь одна из многих? Алекс Виленкин — ваш любезный, но авторитетный и вполне серьезный проводник по этой смелой идее на переднем крае космологической науки. Он заставляет удивительные мысли звучать как разумные шаги вперед в серьезном предприятии. Многие миры в одном откроет ваш разум для экспоненциально расширяющихся вселенных, которые могут находиться за пределами нашей собственной.»- Роберт П. Киршнер, профессор науки Клоуза Гарвардского университета и автор книги« Экстравагантная вселенная: взрывающиеся звезды, темная энергия и ускоряющийся космос »

Алекс Виленкин — профессор физики в Университете Тафтса, где он также является директором Института космологии Тафтса. Автор более 150 научных работ по космологии, он внес в эту область ряд новых идей.

Математика как язык символов

Обучая своих студентов по предварительному исчислению и AP-исчислению, я понял, что использование математических символов для создания алгебраических выражений и решения текстовых задач обычно является для них большой проблемой.Они изо всех сил пытаются перевести словесную постановку проблемы в символические математические выражения и уравнения.

Допустим, студенты должны решить следующую задачу: «Найдите площадь поверхности сферы в тот момент, когда скорость увеличения объема сферы в девять раз превышает скорость увеличения радиуса». ¹ (На самом деле, эта постановка задачи не очень удачна. В задаче упоминается «сфера», но речь идет не об одной сфере. Речь идет о семействе сфер, радиус которых меняется в зависимости от того, каким образом или относительно какая переменная не поясняется.) Как видите, в этой задаче нет ни одного математического символа. Это всего лишь одно предложение, написанное на английском языке. Студенты должны уметь «переводить» его на математический язык с помощью формул и создавать модели на основе полученных данных. Это чрезвычайно сложная задача для моих учеников. Большинство из них готовы сдаться, даже не пытаясь.

Истоки этой борьбы восходят к арифметике и простой алгебре. Их нужно было научить писать алгебраические выражения и создавать математические модели задачи со словами.Эти навыки необходимы для их успеха в математике, физике и химии на высшем уровне. К сожалению, у большинства из них очень скромные навыки такого рода. Итак, моя цель при разработке этого модуля — помочь учителям и ученикам восполнить этот пробел.

Боязнь математики похожа на боязнь говорить на иностранном языке. Некоторые слова на иностранном языке мы просто не знаем и поэтому испытываем трудности с переводом. Чтобы добиться успеха в математике, мы должны уметь «переводить» задачу с английского на математический язык.Частично это знание того, что означает каждое слово. Более глубокая трудность состоит в том, что перевод не может быть дословным. Он должен передавать общий смысл.

Возвращаясь к вышеупомянутой связанной задаче скорости, студенты узнают, что словосочетание «скорость увеличения объема» переводится на математический язык очень просто: dV / dt . Анализируя задачу, студенты должны прийти к выводу, что объем меняется во времени. Они должны ввести переменную t (время) и подчеркнуть, что t была неопределенной переменной в результате неполноты задачи.Акт введения переменной т должен быть явным. Аналогичным образом «скорость увеличения радиуса» составляет др / дт .

Чтобы перевести его дальше, нам нужно будет создать алгебраическое выражение:

dV / dt = 9 dr / dt

Это выражение кажется изучающим алгебру сложным и «полностью греческим». Однако концепция, которую мы использовали при написании этого выражения, такая же, как и при написании очень простого алгебраического выражения «число A в девять раз больше, чем число B ».

A = 9 B

Итак, студентов нужно научить писать алгебраические выражения как можно раньше.

Я преподаю в небольшой средней школе, куда дети должны подать заявление, чтобы их приняли. Большая часть политики приема — это привлечение студентов с самым разным опытом. Поэтому студенческий состав очень разнообразен. У нас есть дети из элитных частных школ, а также дети из действительно неблагополучных городских средних школ. В результате навыки студентов сильно различаются.Я должен соответствующим образом скорректировать свой стиль преподавания и подойти к своим ученикам индивидуально. Хотя некоторые из них берут самые строгие классы AP, многие из них испытывают трудности с простыми математическими концепциями. Моя цель как учителя — удовлетворить потребности каждого ученика и дать им возможность добиться успеха.

Англо-математический «словарь»

В первый день в школе я всегда говорю своим ученикам-математикам, что математика — это язык. И одна из его ключевых особенностей — очень лаконичный.Компактность символьных выражений — важная особенность, позволяющая нам эффективно с ними работать. Компромисс заключается в увеличении трудозатрат, необходимых для перевода между символическими и словесными выражениями. Цифры и буквы, а также некоторые специальные символы представляют собой «слова» этого удивительного языка. Когда мы соединяем «слова» с помощью знаков <,>, +, -, = и т. Д., Мы пишем предложения на математическом языке.

Большинство из них выглядят сбитыми с толку. Затем я прошу их перевести несколько случайных английских слов на испанский или французский.Делают это легко и с удовольствием. Следующее задание — перевести слова «сложить», «вычесть», «равно» на математический язык символов. Важно отметить, что существуют разные способы выражения на английском языке вещей, которые в конечном итоге будут одинаковыми символически. Например, «сумма a и b », «возьмите a и добавьте его к b » и « a плюс b » все приведут к выражению a + . б .Это отправная точка их путешествия в чудесный мир математических символов. Мое заявление о математике как о языке становится для них ясным.

Теперь очередь моих учеников привести свои собственные примеры. Они очень взволнованы. Мы создаем наш первый англо-математический «словарь». Вот как это может выглядеть:

Мое любимое слово, к которому я всегда подхожу особым образом, — это слово «ноль».Ноль означает «ничего».

Я обращаю особое внимание на 0, потому что учащиеся не чувствуют себя уверенно с этим числом, особенно когда они решают уравнения, и ничего не остается по обе стороны от уравнения. Они очень сбиты с толку и не могут решить задачу. «0» — очень важная и значимая цифра для математиков. Само открытие этой цифры дало нам возможность записывать числа, используя таблицу разрядов. Это также важная концепция при написании алгебраических выражений.Иногда я говорю, что важность ничего была большим математическим открытием.

Еще одна глава в этом разговоре — надстрочные и подстрочные индексы. Надстрочные символы — это маленькие символы, которые располагаются немного выше линии; нижние индексы находятся ниже обычной строки шрифта. Верхний или нижний индекс может быть числом, буквой или специальным математическим символом.

Традиционно учащиеся знают следующие надстрочные индексы:

Обычно используемый нижний индекс обозначает базовые системы, например, log ₂ 10 _{(логарифм по основанию 2 числа 10).В какой-то момент студенты также встречают индексы как обозначающие термины в последовательности.}

Следующие логические вопросы будут: «Можно ли использовать, например, другой символ для сложения? Зачем нужны символы? Почему бы нам просто не описать словами методы решения некоторых математических задач? » Кроме того, какова ценность согласования фиксированного символа для конкретной идеи, например объединения чисел путем сложения?

Алгебра обобщенная Арифметика

Это хорошее время, чтобы вернуться в доисторические времена и вкратце проследить по стопам человечества в его попытке разработать эффективный инструмент для описания вычислений и измерений.

«Современный способ записи чисел, простой и удобный, европейцы позаимствовали у арабов. В свою очередь арабы позаимствовали эту систему у индейцев. Поэтому европейцы называют современные цифры «арабскими», а арабы — «индийскими». Интересно, что арабская и индийская версии этих символов несколько отличаются от стандартных европейских. Английский ученый и путешественник Аделард представил европейцам эту систему примерно в 1120 году.Подавляющее большинство стран приняли его только к 1600 году ». ² Фибоначчи (Леонардо Пизанский) также следует упомянуть в этом развитии. Итак, человечеству потребовалось довольно много времени, чтобы даже обозначить числа, которые мы используем для счета.

Следующая длинная цитата очень хорошо передает идею моего устройства:

«Хотя то, что мы сейчас называем« задачами алгебры слов », изучались и решались со времен Древнего Египта и Вавилонии, около 4000 лет назад, а может и больше, символическая алгебра — гораздо более позднее изобретение, впервые примененное Франсуа Виете незадолго до этого. 1600 и развивалась в течение следующих 50 лет.(Использование x для неизвестного было популяризировано Декартом.) Символическая алгебра, в свою очередь, была основным двигателем научной революции, в частности, исчисления. Представьте себе науку без формул. Представьте, что вы пытаетесь даже говорить о производных, не говоря уже о их вычислении, без компактной записи, чтобы выразить разностный фактор.

Упор в последнем предложении должен быть сделан на «компактный». Придумайте простое выражение, например 3 x +2. По сути, это рецепт вычисления.Он неявно говорит: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Однако он существенно короче! Составное выражение, например 4 y (3 x + 2) — 7, можно перевести как: возьмите число x , умножьте его на 3 и прибавьте 2 к результату. Возьмите другое число y и умножьте его на 4. Умножьте первый результат на второй, а затем вычтите 7.

По мере усложнения выражений резко возрастает контраст между длиной полного набора словесных инструкций, необходимых для перефразирования символического выражения, и краткостью самого выражения.Компактность символической формы вместе с компактным и элегантным набором правил (правил арифметики) для преобразования (часто в целях упрощения) выражений позволяет практикующему составлять выражения, словесные переводы которых были бы неуправляемыми, и манипулировать ими. Такое сочетание краткости и формальности помогает сделать символическую алгебру мощным инструментом.

Однако, как и в случае с другими предметами математики, та же компактность, которая делает символические обозначения мощными, также усложняет преподавание.Студенты, особенно студенты, которые могут приходить к алгебре, не будучи уверенными в значениях числовой нотации и с ограниченным пониманием операций, не сразу адаптируются к символической алгебраической нотации или осознают возможности, которые она предлагает ». ³

«Основная задача начинающих студентов алгебры — научиться работать с переменными и, в частности, работать с символьными выражениями — интерпретировать их, создавать их, манипулировать ими и использовать их для формулирования и решения уравнений, а также для интерпретации решения.” ⁴

Основная посылка этого модуля заключается в том, что «обучение символической алгебре и ее использование при решении словесных задач может быть полезно с лингвистической точки зрения; что учащимся было бы полезно увидеть, изучить, обсудить и проработать перевод на алгебру многих примеров словесно сформулированных ситуаций, включая работу по решению этих задач как с алгеброй, так и без нее, а также сравнение алгебраических и арифметических решений этих задач. Поступая так, они могут постепенно познакомиться с языком алгебраических обозначений, словарем и грамматикой полиномиальных выражений, а также с правилами, позволяющими перефразировать их в рамках этого языка (т.е., принципы преобразования выражений и уравнений). Кроме того, они могут попрактиковаться в переводе арифметики в алгебру и алгебру в арифметику. Испытывая сильную связь между ними, они могут прийти к пониманию максимы о том, что «алгебра — это обобщенная арифметика», вместо того, чтобы думать о них как о далеких странах, разделенных огромным океаном, что является ситуацией слишком многих американских студентов (см. например, Ли и Уиллер (1989)) ». ⁵

Чем раньше мы, учителя, приступим к этой работе, тем лучших результатов добьются ученики.

