Задания по алгебре 7 класс с ответами и решением: Алгебра: уроки, тесты, задания.

Содержание

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.
  1. Информация о разделе

    1. Числовые и алгебраические выражения
    2. Что такое математический язык
    3. Что такое математическая модель
    4. Линейное уравнение с одной переменной
    5. Координатная прямая
    1. Координатная плоскость
    2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
    3. Линейная функция y = kx + m и её график
    4. Линейная функция y = kx
    5. Взаимное расположение графиков линейных функций
    1. Основные понятия
    2. Метод подстановки
    3. Метод алгебраического сложения
    4. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций
    1. Что такое степень с натуральным показателем
    2. Таблица основных степеней
    3. Свойства степени с натуральным показателем
    4. Умножение и деление степеней с одинаковым показателем
    5. Степень с нулевым показателем
    1. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
    2. Сложение и вычитание одночленов
    3. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
    4. Деление одночлена на одночлен
    1. Основные понятия
    2. Сложение и вычитание многочленов
    3. Умножение многочлена на одночлен
    4. Умножение многочлена на многочлен
    5. Формулы сокращённого умножения
    6. Деление многочлена на одночлен
    1. Что такое разложение на множители
    2. Вынесение общего множителя за скобки
    3. Способ группировки
    4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
    5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов
    6. Сокращение алгебраических дробей
    7. Тождества
    1. Квадратичная функция и её график
    2. Графическое решение уравнений
    3. Что означает в математике запись у = f(x)
    1. Основные понятия
    2. Основное свойство алгебраической дроби
    3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с равными знаменателями
    4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
    5. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей
    6. Преобразование рациональных выражений
    7. Первые представления о решении рациональных уравнений
    1. Функция y = kx², её свойства и график
    2. Функция y = k/x, её свойства и график
    3. Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)
    4. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)
    5. Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)
    6. Функция y = ax² + bx + c, её свойства и график
    7. Графическое решение квадратных уравнений
    1. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
    2. Функция квадратного корня, его свойства и график
    3. Рациональные числа
    4. Свойства квадратных корней
    5. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
    1. Основные понятия
    2. Формулы корней квадратного уравнения
    3. Рациональные уравнения
    4. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций
    5. Ещё одна формула корней квадратного уравнения
    6. Теорема Виета
    7. Иррациональные уравнения
    1. Основные понятия
    2. Иррациональные числа
    3. Множество действительных чисел
    4. Модуль действительного числа
    5. Приближённые значения действительных чисел
    6. Степень с отрицательным целым показателем
    7. Стандартный вид числа
    1. Числовые промежутки
    2. Свойства числовых неравенств
    3. Решение линейных неравенств
    4. Решение квадратных неравенств
    5. Исследование функций на монотонность
  1. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

    1. Линейные и квадратные неравенства
    2. Рациональные неравенства
    3. Множества и операции над ними
    4. Системы рациональных неравенств
    1. Основные понятия
    2. Методы решения систем уравнений
    3. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций
    1. Определение числовой функции и способы её задания
    2. Свойства функций
    3. Чётные и нечётные функции
    4. Степенная функция с натуральным показателем
    5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
    6. Функция кубического корня
    1. Числовые последовательности
    2. Арифметическая прогрессия
    3. Геометрическая прогрессия
    1. Комбинаторные задачи
    2. Статистика — дизайн информации
    3. Простейшие вероятностные задачи
    4. Экспериментальные данные и вероятности событий
    1. Натуральные числа
    2. Рациональные числа
    3. Иррациональные числа
    1. Обратная функция
    2. Периодические функции (профильный)
    1. Числовая окружность
    2. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
    3. Тригонометрические функции числового аргумента
    4. Тригонометрические функции углового аргумента
    5. Свойства функции y = sinx и её график
    6. Свойства функции y = cosx и её график
    7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
    8. График гармонического колебания (профильный)
    9. Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и график
    10. Обратные тригонометрические функции (профильный)
    1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
    2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
    3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнения tg x = a, ctg x = a
    4. Методы решения тригонометрических уравнений
    1. Синус и косинус суммы и разности аргументов
    2. Тангенс суммы и разности аргументов
    3. Формулы приведения
    4. Формулы двойного аргумента
    5. Формулы понижения степени (профильный)
    6. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
    7. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
    8. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t) (профильный)
    1. Числовые последовательности и их свойства
    2. Предел числовой последовательности
    3. Cумма бесконечной геометрической прогрессии
    4. Предел функции
    5. Определение производной
    6. Вычисление производных
    7. Уравнение касательной к графику функции
    8. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
    9. Построение графиков функции
    10. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин
    1. Понятие корня n-й степени из действительного числа
    2. Функция корня n-й степени
    3. Свойства корня n-ой степени
    4. Преобразование выражений, содержащих радикалы
    5. Понятие степени с любым рациональным показателем
    6. Степенные функции, их свойства и графики
    1. Показательная функция, её свойства и график
    2. Показательные уравнения
    3. Показательные неравенства
    4. Понятие логарифма
    5. Логарифмическая функция
    6. Свойства логарифмов
    7. Логарифмические уравнения
    8. Логарифмические неравенства
    9. Переход к новому основанию
    10. Системы показательных и логарифмических уравнений
    11. Системы логарифмических и показательных неравенств
    12. Дифференцирование показательной и логарифмической функции
    1. Первообразная
    2. Интеграл
    3. Вычисление площадей с помощью интегралов
    1. Правило суммы
    2. Правило произведения
    3. Перестановки
    4. Размещения
    5. Сочетания и их свойства
    6. Бином Ньютона
    1. События
    2. Комбинации событий. Противоположные события
    3. Вероятность события
    4. Сложение вероятностей
    5. Независимые события. Умножение вероятностей
    6. Статистическая вероятность
    1. Случайные величины
    2. Центральные тенденции
    3. Меры разброса
    4. Гаусcова кривая. Закон больших чисел
    1. Равносильность уравнений
    2. Общие методы решения уравнений
    3. Решение неравенств с одной переменной
    4. Уравнения и неравенства с двумя переменными
    5. Системы уравнений
    6. Уравнения и неравенства с параметрами
  1. Коллекция интерактивных моделей

ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова на Решалка

Для седьмого класса готовое домашние задание – это отличный вариант Вашему школьнику сэкономить время на подготовку уроков и разобраться в сложном материале. Программа современных учебников довольно непростая и огромной проблемой, с которой сталкиваются ученики и их родители, являются домашние задания. Часто они имеют другую структуру и алгоритмы решения, чем рассмотренные на уроке. Если в этих рамках учитель не объяснил принципы выполнения, то с домашкой у детей возникают трудности. Что уж и говорить о пропущенной теме, тогда упражнения даются еще сложнее.

Решебник от коллектива Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

В 7 классе решение домашнего задания из учебника по алгебре заменит услуги репетитора, сэкономит время и нервы школьникам и их родителям. Почему стоит использовать сервис ГДЗ? Суть не в том, чтобы просто переписать ответы, а рассмотреть алгоритм решения и разобрать непонятные для себя вопросы. Потом Ваш семиклассник в дальнейшем сможет сам оперативно решать аналогичные задачки, что особенно ценно с учетом загруженности школьной программы и занятости родителей.
Учебник под авторством Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова (7 класс) имеет отличный баланс теоретической части и практических заданий. Даже самые большие противники готовых решебников рано или поздно признают, что иногда использовать их можно, нужно и даже полезно. Восполнить пробел в знаниях, подготовиться, разобраться в материале и перепроверить себя помогут ГДЗ по алгебре: 7 класс, Макарычева.

Домашние задания всегда на «отлично»? Это реально!

Хорошо, когда у Вашего ребенка математический склад ума, а все уравнения и сложные упражнения решаются им на раз-два. Что же делать гуманитариям и творческим личностям, если портить общую картину в аттестате низкими оценками по алгебре неохота? Да и в первом варианте не хочется тратить много времени на домашку, когда можно написать быстро и тут же перепроверить свое решение. Чтобы всей семьей не уделять вечера напролет упражнениям, воспользуйтесь надежным онлайн-решебником.
ГДЗ по алгебре за 7 класс на «Решалка» – это спокойствие учеников и их родителей, экономия времени и бюджета на помощь репетиторов, а также улучшение оценок и в целом успеваемости.

Олимпиада по математике 7 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Усвоить школьную программу по математике могут только те, кто проявляет достаточно упорства. На уроках 7 классе учащиеся знакомятся с такими разделами, как степень с натуральным показателем, одночлен и многочлен, линейная функция, системы линейных уравнений с двумя переменными.

Принимая участие в олимпиадах, ученики углубляют свои знания и совершенствуют навыки, приобретенные на уроках. Но, чтобы добиться высокого результата, нужно долго и усердно готовиться.

На нашем сайте вы найдете олимпиадные задания по математике с ответами и решениями. Предложенные задания помогут подготовиться к олимпиаде. Мы советуем вам использовать их в качестве тренажера как на уроках, так и в ходе внеклассной самостоятельной подготовки.

Скачайте задания, заполнив форму!

После того как укажете данные, кнопка скачивания станет активной

Уравнения

1. Оба корня уравнения x2 – ax + 2 являются натуральными числами. Чему равно a?

2. Решите в натуральных числах уравнение:
zx + 1 = (z + 1)2

3. Решите уравнение:
12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х)

4. Найдите решение уравнения:
7x + 3 (x+0,55) = 5,65

5. Решите уравнение:
10у – 13,5 = 2у — 37,5.

6. Преобразуйте в многочлен:
(4х – 5у)2

7. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:
4у2 — 12у + 9

8. Решите уравнение:
8у – (3у + 19) = -3(2у — 1)

9. Решите уравнение:
2 – 4х = 0

10. Решите систему уравнений:
{ x+2*y = 12
{ 2*x-3*y = -18

Задачи

Задача №1
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача №2
Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2000 месте?

Задача №3
В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца — сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Задача №4
Сколько чисел от 1 до 90 делятся на 2, но не делятся на 4?

Задача №5
В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Задача №6
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются.

Задача №7
Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.

Задача №8
Пол в гостиной барона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Барон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли барон?

Задача №9
Саша выписал первые миллион натуральных чисел, не делящихся на 4. Рома подсчитал сумму 1000 подряд идущих чисел в Сашиной записи. Могло ли у него получиться в результате 20012002?

Задача №10
Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?

Математические загадки

Загадка №1
Не пользуясь калькулятором и компьютером (в уме) вычислите сумму всех чисел от одного до ста?

Загадка №2
Позавчера Васе было 17 лет. В следующем году ему будет 20 лет. Как такое может быть?

Загадка №3
Два отца и два сына разделили между собой 3 апельсина так, что каждому досталось по одному апельсину. Как это могло получиться?

Загадка №4
На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники. Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит. Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном?

Загадка №5
В двух футбольных лигах в сумме 39 команд. Команда играет с каждой командой из своей лиги по одному разу; при этом никаких матчей между лигами не происходит. За победу полагается 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0. В прошлом году в одной лиге состоялось на 171 матч больше, чем в другой. Команда «Чемпионы», входящая в одну из лиг, проиграла всего три матча и набрала 32 очка.
Вопрос: со сколькими командами играли «Чемпионы» и сколько раз они сыграли вничью?

