Контрольная номер 2 по алгебре 8 класс: Алгебра 8 Макарычев Контрольная 2

Навигация по гдз

Алгебра — Комплексные числа

Ноты Быстрая навигация Скачать

• Перейти к
• Ноты
• Проблемы с практикой
• Проблемы с назначением
• Показать / Скрыть
• Показать все решения / шаги / и т. Д.
• Скрыть все решения / шаги / и т. Д.

• Разделы
• Рациональные выражения
• Решение уравнений и неравенств Введение
• Разделы
• Решение уравнений и неравенств
• Классы
• Алгебра
• Исчисление I
• Исчисление II
• Исчисление III
• Дифференциальные уравнения
• Дополнительно
• Алгебра и триггерный обзор
• Распространенные математические ошибки
• Праймер комплексных чисел
• Как изучать математику
• Шпаргалки и таблицы
• Разное
• Свяжитесь со мной
• Справка и настройка MathJax
• Мои студенты

• Заметки Загрузки
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Practice Problems Загрузок
• Полная книга — Только проблемы
• Полная книга — Решения
• Текущая глава — Только проблемы
• Текущая глава — Решения
• Текущий раздел — Только проблемы
• Текущий раздел — Решения
• Проблемы с назначением Загрузок
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Прочие товары
• Получить URL для загружаемых элементов

• Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
• Показать все решения / шаги и распечатать страницу
• Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу

• Дом
• Классы
• Алгебра
  • Предварительные мероприятия
    • Целые экспоненты
    • Рациональные экспоненты
    • Радикалы
    • Полиномы
    • Факторинговые многочлены
    • Рациональные выражения
    • Комплексные числа
  • Решение уравнений и неравенств
    • Решения и наборы решений
    • Линейные уравнения
    • Приложения линейных уравнений
    • Уравнения с более чем одной переменной
    • Квадратные уравнения — Часть I
    • Квадратные уравнения — Часть II
    • Квадратные уравнения: сводка
    • Приложения квадратных уравнений
    • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
    • Уравнения с радикалами
    • Линейные неравенства
    • Полиномиальные неравенства
    • Рациональные неравенства
    • Уравнения абсолютных значений
    • Неравенства абсолютных значений
  • Графики и функции
    • Графики
    • Строки
    • Круги
    • Определение функции
    • Графические функции
    • Комбинирование функций
    • Обратные функции
  • Общие графы
    • Прямые, окружности и кусочные функции
    • Параболы
    • Эллипсы
    • Гиперболы
    • Разные функции
    • Преобразования
    • Симметрия
    • Рациональные функции
  • Полиномиальные функции

Продвинутая алгебра: алгебраические неравенства — II

Если вы изучаете продвинутую алгебру вместе с нами, тема алгебраических неравенств наверняка возникнет.Обязательно начните с первой части перед просмотром этого видео, которое является второй частью нашего обсуждения.

Множественные алгебраические неравенства

В этом видео мы поговорим еще о нескольких идеях, связанных с неравенством. Прежде всего, предположил, что в задаче задано более одного неравенства. Что нам разрешено делать с двумя отдельными неравенствами? Итак, комбинируя неравенства, если у нас есть два уравнения, прежде всего a = b и b = c, мы, безусловно, можем объединить их, чтобы получить a = c технически, что называется транзитивным свойством равенства.

Примерно так же, если мы знаем, что r меньше s, а s меньше t, мы можем вывести, что r меньше s меньше t, и, следовательно, r меньше t. Итак, это тоже транзитивное свойство. Обратите внимание, что для того, чтобы комбинация работала, общий термин s должен быть больше одного члена и меньше другого, и это очень, очень важно.

Если один и тот же термин больше, чем оба других термина, или меньше, чем оба других термина, мы не можем сделать никакого вывода.Если c меньше f, а d также меньше f, мы знаем, что c и d меньше f, но мы не знаем, как они сравниваются друг с другом. Так, например, если f равно 100, то оба числа c и d меньше 100, но нам ничего не известно, какое из них больше другого.