Набор прогрессивных задач

Для этого модуля я написал набор задач, которые развиваются от очень простых одношаговых арифметических задач, подходящих для первоклассников и второклассников, до более сложных алгебраических задач, содержащих переменные.

Числовые и алгебраические выражения.

Задача I. Буханка хлеба стоит 2 доллара. Большая пицца стоит 20 долларов. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоит пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?

Задачи I 1) с по I 5) — это одношаговые задачи для сложения / вычитания и умножения / деления.Здесь важно, чтобы учащиеся сначала записали выражение, а не просто вычислили ответ. Например, в задаче I 3) выражение должно выглядеть так:

Цена пиццы и хлеба вместе: 20 долларов +2 доллара = 22 доллара. Важно потребовать, чтобы учащиеся выражали окончательный ответ в правильных единицах, и они должны знать единицы, прикрепленные к каждому числу, которое они используют. Все члены в уравнении сложения должны относиться к одной и той же единице.

Проблемы 6) с по 8) — это трехэтапные задачи. Например, выражение для Задача I 6) :

Цена двух больших пицц и пяти буханок хлеба в долларах = 2 (20) + 5 (2) = 50.

Студенты должны заметить, что все эти выражения содержат только числа и символы арифметических операций. Такие выражения называются числовыми выражениями .

Следующий шаг — дать студентам ту же задачу, но заменить числовые значения цен буквами.

Проблема II. Буханка хлеба — х долларов. Большая пицца стоит у долларов. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. На сколько долларов буханка хлеба дешевле большой пиццы?
2. Во сколько раз пицца дороже буханки хлеба?
3. Сколько стоит пицца и буханка хлеба вместе?
4. Сколько стоят две большие пиццы?
5. Сколько стоят пять буханок хлеба?
6. Сколько стоят две большие пиццы и пять буханок хлеба вместе?
7. На сколько долларов две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?
8. Во сколько раз две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба?

Например, решение проблемы II 1) :

Буханка хлеба на у-х долларов дешевле большой пиццы.

Здесь важно научить детей, что эту задачу можно сформулировать по-другому. Мы можем спросить: насколько большая пицца в долларах дороже буханки хлеба? Студенты должны заметить, что решение проблемы остается неизменным.

Проблема II 7) более сложная. Студенты должны усвоить, что термин, обозначающий более дорогой продукт, всегда является первым термином в выражении.

Две большие пиццы дороже пяти буханок хлеба.2 y -5 x представляет собой разницу в цене. Опять же, дети должны иметь возможность изменить задачу, заменив «дороже» на «дешевле». Таким образом, проблема будет заключаться в следующем: насколько дешевле в долларах пять буханок хлеба, чем две большие пиццы?

Как и в Задача II 1) , решение не изменится.

Студенты должны ответить на вопрос: В чем разница между задачей I и задачей II ? Они должны указать, что выражения в Задача II содержат не только числа и символы арифметических операций, но и буквы, обозначающие числа, то есть переменные.Такие выражения называются алгебраическими выражениями .

Проблема III . Напишите алгебраическое выражение, а затем найдите его значение по значению каждой переменной.

1. В три раза больше разницы между a и b . Найдите значение, если a = 5 и b = 4.
2. Частное 25 на сумму чисел x и y . Найдите значение, если x = 3 и y = 2.
3. Тройное число a и прибавьте его к b . Найдите значение, если a = 6 и b = 10.
4. Разница 72 и вдвое c . Найдите значение, если c = 20.

Проблема III повторяет Проблема II , но на этот раз нет реальных сценариев. Студенты должны «перевести» каждое алгебраическое выражение с английского языка с помощью математических символов, а затем оценить их. Решение проблемы III 3) может выглядеть так:

3 а + б

3 (6) + 10 = 18 + 10 = 28

Важно, чтобы наборы задач включали разные сценарии, например Problems IV и V ниже.Дети могут вообразить себя в этой реальной жизненной ситуации, что делает саму идею решения словесных задач более актуальной для них. Эти две задачи также дают учителю возможность подчеркнуть, что математика — это также язык науки. Физика учит, что для определения расстояния нужно умножать скорость на время. Если мы заменим каждое слово в этом правиле буквами, мы сможем описать его математическим языком. «Равенство, которое представляет собой правило для вычисления значения некоторой переменной, называется формулой .” ⁶

Проблема IV . Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость велосипеда — 10 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос. Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
4. Какое расстояние проехала машина за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Проблема V .Автомобиль и велосипед стартуют в одной точке, но движутся в противоположных направлениях. Скорость автомобиля составляет х миль / ч. Скорость велосипеда — y миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через час после трогания с места?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и велосипедом через два часа после трогания с места?
4. Какое расстояние проехала машина за два часа?
5. Какое расстояние проехал велосипед за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное велосипедом за 2 часа?

Числовое и алгебраическое выражение, записанное цифрами, буквами и символами арифметических операций, является «переводом» реальных событий с английского на математический язык.Как вы видели, несколько различных сценариев могут быть описаны с использованием одних и тех же математических моделей. По этой причине математика используется в строительстве, сельском хозяйстве, медицине, машиностроении и многих других областях жизни человека. Следующие две задачи подчеркивают эту важную особенность математики.

Проблема VI. Автомобиль преодолевает расстояние 180 км за 2 часа, а грузовому автомобилю — за 3 часа. Когда встретятся машина и грузовик, если расстояние между ними 300 км и они начнут движение навстречу друг другу?

Проблема VII. Первая бригада трактористов вспахивает 180 акров за 2 дня. Вторая команда может проделать ту же работу за 3 дня. Сколько дней потребуется, чтобы вспахать 300 акров, если две команды будут работать вместе?

Для решения задач VI и VII ученики должны установить и найти значение того же алгебраического выражения:

300 ÷ (180 ÷ 2 + 180 ÷ 3)

Эти две задачи подчеркнут идею о том, что совершенно разные ситуации из реальной жизни могут быть описаны одинаково, используя математический язык.Это единственное числовое выражение представляет собой математическую модель обеих этих реальных жизненных ситуаций. Однако обратите внимание, что в Задаче VI единицы измерения — часы, а в Задаче VII — дни.

Обратный перевод.

Для студентов чрезвычайно важно уметь делать обратный «перевод». Они должны понимать, какую реальную жизненную ситуацию описывает данная математическая модель.

Проблема VIII. Посмотрите на таблицу ниже. Объясните, как вы это понимаете.

В качестве примера студенты должны указать, что в первом столбце есть некоторые данные. Во втором столбце представлены математические модели, основанные на данных и некоторой новой информации. Третий столбец дает нам представление о том, как алгебраические выражения из второго столбца следует «переводить» на английский язык.

Проблема IX. Создайте сценарии, которые можно описать следующими числовыми выражениями:

1. 2 × 94 + 17.
2. 25 ÷ (18 ÷ 6 + 18 ÷ 9).

Задачи этого типа важны для развития навыков математического моделирования. Сценарии будут разными. Студенты могут бороться с этими проблемами. Я планирую провести в классе обсуждение такого рода проблем и приведу несколько примеров, прежде чем предлагать своим ученикам создавать свои собственные сценарии для выражений. После этого я попрошу добровольцев поделиться своими сценариями со всем классом.

Связанные ставки.

Задачи этого раздела предназначены для студентов, изучающих математику. Чтобы преуспеть в этой теме, они должны легко «переводить» словесные задачи с английского на математический «язык», уверенно настраивать и оценивать алгебраические выражения и работать с формулами. Это высший уровень математики, доступный школьникам. Что касается этой темы, мои ученики всегда упоминают, что это помогает им понять, почему они тратят так много времени на овладение своими навыками алгебраических выражений.«Вся математика» теперь имеет для них смысл.

В качестве примера рассмотрим эту относительно простую задачу:

Задача X. «Точка движется по окружности радиусом 6 дюймов, закон ее движения равен

Ɵ = т ³ -6 т ² +9 т , (10)

, где t (время) измеряется в секундах, а Ɵ (угол против часовой стрелки, который радиус точки образует с осью x) в радианах.Найдите (а) угловую скорость ω , когда t = 4 секунды. Решение. (а) Из (10) получаем

ω = dƟ / dt = 3 т ² -12 т +9. (11)

Следовательно,… угловая скорость при t = 4 секунды равна

ω ₁ = 3 × 4 ² -12 × 4 + 9 = 9 радиан в секунду ». ⁷

Игнорировать вопрос вычисления производной; студенты должны уметь оценивать выражение (11).Эта задача является хорошим примером, чтобы подчеркнуть важность обучения алгебраическим выражениям в средней и начальной школе.

Следующая задача более серьезная.

Проблема XI. «Точка движется по прямой таким образом, что пройденное расстояние (означает расстояние от позиции, когда t = 0) изменяется как куб времени. Если точка находится в 3 футах от начальной точки в конце 2 секунд, каково будет ее расстояние от начальной точки и ее скорость в конце 6 секунд?

Решение.Общий закон движения, сформулированный в виде уравнения, становится

s = k × т ³ , (3)

, где k — некоторая константа, а s — пройденное расстояние. Более того, по гипотезе с = 3, когда t = 2.

Следовательно (3) дает 3 = k × 8, так что k = 3/8 фут / сек ³ . Таким образом, точный закон движения равен

S = (3 ̸8) × т ³ (4)

Таким образом, желаемое расстояние от начальной точки по истечении 6 секунд будет

S ₁ = 3/8 × 6 ³ = 81 фут.

Что касается скорости, то из (4)

dS / dt = 9/8 × т ² ,

Так что, в соответствии с пояснениями к этой статье, желаемая скорость по истечении 6 секунд будет

V ₁ = 9/8 × 6 ² = 40 ½ футов в секунду ”. ⁸

Примечание : На самом деле, вам не нужно вычислять k. Если расстояние от начала пропорционально t ³ , то, поскольку 6 = 3×2, точка будет 3 ³ x 3 = 81 фут.

Как видите, на самом первом этапе ученики должны «перевести» первое предложение задачи с английского на математический язык. Соотношение между расстоянием и временем должно быть выражено в виде формулы. Если этот навык не был развит, они сразу же проваливают задачу. Эта проблема ясно иллюстрирует важность обучения студентов тому, как переводить текстовые задачи в математические модели, начиная с того момента, как это возможно.

В этом разделе я хотел бы обсудить, как я планирую использовать задачи, подобные упомянутым выше, чтобы помочь моим ученикам улучшить свои навыки перевода и решения.

Урок 1.

Цель: Студенты будут практиковаться в написании числовых и алгебраических выражений для перевода словесных задач в математические модели.

Задачи в блоке разработаны таким образом, чтобы постепенно повышать строгость, начиная с Задачи I , что относительно просто. Таким образом, Задача I может быть приведена в классе в качестве примера. Я планирую провести обсуждение в группе и помочь студентам записывать числовые выражения. Студенты должны найти значение каждого выражения без использования калькулятора.