Ответы к уравнениям

Уравнение № 1 № 2 № 3 № 4 № 5
Ответ a = 3 z = 2
x = 3
x = — 15¹/₃ x = 0,4 y = -3
Уравнение № 6 № 7 № 8 № 9 № 10
Ответ 16х2 — 40ху + 25у2 (2у — 3)2 y = 2 x = 0
x=0,8
x = 0,6

Ответы к задачам

Задача 1
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно. Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно. Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B. Отсюда следует, что B > 0. Значит, B положительно, а A – отрицательно.

Задача 2
Так как 2000 = 3 x 666 + 2, то 2000-м месте стоит число 5.

Задача 3
Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Задача 4
23

Задача 5
44 кг

Задача 6
60 чисел

Задача 7
Отрезок BE длиннее

Задача 8
Примером такой клетчатой фигуры может служить квадрат 6 на 6 без двух подходящих обобщенных диагоналей. Конечно, если трактовать это как ковер в гостиной, получится нечто экстравагантное, но ведь барон не зря слыл незаурядным человеком.

Задача 9
Из любых трёх чисел, идущих в Сашиной записи подряд, одно имеет остаток 1 пр делении на 4, другое – остаток 2, а оставшееся – остаток 3. Значит их сумма при делении на 4 даёт остаток 2. Среди первых 999 Роминых чисел есть ровно 333 таких тройки, сумма чисел в них даёт при делении на 4 такой же остаток, как 333 • 2, то есть 2. Оставшееся число на 4 не делится, поэтому вся сумма не может также давать остаток 2. А 20012002 даёт именно этот остаток.

Задача 10
37,5 км/ч

Ответы на загадки

Загадка 1
5050

Загадка 2
Если нынешний день 1 января, а у Васи день Рождения тридцать первого декабря. Позавчера, т.е. тридцатого декабря ему было еще семнадцать лет. Вчера, т.е. тридцать первого декабря исполнилось восемнадцать лет. В этом году исполнится девятнадцать лет, а в следующем году двадцать лет.

Загадка 3
Всего деливших было трое: дед, его сын и внук

Загадка 4
На острове на данный вопрос никто не мог ответить ничего, кроме того, что он молодец. Так как проводник воспроизвел правильно этот единственно возможный ответ, то ясно, что он молодец.

Загадка 5
«Чемпионы» играли с 23 командами (следовательно, в их лиге 24 команды, а в другой — 15) и сыграли вничью 14 матчей из 23.

Скачайте задания, заполнив форму!

После того как укажете данные, кнопка скачивания станет активной

Другие классы
Обновлено: , автор: Валерия Токарева

Заданий по математике для 7 класса с ответами

РАБОЧИЕ ЛИСТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ КЛАССУ 7 С ОТВЕТАМИ

Рабочие листы по математике для 7 класса с ответами:

Здесь мы увидим решения 10 задач, которые вы найдете на странице «Рабочие листы по математике для 7-го класса».

Рабочие листы по математике для 7 класса — Решение

Вопрос 1:

В контрольном классе, состоящем из 15 вопросов, за каждый правильный ответ ставится 4 балла и за каждый неправильный ответ ставится (-2) балла.Джеймс пытается ответить на все вопросы, но только 9 из его ответов верны. каков его общий балл?

(A) 26 (B) 24 (C) 15

Решение:

Общее количество вопросов = 15

Количество вопросов, на которые Джеймс правильно ответил = 9

Количество вопросов, на которые он ответил неправильно

= 15 — 9 = 6

За каждый правильный ответ он получит +4 балла, а за каждый вопрос — -2 балла.

Общий балл Джеймса = 9 ⋅ 4 + 6 ⋅ (-2)

= 36 — 12

= 24

Таким образом, общий балл Джеймса равен 24.

Соответствующая веб-страница «Упрощение целых чисел с разными знаками»

Вопрос 2:

Игрок с битой набрал следующее количество ранов за шесть иннингов:

36, 35, 50, 46, 60, 55 подсчитать количество ранов, набранных им в иннинге.

(A) 47 (B) 50 (C) 30

Решение:

Чтобы найти раны, набранные в одном иннинге, мы должны найти среднее значение.

= (36 + 35 + 50 + 46 + 60 + 55) / 6

= 282/6

= 47

Следовательно, он набрал 47 ранов за один иннинг.

Соответствующая веб-страница «Средние проблемы со словами»

Вопрос 3:

Владелец магазина продает манго в двух типах коробок: маленькой и большой. Большая коробка содержит до 8 маленьких коробок плюс 4 отдельных манго. Задайте уравнение, которое дает количество манго в каждой коробке. Количество манго в большой коробке принято равным 100.

(A) 32м = 100 (B) 8м + 4 = 100 (C) 4м + 100 = 4

Решение:

Количество манго в маленьких коробках = m

Количество магов в большой коробке = 8м + 4

Общее количество манго в большой коробке = 100

Следовательно, необходимое уравнение — 8m + 4 = 100.

Соответствующая веб-страница «Написание линейных уравнений из текстовых задач»

Вопрос 4:

Решите -2 ( x + 3) = 8

(A) x = -5 (B) x = -7 (C) x = -8

Решение:

-2 (x + 3) = 8

Чтобы избавиться от -2, мы можем разделить на -2 с обеих сторон.

Итак, получаем

x + 3 = -4

Вычтем 3 с обеих сторон

x + 3 — 3 = -4 — 3

x = -7

Соответствующая веб-страница «Решите линейные уравнения»

Вопрос 5:

Возраст отца Кевина на 5 лет больше, чем в три раза старше Кевина. Найдите возраст Кевина, если его отцу 44 года.