Добавление неравенств

Вторая проблема, добавление неравенства. Напомним, что нам разрешено складывать или вычитать любые два уравнения. Оказывается, уравнения в этом отношении очень просты.

С неравенством нам нужно быть более осторожными.Предположим, у нас есть два неравенства: a меньше b и c меньше d. Какие виды сложения и вычитания разрешены?

Прежде всего, мы можем добавить неравенства того же направления. Другими словами, неравенства указывают в одном направлении. Итак, если a больше b и c больше d, то мы можем просто сложить их вместе. A + c должно быть больше, чем b + d. И в этом есть смысл, что если мы сложим две большие вещи, получится больше, чем сумма двух маленьких вещей.

Например, 5 больше 2 и 11 больше 8, это два истинных неравенства. Мы можем добавить их, когда направления совпадают. Итак, когда мы добавляем, конечно, мы получаем еще одно истинное утверждение, 16 больше, чем 10. Мы не обязательно получим что-то разумное, если добавим неравенства, которые имеют разные направления.

Итак, например, эти два неравенства теперь мы перевернули, чтобы они имели противоположное направление. Сложив их, мы получим 13 с обеих сторон, и на самом деле это вовсе не неравенство, а уравнение.И если мы выберем разные начальные значения, мы сможем получить сумму, которая будет либо больше, либо меньше, либо равна.

Значит, общего правила нет. Когда вы начинаете добавлять неравенства, где знак указывает в противоположных направлениях, в основном вы получаете математическую чепуху. Невозможно предсказать, что вы получите. Таким образом, в этом случае для вычитания неравенств мы не можем вычитать неравенства того же направления.

Итак, вот куча неравенств, это действительные неравенства, все выстроенные в одну линию с неравенствами в одном направлении.Обратите внимание, что если мы вычитаем, мы можем получить знак «меньше», «знак равенства» или «знак больше». Если мы вычтем неравенства в том же направлении, мы сможем получить любой из этих знаков. Итак, опять же, это чистая математическая чепуха.

Если вычесть два неравенства в одном направлении, невозможно предсказать, какие отношения получатся. Но в этом случае мы можем вычесть неравенства, имеющие противоположные направления. Итак, если a больше b и c больше d, у нас нет возможности сравнить размер a-c с размером b-d.

_{Изображение Neirfy}

Если мы сделаем большой минус большой и маленький минус маленький, что ж, трудно сказать, как это будет сравниваться. Но мы можем перевернуть последнее, сделать его d- c, а затем мы можем вычесть, a- d больше, чем b- c. Другими словами, большой минус маленький всегда будет больше, чем маленький минус большой.

Итак, это работает. Подумайте об этом заявлении. Если a больше b, а d меньше c, тогда a- d больше b- c. Давайте рассмотрим числовые примеры, предположим, что a = 20, b = 15, c = 12 и d = 10.Ясно, что 20 больше 15, ясно, что 10 меньше 12, и когда мы вычитаем, получаем 10 больше 3.

Обратите внимание, что результирующее неравенство следует направлению исходного неравенства, из которого мы вычитаем. Итак, это задает тон. То первое, из которого мы вычитаем, мы вычитаем из этого что-то в противоположном направлении. И результат, разница будет такая же, как у оригинала.

Умножение и деление алгебраических неравенств

Нет правил умножения и деления неравенств.Опять же, это всегда приводит к математической чепухе, вы не можете этого сделать.

Вы можете подумать, что если бы a было больше, чем b, а c было больше, чем d, это всегда привело бы к тому, что x, умноженное на c, больше, чем b, умноженное на d. Почему бы не было так, что большое, помноженное на большое, всегда больше, чем маленькое, умноженное на малое? Если бы мы могли гарантировать, что все числа положительные, тогда это сработало бы.