Проблема II основана на проблеме Проблема I . Студенты должны выполнить его самостоятельно, используя идеи, изложенные в задаче I . Студенты могут по очереди написать ответ на каждое утверждение на доске, чтобы проверить решения.

Я решу, какие еще задачи использовать для работы в классе, и поставлю аналогичные для домашнего задания. Однако я не планирую делать больше пяти или семи за первый урок. Я также считаю, что должно быть несколько уроков с одной и той же целью.

Урок 2.

Цель: Студенты будут практиковаться в интерпретации каждой математической модели в терминах заданных сценариев.

Проблемы этого типа традиционно сложны. Студентам сложно «расшифровать» математические модели. Начну наверное с Задачи VIII. В начале третий столбец «Перевод» должен быть пустым. Учитель поможет студентам проанализировать математические модели для каждого сценария и заполнить столбец. Учащиеся могут работать над другими задачами самостоятельно в парах или группах с последующим обсуждением в группе.

Опять же, в зависимости от целей, навыков учащихся и сроков обучения, я буду корректировать конкретные классные и домашние задания.

Урок 3.

Задача: учащиеся решат связанные с курсом задачи.

Тема сложная. Мой подход будет заключаться в том, чтобы начать с Задача X постепенно прогрессировать с точностью. Учащиеся могут работать над задачами X и XI самостоятельно или в группах с последующим обсуждением в группе.Особо обращу внимание на агрегаты. Это поможет студентам понять проблему физически.

Примечание : Вопрос о единицах в Задаче X даже сложнее, чем в XI. Цифры «3», «12» и «9» имеют разные единицы измерения.

Набор задач

Задача I. Фунт клубники стоит x долларов. Фунт вишни стоит y долларов. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы или вопроса ниже.

1. Цена 2 фунта клубники.
2. Цена за 3 фунта вишни.
3. На сколько денег фунт вишни дороже фунта клубники?
4. Во сколько раз фунт вишни дороже фунта клубники?
5. Цена 1 фунта клубники и 1 фунта вишни вместе.
6. Цена 2 фунта вишни и 3 фунта клубники.
7. На сколько денег 2 фунта вишни дороже 3 фунтов клубники?
8. Сколько раз 2 фунта.вишни дороже, чем 3 фунта клубники?

Чтобы найти значения алгебраических выражений, мы должны знать значение каждой переменной. Если нам известна цена 1 фунта клубники и вишни, мы можем найти значение каждого выражения в Задаче II .

Проблема II . Пусть в задаче I 1 фунт клубники равен 2 долларам, а 1 фунт вишни равен 6 долларам.

Теперь найдите значение каждого созданного вами выражения для задачи Задача I .

Проблема III. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:

1. Произведение числа 100 и суммы чисел 8 и 7.
2. Произведение разности чисел 57 и 42 и числа 1000.
3. Отношение суммы чисел 32 и 24 к числу 7.
4. Частное числа 81 на разность чисел 77 и 68.

Проблема IV. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Произведение числа x и суммы чисел y и z .
2. Произведение разности чисел a и b и числа c .
3. Частное от суммы чисел t и w и числа q .
4. Частное числа f и разности чисел g и h .

Задача V. Напишите числовое выражение для каждой фразы и найдите ее значение:

1. Сумма произведения чисел 15 и 2 и частного числа 42 на 6.
2. Разница частного числа 270 на 3 и произведения чисел 25 и 3.
3. Сумма произведения чисел 17 и 3 и произведения чисел 4 и 13.
4. Разница частного числа 45 на 3 и частного числа 64 на 32.

Проблема VI. Автомобиль и автобус отправились в путь из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля 60 миль / ч. Скорость автобуса — 50 миль / ч. Для каждого вопроса ниже напишите числовое выражение, которое дает ответ на вопрос.Затем вычислите значение каждого выражения.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проезжает машина за два часа?
5. Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?

Проблема VII. Автомобиль и автобус начали движение из одной точки в противоположных направлениях. Скорость автомобиля x миль / ч. Скорость автобуса y миль / ч. Машина ходит быстрее автобуса. Для каждого вопроса ниже напишите алгебраическое выражение, которое дает ответ на вопрос.

1. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через час?
2. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
3. Какое расстояние между автомобилем и автобусом через 2 часа?
4. Какое расстояние проезжает машина за два часа?
5. Какое расстояние проезжает автобус за два часа?
6. Насколько больше расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
7. Во сколько раз расстояние, пройденное автомобилем, превышает расстояние, пройденное автобусом за 2 часа?
8. Что означают выражения x-y и 2 x -3 y ?

Проблема VIII. Цена одного тюльпана x долларов, роза на y долларов дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Букет из 5 тюльпанов и 4 роз стоит 25 долларов.
2. Три розы на 10 долларов дороже пяти тюльпанов.
3. Цена семи тюльпанов меньше 20 долларов.
4. Цена семи роз больше 20 долларов.
5. Что означают выражения 7 x +3 ( x + y ) и 12 ( x + y ) — 8 x ?

Примечание : Я попрошу своих студентов упростить эти выражения и указать, что они означают, и имеет ли это смысл в контексте проблемы; то есть ясно, что упрощенные выражения должны иметь те же значения, что и исходные?

Проблема IX. Фунт яблок стоит м долларов; фунт груш на 4 доллара дороже. Напишите алгебраическое выражение для каждой фразы:

1. Цена 2 фунта. яблок и 3 фунта. груш 17 долларов.
2. Цена 7 фунт. груш на 30 долларов больше, чем цена 5 фунтов. яблок.
3. Цена 2 фунта. груш меньше 12 долларов.
4. Цена 4 фунта. яблок стоит более 3 долларов.
5. Что означают выражения 3 m +2 ( m +4) и 4 ( m +4) -3 m ?

Проблема X. Объясните следующие математические модели, связанные с данными:

Проблема XI. Интерпретировать каждую математическую модель применительно к заданным сценариям.

Примечание : Студенты должны интерпретировать все пять математических моделей для каждого сценария.

Проблема XII. Создайте сценарии, которые можно описать следующими математическими моделями.

1. 100 — 3 × 15.
2. 48 ÷ (10 ÷ 2 + 24 ÷ 8).

Проблемы, связанные с тарифами.

Список проблем, связанных с тарифами, и их решения предлагает KhanAcademy (см. Ресурсы). Здесь учителя и ученики могут найти все основные типы задач, которые появляются в тесте AP Calculus AB. Интернет-репетитор проведет вас через весь процесс решения проблемы.

Проблемы, связанные с тарифами

https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/derivative-applications-ab/related-rates-ab/e/related-rates

Внедрение стандартов обучения математике в государственных школах Вирджинии

Четвертый класс

Расчет и оценка

4.4 Студент будет

e) создавать и решать одношаговые и многоступенчатые практические задачи, включающие сложение, вычитание и умножение, и одношаговые практические задачи, связанные с делением целых чисел.

Пятый класс

Паттерны, функции и алгебра

5.19 Студент будет

а) исследовать и описывать понятие переменной;

b) написать уравнение для представления заданной математической зависимости, используя переменную;

c) использовать выражение с переменной для представления данного словесного выражения, включающего одну операцию; и

г) создать проблемную ситуацию на основе заданного уравнения, используя одну переменную и одну операцию.

Шестой класс

Паттерны, функции и алгебра

6.14 Студент будет

а) представляют собой практическую ситуацию с линейным неравенством по одной переменной; и

b) решить одношаговые линейные неравенства с одной переменной, включая сложение или вычитание, и построить график решения на числовой прямой.

Седьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

7.11 Учащийся оценит алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.

восьмой класс

Паттерны, функции и алгебра

8.14 Студент

a) оценить алгебраическое выражение для заданных значений замены переменных; и

б) упростить алгебраические выражения с одной переменной.

Выражения и операции

A.1 Студент будет

а) алгебраически изображать словесные количественные ситуации; и

b) вычислить алгебраические выражения для заданных значений замены переменных.

Выше я перечислил соответствующие стандарты. Как видите, начиная с четвертого класса учащиеся должны уметь переводить практическую ситуацию в математическую модель, которая включает запись числового или алгебраического выражения и оценивать его. Они также должны быть компетентными в написании и решении уравнений, представляющих данную математическую зависимость. Таким образом, учителя начальной и средней школы смогут использовать задачи из моего раздела в своих классах. После того, как студенты овладеют содержанием моего модуля, они будут лучше подготовлены к математике и физике высшего уровня, где им придется переводить текстовые задачи в математические модели, используя математический язык.В моем классе это устройство поможет мне исправить положение моих учеников, которые планируют сдавать AP Calculus в будущем.

Башмакова, Изабелла, Галина Смирнова Начало и эволюция алгебры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2000.

Блюман, Алан . Демистификация математических словесных задач. Нью-Йорк: McGrawHill, авторское право 2005.

Форд, Уолтер Бертон. Первый курс дифференциального и интегрального исчисления. Нью-Йорк: Генри Холт и компания, авторское право 1928.

Лам, Лай Йонг, Тиан Се Анг . Мимолетные шаги: прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае. Сингапур: World Scientific, авторское право 2004.

Ма, Уильям. 5 шагов к 5 AP Calculus AB 2017. Нью-Йорк: McGrawHill, 2016 .

Роджер Хоу, От арифметики к алгебре. Пекин: математический бюллетень, 2010.

Виленкин, Наум. Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 1997 .

Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 5 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

Зубарева Ирина Александр Мордкович, Математика 6 класс. Москва: Мнемозина, 2004.

1. William Ma, 5 шагов до 5 AP Calculus AB 2017 , 178.
2. Наум Виленкин, Математика 5 класс , 44 (перевел с русского).
3. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 1.
4. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
5. Роджер Хоу, От арифметики к алгебре , 2.
6. Ирина Зубарева, Александр Мордкович, Математика 6 класс , 62 (переведено мной).
7. Уолтер Бертон Форд, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 107.
8. Уолтер Бертон Форд, Первый курс дифференциального и интегрального исчисления , 105.

В начале было начало

К настоящему времени существует научный консенсус в отношении того, что наша Вселенная возникла почти 14 миллиардов лет назад в результате события, известного как Большой взрыв. Но эта теория поднимает больше вопросов о происхождении Вселенной, чем дает ответов, включая самый простой: что произошло в году до года, Большого взрыва? Некоторые космологи утверждали, что у Вселенной не могло быть начала, но всегда было.

В 2003 году космолог Тафтса Александр Виленкин и его коллеги Арвинд Борд, ныне старший профессор математики в Университете Лонг-Айленда, и Алан Гут, профессор физики в Массачусетском технологическом институте, доказали математическую теорему, показывающую, что при очень общих предположениях На самом деле вселенная должна была иметь начало.