(A) 15 лет (B) 14 лет (C) 13 лет

Решение:

Пусть x будет возрастом Кевина

Возраст отца Кевина = 3x + 5

, если возраст его отца = 44

3x + 5 = 44

Вычтем 5 с обеих сторон

3x = 44-5

3x = 39

Разделим на 3 с обеих сторон, мы получим

x = 13

Следовательно, возраст Кевина 13 лет.

Соответствующая веб-страница «Проблемы по возрасту»

Вопрос 6:

Если две линии пересекаются в одной точке и если пара вертикально противоположных углов является острыми углами, тогда известна другая пара вертикальных противоположных углов. как _____________

(A) Острый угол (B) Тупой угол (C) Прямой угол

Решение:

Другая пара должна быть тупым углом, поскольку смежные углы являются дополнительными.

Соответствующая веб-страница «Линии и углы»

Вопрос 7:

Найдите значение x на следующем рисунке, если прямые l и m параллельны

(А) 110 ° (В) 70 ° (С) 50 °

∠POT + ∠TOL = 180

110 + ∠TOL = 180

∠TOL = 70

∠TOL = ∠OSM (соответствующие углы)

Следовательно, OSM составляет 70 °

Соответствующая веб-страница «Углы, образованные параллельные прямые и поперечные »

Вопрос 8:

Найдите угол на рисунке ниже.

(A) 110 ° (B) 60 ° (C) 50 °

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме противоположных внутренних углов

110 = 50 + x

Вычесть 50 с обеих сторон

110-50 = x

x = 60

Следовательно, недостающий угол составляет 60 °.

Веб-страница по теме «Углы в треугольнике»

Вопрос 9:

У нас есть две чаны, в каждой по 2 циновки, на каждой из которых сидят по 2 кошки.Каждая кошка написала по 2 забавные старые шляпы. На каждой шляпе лежали тонкие крысы, на каждой по 2 черных летучих мыши. Сколько вещей в наших чанах?

(A) 266 (B) 136 (C) 124

Решение:

Т.к. Количество чанов = 2

Количество матов в 1 чанах = 2

Количество матов в 2 чанах = 2 × 2 = 4

Количество кошек на 1 коврике = 2

Количество кошек на 4 ковриках = 4 × 2 = 8

Количество забавных старых шляп с 1 кошкой = 2

Количество забавных старых шляп с 8 кошками = 8 × 2 = 16

Количество тонких крыс на 1 старой шляпе = 2

Количество тонких крыс на 16 старых шляпах = 16 × 2 = 32

Количество черных летучих мышей на 1 крысе = 2

Количество черных летучих мышей на 32 крысы = 32 × 2 = 64

Складывая 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2, мы получаем

= 126

Следовательно, ответ равен 126.

Вопрос 10:

Выразите число 5985,3 в стандартной форме

(A) 5,9853 x 10 3 (B) 5,9853 x 10 -3 (C) 59,853 x 10 2

Решение :

Чтобы записать данное десятичное число в стандартной форме, мы должны переместить десятичную запятую на 3 цифры влево.

Итак, мы должны использовать положительную силу.

Следовательно, ответ 5,9853 x 10 3

Соответствующая веб-страница «Научная нотация»

Мы надеемся, что после того, как учащиеся разобрались с приведенным выше материалом, они поняли «Рабочие листы по математике для 7 класса с ответами».

Помимо вышеперечисленного, если вы хотите узнать больше о «Рабочих листах по математике для 7-го класса с ответами», нажмите здесь.

Кроме материала «Рабочие листы по математике для 7-го класса с ответами», если вам нужны другие материалы в математика, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

07 Алгебра

07 Алгебра

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Тригонометрические проблемы со словами

Проблемы с процентным соотношением слов

Проблемы со словами прибыли и убытков

0

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами с линейными неравенствами

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с использованием длинного di видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

: Помощь и ответы на домашнее задание :: Slader

1.1 Системы линейных уравнений Упражнения с.10
1,2 Формы сокращения рядов и эшелонов Упражнения стр.21
1,3 Векторные уравнения Упражнения с.32
1,4 Матричное уравнение Ax = b Упражнения с.40
1,5 Наборы решений линейных систем Упражнения с.48
1,6 Приложения линейных систем Упражнения с.55
1,7 Линейная независимость Упражнения с.61
1,8 Введение в линейные преобразования Упражнения стр.69
1,9 Матрица линейного преобразования Упражнения с.79
1,10 Линейные модели в бизнесе, науке и технике Упражнения с.87
Дополнительные упражнения стр.89

Алгебра 1 Задание 1 Экспоненты Ответы

Алгебра I Восстановление кредита

Алгебра I Восстановление зачетных единиц ОПИСАНИЕ КУРСА: Цель этого курса — позволить студентам овладеть навыками работы с математическими выражениями, уравнениями, графиками и другими темами и их оценки,

Подробнее

Математический тест общего керна

Базовый учебный план по алгебре для старших классов Тест по математике Общий тест по математике Наш сэмплер по алгебре для старших классов охватывает двадцать наиболее распространенных вопросов, которые, по нашему мнению, предназначены для этого уровня.Для полных тестов

Подробнее

Алгебра 1. Карта учебного плана

Алгебра 1 Карта учебного плана Содержание Блок 1: Выражения и Блок 2: Линейный Блок 3: Представление линейного блока 4: Линейные неравенства Блок 5: Системы линейных уравнений Блок 6: Полиномы Блок 7: Факторинг

Подробнее

Решение математики с помощью стрелки

Math The Arrow Way Скачать бесплатную электронную книгу в формате PDF: Math The Arrow Way Скачать или прочитать электронную книгу по решению математических задач в формате PDF из The Best User Guide Database 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И

Подробнее

Математика Флориды для готовности к колледжу

Базовая математика Флориды для подготовки к поступлению в колледж Флоридская математика для подготовки к поступлению в колледж предлагает учебную программу по математике для четвертого года обучения, направленную на развитие навыков, определенных как критические для готовности к поступлению в школу