Но рассмотрим этот пример: -10 явно меньше +2, а -8 явно меньше +3. Но если мы умножим, мы получим -8 умножить на -10, а отрицательное умножение на отрицательное даст нам положительное 80, которое больше, чем 6, 2 умноженное на 3, что равно 6.Итак, это пример, когда умножение двух кавычек, отмены кавычек меньших чисел, отрицательных чисел дает очень положительное, очень большое произведение.

_{Изображение от carmen2011}

Если мы знаем, что число отрицательное, нам не нужно вычислять его точное значение. Мы точно знаем, что только по тому факту, что оно отрицательное, оно всегда меньше любого положительного числа. Также имейте в виду, что добавление любого положительного числа всегда увеличивает число. Так, например, x + 10 должно быть больше x. Фактически, любое положительное число может быть дробью x + две пятых должно быть больше x.

Но точно так же, вычитание любого положительного или добавление любого отрицательного числа всегда делает число меньше.Таким образом, x должен быть больше, чем x- 3, вычитание 3 обязательно делает все меньше.

Практическая задача

Вот практическая задача. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом. В частности, это очень похожая на тест проблема. Это задача, похожая на тест, потому что она разработана с некоторыми ловушками, которые наказывают людей, которые очень наивно думают о числах.

Кто думает, что все числа — это числа, которые они могут сосчитать на пальцах, они забывают о других видах чисел.Итак, во-первых, это первое утверждение действительно верно. Если мы прибавим 2, не имеет значения, является ли число положительным, отрицательным или дробным. Неважно, если мы прибавим 2, мы сделаем его больше. Таким образом, это всегда больше, чем x, и поскольку я должен быть включен в ответ, мы можем исключить ответ D, потому что он не включает I.

Хорошо, а как насчет 2х? Всегда ли 2x больше x? Если вы думаете о положительных числах, здесь вы можете столкнуться с проблемой. Потому что, конечно, если вы удвоите любое положительное число, оно станет больше.6 больше 3, 20 больше 10 и тому подобное. Проблема в том, когда мы получаем отрицательные числа.

Если у меня -10 и вдвое больше, то -20, -10 больше -20. Один из способов подумать об этом: что лучше: вы бы предпочли иметь 10 долларов в долг или 20 долларов в долг? Вам будет гораздо лучше в финансовом отношении, если у вас 10 долларов в долг, а не 20 долларов.

Итак, можно думать об этом, -10 определенно больше, чем -20. Так что с отрицательными числами это просто не работает.Таким образом, II не всегда верно, и это означает, что мы можем исключить любой из ответов, которые включают II. Итак, теперь мы подошли к A и C. Наконец, квадрат x.

Это особенно сложно, потому что, конечно, с большинством положительных чисел вы возводите его в квадрат, и оно становится больше. А отрицательные числа возводят в квадрат отрицательное, и оно становится положительным. Так что, конечно, это больше еще и потому, что любое положительное больше отрицательного. Так что, похоже, у нас все готово. Прежде всего, обратите внимание, что есть пара чисел, которые мы возведем в квадрат, как 1 и 0.

Возводим 1 в квадрат, получаем 1, если возводим в квадрат 0, получаем 0. Что ж, это не неравенство, это равенство. 1 в квадрате равно 1, оно не больше 1. А также подумайте о десятичной дроби между 1 и 0. Если возвести половину в квадрат, мы получим одну четвертую, а одна четвертая меньше половины. Когда мы возводим дроби в квадрат, они становятся меньше.

Таким образом, это означает, что этот последний не всегда верен, и поэтому мы можем исключить другие ответы, и просто путем исключения работает только один вариант ответа A.

Сводка

Таким образом, мы можем комбинировать неравенства, если общий член меньше одного и больше другого. Мы можем объединить все в одном направлении.