После этого открытия другие специалисты в этой области выступили против альтернативных теорий, описывающих другие типы вселенных, к которым теорема Борде-Гута-Виленкина, как ее называют, неприменима.Виленкин, профессор физики и астрономии, и аспирант Одри Митани, G15, с помощью математики исследовали три потенциальных логистических лазейки в теореме 2003 года, укрепив их первоначальную предпосылку о том, что Вселенная действительно возникла. Первые две лазейки уже были устранены в теореме. Целью статьи было устранение третьей лазейки. Статья, размещенная на онлайн-форуме по математике и науке, организованном Корнельским университетом под названием arXive , получила освещение в ненаучных публикациях, включая U.K.’s Daily Mail и веб-сайт Fox News, и вызвали новые дебаты о начале начала.

Tufts Now: Какие основные теории Вселенной вы рассматривали?

Александр Виленкин : Мы рассмотрели три возможных сценария — все они, кстати, были предложены древними индусами 3000 лет назад.

В одном сценарии, который индусы назвали «вечной вселенной», в разных местах происходят множественные начала.В научной космологии это более или менее соответствует идее, называемой вечной инфляцией. В этом случае Вселенная расширяется очень быстро, а затем то тут, то там случаются Большие Взрывы. Эти большие взрывы локализованы в пузырьках. По мере того, как эти пузыри — каждый из которых содержит дискретную вселенную — раздвигаются, между ними открывается пространство, где создаются новые пузыри. Мы живем в одном таком пузыре. [Все эти пузырьки, содержащие вселенную, составляют то, что космологи называют мультивселенной.]

Другая идея — это циклическая вселенная, которая расширяется, сжимается и затем начинается заново.

Третья возможность и основная цель этой статьи, которую я написал вместе со своей ученицей Одри Митани, — это возникающая вселенная, статическая вселенная, которая существует вечно, а затем каким-то образом распахивается и начинает расширяться. Индусы называли это «космическим яйцом». Вам нужен какой-то механизм, который вызовет это событие, но это выполнимо.

Как вам удалось исключить первые два сценария?

Для модели вечной инфляции математически мы можем показать, что этому процессу нет конца.Некоторые люди думали, что, может быть, ты тоже можешь избежать начала. Но наша теорема 2003 года показывает, что [избежать начала] для этого сценария невозможно. Хотя инфляция может быть вечной в будущем, ее нельзя бесконечно распространять на прошлое. Так вот и все.

Циклическая Вселенная подчиняется второму закону термодинамики, который гласит, что любая система, предоставленная самой себе, в конечном итоге достигает состояния максимального беспорядка, называемого тепловым равновесием. Итак, если бы Вселенная была циклической, то в каждом цикле беспорядок во Вселенной увеличивался бы.В конце концов Вселенная достигнет этого состояния теплового равновесия, которое представляет собой смесь всего без каких-либо особенностей — это не то, что мы видим вокруг.

Однако одна гипотеза о циклической Вселенной позволяет избежать этой проблемы термодинамики. Существуют модели циклической Вселенной, в которой объем увеличивается с каждым циклом. Таким образом, Вселенная расширяется и сжимается, но сжимается до большего объема, чем в предыдущем цикле. Таким образом, даже если беспорядок увеличивается, беспорядок на единицу объема не меняется.

Это возможно, но наша теорема 2003 года создает проблему, потому что если объем Вселенной увеличивается, то должно быть начало. Таким образом, сценарий циклической вселенной также не избегает начала.

А космическое яйцо?

Существуют модели классической физики, согласно которым эта статическая Вселенная будет оставаться там вечно, а затем внезапно начать расширяться. Но мы показали, что квантово-механически эта Вселенная нестабильна. [Квантовая механика — это раздел физики, который описывает поведение субатомных частиц и приписывает событиям вероятность.]

Например, в классической или ньютоновской физике, если вы поместите мяч в чашку, он не вылезет. Он будет сидеть там вечно. Но с точки зрения квантовой механики объекты могут проходить сквозь них. Если я посижу здесь достаточно долго, есть некоторая вероятность, что я пройду через эту стену, и тогда я окажусь в коридоре. Конечно, вероятность очень мала, но она «не нулевая».

Мы показали [в статье], что эта замкнутая статическая Вселенная также имеет вероятность квантово-механического коллапса.Вероятность его коллапса отлична от нуля, и поэтому он не мог существовать вечно. Итак, этот сценарий возникающего яйца, если включить квантовую механику — а мы должны это сделать — тоже нежизнеспособен.

Есть ли у вашей теоремы недоброжелатели?

По этому поводу было много споров. Совсем недавно Леонард Сасскинд из Стэнфорда разместил статью по адресу arXiv , в которой он сказал, что, хотя теорема математически верна, если вечная инфляция продолжается вечно, насколько вероятно, что мы живем в самом начале? Если инфляция вечна для будущего, мы, скорее всего, будем очень и очень далеки от начала.И если мы живем очень-очень далеко в будущем от начала, то почти все следы начала стираются из нашего окружения. Итак, говорит Сасскинд, на самом деле мы не можем обнаружить ничего о происхождении Вселенной с помощью наблюдений.

С тех пор у нас было несколько обсуждений, и он [Сасскинд] отправил вторую заметку на arXive , в которой говорилось, что на самом деле не вся информация о начале Вселенной стерта. Есть некоторые признаки того, что в принципе свидетельство начала можно наблюдать.

Некоторые люди утверждают, что ваша работа доказывает существование Бога или, по крайней мере, божественный момент творения. Что вы думаете?

Не думаю, что это что-то так или иначе доказывает.

Я был на собрании богословов и космологов. По сути, я понял, что у этих богословов та же проблема с Богом. Что Он делал до того, как создал вселенную? Почему Он внезапно решил создать вселенную?

Для многих физиков начало Вселенной неудобно, потому что оно предполагает, что что-то должно было послужить причиной начала, что должна быть какая-то причина за пределами Вселенной.Фактически, теперь у нас есть модели, где в этом нет необходимости — Вселенная возникает спонтанно, квантово-механически.

В квантовой физике события не обязательно имеют причину, только некоторую вероятность.

Таким образом, существует некоторая вероятность того, что Вселенная выскочит из «ничего». Вы можете найти относительную вероятность того, что он будет того или иного размера и обладать различными свойствами, но не будет конкретной причины для любого из них, а только вероятности.

Я говорю «ничего» в цитатах, потому что то «ничто», о котором мы говорим здесь, — это отсутствие материи, пространства и времени.Это почти ничего, но все же здесь требуются законы физики. Так что законы физики все еще должны действовать, и это определенно не ничто.

Итак, как вы думаете, как возникла Вселенная?

Я не могу утверждать, что понимаю начало Вселенной. У нас есть логичная картина, и я считаю ее достижением. Потому что, если вы подумаете об этом, вы спросите: «Хорошо, а что было до Большого взрыва, до инфляции?» Кажется, вы можете продолжать задавать эти вопросы, и ответить на них невозможно.

Но это квантовое творение «из ничего», кажется, позволяет избежать этих вопросов. У него красивое математическое описание, а не просто слова. Но есть кое-что интересное; Описание сотворения Вселенной из ничего дается в терминах законов физики. Это заставляет задуматься, а где же эти законы? Если законы описывают создание Вселенной, это предполагает, что они существовали до Вселенной. Вопрос, который никто не знает, как решить, заключается в том, откуда взялись эти законы и почему именно эти законы? Так что есть много загадок, которые заставляют нас работать.

Жаклин Митчелл можно позвонить по телефону [email protected] .

Как узнать часть целого числа. Видеоурок «Поиск части из целого и целого в своей части. Групповая работа в рядах

§ 1 Правила поиска части из целого и целого в его части

В этом уроке мы сформулируем правила поиска части из целого и целого по его части, а также рассмотрим решение задач с использованием этих правил. .

Рассмотрим две задачи:

Сколько километров прошли туристы в первый день, если весь туристический маршрут составляет 20 км?

Найдите длину всего пути туриста.

Сравним эти задачи — в обоих весь путь взят как единое целое. В первой задаче все известно — 20 км, а во второй — неизвестно. В первом задании нужно найти часть целого, а во втором целое по его частям. Известное в первой задаче значение 20 км неизвестно во второй задаче, и наоборот, известное во второй задаче — 8 км, в первой должно быть найдено.Такие задачи называются взаимно обратными, поскольку в них известные и искомые величины меняются местами.

Рассмотрим первую задачу:

Знаменатель 5 показывает, на сколько частей было разделено целое, т.е. если целые 20 разделить на 5, мы узнаем, сколько километров составляет одна часть, 20: 5 = 4 км. Числитель 2 показывает, что туристы преодолели 2 части пути, поэтому 4 нужно умножить на 2, получится 8 км. В первый день туристы прошли 8 км.

Получилось выражение 20: 5 ∙ 2 = 8.

Перейдем ко второй задаче.

Следовательно, одна часть будет равна частному 8 и 2, это будет 4, знаменатель 5, что означает, что всего 5 частей.

4 умножить на 5, получится 20. Ответ 20 км длины всего пути.

Запишем выражение: 8: 2 ∙ 5 = 20

Используя значение умножения и деления числа на дробь, правила нахождения части целого и целого в его части можно сформулировать следующим образом:

Чтобы найти часть целого, нужно умножить число, соответствующее целому, на дробь, соответствующую этой части;

, чтобы найти целое число по его части, необходимо число, соответствующее этой части, разделить на соответствующие части дроби.

Соответственно решение задач теперь можно записать иначе:

для первой задачи 20 ∙ 2/5 = 8 (км),

для второй задачи 8: 2/5 = 20 (км).

Во избежание затруднений записываем решение таких задач следующим образом:

Целом: всю дорогу, как известно — 20 км.

Ответ: 8 км.

Целый: весь путь неизвестен.

Ответ: 20 км.

§ 2 Алгоритм решения задач для нахождения целого по его части и части целого

Составим алгоритм решения таких задач.

Сначала мы проанализируем состояние и вопрос проблемы: выясним, что такое целое, известно оно или нет, затем выясним, как представлена ​​часть целого и что необходимо найти.

Если необходимо найти часть целого, то мы умножаем целое на дробь, соответствующую этой части, если нам нужно найти целое на его часть, то число, соответствующее части, делится на дробь, соответствующую этой части. к этой части. В результате получаем выражение.Далее найдем значение выражения и запишем ответ, предварительно прочитав проблемный вопрос еще раз.

Итак, прежде чем решать такие проблемы, вам необходимо ответить на следующие вопросы:

Какое значение принято в целом?

Известно ли это значение?

Что вам нужно найти: часть целого или целое в своей части?

Подведем итог: на этом уроке вы познакомились с правилами нахождения части из целого и целого в своей части, а также научились решать задачи по этим правилам.

Список использованной литературы:

1. Математика. 6 класс: планы уроков по учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // Составитель Л.А. Топилин. Мнемосина, 2009.
2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И. Зубарева, А.Г. Мордкович. — М .: Мнемосина, 2013.
.
3. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С. Суворов и др. / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф.Шарыгин; Российская академия наук, Российская академия образования, Москва: Просвещение, 2010.
.
4. Математика. 6 класс: учебник. для общего образования. учреждения / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А. Чесноков, С.И.Шварцбурд. — М .: Мнемосина, 2013.
.
5. Математика. 6 класс: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. — М .: Дрофа, 2014.
.