Подробнее

Последовательность курсов математики

Последовательность курсов по отравлению С чего мне начать? Ассоциированная степень и непередаваемые курсы (курс математики ниже предалгебры см. В разделе «Навыки обучения» каталога) МАТЕМАТИКА M09 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА 3 ЕДИНИЦЫ

Подробнее

Обложка.MTT 1, MTT 2, MTT 3, MTT 4 развивающая математика I, II, III, IV MTE 1, MTE 2, MTE 3, MTE 4, MTE 5, MTE 6, MTE 7, MTE 8, MTE 9

Титульная страница MTT 1, MTT 2, MTT 3, MTT 4 Развивающая математика I, II, III, IV MTE 1, MTE 2, MTE 3, MTE 4, MTE 5, MTE 6, MTE 7, MTE 8, Имя преподавателя: Jodi Руководитель программы Clingenpeel: Эми Уильямсон Дин с

Подробнее

Алгебра 1 Название курса

Алгебра 1 Название курса Общее для всего курса 1.Какие шаблоны и методы используются? В рамках всего курса 1. Студенты будут иметь навыки решения и построения графиков линейных и квадратных уравнений 2. Студенты будут иметь навыки

Подробнее

Размещение в высшем образовании по математике

Типы задач для оценки зачисления в высшее учебное заведение по математике 1. Целые числа, дроби и десятичные дроби 1.1 Операции с сложением целых чисел с переносом Вычитание с заимствованием Умножение

Подробнее

СЕРТИФИКАЦИЯ ДЛЯ НОУТБУКА MATH 60

СЕРТИФИКАЦИЯ НОУТБУКОВ MATH 60 Глава 1: Целые и действительные числа 1.1a 1.1b 1.2 1.3 1.4 1.8 Глава № 2: Алгебраические выражения, линейные уравнения и приложения 2.1a 2.1b 2.1c 2.2 2.3a 2.3b 2.4 2.5

Подробнее

КВАДРАТЫ И КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

1. Квадраты и квадратные корни Квадраты и квадратные корни На этом уроке учащиеся связывают геометрические понятия длины стороны и площади квадрата с понятиями алгебры квадратов и квадратных корней из чисел.

Подробнее

3.1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

3.1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА На предыдущих курсах вы научились работать (выполнять сложение, вычитание, умножение и деление) над рациональными числами (дробями). Рациональные числа

Подробнее

23. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ

23. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОБРАЗЦЫ переименование радикалов в рациональные числа, запись радикалов с рациональными показателями Когда необходимо провести серьезную работу с радикалами, их обычно меняют на имя, в котором используются показатели степени,

Подробнее

Полиномиальные и рациональные функции

Полиномиальные и рациональные функции. Квадратичные функции. Обзор целей, студенты должны уметь: 1.Узнай характеристики парабол. 2. Найдите точки перехвата a. x перехватывает, решая

Подробнее

Алгебра Пирсона 1 Общее ядро ​​2015

Корреляция общего ядра алгебры Пирсона 1 2015 г. с государственными стандартами общего ядра для традиционных направлений математики, высшая школа алгебры 1 Авторские права 2015 г. Pearson Education, Inc. или ее дочерние компании.

Подробнее

1.3 Алгебраические выражения

1.3. Алгебраические выражения. Многочлен — это выражение в форме: тревожно + an 1 xn 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Числа a 1, a 2, …, an называются коэффициентами . Каждая из отдельных частей,

Подробнее

Решение рациональных уравнений

Урок M Урок: Результаты учащихся Учащиеся решают рациональные уравнения, наблюдая за созданием посторонних решений.Примечания к уроку На предыдущих уроках учащиеся научились складывать, вычитать, умножать 900 · 10 Подробнее

Ответы на обзор основ алгебры

Ответы на обзор основ алгебры 1. -1.1 При сложении и вычитании следуйте правилам знаков: если числа имеют один и тот же знак, сложите их вместе и сохраните знак. Если числа имеют разные знаки, вычтите

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Линейные уравнения и наклон 1.Склон а. Рассчитайте наклон прямой по двум точкам b. Вычислите наклон прямой, параллельной заданной. c. Рассчитать наклон линии

Подробнее

ТЕСТ НА РАЗМЕЩЕНИЕ АЛГЕБРЫ PCHS

МАТЕМАТИКА Студенты должны сдать все математические курсы с оценкой C или выше, чтобы перейти на следующий математический уровень. Только классы, сданные на C или выше, будут учитываться при поступлении в колледж. Если

Подробнее

КОЛЛЕДЖ СООБЩЕСТВО ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРЫ

КОЛЛЕДЖ СООБЩЕСТВО ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРЫ Колледж Талсы, Вестник Западного кампуса Лори Мэйберри, Б.SMS. Доцент кафедры математики и физики [email protected] Национальная конференция НАСЕП

Подробнее

ОБЪЕДИНЕННАЯ ШКОЛА ОЗЕРО ЭЛСИНОР

ОБЪЕДИНЕННАЯ ШКОЛА ОЗЕРО ЭЛСИНОР Название: PLATO Алгебра 1-семестр 2 Уровень класса: 10-12 Факультет: Математика Кредиты: 5 Пререквизиты: Буквенная оценка F и / или N / C по алгебре 1, семестр 2 Описание курса:

Подробнее

Ключ к ответам по математике для 5 класса

Ключ с ответами по математике для 5-го класса Бесплатная электронная книга в формате PDF Скачать: 5-й класс по математике Скачать или прочитать электронную книгу для 5-го класса с ответами по математике в формате PDF из базы данных Best User Guide 11 февраля 2014 г. — FCAT Writing

Подробнее

Глава 4 — Десятичные дроби

Глава 4 — Десятичные знаки $ 34.99 десятичное представление пр. Стоимость объекта. напр. Остаток на вашем банковском счете ex. Сумма задолженности ex. Налог на покупку. Так же, как значение места целых чисел — 1,23456789

Подробнее

Жизненный опыт

Базовые знания Precalculus ГЕОМЕТРИЯ Успешное завершение курса с оценкой B или выше. Твердое понимание: теорем конгруэнтности прямоугольных треугольников. Подробнее

X На учете в USOE.