Итак, a меньше b, b меньше c, мы можем объединить это в a меньше b меньше c, что прямо говорит нам, что a меньше c. Мы можем складывать неравенства одного и того же направления, мы можем вычитать неравенства в противоположных направлениях. Не существует общего правила для неравенства умножения или деления.Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

И снова, это очень удобный ярлык во многих обстоятельствах. И, наконец, добавление положительного числа увеличивает число, вычитание положительного — уменьшает.

номеров со знаком. Целые числа — Полный курс алгебры

2

Положительные и отрицательные

Алгебраический знак и модуль

Вычитание большего числа из меньшего

Номер строки

Отрицательное число

Алгебраическое определение отрицательного числа

В АРИФМЕТИКЕ мы не можем вычесть большее число из меньшего.

2–3.

Но в алгебре мы можем. И для этого мы изобретаем «отрицательные» числа.

2-3 = -1.

Теперь, чтобы получить положительные числа, мы начинаем с 0 и последовательно добавляем 1:

0, +1, +2, +3, +4, +5 и т. Д.

Чтобы получить отрицательные числа, мы начинаем с 0 и последовательно вычитаем 1:

0, −1, −2, −3, −4, −5 и так далее.

Мы называем все эти числа — положительные, отрицательные и 0 — целыми.Мы называем эти целые числа целыми числами, чтобы отличать их от дробей и десятичных знаков. Положительные целые числа больше 0. Отрицательные целые числа меньше. Мы называем их обоими номерами со знаком.

1. Каковы две части числа со знаком?

Его алгебраический знак, + или -, и его абсолютное значение, которое представляет собой просто арифметическое значение, то есть число без знака.

Алгебраический знак +3 («плюс 3» или «положительный 3») равен +, а его абсолютное значение равно 3.

Алгебраический знак −3 («минус 3» или «минус 3»): -. Абсолютное значение −3 также равно 3.

Знак минус — это не только алгебраический знак. Это также знак операции вычитания. Скоро мы увидим, как эти двое связаны.

Что касается алгебраического знака +, обычно мы его не пишем. Например, алгебраический знак 2 понимается как +.

Что касается 0, полезно сказать, что он имеет оба знака: −0 = +0 = 0.
(см. Урок 5, проблема 9 и Урок 11, Задача 11.)

Когда мы помещаем число в вертикальные линии, | −3 |, это означает его абсолютное значение.

Проблема 1. Оцените каждое из следующих действий.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

2.Как вычесть большее число из меньшего?

5–8

1. Какой будет знак ответа?

Было бы неправильно сказать, что мы не можем взять 8 из 5. Мы, конечно, можем взять 5 из 8 — и именно это мы делаем — но мы сообщаем ответ со знаком минус!

5-8 = −3.

Даже в алгебре мы можем заниматься только обычной арифметикой. Но тогда мы должны выбрать правильный знак.

Можно сказать, что это первое правило чисел со знаком:

Чтобы вычесть большее число из меньшего,
вычтите меньшее из большего, но ответ
будет отрицательным.

1 — 5 = −4.

На самом деле мы делаем 5 — 1.

Именно для того, чтобы вычесть большее число из меньшего, были придуманы отрицательные числа.

Проблема 2. В чем разница между 8-5 и 5-8?

Алгебраические знаки.У них одинаковое абсолютное значение.

8–5 = 3. 5–8 = −3.

Задача 3. Вычесть.

Проблема 4.У вас есть 20 долларов в банке, и вы выписываете чек на 25 долларов. Каков ваш баланс?

20,00 — 25,00 = −5,00

Номер строки

То, что вы видите выше, называется числовой линией. Мы воображаем, что он простирается в обоих направлениях настолько далеко, насколько нам угодно. Отрицательные числа падают слева от 0. Положительные числа падают справа.

Когда мы рисуем числовую линию, мы обычно помещаем целые числа.Однако мы представляем себе каждое число на числовой прямой. Таким образом, дробь ½ окажется между 0 и 1; дробь −½ находится между 0 и −1; и так далее.