Итак, дано некоторое целое число a. Нам нужно найти половину этого числа. Это можно сделать с помощью обыкновенных дробей:

• Обозначим целое как одно, тогда половина единицы равна 1/2.Итак, нам нужно найти 1/2 числа a.
• Чтобы найти 1/2 числа a, мы должны умножить число a на ту часть, которую нам нужно найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a / 2. То есть половину числа число а — а / 2.
• Более того, если мы ищем часть целого числа, то результат будет меньше исходного числа.

Задачи на поиск части целого могут быть разные: если нужно найти, например, четверть числа a, то вам понадобится * 1/4 = a / 4.Если вы хотите найти 1/8 числа a, то вам потребуется * 1/8 = a / 8. Нахождение любой части целого числа выполняется путем умножения данного целого числа на ту часть, которую вы хотите найти.
Рассмотрим пример.

Как найти третью из 75

Дано целое число 75. Нам нужно найти его третью часть, иначе нужно найти 1/3. Выполним действие по умножению целого числа на часть: 75 * 1/3 = 25. Итак, третья часть числа 75 — это число 25.Вы также можете сказать так: число 25 в три раза меньше числа 75. Или: число 75 в три раза больше числа 25.

как найти целое по частям? (формула) и получил лучший ответ

Ответ от Squad_not_noticing_the_loss_of_fighter [guru]
Нахождение целого по частям;

Пример:

Решение: 420: 3/5 = 700 (кг).

Ответ от Timexer_Player [новичок]
Нахождение целого по частям;
Чтобы найти наибольшее число данной части,
разделите это значение на дробь, выражающую данную часть.
Пример:
Вес туши быка составляет 3/5 его живого веса.
Каким должен быть живой вес быка, чтобы он весил 420 кг?
Раствор: 420: 3/5 = 700 (кг).

Ответ от Юрий Марженко [новичок]
Чтобы найти число на его часть, надо часть разделить на числитель и умножить на знаменатель

Ответ от Павел Чупраков [новичок]
легко запомнить:
Найти часть целого
Не надо никого беспокоить
Нам нужно это число
Умножить на эту дробь

Ответ от Адамсон показать [новичок]
Нахождение целого по частям;
Чтобы найти наибольшее число данной части,
разделите это значение на дробь, выражающую данную часть.
Пример:
Вес туши быка составляет 3/5 его живого веса.
Каким должен быть живой вес быка, чтобы он весил 420 кг?
Раствор: 420: 3/5 = 700 (кг).

Ответ от Ольвина Салихжанова [новичок]
Чтобы найти часть x целого числа a, нужно число a, соответствующее целому, разделить на знаменатель m и результат умножить на числитель k дроби что выражает эту часть.

Ответ от Mi S Slonopotam [гуру]
числитель разделить на знаменатель — получить целую часть и остаток (дробь)

Ответ от Лили [эксперт]
найти целое по частям, разделить на знаменатель и умножить по числителю

Цель: Систематизировать, расширить, обобщить и закрепить знания, полученные по теме «Находить часть из целого и целое в своей части.Информатика среди нас »
Задания:
Для углубления знаний учащихся о понятиях дроби, решении задач на дроби.
Научить студентов решать задачи по теме, уметь различать способы решения задач.
Применение полученные теоретические знания в решении практических задач.
Расширьте кругозор студентов в области информатики.
Этапы занятия.

Постановка цели — 2 мин.
Обновление базовых знаний — 8 минут
Закрепление и обобщение материал.- 23 минуты
Подведение итогов урока и постановка домашнего задания … — 5 минут.

Ожидаемые результаты: студентов должны научиться применять необходимые методы решения той или иной проблемы, должны уметь решать задачи, уметь выполнять вычисления дробей.

Во время занятий:

Организационное время. — 2 минуты.
Привет, студенты.
Постановка ворот — 2 мин.
Угадай ребус.

Какое слово здесь зашифровано? Правильно, в Интернете.
Какую тему мы изучаем с вами сейчас? (справа, «Нахождение части целого и целого в своей части»)
Как Интернет будет относиться к этой теме? (для знания интернета решим задачи по этой теме
Кто сможет сформулировать тему сегодняшнего урока? (Интернет среди нас)
Вы знаете, что такое Интернет? (Расскажите свои версии)
Интернет — (от лат. . Inter — between и net — сеть), глобальная компьютерная сеть, которая соединяет как пользователей компьютерных сетей, так и пользователей индивидуальных (в том числе домашних) компьютеров.
Обновление базовых знаний — 8 минут
Выполнить устно:
А) Найдите часть числа:
3/4 из 16;
2/5 из 80;
7/10 из 120;
3/5 из 150;
6/11 из 121;
5/6 из 108

B) Найдите число, если:
3/8 равно 15;
2/5 равно 30;
5/8 равно 45;
4/9 равно 36;
7/10 равно 42;
2/11 равно 99.

Консолидация и обобщение материала … — 23 минуты
Как вы думаете, где и когда появился Интернет? (выражают мнение)
В 1957 году, после запуска Советским Союзом первого искусственного спутника Земли, Министерство обороны США решило, что в случае войны США потребуется надежная система передачи информации. Агентство перспективных исследовательских проектов Министерства обороны США предложило разработать для этого компьютерную сеть.

Сейчас решим несколько задач.

У Алены на персональной странице в Одноклассниках размещено 140 фотографий.2/7 от количества всех фотографий были загружены в альбом «Личные фотографии», 1/4 — в альбом «Хобби», 3/35 — в альбом «Отдых», 5/28 — в семейный альбом, а остальные — в «На фото друзей». ». Сколько фото у Алены в каждом альбоме?
140: 7 * 2 = 40 (f) «Личные фото»
140: 4 * 1 = 35 (f) «Хобби»
140: 35 * 3 = 12 (f) «Отдых»
140: 28 * 5 = 25 (е) «Семья»
140-40-35-12-25 = 28 (е) «На фото друзей»

Миша на почту 276 писем, что составляет 3/5 от количество писем в электронном письме Коли.Сколько еще букв у Миши?
276: 3 * 5 = 460
460 — 276 = 184.

На флеш-карте, рассчитанной на 4 Гбайт (1Гбайт = 1024 Мбайт) есть разные файлы. Фотографии занимают 3/16 всей памяти, фильмы — на 1/8 больше (всей памяти), чем фотографии, текстовые документы — на 5/64 больше (всей памяти), чем фотографии. Сколько M байтов приходится на каждый файл?
4 * 1024 = 4096
4096: 16 * 3 = 768 (M байт) на фото
4096: 8 * 1 = 512
768 + 512 = 1280 (M байт) для пленок
4096: 64 * 5 = 320
320 +768 = 1088 (M байт) для текстовых документов.

Ребят, а зачем вам интернет?
Связь;
Информация;
Игры.
Какие социальные сети вы знаете? (высказывают свое мнение)
Назовем плюсы и минусы социальных сетей:
«Плюсы»:
Общение;
Информация.
«Минусы»:
Отрицательные для здоровья;
Интернет-зависимость;
Погружение в виртуальный мир;
Опасность от посторонних.

Решим следующую задачу.

Среди учащихся 5 класса одной из школ был проведен анкетный опрос на тему «Социальные сети и дети».На вопрос «Сколько времени в день вы проводите в Интернете» 3/10 всех опрошенных школьников ответили «5-6 часов». Сколько школьников проводят это время в Интернете каждый день, если в опросе участвовало 150 детей?
150: 10 * 3 = 45 (дети).
45 детей! Это очень большое количество! Ведь каждый день они тратят столько времени, сидя за компьютером.
Ребята, как вы думаете, какой вред здоровью может нанести длительное нахождение в интернете?
Возможные ответы студентов:
Затуманенное зрение;
Пониженная физическая активность;
Психологический стресс;
Человек теряет способность к общению;
Рахиокампсис;
Головные боли;
Нарушение сна.

Вы видите, сколько негатива можно заработать, посидев несколько часов в Интернете!

5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания … — 5 минут.
Что нового вы узнали на сегодняшнем уроке?
Как вы думаете, какое время лучше всего проводить в Интернете каждый день?
Для чего вы в основном будете использовать Интернет?
Считаете ли вы, что 5-6 часов интернет-серфинга каждый день — это норма?
Домашнее задание : подготовить сообщение по теме «История Интернета»
Объявление сметы.
Спасибо за урок!

Обратные числа. План урока алгебры (6 класс) на тему: «Взаимно взаимные числа»

Благодаря тому, что почти все современные школы имеют необходимое оборудование для показа детям видеороликов и различных ресурсов электронного обучения во время уроков, появляется возможность лучше заинтересовать учащихся определенным предметом или определенной темой. В результате повышается успеваемость учащихся и общий рейтинг школы.

Ни для кого не секрет, что наглядная демонстрация во время урока помогает лучше запоминать и усваивать определения, задания и теорию. Если это сопровождается вокализацией, то у ученика одновременно работают зрительная и слуховая память. Поэтому видеоуроки считаются одними из самых эффективных учебных материалов.

Существует ряд правил и требований, которым видеоуроки должны соответствовать, чтобы быть максимально эффективными и полезными для учеников соответствующего возраста.Фон и цвет текста должны быть выбраны надлежащим образом, размер шрифта не должен быть слишком маленьким, чтобы текст мог быть прочитан учащимися с плохим зрением, но не слишком большим, чтобы раздражать глаза и создавать неудобства и т. Д. Обратите внимание на иллюстрации — они должны содержаться в меру и не отвлекать от основной темы.

Видеоурок «Взаимно обратные числа» — отличный пример такого обучающего ресурса.Благодаря ему шестиклассник может полностью понять, что такое взаимно обратные числа, как их распознать и как с ними работать.

Урок начинается с простого примера, в котором две дроби 8/15 и 15/8 умножаются друг на друга. Становится возможным вспомнить правило, по которому, как было изучено ранее, следует умножать дроби. То есть в числителе должно быть написано произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей.В результате редукции, о которой тоже стоит помнить, получается единица.

После этого примера говорящий дает обобщенное определение, которое параллельно отображается на экране. В нем говорится, что числа, которые при умножении друг на друга дают единицу, называются взаимно обратными. Определение легко запомнить, но если вы приведете несколько примеров, оно лучше запомнится.

На экране после определения понятия взаимно обратных чисел отображается серия произведений чисел, которые в результате дают единицу.

Чтобы дать обобщенный пример, который не будет зависеть от определенных числовых значений, используются переменные a и b, которые отличаются от 0. Почему? Ведь школьники 6 класса должны прекрасно знать, что знаменатель любой дроби не может быть нулем, а для того, чтобы показать взаимно обратные числа, не обойтись без расположения этих значений в знаменателе.