Учебник Соответствие основной алгебре штата Юта 2 Название компании и поведение отдельных лиц: Крис МакХью, McHugh Inc. Сертификационный лист был заполнен для указанной выше компании / оценщика и составляет

Подробнее

Stanford CS 224N | Обработка естественного языка с глубоким обучением


Курсовая

Заданий (54%)

Есть пять еженедельных заданий, которые улучшат ваше теоретическое понимание и ваши практические навыки.Все задания содержат как письменные вопросы, так и программные части. В рабочее время администраторы курсов могут просматривать коды учащихся для заданий 1, 2 и 3, но не для заданий 4 и 5.

  • Кредит :
    • Задание 1 (6%): Введение в словарные векторы
    • Задание 2 (12%): Производные и реализация алгоритма word2vec
    • Задание 3 (12%): синтаксический анализ зависимостей и основы нейронной сети
    • Задание 4 (12%): нейронный машинный перевод с последовательностью, вниманием и подсловами
    • Задание 5 (12%): Самостоятельное обучение и точная настройка с помощью трансформаторов
  • Сроки : Все задания должны быть выполнены либо во вторник, либо в четверг перед классом (т.е.е. до 16:30). Все сроки указаны в расписании.
  • Подача : Задания подаются через Gradescope. Если вам необходимо зарегистрировать учетную запись Gradescope, используйте свой адрес электронной почты @ stanford.edu . Дальнейшие инструкции даются в раздаточном материале каждого задания. Не присылайте нам свои задания по электронной почте .
  • Сотрудничество : Разрешены учебные группы, но студенты должны понимать и выполнять свои собственные задания и сдавать по одному заданию на каждого студента.Если вы работали в группе, пожалуйста, укажите имена членов вашей учебной группы в верхней части вашего задания. Спрашивайте, есть ли у вас вопросы о политике сотрудничества.
  • Код чести : Мы ожидаем, что студенты не будут смотреть на решения или реализации в Интернете. Как и все другие классы в Стэнфорде, мы серьезно относимся к Кодексу чести учащихся.

Заключительный проект (43%)

Заключительный проект предлагает вам возможность применить свои недавно приобретенные навыки для углубленного применения.У студентов есть два варианта: Default Final Project (в котором студенты выполняют предопределенную задачу, а именно текстовые ответы на вопросы) или Custom Final Project (в котором студенты выбирают свой собственный проект с использованием человеческого языка и глубокого обучения). Примеры того и другого можно увидеть на прошлогоднем сайте.

Важная информация
  • Кредит : Как для стандартных, так и для пользовательских проектов кредит для окончательного проекта разбивается следующим образом:
  • Сроки : Предложение по проекту, этап и отчет должны быть представлены в 16:30.Все сроки указаны в расписании.
  • Финальный проект по умолчанию [раздаточный материал] [слайды лекций]: В этом проекте студенты изучают решения глубокого обучения для задачи SQuAD (Stanford Question Asking Dataset). В этом году проект аналогичен прошлогоднему, на SQuAD 2.0 с базовым кодом в PyTorch.
  • Советы по проекту [слайды лекций] [конспекты лекций]: Лекция Практические советы для финальных проектов содержит рекомендации по выбору и планированию вашего проекта.Чтобы получить совет от сотрудников по проекту, сначала изучите области знаний каждого сотрудника на странице рабочего времени. Это должно помочь вам найти сотрудника, знающего о вашей области проекта.
Практические аспекты
  • Размер команды : студенты могут выполнять заключительные проекты самостоятельно или в группах до 3 человек. Мы настоятельно рекомендуем вам сделать финальный проект в команде. Ожидается, что более крупные команды будут выполнять соответственно более крупные проекты, и вам следует формировать команду из 3 человек только в том случае, если вы планируете выполнить амбициозный проект, в котором каждый член команды внесет значительный вклад.
  • Вклад : В заключительном отчете мы просим указать, что каждый член команды внес в проект. Члены команды, как правило, получают одинаковую оценку, но мы можем различать в крайних случаях неравного вклада. Вы можете конфиденциально связаться с нами в случае неравного взноса.
  • Внешние соавторы : Вы можете работать над проектом, в котором есть внешние соавторы (не учащиеся CS224n), но в итоговом отчете вы должны четко указать, какие части проекта были вашей работой.
  • Совместное использование проектов : Вы можете совместно использовать один проект между CS224n и другим классом, но мы ожидаем, что проект будет соответственно больше, и вы должны заявить, что вы разделяете проект в своем предложении по проекту.
  • Наставники : У каждой индивидуальной проектной команды есть наставник, который дает обратную связь и дает советы во время проекта. У проектных команд по умолчанию нет наставников. У проекта может быть внешний наставник (т. Е. Не сотрудники курса); в противном случае мы назначим наставника CS224n для индивидуальных проектных групп после предложения проектов.
  • Вычислительные ресурсы : Все команды получат кредиты на использование службы облачных вычислений Azure.
  • Использование внешних ресурсов : Следующие рекомендации применимы ко всем проектам (хотя проект по умолчанию имеет некоторые более конкретные правила, представленные в разделе раздаточного материала Кодекс чести ):
    • Вы можете использовать любую понравившуюся среду глубокого обучения (PyTorch, TensorFlow и т. Д.)
    • В общем, вы можете использовать любой существующий код, библиотеки и т. Д.и проконсультируйтесь и любые документы, книги, онлайн-ссылки и т.д. для вашего проекта. Тем не менее, вы должны указать свои источники в своем отчете и четко указать, какие части проекта являются вашим вкладом, а какие части были реализованы другими.
    • Ни при каких обстоятельствах вы не можете просматривать код другой группы CS224n или включать их код в свой проект.