Фактически, именно на числовой строке мы начинаем видеть практическое использование чисел со знаком. В общем, они показывают некоторое количество «направления». Этой величиной может быть температура: больше или меньше определенной температуры, обозначенной как 0. Или это может быть положение или «адрес» некоторого объекта: слева или справа от некоторого фиксированного положения, выбранного как 0.Или это может быть время: до или после определенного момента, который снова выбирается равным 0. Или, как мы все знаем, отрицательные числа могут указывать на остаток на текущем счете

Задача 5. Запуск ракеты запланирован ровно на 9:16 утра, что обозначено как t (для времени) = 0, а t будет измеряться в минутах.

а) Который час при t = −10? 9:06 утра.

б) Сколько сейчас времени при t = −1? 9:15.

в) Который час на отметке t = +5? 9:21 утра.

г) Какова стоимость т в 9:00? т = −16.

д) Какова стоимость т в 9:30? т = 14.

Отрицательное число

Каждое число будет иметь отрицательное значение. Отрицательное число 3, например, будет найдено на том же расстоянии от 0, но с другой стороны.

Это −3.

Итак, какое число отрицательное у −3?

Отрицательное значение −3 будет таким же расстоянием от 0 на другой стороне . Это 3.

— (- 3) = 3.

«Отрицательное значение −3 равно 3.»

Это будет верно для любого числа a :

«Отрицательное значение −a равно a .«

То, что находится в коробке, называется формальным правилом. Это означает, что всякий раз, когда мы видим что-то похожее на это —

— (- а )

— что-то, что имеет форму из , тогда мы можем переписать его в таком виде:

а

Например,

— (- 12) = 12.

Изучить алгебру — значит изучить ее формальные правила. Что такое расчеты, как не записывать вещи в другой форме? В арифметике мы перепишем 1 + 1 как 2.В алгебре мы перепишем — (- a ) как a .

См. Урок 5.

Проблема 6. Оцените следующее.

а) — (- 10) = 10 б) — (2-6) = 4

в) — (1 + 4-7) = 2 г) — (- х ) = х

Алгебраическое определение отрицательного числа

Наконец, отрицательное число в алгебре определяется следующим образом.Например, −5 — это число, которое при добавлении к самому 5 дает 0.

5 + (−5) = 0.

То есть каждому числу a соответствует одно и только одно число — a , называемое отрицательным. И когда мы добавляем его к a , мы получаем 0.

a + (- a ) = — a + a = 0

Задача 7. Какое число нужно прибавить к 8, чтобы получить 0?

Проблема 8.Какое число нужно прибавить к −6, чтобы получить 0?

6

Задача 9. Какое число отрицательное — q ? Почему?

Отрицательное значение — q равно q , потому что — q + q = 0.

То есть

— (- q ) = q .

Проблема 10. Если

с + т = 0,

тогда какая связь между t и s ?

Проблема 11.Если бы вам нужно было доказать, что

b — a отрицательное значение a — b ,

как бы вы это сделали?

Покажем, что a — b + b — a = 0.

Чтобы доказать свойство чего-либо, будь то математика, логика или закон, мы должны просто показать, что оно удовлетворяет определению этого свойства.

Следующий урок: сложение и вычитание чисел со знаком

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Основные операторы в реляционной алгебре

Основы реляционной модели: реляционная модель

Реляционная алгебра — это язык процедурных запросов, который принимает отношения в качестве входных данных и возвращает отношения в качестве выходных данных.Есть несколько основных операторов, которые можно применять к отношениям для получения требуемых результатов, которые мы обсудим один за другим. Мы будем использовать отношения STUDENT_SPORTS, EMPLOYEE и STUDENT, как указано в таблицах 1, 2 и 3 соответственно, чтобы понять различные операторы.

Таблица 1: СТУДЕНТ_СПОРТ

Таблица 2: СОТРУДНИК

Таблица 3: СТУДЕНТ

Оператор выбора (σ): Оператор выбора используется для выбора кортежей из отношения на основе некоторого условия.Синтаксис:

  σ  (Cond)  (Имя отношения)  

Извлечь учащихся старше 18 лет из отношения СТУДЕНТ, приведенного в таблице 1

  σ  (ВОЗРАСТ> 18)  (СТУДЕНТ)  

РЕЗУЛЬТАТ:

Оператор проекции (∏): Оператор проекции используется для проецирования определенных столбцов из отношения.Синтаксис:

  ∏  (Столбец 1, Столбец 2…. Столбец n)  (Имя отношения)  

Извлечь ROLL_NO и NAME из отношения СТУДЕНТ, приведенного в таблице 3

  ∏  (ROLL_NO, NAME)  (STUDENT)  

РЕЗУЛЬТАТ:

Примечание: Если результирующее отношение после проекции содержит повторяющиеся строки, оно будет удалено.Например: ∏ _(АДРЕС) (СТУДЕНТ) удалит одну повторяющуюся строку со значением DELHI и вернет три строки.

Перекрестное произведение (X): Перекрестное произведение используется для соединения двух отношений. Для каждой строки Relation1 каждая строка Relation2 объединяется. Если Relation1 имеет m кортежей, а Relation2 имеет n кортежей, перекрестное произведение Relation1 и Relation2 будет иметь m X n кортежей. Синтаксис:

  Отношение1 X Отношение2  

Чтобы применить перекрестный продукт к отношению СТУДЕНТ, приведенному в таблице 1, и отношению СТУДЕНТ_СПОРТ, приведенному в таблице 2,

  СТУДЕНТ X СТУДЕНТ_СПОРТ  

РЕЗУЛЬТАТ:

Union (U): Объединение двух отношений R1 и R2 может быть вычислено только в том случае, если R1 и R2 совместимы с объединением (Эти два отношения должны иметь одинаковое количество атрибутов, а соответствующие атрибуты в двух отношениях имеют тот же домен).Оператор объединения при применении к двум отношениям R1 и R2 даст отношение с кортежами, которые находятся либо в R1, либо в R2. Кортежи, которые находятся как в R1, так и в R2, появятся в отношении результата только один раз. Синтаксис:

  Отношение1 U Отношение2  

Найдите человека, который является студентом или сотрудником, мы можем использовать оператора Union, например:

  СТУДЕНТ U СОТРУДНИК  

РЕЗУЛЬТАТ:

Минус (-): Минус на двух отношениях R1 и R2 может быть вычислен, только если R1 и R2 совместимы с объединением .Оператор минус, применяемый к двум отношениям, поскольку R1-R2 даст отношение с кортежами, которые находятся в R1, но не в R2. Синтаксис:

  Отношение1 - Отношение2  

Найдите человека, который является студентом, но не сотрудником, мы можем использовать оператор минус, например:

  СТУДЕНТ - СОТРУДНИК  

РЕЗУЛЬТАТ:

Переименовать (ρ): Оператор переименования используется для присвоения другому имени отношения.Синтаксис:

  ρ (Отношение2, Отношение1)  

Чтобы переименовать отношение СТУДЕНТ к СТУДЕНТ1, мы можем использовать оператор переименования, например:

  ρ (СТУДЕНТ1, СТУДЕНТ)  

Если вы хотите создать отношение STUDENT_NAMES с ROLL_NO и NAME из STUDENT, это можно сделать с помощью оператора переименования как:

  ρ (Имена СТУДЕНТОВ, ∏  (РОЛЛ_НО, ИМЯ)  (СТУДЕНТ))  

Операторы расширенной реляционной алгебры Обзор операторов реляционной алгебры

Контрольные вопросы предыдущего года
http: // quiz.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2012-question-50/
http://quiz.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2012-question-43/

Статья предоставлена ​​Sonal Tuteja. Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше

Вниманию читателя! Не переставай учиться сейчас. Получите все важные концепции теории CS для собеседований SDE с курсом CS Theory Course по приемлемой для студентов цене и будьте готовы к работе в отрасли.