Выведя на экран эту формулу и прокомментировав ее, докладчик приступает к рассмотрению первой задачи.Суть в том, что вам нужно найти обратное значение данной смешанной дроби. Для ее решения дробь записывается в неправильной форме, а числитель и знаменатель меняются местами. Результат — это ответ. Студент может самостоятельно это проверить, используя определение взаимно обратных чисел.

Видеоурок не ограничивается этим примером. Вслед за предыдущим на экране отображается еще одна задача, в которой необходимо найти произведение трех дробей.Если ученик внимателен, он обнаружит, что две из этих дробей являются обратными числами, следовательно, их произведение будет равно единице. Основываясь на свойстве умножения, можно, прежде всего, перемножить взаимно обратные дроби и, наконец, умножить результат, то есть 1, на первую дробь. Диктор подробно объясняет, шаг за шагом демонстрируя на экране весь процесс от начала до конца. Наконец, дается теоретическое обобщенное объяснение свойства умножения, которое использовалось для решения этого примера.

Чтобы закрепить знания наверняка, стоит постараться ответить на все вопросы, которые будут отображены в конце урока.

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Подумайте, как найти знак, обратный натуральному числу, и обыкновенную дробь. Кроме того, мы выписываем и доказываем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Номера взаимно взаимные.Определение

Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых дает единицу.

Если a · b = 1, то мы можем сказать, что число a обратно числу b, так же как число b обратно числу a.

Простейший пример взаимно обратных чисел — две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1, поэтому a = 1 и b = 1 — взаимно обратные числа. Другой пример — числа 3 и 1 3, — 2 3 и — 3 2, 6 13 и 13 6, log 3 17 и log 17 3.Произведение любой пары вышеуказанных чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как, например, для чисел 2 и 2 3, то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел действительно для любых чисел — натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное заданному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число — a, то его обратное число будет записано как 1 a или a — 1. В самом деле, a 1 a = a a — 1 = 1.

Найти обратную величину для натуральных чисел и дробей довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения обратного к иррациональному или комплексному числу вам придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее частые случаи нахождения обратного числа на практике.

Обращение к обыкновенной дроби

Очевидно, что дробь, обратная обыкновенной дроби a b, является дробью b a. Итак, чтобы найти обратное число, вам просто нужно перевернуть дробь.То есть поменяйте местами числитель и знаменатель.

Согласно этому правилу, вы можете почти сразу написать обратную величину любой обыкновенной дроби. Итак, для дроби 28 57 обратным будет дробь 57 28, а для дроби 789 256 — число 256 789.

Число, обратное натуральному

Вы можете найти обратное к любому натуральному числу так же, как и обратное к дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1.Тогда число 1 a будет его обратным. Для натурального числа 3 его обратной величиной является дробь 1 3, для 666 — 1 666 и т. Д.

Особое внимание следует уделить единице, так как это единственное число, для которого обратная величина равна самой себе.

Нет других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны.

Обратное смешанное число

Смешанное число — a b c. Чтобы найти его обратное число, необходимо представить смешанное число в стороне неправильной дроби и выбрать обратное число для полученной дроби.

Например, давайте найдем обратную величину 7 2 5. Сначала представьте 7 2 5 как неправильную дробь: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Для неправильной дроби 37 5 обратная величина равна 5 37.

Обратное значение десятичной дроби

Десятичная дробь также может быть представлена ​​в виде дроби. Нахождение обратной величины числа сводится к представлению десятичной дроби как обыкновенной дроби и нахождению обратной величины для нее.

Например, есть дробь 5, 128.Найдем его обратное число. Сначала мы преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Для полученной дроби обратная величина — дробь 125 641.

Возьмем другой пример.

Пример. Нахождение обратной величины для десятичной дроби

Найдите обратную величину для периодической десятичной дроби 2, (18).

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

2, 18 = 2 + 18 10-2 + ​​18 10-4 +. … … = 2 + 18 10-2 1-10-2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

После перевода мы легко можем записать обратное для дроби 24 11. Очевидно, это число будет 11 24.

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратная величина записывается как дробь, единица в числителе и сама дробь в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3, 6025635789. … … обратная величина будет 1 3, 6025635789. … … …

Аналогично, для иррациональных чисел, соответствующих непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

Например, обратная величина для π + 3 3 80 равна 80 π + 3 3, а для числа 8 + e 2 + e обратная величина — это дробь 1 8 + e 2 + e.

Взаимные числа с корнями

Если форма двух чисел отличается от a и 1 a, то не всегда легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, в обозначении которых есть знак корня, поскольку обычно от корня в знаменателе принято избавляться.

Обратимся к практике.

Ответим на вопрос: являются ли числа 4-2 3 и 1 + 3 2 взаимно обратными?

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, давайте вычислим их произведение.

4 — 2 3 1 + 3 2 = 4 — 2 3 + 2 3 — 3 = 1

Произведение равно единице, что означает, что числа взаимно обратны.

Возьмем другой пример.

Пример. Взаимные числа с корнями

Запишите обратное от 5 3 + 1.

Можно сразу записать, что обратная величина равна дроби 1 5 3 + 1.Однако, как мы уже говорили, от корня в знаменателе принято избавляться. Для этого умножаем числитель и знаменатель на 25 3 — 5 3 + 1. Получаем:

1 5 3 + 1 = 25 3-5 3 + 1 5 3 + 1 25 3-5 3 + 1 = 25 3-5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3-5 3 + 1 6

Обратные числа с степенями

Допустим, есть число, равное некоторой степени числа a. Другими словами, число a возведено в степень n. Обратным к n будет a — n. Давай проверим.Действительно: a n a — n = a n 1 1 a n = 1.

Пример. Взаимные числа с степенями

Найдите обратное от 5 — 3 + 4.

В соответствии с вышеизложенным, требуется число 5 — — 3 + 4 = 5 3 — 4

Обратные числа с логарифмами

Для логарифма основания b обратная величина — это число, равное логарифму основания b a.

log a b и log b a являются взаимно обратными числами.

Давай проверим. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a, поэтому log a b log b a.

Пример. Взаимные числа с логарифмами

Найдите обратную величину log 3 5 — 2 3.

Значение, обратное логарифму 3 по основанию 3 5-2, является логарифмом 3 5-2 по основанию 3.

Обратное комплексное число

Как отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел действительно не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Обычно комплексные числа представлены в алгебраической форме z = x + i y. Обратным к данному числу является дробь

1 х + я у.Для удобства вы можете сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x — i y.

Пример. Обратное к комплексному числу

Пусть существует комплексное число z = 4 + i. Давайте найдем обратное.

Обратное к z = 4 + i будет 1 4 + i.

Умножаем числитель и знаменатель на 4 — i и получаем:

1 4 + i = 4 — i 4 + i 4 — i = 4 — i 4 2 — i 2 = 4 — i 16 — (- 1) = 4 — i 17.

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть выражено в тригонометрической или экспоненциальной форме следующим образом:

z = r cos φ + i sin φ

г = р е я φ

Соответственно обратное число будет:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Убедимся в этом:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = rr cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r ei φ 1 rei (- φ) = rre 0 = 1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и экспоненциальной формах.

Найти обратную величину 2 3 cos π 6 + i sin π 6.

Учитывая, что r = 2 3, φ = π 6, запишем обратное число

3 2 cos — π 6 + i sin — π 6

Пример. Найдите число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным к 2 · e i · — 2 π 5.

Ответ: 1 2 e i 2 π 5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Есть теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма обратных чисел

Сумма двух положительных и обратных чисел всегда больше или равна 2.

Приведем доказательство теоремы. Как вы знаете, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать как неравенство:

а + б 2 ≥ а б

Если вместо числа b взять число, обратное к a, неравенство примет вид:

а + 1 а 2 ≥ а 1 а а + 1 а ≥ 2

Q.E.D.

Приведем практический пример, чтобы проиллюстрировать это свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 2 3 и обратную ей.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Как гласит теорема, полученное число больше двух.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

МОО «Парканская общеобразовательная школа №2 им. Д.И. Мищенко

6 класс урок математики по теме

« Взаимные числа »

Проводит учитель

математика и информатика

I квалификационная категория

Балан В.М.

Parkans 2011

P.S. Из-за ограничений на максимальный размер файла (не более 3 МБ) презентация разделена на 2 части. Вам нужно последовательно скопировать слайды в одну презентацию.

Урок математики в 6 классе по теме «Взаимные числа»

Цель:

1. Ознакомить с концепцией взаимно обратных чисел.
2. Научитесь определять пары взаимно обратных чисел.
3. Повторное умножение и уменьшение дробей.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Оборудование:

• ЭВМ;
• сигнальные карты;
• рабочие тетради, тетради, учебники;
• принадлежности для рисования;
• презентация к уроку (см. Приложение ).

Индивидуальное задание: сообщение объекта.

На занятиях

1. Организационный момент. (3 минуты)

Здравствуйте, ребята, садитесь! Начнем наш урок! Сегодня вам потребуется внимание, сосредоточенность и, конечно же, дисциплина.(Слайд 1 )

В качестве эпиграфа к сегодняшнему уроку я взял слова:

Часто говорят, что числа правят миром;

по крайней мере, нет сомнений

, что цифры показывают, как им управляют.

И на помощь мне спешат веселые человечки: Карандаш и Самоделкин. Они помогут мне преподать этот урок (слайд 2. )

Первое задание от карандаша — разгадывать анаграммы. (Слайд 3 )

Давайте вместе вспомним, что такое анаграмма? (Анаграмма — это перестановка букв в слове, образующая другое слово.Например, «ропот» — «топор»).

(Дети отвечают, что такое анаграмма, и угадывают слова.)

Молодец! Тема сегодняшнего урока — «Взаимные числа».

Открываем тетради, записываем номер, классную работу и тему урока. (Слайд 4 )

Ребята, подскажите, пожалуйста, что вам сегодня нужно выучить на уроке?

(Дети называют цель урока.)

Цель нашего урока:

• Узнать, какие числа называются взаимно обратными.
• Научитесь находить пары взаимно обратных чисел.
• Повторите правило умножения и уменьшения дробей.
• Развивать логическое мышление учащихся.

2. Работаем устно. (3 минуты)

Повторим правило умножения дробей. (Слайд 5 )

Задание Самоделкина (дети читают примеры и выполняют умножение):

Какое правило мы использовали?

Карандаш подготовил более сложную задачу (Слайд 6 ):

Чему равна такая работа?

Ребята, мы повторили шаги умножения и удаления дробей, без которых вам не обойтись при изучении новой темы.

3. Пояснение к новому материалу. (15 минут) (Слайд 7 )

1. Возьмите дробь 8/17, поставьте знаменатель вместо числителя, и наоборот. Дробь 17/8.

Запишем: дробь 17/8 называется обратной дроби 8/17.

Внимание! Дробь, обратная дроби m / n, называется дробью n / m. (Слайд 8 )

Ребята, а как из этой дроби получить обратную дробь? (Дети отвечают.)

2.Задание от Самоделкина:

Что обратное этой дроби? (Дети звонят.)

Такие дроби считаются обратными друг другу! (Слайд 9 )

Что же тогда можно сказать о дробях 8/17 и 17/8?

Ответ: обратные друг другу (запишите).

3. Что будет, если умножить две обратные дроби?

(Работа со слайдами. (Слайд 10 ))

Ребята! Посмотри и скажи, что не может быть равным m и n?

Еще раз повторяю, что произведение любых обратных дробей равно 1.(Слайд 11 )

4. Оказывается, единица — это магическое число!

А что мы знаем о агрегате?

Интересные суждения о мире чисел дошли до нас на протяжении веков из пифагорейской школы, о которой нам расскажет Боянжи Надя (короткое сообщение).

5. Мы остановились на том, что произведение любых обратных чисел равно 1.

Как называются эти числа? (Определение.)

Проверим, дроби ли 1.25 и 0,8 взаимно обратны. (Слайд 12 )

Другим способом можно проверить, являются ли числа взаимно обратными (2-х сторонняя).

Давайте сделаем вывод, ребята:

Как проверить, являются ли числа взаимно обратными? (Дети отвечают.)

6. Теперь давайте рассмотрим несколько примеров нахождения взаимно обратных чисел (рассмотрим два примера). (Слайд 13)

4. Анкеровка. (10 минут)

1. Работа с сигнальными картами. У вас на столе есть сигнальные карты.(Слайд 14)

Красный — нет. Зеленый — да.

(Последний пример — 0,2 и 5.)

Молодец! Умейте определять пары взаимно обратных чисел.

2. Внимание к экрану! — работаем устно. (Слайд 15)

Найдите неизвестное число (решаем уравнения, последняя 1/3 x = 1).

Внимание: когда два числа в продукте дают 1? (Дети отвечают.)

5. Минуты физкультуры. (2 минуты)

А теперь отдохнем от экрана — давай отдохнем!

1. Закройте глаза, очень плотно закройте глаза, резко откройте глаза.Сделайте это 4 раза.
2. Держим голову прямо, глаза подняты вверх, опущены вниз, посмотрели налево, посмотрели направо (4 раза).
3. Наклоните голову назад, опустите вперед так, чтобы подбородок упирался в грудь (2 раза).

6. Продолжаем закреплять новый материал [3], [4]. (5 минут)

Отдыхаем, а теперь закрепление нового материала.

В учебнике № 563, № 564 — у доски. (Слайд 16)

7. Краткое содержание урока, домашнее задание.(3 минуты)

Наш урок подходит к концу. Скажите, ребята, что мы узнали на сегодняшнем уроке?

1. Как получить обратные числа?
2. Какие числа называются взаимно обратными?
3. Как найти величину, обратную от смешанного числа до десятичной дроби?

Достигли ли мы цели урока?

Откроем дневники, запишем домашнее задание: # 591 (а), 592 (а, б), 595 (а), стр.16.

А теперь я прошу вас решить эту головоломку (если останется время).

Спасибо за урок! (Слайд 17)

Литература:

1. Математика 5-6: учебник-товарищ. Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М. Волков, — М .: Просвещение, 1989.
2. Математика 6 класс: планы уроков по учебнику Н.Я. Виленкина, В. Жохова. Тапилина Л. Афанасьева. — Волгоград: Учитель, 2006.
3. Математика: Учебник 6 класс. Н. Я. Виленкин, В.И. Жохов, А. Чесноков, С.И.Шварцбурд.- М .: Мнемосина, 1997.
4. Путешествие Карандаша и Самоделкина. Ю. Дружков. — М .: Стрекоза пресс, 2003.
.

Предварительный просмотр:

Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

1 «Часто говорят, что числа правят миром; по крайней мере, нет никаких сомнений в том, что цифры показывают, как им управляют. ”ЙОХАНН ВОЛЬФГАНГ ГЁТЕ

3 ЧТОБЫ ПОНЯТЬ ТЕМУ СЕГОДНЯШНЕГО УРОКА, НЕОБХОДИМО ПОНЯТЬ АНАГРАММЫ! 1) НОМЕРА ИХЛАСА 2) ФРАКЦИЯ ДОРБА 3) ОБРАТНЫЙ АНБОР 4) ВЗАИМНО ПОНИМАЕМ? А ТЕПЕРЬ УДАЛИТЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ СЛОВО, ЗАКАЖИТЕ ОТДЫХ В ПРАВИЛЬНОМ ПОРЯДКЕ!

4 ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ НОМЕРА

5 УМНОЖЕНИЕ ФРАКЦИЙ ВЫЧИСЛИТЕ Устно: Молодец!

6 ТЕПЕРЬ РАБОТА ЕЩЕ РАЗНАЯ! РАССЧИТАЙТЕ: МУЖЧИНЫ!

1 Что будет, если умножить две обратные дроби? Посмотрим (напишите со мной): ВНИМАНИЕ! ПРОИЗВОДСТВО ФРАКЦИЙ НАЗАД ДРУГАМ РАВНО ОДНОМ! ЧТО МЫ ЗНАЕМ ОБ АППАРАТЕ? ВОСПОМИНАНИЕ!

2 ДВА НОМЕРА, ПРОДУКТ, КОТОРЫЙ РАВНО ОДИН, НАЗЫВАЮТСЯ ВЗАИМНО ОБРАТНЫМ НОМЕРАМИ. ПРОВЕРИМ, ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЧИСЛА ФРАКЦИЙ: 1.25 И 0,8 ЗАПИШИТЕ ИХ В ФОРМЕ ОБЫЧНОГО умножения:

3 Докажем, что величина обратная 0,75. Мы пишем :, и его обратное. Найдите обратное число. Запишем смешанное число в виде неправильной дроби: Это обратное число

4 МЫ РАБОТАЕМ С СИГНАЛЬНЫМИ КАРТОЧКАМИ ДА НЕТ ЧИСЛА ПЕРЕМЕНЯЮТСЯ ВЗАИМНО?

5 НЕПОСРЕДСТВЕННАЯ РАБОТА: НАЙДИТЕ НЕИЗВЕСТНЫЙ НОМЕР:

6 РАБОТА В НОУТБУКАХ. УЧЕБНИК СТРАНИЦА 8 9 № 5 63

7 СПАСИБО ЗА УРОК?

Предварительный просмотр:

Анализ

6 класс, урок математики

МОО «Парканская общеобразовательная школа №2 имени Д.И.Мищенко »

Преподаватель Балан В.М.

Тема урока:« Взаимные числа ».

Урок построен на основе предыдущих уроков, знания учащихся проверялись различными методами с целью выяснить, как учащиеся усвоили предыдущий материал, и как этот урок будет «работать» на следующих уроках

Этапы урока логически прослеживаются, плавный переход от одного к другому. Можно проследить целостность и завершенность урока.Освоение нового материала происходило самостоятельно через создание проблемной ситуации и ее решение. Считаю выбранную структуру урока рациональной, так как позволяет комплексно реализовать все цели и задачи урока.

В настоящее время использование ИКТ очень активно используется на уроках, поэтому В. Балан. прикладные мультимедиа для большей наглядности.

Урок проводился в 6 классе, где уровень продуктивности, познавательного интереса и памяти не очень высокий, есть ребята, у которых есть пробелы в реальных знаниях.Поэтому на всех этапах урока использовались различные приемы активизации учащихся, которые не позволяли им устать от однообразия материала.

Для проверки и оценки знаний студентов использовались слайды с готовыми ответами для самопроверки, взаимного экзамена.

В ходе урока преподаватель стремился активизировать мыслительную деятельность учеников, используя следующие приемы и приемы: анаграмма в начале урока, беседа, рассказ учеников «что мы знаем о блоке?» , четкость, работа с сигнальными картами.

Таким образом, я считаю урок творческим и представляет собой целостную систему. Цели, поставленные на уроке, достигнуты.

Учитель математики 1 категории / Куртева Ф.И. /

Обратные — или обратные — числа — это пара чисел, которые при умножении дают 1. В самом общем виде обратные числа — это числа. Типичный частный случай взаимно обратных чисел — пара. Обратные, скажем, числа; …

Как найти обратную величину

Правило: нужно разделить 1 (единицу) на заданное число.

Пример № 1.

Дано число 8. Его обратное значение — 1: 8 или (второй вариант предпочтительнее, поскольку такое обозначение математически более корректно).

При поиске числа, обратного обыкновенной дроби, деление на 1 не очень удобно, так как запись оказывается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступить иначе: дробь просто инвертируют, меняя места числителя и знаменателя. Если дана правильная дробь, то после переворота дробь неверна, т.е.е. тот, от которого можно отличить целую часть. Делать это или нет, решать в каждом конкретном случае нужно отдельно. Итак, если вам нужно произвести какие-то действия с полученной обратной дробью (например, умножение или деление), то не стоит выделять целую часть. Если получившаяся дробь является окончательным результатом, то возможно, что желателен выбор всей части.

Пример №2.

Дана дробь. Обратно к ней :.

Если вам нужно найти величину, обратную десятичной дроби, используйте первое правило (деление 1 на число). В этой ситуации вы можете действовать одним из двух способов. Первый — просто разделить 1 на это число в столбце. Второй — сформировать дробь из 1 в числителе и десятичную дробь в знаменателе, а затем умножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и любого количества нулей, чтобы избавиться от десятичная точка в знаменателе.Результатом будет обычная дробь, которая и есть результат. При необходимости вам может потребоваться сократить его, извлечь из него целую часть или преобразовать в десятичную форму.

Пример № 3.

Учитывая число 0.82. Обратное к нему число: … Теперь уменьшим дробь и выберем целую часть :.

Как проверить, являются ли два числа взаимными

Принцип проверки основан на определении взаимных чисел. То есть для того, чтобы числа были обратными друг другу, нужно их перемножить.Если результат — единица, то числа взаимно обратны.

Пример № 4.

Даны числа 0,125 и 8. Они обратные?

Экзамен. Необходимо найти произведение 0,125 и 8. Для наглядности представим эти числа в виде обыкновенных дробей: (1-ю дробь уменьшим на 125). Вывод: числа 0,125 и 8 — обратные.

Свойства обратного числа

Номер свойства 1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Это ограничение связано с тем, что вы не можете делить на 0, и при определении обратной величины нуля вам просто нужно переместить его в знаменатель, т.е. фактически разделить на него.

Номер свойства 2

Сумма пары обратных чисел всегда не меньше 2.

Математически это свойство может быть выражено неравенством :.

Номер свойства 3

Умножение числа на два взаимно обратных числа эквивалентно умножению на единицу.Выразим это свойство математически:

Пример № 5.

Найдите значение выражения: 3,4 · 0,125 · 8. Поскольку числа 0,125 и 8 являются обратными (см. Пример 4), нет необходимости умножать 3,4 на 0,125, а затем на 8. Итак, ответ здесь 3.4.

«Все имеющиеся у нас свидетельства говорят о том, что у Вселенной было начало». — Необычный спуск

Было ли у космоса начало? Теория Большого взрыва, кажется, предполагает, что это было так, но в последние десятилетия космологи придумали сложные теории — например, о вечно надувающейся вселенной или циклической вселенной, — которые утверждают, что исключают необходимость в зарождении космоса.Теперь кажется, что у Вселенной действительно было начало, даже если это не обязательно был Большой взрыв.

На встрече ученых под названием «Состояние Вселенной», созванной на прошлой неделе в Кембриджском университете в честь 70-летия Стивена Хокинга, космолог Александр Виленкин из Университета Тафтса в Бостоне представил доказательства того, что Вселенная в конце концов не вечна, в результате чего ученые оказались в затруднительном положении. неспособность объяснить, как возник космос без сверхъестественного творца. О встрече было сообщено в журнале New Scientist (Почему физики не могут избежать события сотворения, 11 января 2012 г.).−32 секунды), прежде чем перейти к более медленной скорости расширения, которую мы наблюдаем сегодня. Теория вечной инфляции идет дальше и утверждает, что Вселенная постоянно рождает меньшие «пузырьковые» вселенные в постоянно расширяющейся мультивселенной. Каждая пузырьковая вселенная претерпевает свой начальный период инфляции. В некоторых версиях теории пузыри движутся вперед и назад во времени, допуская возможность бесконечного прошлого. Проблема в том, что значение одного конкретного космического параметра исключает такую ​​возможность:

Но в 2003 году команда, в которую входили Виленкин и Гут, рассмотрела, что вечная инфляция будет означать для постоянной Хаббла, которая математически описывает расширение Вселенной.Они обнаружили, что уравнения не работают (Physical Review Letters, DOI: 10.1103 / Physrevlett.90.151301). «Вы не можете построить пространство-время с этим свойством», — говорит Виленкин. Оказывается, у константы есть нижний предел, который предотвращает инфляцию в обоих направлениях времени. «Это не может быть вечным в прошлом», — говорит Виленкин. «Должна быть какая-то граница».

Второй вариант, исследованный Виленкиным, — это циклическая вселенная, в которой вселенная проходит через бесконечную серию больших взрывов и хрустов без определенного начала.Утверждалось даже, что циклическая Вселенная может объяснить низкое наблюдаемое значение космологической постоянной. Но, как обнаружил Виленкин, есть проблема, если вы посмотрите на беспорядок во Вселенной :

Беспорядок со временем нарастает. Поэтому после каждого цикла Вселенная должна становиться все более и более беспорядочной. Но если уже было бесконечное количество циклов, вселенная, в которой мы сейчас живем, должна быть в состоянии максимального беспорядка. Такая вселенная была бы неизменно теплой и невыразительной, и в ней определенно не хватало бы таких сложных существ, как звезды, планеты и физики — ничего похожего на то, что мы видим вокруг нас.

Один из способов обойти это — предположить, что Вселенная только увеличивается с каждым циклом. Тогда количество беспорядка на объем не увеличивается, поэтому нет необходимости достигать максимума. Но Виленкин обнаружил, что этот сценарий становится жертвой того же математического аргумента, что и вечная инфляция: если ваша вселенная продолжает увеличиваться, она, должно быть, где-то началась.

Однако возможности Виленкина еще не были исчерпаны. Была и другая возможность: Вселенная возникла из вечного космического яйца:

Последний удар Виленкина — это атака на третье, менее известное предположение, что космос вечно существовал в статическом состоянии, называемом космическим яйцом.В конце концов, он «раскололся», создав Большой взрыв, ведущий к расширяющейся Вселенной, которую мы видим сегодня. В конце прошлого года Виленкин и аспирантка Одри Митани показали, что яйцо не могло существовать вечно, поскольку квантовая нестабильность заставила бы его схлопнуться через конечное время (arxiv.org/abs/1110.4096). Если вместо этого он треснул, что привело к большому взрыву, то это должно было произойти до того, как он рухнул, и, следовательно, также через определенное время.

«Это тоже не лучший кандидат для безначальной вселенной», — заключает Виленкин.

Итак, в конце концов, каков вердикт Виленкина?

«Все имеющиеся у нас свидетельства говорят о том, что у Вселенной было начало».

Сверхъестественный Создатель?

Я всегда немного подозрительно относился к версии космологического аргумента калам , которая гласит, что, поскольку (1) все, что начинает существовать, имеет причину, и (2) Вселенная начала существовать, следовательно, (3) Вселенная имеет сверхъестественную причину. Конечно, я не сомневаюсь в первой посылке, и, как отмечает профессор Уильям Лейн Крейг, который является известным защитником этой аргументации, не сомневался и скептический философ Дэвид Юм.Юм писал в 1754 году: «Я никогда не утверждал столь абсурдного утверждения, что что-либо может возникнуть без причины» ( The Letters of David Hume , Two Volumes, JYT Greig, редактор: (Oxford: Clarendon Press, 1932), 1: 187; цитируется по Craig, Reasonable Faith , Wheaton, Ill .: Crossway, исправленное издание, 1994 г., стр. 93). И, как указала философ Элизабет Анскомб, если вы подумаете о том, как вы подойдете к определению того, что объект, который только что появился из ниоткуда, на самом деле возник или только что был очень быстро перенесен из какого-то другого места, где он существовал ранее, , единственный способ решить эту проблему — это определить что-то, что было ответственным за его создание, а не просто его транспортировку.Другими словами, вам нужно определить причину. (В случае виртуальных частиц, которые возникают и исчезают в течение очень коротких периодов времени, этой причиной является квантовый вакуум, который, поскольку он имеет заданный уровень энергии и может быть описан научными законами, является подлинной сущностью в Вкратце: методологически, похоже, принципиально не может показать, что нечто, появившееся неожиданно, действительно возникло без причины, и наша способность вообразить это не делает это возможным (в конце концов, я тоже могу представить себе крылатых лошадей).

Но я всегда немного сомневался во второй посылке до сих пор. У самих космологов было много идей относительно того, как Вселенная может быть вечной, и мне казалось, что как только одна идея была опровергнута, возникла другая.

Итак, когда я вижу, что ведущий космолог, такой как Виленкин, признает: «Все имеющиеся у нас свидетельства говорят о том, что у Вселенной было начало», я сажусь и обращаю внимание.

Допустим, Виленкин прав. Что дальше? У Вселенной была какая-то причина — очевидно, не естественная причина, поэтому вы должны назвать это сверхъестественным.Но куда это нас приведет?

Личный создатель?

Профессор Уильям Лейн Крейг продолжает утверждать, что эта сверхъестественная причина космоса должна быть личной. Согласно Крейгу, каждое объяснение — это либо логико-математическое объяснение (которое, поскольку оно абстрактно, неспособно объяснить факт возникновения чего-либо), либо научное объяснение (которое может объяснить события, происходящие внутри). Вселенная, но не возникновение самой Вселенной) или личное объяснение , в котором агент делает что-то по какой-то причине.Личное объяснение — единственная схема, которая может объяснить появление космоса, — рассуждает Крейг.

Профессор Крейг защищает идею личного Творца в своем посте под названием «Является ли причина Вселенной беспричинным, личным творцом Вселенной, который не считает Вселенную безначальной, неизменной, нематериальной, вневременной, внепространственной и чрезвычайно мощной?»

См. Также следующее:

Открытие вакансии; Создатель Вселенной профессор Пол Херрик.
Справочная информация: Конспекты лекций и библиография от Dr.Курс западного теизма Кунса (Фил. 356). Настоятельно рекомендуется. В конспектах лекций доктора Кунса дается прекрасный обзор космологического аргумента, а также ответы на философскую критику.

Доказательства от доводки

Те читатели, которые все еще не убеждены аргументами Крейга, могут захотеть рассмотреть дополнительное свидетельство (которое я резюмировал в своих недавних публикациях) реальности космологической тонкой настройки не только в пределах нашей Вселенной, но даже в уровень мультивселенной.Я попытался объяснить, почему эта тонкая настройка указывает на Intelligent Creator , Разум которого способен создать мир поразительной математической красоты:

Является ли тонкая настройка ошибкой?
Является ли это самым тупым «опровержением» аргумента о тонкой настройке?

«Вселенная слишком велика, слишком стара и слишком жестока»: три глупых возражения против космологической тонкой настройки (Часть первая)
«Вселенная слишком велика, слишком стара и слишком жестока»: три глупых возражения против космологической тонкой настройки (Часть вторая)
(Часть третья находится в разработке, ребята.)

Так вы думаете, что мультивселенная опровергает тонкую космологическую настройку? Рассмотрим Артура Рубинштейна.
Почему мультивселенная все еще нуждается в доработке, чтобы создавать детские вселенные

Красота и мультивселенная
Почему математическая красота, которую мы находим в космосе, является объективным «фактом», указывающим на Дизайнера

Какие допущения делает аргумент тонкой настройки о Проектировщике?

И дальше?

Наконец, для тех, кто хочет выйти за рамки научных аргументов и погрузиться в метафизику классического теизма, я бы порекомендовал этот пост:

Классический теизм профессора Эдварда Фезера.

Математик, который задает вопросы без ответов

Это было в 1987 году, когда он был докторантом в Сиракузском университете, его исследования заставили его усомниться в том, что время имеет конечное начало. Это заставило его задаться вопросом, верны ли общепринятые в то время модели Большого взрыва.

Он написал статью, в которой предлагал вновь открыть вопрос о возникновении Вселенной, и прочитал ряд популярных лекций по этой теме.Но большинство людей, казалось, считали, что вопрос решается не только оригинальной моделью Большого взрыва Фридмана, но и уточнениями, внесенными Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в 60-х годах.

Поскольку никто, казалось, не был особенно заинтересован в повторном открытии вопроса о начале времени, Арвинд продолжил свою другую работу, начав изучать компьютеры и приняв свое задание преподавать математику в Саутгемптонском колледже.

Только в 1993 году, во время творческого отпуска в Тафтсе, Арвинд встретится с Александром Виленкиным, и двое мужчин обнаружат, что они думали параллельно.

«Давайте начнем с предположения, противоположного тому, что мы хотим доказать: то есть, что Вселенная бесконечно стара», — говорит мне Арвинд, показывая мне то, что ученые называют reductio ad absurdum, доказательством противоречия, что даже если Вселенная бесконечно надувается в будущее, у нее должно было быть определенное начало в прошлом.

Математическая часть доказательства Арвинда и Алекса почти потрясающе проста. Физика, на которой она основана, и знание структуры Вселенной, полученное из наблюдений давно мертвых звезд на расстоянии миллиардов световых лет от нас, настолько сложны, что мне потребуется много дней, чтобы даже попытаться проследить за ней.

По мере того, как наша беседа переходит от проблем, связанных с созданием мысленных образов, когда речь идет о столь абстрактных вещах, к различным способам взгляда, я испытываю искушение не спрашивать, занимается ли Арвинд чем-нибудь еще, кроме математического мышления, я настолько заинтригован его математической энергичностью.