Участие (3%)

Благодарим всех за активное участие в уроке! Есть несколько способов заработать кредит участия, который ограничен 3%:

  • Посещение лекций приглашенных докладчиков :
    • Во второй половине класса у нас есть три приглашенных докладчика.Наши приглашенные докладчики прилагают значительные усилия, чтобы приехать с лекцией для нас, поэтому (как для того, чтобы выразить нашу признательность, так и для продолжения привлечения интересных докладчиков) мы не хотим, чтобы они читали лекции в пустой комнате.
    • Все учащиеся получают 0,5% за выступающего (всего 1,5%), написав параграф реакции, основанный на прослушивании речи; подробности будут предоставлены.
  • Заполнение опросов отзывов : Мы разошлем два опроса (в середине и в конце квартала), чтобы помочь нам понять, как проходит курс и как мы можем улучшить.Стоимость каждого из двух опросов составляет 0,5%.
  • Участие Эда : ~ 20 лучших участников Эда получат 3%; другие получат оценку пропорционально участию ~ 20-го человека.
  • Карма-балл : любое другое действие, которое улучшает класс, например помощь другому ученику в укромных уголках, которое ТА CS224n или преподаватель замечает и считает достойным: 1%

Поздние дни

  • Каждому ученику дается 6 дополнительных дней. Поздний день продлевает срок на 24 часа.Вы можете использовать до 3 дней просрочки для каждого задания (включая все пять заданий, проектное предложение, контрольную точку проекта, заключительный отчет по проекту и сводку проекта).
  • Команды могут разделить между участниками поздних дня. Например, у группы из трех человек должно быть не менее шести поздних дней между ними, чтобы продлить срок на два дня. Если сообщается о каких-либо поздних днях, это должно быть четко указано в начале отчета и заполнить форму, указанную в этой публикации Ed (TBD).
  • После того, как вы использовали все 6 дней допоздна, штраф составляет 1% от итоговой оценки за каждый дополнительный день допоздна.

Запросы на повторное обновление

Если вы считаете, что заслужили более высокую оценку за задание, вы можете отправить запрос на повторную оценку в Gradescope в течение 3 дней после публикации оценок. В вашем запросе должно быть кратко изложено, почему вы считаете первоначальную оценку несправедливой. Ваш TA пересмотрит ваше задание как можно скорее, а затем вынесет решение.Если вы по-прежнему недовольны, вы можете попросить инструктора пересмотреть ваше задание.

Кредит / Нет кредита

Если вы возьмете зачетный балл / без балла, тогда вы получите оценку так же, как и зарегистрированные для буквенной оценки. Единственная разница в том, что, если вы достигнете C-стандарта в своей работе, она будет просто оценена как CR.

Приглашаем всех студентов

Мы стремимся делать все возможное, чтобы работать на справедливость и создать инклюзивную среду обучения, которая активно ценит разнообразие происхождения, идентичности и опыта каждого в CS224N.Мы также знаем, что иногда делаем ошибки. Если вы заметите, что мы могли бы добиться большего успеха, мы надеемся, что вы сообщите об этом кому-нибудь из сотрудников курса.

Благополучие и психическое здоровье

Последние двенадцать месяцев были трудными для всех. Мы здесь, чтобы помочь вам пережить еще пару кварталов пандемии. Если вы испытываете личные, академические проблемы или проблемы во взаимоотношениях и хотите поговорить с кем-то, имеющим образование и опыт, обратитесь в консультационно-психологическую службу (CAPS) на территории кампуса.CAPS — университетский консультационный центр, посвященный психическому здоровью и благополучию студентов. Назначить встречу по телефону для оценки можно в CAPS по телефону 650-723-3785 или через портал VadenPatient через веб-сайт Vaden.

Аудит курса

Как правило, мы рады иметь аудиторов, если они являются членами Стэнфордского сообщества (зарегистрированный студент, официальный посетитель, сотрудники или преподаватели). Если вы хотите действительно усвоить материал класса, мы настоятельно рекомендуем аудиторам выполнять все задания.Однако из-за большого количества учащихся мы не можем оценивать работы учащихся, официально не зачисленных в класс.

Учащиеся с документами с инвалидностью

Если вам требуется учебное жилье по причине инвалидности, вам следует подать запрос в Управление доступного образования (OAE). OAE рассмотрит запрос, порекомендует условия проживания и подготовит письмо для преподавателей. Студенты должны связаться с OAE как можно скорее и, в любом случае, до крайних сроков назначения, поскольку для согласования условий проживания необходимо своевременное уведомление.Студенты также должны как можно скорее отправить инструкторам письмо о проживании.

Сексуальное насилие

Академические условия доступны для студентов, которые испытали или восстанавливаются от сексуального насилия. Если вы хотите поговорить с конфиденциальным ресурсом, вы можете назначить встречу с командой конфиденциальной поддержки или позвонить на их круглосуточную горячую линию по телефону: 650-725-9955. Консультационные и психологические службы также предлагают конфиденциальные консультационные услуги.Неконфиденциальные ресурсы включают Офис Титула IX, для расследования и размещения, и Офис SARA, для программ лечения. Студенты также могут напрямую поговорить с преподавательским составом, чтобы договориться о размещении. Обратите внимание, что сотрудники университета, в том числе профессора и технические специалисты, обязаны сообщать все, что им известно о случаях сексуального насилия или насилия в отношениях, преследовании и сексуальных домогательствах, в офис Title IX. Студенты могут узнать больше на https://vaden.stanford.edu/sexual-assault.

Основы алгебры

Реальные числа

Алгебру часто называют обобщением арифметики.Систематическое использование переменных. Буквы, используемые для представления чисел., Буквы, используемые для представления чисел, позволяет нам общаться и решать широкий спектр реальных проблем. По этой причине мы начнем с рассмотрения реальных чисел и их операций.

Набор объектов setAny. представляет собой набор объектов, обычно сгруппированных в фигурных скобках {}, где каждый объект называется объектом elementAn внутри набора .. При изучении математики мы сосредотачиваемся на специальных наборах чисел.

ℕ = {1,2,3,4,5,…} Натуральные числа W = {0,1,2,3,4,5,…} Целые числа = {…, −3, −2, −1,0 , 1,2,3,…} Целые числа

Три точки (…) называются многоточием и указывают на то, что числа продолжаются неограниченно.Подмножество Набор, состоящий из элементов, принадлежащих данному набору., Обозначаемый ⊆, представляет собой набор, состоящий из элементов, принадлежащих данному набору. Обратите внимание, что наборы натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5,…}. и целые числа Набор натуральных чисел в сочетании с нулем: {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}. оба являются подмножествами множества целых чисел, и мы можем написать:

ℕ⊆ℤ и W⊆ℤ

Набор без элементов называется пустым набором — подмножество без элементов, обозначаемое Ø или {}.и имеет свое специальное обозначение:

{} = Ø пустой набор

Рациональные числа Числа в форме ab, где a и b являются целыми числами, а b не равны нулю., Обозначаемые ℚ, определяются как любое число в форме ab, где a и b являются целыми числами и b отлично от нуля. Мы можем описать этот набор, используя нотацию множества Нотация, используемая для описания множества, используя математические символы .:

ℚ = {ab | a, b∈ℤ, b ≠ 0} Рациональные числа

Вертикальная линия | внутри фигурных скобок читается: « такой, что », а символ ∈ указывает членство в наборе и читает: « является элементом .Приведенная выше запись в целом гласит: « набор всех чисел ab, таких что a и b являются элементами набора целых чисел, а b не равно нулю. ”Десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, являются рациональными. Например,

0,05 = 5100 и 0,6– = 0,6666… = 23

Набор целых чисел является подмножеством набора рациональных чисел, потому что каждое целое число может быть выражено как отношение целого числа к 1. Другими словами, любое целое число может быть записано над 1 и может считаться Рациональное число.Например,

7 = 71

Иррациональные числа Числа, которые нельзя записать как отношение двух целых чисел. определяются как любые числа, которые нельзя записать как отношение двух целых чисел. Неповторяющиеся десятичные дроби, которые не повторяются, иррациональны. Например,

π = 3,14159… и 2 = 1,41421…

Наконец, множество действительных чисел Множество всех рациональных и иррациональных чисел., Обозначенное буквой defined, определяется как совокупность всех рациональных чисел в сочетании с множеством всех иррациональных чисел.Следовательно, все числа, определенные до сих пор, являются подмножествами множества действительных чисел. Таким образом,

Набор четных целых чисел Целые числа, которые делятся на 2. — это набор всех целых чисел, которые без остатка делятся на 2. Мы можем получить набор четных целых чисел, умножив каждое целое число на 2.

{…, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6,…} Четные целые числа

Набор нечетных int

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, а первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелона .Решения системы, представленные более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не изменяют решения системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первой целью является получение нулей под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль ниже второй записи во втором столбце, что означает исключение второй переменной, y , из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов была преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) —

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление −1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную эшелонированную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, гауссовское исключение работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Гаусс-Джордан исключение продолжается с того места, где остановился гауссиан, затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at 2 + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1, и на y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Поскольку t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения по Гауссу завершена, так как матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако для иллюстрации исключения Гаусса-Жордана выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы —

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечно большим числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку это не накладывает ограничений на неизвестные, на неизвестные нет трех условий, а только два (представленных двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает различное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и так далее. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R 3 , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть по крайней мере одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найти все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется хотя бы одним параметром в общем решении.После построения соответствующей расширенной матрицы метод исключения Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t 1 и z = t 2 . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

и первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t 1 t 2 могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T и пусть A будет матрицей

Для каких значений b 1 , b 2 и b 3 будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

Нижняя строка теперь подразумевает, что b 1 + 3 b 2 + b 3 должен быть равен нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть растворины (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , для которых b 1 + 3 b 2 + b 3 = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая однородная система является непротиворечивой — поскольку x = 0 всегда является решением — однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Уменьшение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно увеличивать матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

Внимательно обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в Примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y h + y представляет общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t 1 и z = t 2 .Обратная подстановка y = t 1 и z = t 2 во вторую строку ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t 1 — 4 2 , y = t 1 и z = t 2 в первый строка (2 w — 2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t 1 и t 2 — любые действительные числа.Другой способ написать решение:

, где t 1 , t 2 R .

Пример 12 : Определите общее решение

, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Поскольку решением неоднородной системы в примере 11 является

Из теоремы C следует, что решение соответствующей однородной системы (где t 1 , t 2 R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема на самом деле сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x 1 и x 2 будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого действительного значения t вектор x 1 + t ( x 1 x 2 ) также является решением A x = b ; поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Начиная с A x 1 = b и A x 2 ,

Следовательно, x 1 + t ( x 1 x 2 ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *