Контрольная работа по алгебре 8 класс мордкович 1 четверть: Алгебра 8 Мордкович КР-1 и ответы

Содержание

Алгебра 8 Мордкович КР-1 и ответы

Алгебра 8 Мордкович КР-1. Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (УМК Мордкович и др.) с ответами и решениями. Автор заданий: Л.А. Александрова. Задания контрольных работ представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий.

Контрольная работа № 1
по алгебре в 8 классе (Мордкович)

В контрольной работе проверяются знания после изучения следующих тем учебника: Глава 1. Алгебраические дроби (§ 1. Основные понятия. § 2. Основное свойство алгебраической дроби. § 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. § 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями).

Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (Мордкович)

OCR-версия заданий (транскрипт)

Алгебра 8 Мордкович КР-1

Вариант 1
1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.
2. Найдите значение выражения при х = -1,5.
3. Выполните действия:

4. Прогулочный теплоход по течению реки проплывает 12 км за такое же время, что и 10 км против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 22 км/ч.
5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения положительно.

Вариант 2
1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла?
2. Найдите значение выражения при х = — 3/4.
3. Выполните действия:
4. Туристы проплыли на лодке по озеру 18 км за такое же время, что и 15 км против течения реки, впадающей в озеро. Найдите скорость движения лодки по озеру, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения отрицательно.

Алгебра 8 Мордкович КР-1

Вариант 1
1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.
2. Найдите значение выражения при х = -1,5.

3. Выполните действия:
4. Прогулочный теплоход по течению реки проплывает 12 км за такое же время, что и 10 км против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 22 км/ч.
5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения положительно.

Вариант 2
1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла?
2. Найдите значение выражения при х = — 3/4.
3. Выполните действия:
4. Туристы проплыли на лодке по озеру 18 км за такое же время, что и 15 км против течения реки, впадающей в озеро. Найдите скорость движения лодки по озеру, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения отрицательно.

 

Решения и ОТВЕТЫ на контрольную работу

Вариант 1. Смотреть ОТВЕТЫ

Вариант 2. Смотреть ОТВЕТЫ

Вариант 3. Смотреть ОТВЕТЫ

Вариант 4. Смотреть ОТВЕТЫ

 


Алгебра 8 Мордкович КР-1. Контрольная работа 1 по алгебре в 8 классе (УМК Мордкович и др.) с ответами и решениями. Автор заданий: Л.А. Александрова. Задания контрольных работ представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 8 классе (УМК Мордкович)

 

Полугодовая контрольная работа по алгебре 8 класс по Мордковичу ( с ответами)

Полугодовая контрольная работа по алгебре Вариант 1 8 класс 2016

1) а) Постройте график функции:

б) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;9].

2) Расположите в порядке возрастания:

3) Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ; г)

4) Решите уравнение: ; б) 5х2 — 17 = х2 + 47

5) Преобразуйте выражение: а) ; б)

6) Упростите выражение: : ;

7) Докажите, что выражение является рациональным числом:

8) Вычислите:

Полугодовая контрольная работа по алгебре Вариант 2 8 класс 2016

1) а) Постройте график функции:

б) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;16].

2) Расположите в порядке возрастания:

3) Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ; г)

4) Решите уравнение: ; б) 4х2 + 5 = х2 + 32

5) Преобразуйте выражение: а) ; б)

6) Упростите выражение: :;

7) Докажите, что выражение является рациональным числом:

8) Вычислите:

Полугодовая контрольная работа по алгебре

Вариант 1 8 класс 2016

1) а) Постройте график функции:

б) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;9].

2) Расположите в порядке возрастания:

3) Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ; г)

4) Решите уравнение: ; б) 5х2 — 17 = х2 + 47

5) Преобразуйте выражение: а) ; б)

6) Упростите выражение: : ;

7) Докажите, что выражение является рациональным числом:

8) Вычислите:

Полугодовая контрольная работа по алгебре Вариант 2 8 класс 2016

1) а) Постройте график функции:

б) найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;16].

2) Расположите в порядке возрастания:

3) Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ; г)

4) Решите уравнение: ; б) 4х2 + 5 = х

2 + 32

5) Преобразуйте выражение: а) ; б)

6) Упростите выражение: :;

7) Докажите, что выражение является рациональным числом:

8) Вычислите:

Алгебра 8 Контрольные Мордкович | РАБОТЫ и ОТВЕТЫ

Алгебра 8 Контрольные Мордкович — контрольные работы по алгебре в 8 классе (УМК Мордкович, Мнемозина), а также решения и ответы на них. В учебных целях использованы цитаты из пособия: «Алгебра 8 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича — М.: Мнемозина». Представленные ниже контрольные работы ориентированы на учебник «Алгебра 8 класс» авторов А.Г. Мордкович и др. При постоянном использовании данных контрольных работ рекомендуем КУПИТЬ книгу:  Лидия Александрова: Алгебра 8 класс. Контрольные работы. ФГОС. Мнемозина (переход по ссылке в интернет-магазин «Лабиринт.Ру»), в которой есть все 4 варианта работ.

Задания контрольных работ представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий.

Контрольные работы по алгебре
8 класс (УМК Мордкович, Мнемозина)

Контрольная № 1 + Ответы КР-1

Контрольная № 2 + Ответы КР-2

Контрольная № 3 + Ответы КР-3

Контрольная № 4 + Ответы КР-4

Контрольная № 5 + Ответы КР-5

Готовятся к публикации: КР-6, КР-7, КР-8, КР-9.

 


Представлены образцы 9 контрольных работ в 2-х вариантах и ответы на контрольные в 4-х вариантах. Последняя работа является итоговой, рассчитанной на 2 урока. Она охватывает содержание всего годичного курса алгебры и проводится при наличии соответствующих возможностей в период завершающего повторения.

Все контрольные работы имеют единую структуру. Каждый вариант состоит из трех частей. Первая часть (до первой черты) включает материал, соответствующий базовому уровню математической подготовки учащихся. Выполнение этой части контрольной работы гарантирует школьнику получение удовлетворительной оценки. Вторая часть (от первой до второй черты) содержит задания, несколько более сложные с технической точки зрения. Третья часть (после второй черты) включает задания, которые в определенном смысле можно охарактеризовать как творческие. Чтобы получить хорошую оценку, учащийся должен выполнить кроме базовой части вторую или третью часть работы. Чтобы получить отличную оценку, ученику необходимо выполнить все три части работы. Советуем не снижать итоговую оценку за контрольную работу при наличии одной ошибки или погрешности, допущенной учащимся в базовой части работы.

 


Вы смотрели: Алгебра 8 Контрольные Мордкович — контрольные работы по алгебре в 8 классе (УМК Мордкович), а также решения и ответы на них. В учебных целях использованы цитаты из пособия: «Алгебра 8 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Александрова; под ред. Мордковича». Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий.

Алгебра 8. Контрольные Мордкович (ДМ Попов)

Алгебра 8. Контрольные Мордкович (ДМ Попов). Цитаты контрольных работ и ответы на задачи контрольных работ из учебного пособия: «Дидактические материалы по алгебре к учебнику А.Г. Мордковича Алгебра 8 класс/ М.А. Попов — М.: Издательство Экзамен». Ответы на контрольные работы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения задания. Вопросы и ответы представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки указанного учебного пособия.

Нажмите на необходимую вам тему контрольной работы. В начале указана цитата (материал контрольной работы) из вышеуказанного учебного пособия (только 1-й вариант). Затем представлены ответы на все 4 варианта контрольной. При постоянном использовании данных контрольных работ (в 4-х вариантах) рекомендуем КУПИТЬ книгу:  Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы к учебнику А.Г. Мордковича. ФГОС (переход по ссылке в интернет-магазин «Лабиринт.Ру»). Пособие содержит 36 самостоятельных работ, каждая в двух вариантах, так что при необходимости можно проверить полноту знаний учащихся после каждой пройденной темы; 7 контрольных работ, представленных в четырех вариантах, в том числе итоговая контрольная работа, дают возможность максимально точно оценить знания каждого ученика. В конце книги приведены олимпиадные задания и задания повышенной трудности.

Алгебра 8 класс (Мордкович)
Контрольные работы (Попов):

КОНТРОЛЬНАЯ № 1. Основные понятия. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень. Преобразование рациональных выражений. Первые представления о рациональных уравнениях. Степень с отрицательным целым показателем.

Контрольная работа № 1 КР-1 + ответы

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 2. Рациональные числа. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Функция у = √х, ее свойства и график. Свойства квадратных корней. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Модуль действительного числа.

Контрольная работа № 2 КР-2 + ответы

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 3. Функция у = kx2, ее свойства и график. Функция у = k/x, ее свойства и график. Как построить график функции у = f(х + l), если известен график функции у = f(x). Как построить график функции у = f(x) + m если известен график функции у = f(х). Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции

у = f(x). Функция y = ах2 + bx + с, ее свойства и график. Графическое решение квадратных уравнений.

Контрольная работа № 3 КР-3 + ответы

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 4. Основные понятия. Формулы корней квадратных уравнений. Рациональные уравнения. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Еще одна формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Иррациональные уравнения.

Контрольная работа № 4 КР-4 + ответы

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 5. Свойства числовых неравенств. Исследование функций на монотонность. Решение линейных неравенств. Решение квадратных неравенств.

Контрольная работа № 5 КР-5 + ответы

 

КОНТРОЛЬНАЯ № 6. Множество рациональных чисел. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид положительного числа.

Контрольная работа № 6 КР-6 + ответы

 

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА за курс 8 класса.

Итоговая контрольная работа КР-7 + ответы

 


Вы смотрели страницу Алгебра 8. Контрольные Мордкович (ДМ Попов). Цитаты контрольных работ и ответы на задачи контрольных работ из учебного пособия: «Дидактические материалы по алгебре к учебнику А.Г. Мордковича Алгебра 8 класс/ М.А. Попов — М.: Издательство Экзамен»Вернуться на страницу «Алгебра 8 класс»

Если Вы считаете, что какой-то пример решен неправильно обязательно напишите нам в поле для Комментариев (ниже) с указанием № контрольной работы, № варианта и № задачи.


Другие контрольные работы по алгебре в 8 классе:

Контрольно- измерительные материалы по алгебре 8 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ

ШКОЛА С.БЕРЕЗОВО ПУГАЧЕВСКОГО РАЙОНА

САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ»

 

 

 

«Рассмотрено»

Руководитель МО

_____ /__________ /

                ФИО

Протокол №____от

«__» ______ 20__г.

 

 

«Согласовано»

Заместитель директора по УВР МОУ СОШ  с.Березово

_____ /_________/

                ФИО

«__» ______ 20__г.

 

«Утверждено»

Директор МОУ СОШ с.Березово

_____ /________/

                ФИО

Приказ №___ от

«___» ______ 20__г.

 

 

 

Контрольно-измерительный материал

по алгебре в 8 классе

на 2018-2019 учебный год

 

 

 

                                                             

Рассмотрено на заседании

педагогического совета

протокол № __

«      »_______20     г.

 

 

 

 

Контрольно-измерительные материалы

 по алгебре 8 класс

(к учебнику В.Г.Дорофеева)

Контрольно-измерительные материалы ориентированы на учебник «Алгебра» для учащихся 7  класса под редакцией Г.В.Дорофеева и С.Б.Суворовой. Система контроля охватывает все изучаемые в курсе алгебры вопросы.

Структурирование контрольных работ имеет дифференцируемый подход к обучению и контролю знаний и умений учащихся. Каждая работа предусматривает проверку достижения школьниками уровня базовых требований и дает возможность учащимся проявить свои знания на более высоких уровнях.

Задания разного уровня обозначены в работе специальными значками:

       — задания базового уровня, их число варьируется в зависимости от темы и объема проверяемого материала, они аналогичны заданиям, представленным в учебнике;

       — задания более высокого уровня, в каждой работе их три;

       — дополнительное задание, предназначенное для учащихся, быстро справившихся с контрольной работой, выполняется по желанию на отдельную отметку.

В каждой контрольной работе приводятся критерии оценивания, в которых указаны нижние границы выставления отметок «3», «4», «5». Критерии оценивания открыты для учащихся, важно, чтобы они понимали, как и за что выставляется оценка. Контрольные работы и критерии оценки разработаны таким образом, чтобы у учащихся было право на ошибку: для получения «3» не обязательно правильно выполнить все задания базового уровня, точно так же и для получения пятерки не обязательно решить все задачи контрольной работы.

Содержание итоговых проверок охватывает изученные к этому времени темы курса. Итоговые контрольные работы направлены на проверку владения основным материалом и в определенной степени выяснение прочности знаний, приобретенных за продолжительный промежуток времени, и ориентированы на итоговые результаты. Как и тематические, они рассчитаны на один урок, предложенные тесты не содержат дополнительного задания, которое учитель может включать по своему усмотрению в зависимости от уровня подготовки класса или отдельных учащихся.

 

Наименование составленных работ

 

Кол-во

Контрольные работы

 

10

 

 

 

 

I ЧЕТВЕРТЬ

Стартовый контроль

ВАРИАНТ 1

 

ЧАСТЬ А

 

(Подчеркните правильный ответ). За каждый правильный ответ 1 балл

 

  1. Найдите значение выражения при а= -1,5; b=1

А.   Б.     В. – 3                              Г. 3

 

  1. Упростите выражение 3ху-3х-(х+3ху).

А. ху-3х;  Б. 3ху+х   В. -4х-6ху;                             Г. – 4х

 

  1. Представьте выражение (5a-2)2 в виде многочлена.

А. 25а2-10а+4  Б. 25а2+20а+4  В. 25а2-4                                          Г. 25а2-20а+4

 

  1. Выполните умножение: (5b-3а)(5b+3а)

А. 25b2+9а2  Б. 25b2-9a2   B. 25b2-30ab+9a2                            Г. 5b2-3a2

 

  1. Вынесите за скобки общий множитель 15a3-3a2b

А. 3а2(15а-b)  Б. 3a2(5-b)   B. 3a2(5a-1)                             Г. 3a2(5a-b)

 

ЧАСТЬ В

 

(Запишите только ответ, без решения). За каждый правильный ответ 2 балла

 

  1. Решить уравнение 2х-7=10-3(х+2)

Ответ: ___________________________________

 

  1. Упростить выражение  х52)4

Ответ: ___________________________________

 

  1. Упростить выражение (а-4)2-а(2а-8)

Ответ: ____________________________________

 

  1. Разложить на множители 2ху+6у-хс-3с

Ответ: ____________________________________

 

  1. Сократить дробь:

 

 

Ответ: ________________________________

 

  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: 1<у≤3

 

 

ЧАСТЬ С (Выполните полное решение)

 

  1. Решить уравнение –   (3 балла)

 

  1. В 15 одинаковых пакетов и 5 одинаковых коробок расфасовали 2400 г конфет. В каждую коробку уместилось на 20 г конфет больше, чем в каждый пакет. Сколько граммов конфет было в каждом пакете и каждой коробке? (4 балла)
  2. Решите уравнение -(3х-1)2+2(5+х)(х-5)+7х2=3  (6 баллов)

 

 

 

ВАРИАНТ 2

 

ЧАСТЬ А

 

(Подчеркните правильный ответ). За каждый правильный ответ 1 балл

 

  1. Найдите значение выражения при а= 1,5; с= -3,5

А. 2,5   Б. -2,5    В. – 3                              Г. 1

 

  1. Упростите выражение:  -6х+5ху-2(х+2ху).

А. -8х+ху;  Б. -8х-ху   В. -4х+ху;                             Г. – 4х-ху

 

  1. Представьте выражение (3a-2)2 в виде многочлена.

А. 9а2-6а+4  Б. 3а2-12а+4   В. 9а2 -12а+4                             Г.2-4

 

  1. Выполните умножение: (7-9b)(7+9b)

А. 49-9b2  Б. 49+81b2   B. 49-126a+81a2                            Г. 49-81b2

 

  1. Вынесите за скобки общий множитель 15ab2-6b

А. 3b(5аb2-2)  Б. 3b(5ab-2b)   B. 3b(5ab-2)                             Г. 3b(5a-2b)

 

 

ЧАСТЬ В

 

(Запишите только ответ, без решения). За каждый правильный ответ 2 балла

 

 

  1. Решить уравнение 5x+12-3(x+16)= -20

Ответ: ___________________________________

 

  1. Упростить выражение  (у3)5у2

Ответ: ___________________________________

 

  1. Упростить выражение (2b+c)2-b(4b-3c)

Ответ: ____________________________________

 

  1. Разложить на множители  ab+3ac-2b-6c

Ответ: ____________________________________

 

  1. Сократить дробь:

 

 

Ответ: ________________________________

 

  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: 2≤x<4

 

ЧАСТЬ С (Запишите полное решение)

 

  1. Решить уравнение +   (3 балла)

 

  1. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил свою работу за 5 ч, а второй за 4 ч, так как изготовлял на 12 деталей в час больше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?(4 балла)

 

  1. Решите уравнение 9х2-7(х+4)(4-х)-(1-4х)2=15 (6 баллов)


 

 


Math-Aids.Com — Отсутствует страница

  • Основные навыки
  • Домен и диапазон
  • Уравнения
  • Показатели
  • Неравенства
  • Линейные уравнения
  • Мономы и многочлены
  • Квадратичные функции
  • Радикальные выражения
  • Рациональные выражения
  • Системы уравнений
  • Тригонометрия
  • Проблемы со словами
  • Базовые навыки
  • Комплексные числа
  • Конические секции
  • Уравнения и неравенства
  • Экспоненциальные и логарифмические функции
  • Общие функции
  • Линейные функции
  • Матрицы
  • Полиномиальные функции
  • Квадратичные функции и неравенства
  • Радикальные функции
  • Рациональные выражения
  • Последовательности и серии
  • Системы уравнений и неравенств
  • Ограничения и непрерывность
  • Правила дифференциации
  • Дифференциальные уравнения
  • Приложения дифференциации
  • Определенная интеграция
  • Неопределенная интеграция
  • Приложения для интеграции
  • Уголки
  • Площадь и периметр
  • Круги
  • Конструкции
  • Координата
  • Четырехугольники и многоугольники
  • Параллельные и перпендикулярные линии
  • Пифагорейский
  • Сходство
  • Преобразования
  • Треугольники
  • Тригонометрия
  • Площадь и объем поверхности
  • Алгебраическое выражение
  • Уравнения
  • Неравенства
  • Линейные функции
  • Мономы и многочлены
  • Системы уравнений
Рабочие листы
По темам
Дополнение
Алгебра 1 >
Алгебра 2 >
Исчисление >
Десятичные дроби
Деление
Предварительный расчет
Четный и нечетный
Экспоненты
Факт Семья
Факторы
Флэш-карты
Фракции
Таблицы функций
Геометрия >
График
Миллиметровая бумага
Графики
Больше / меньше
Таблица сотен
Входящие и исходящие ящики
Целые числа
Детский сад
Логика
Средняя мода Медиана
Измерение
Смешанные проблемы
Деньги
Умножение
Количество облигаций
Числовые строки
Системы счисления
Порядок действий
Узоры
Процент
Место значение
Предалгебра >
Вероятность
Свойства
Пифагорейский
Радикалы
Соотношения
Округление
Значимые фигуры
Пропустить подсчет
Вычитание
Время
Диаграмма Венна
Игра слов
Текстовые задачи

4 Тесты.com — Бесплатно, Практика CLEP

Для этого сайта требуется JavaScript. Чтобы в полной мере использовать этот сайт, включите его в своем браузере.

Рекомендуемый материал для практики экзамена по алгебре CLEP: Экзамен по алгебре в колледже охватывает материал, который обычно преподается на одном семестровом курсе алгебры в колледже. Почти половина теста состоит из рутинных задач, требующих базовых алгебраических навыков; остальное включает решение нестандартных задач, в которых кандидаты должны продемонстрировать свое понимание концепций.Тест включает вопросы по основным алгебраическим операциям; линейные и квадратные уравнения, неравенства и графики; алгебраические, экспоненциальные и логарифмические функции; и разные другие темы.

Предполагается, что кандидаты знакомы с преподаваемой в настоящее время алгебраической лексикой, символами и обозначениями. В тесте мало внимания уделяется арифметическим вычислениям. Однако во время экзамена будет доступен научный онлайн-калькулятор (без графического представления).

Экзамен содержит примерно 60 вопросов, на которые нужно ответить за 90 минут.Некоторые из этих вопросов представляют собой предварительные вопросы, которые не будут оцениваться. Время, которое кандидаты тратят на обучение и предоставление личной информации, добавляется к фактическому времени тестирования.

Структура экзамена выглядит следующим образом:


Алгебраические операции

  • Факторинговые и раскрывающие многочлены
  • Операции с алгебраическими выражениями
  • Операции с показателями
  • Свойства логарифмов


Уравнения и неравенства

  • Линейные уравнения и неравенства
  • Квадратные уравнения и неравенства
  • Абсолютные уравнения и неравенства
  • Системы уравнений и неравенств
  • Экспоненциальные и логарифмические уравнения


Функции и их свойства *

  • Определение и толкование
  • Представление / моделирование (графическое, числовое, символическое и вербальное представления функций)
  • Домен и диапазон
  • Алгебра функций
  • Графы и их свойства (включая пересечения, симметрию и трансформации)
  • Обратные функции


Системы счисления и операции

  • Реальные числа
  • Комплексные числа
  • Последовательности и серии
  • Факториалы и биномиальная теорема
  • Определители матриц 2 на 2

Test (алгебра) — Wikipédia

Az algebrában a test egy olyan F = (T; +, ⋅) {\ displaystyle F = (T; +, \ cdot)} kétműveletes algebrai Struktúrát jelöl, ahol T {\ displaystyle T} kommutatív csoportot alkot a + {\ displaystyle +} («összeadás») műveletre nézve, a ⋅ {\ displaystyle \ cdot} («szorzás») kommutatív, asszociatív, minden nem nerze alemnek { } műveletre nézve, továbbá a ⋅ {\ displaystyle \ cdot} művelet disztributív a + {\ displaystyle +} műveletre.

Egyes szerzők testnek nevezik az olyan algebrai Struktúrákat is, amelyekben a szorzás nem fleetnül kommutatív, де a fenti tulajdonságok egyébként teljesülnek. E cikkben az ilyenstruktúrákat ferdetestnek nevezzük, és testen mindig kommutatív ferdetestet értünk.

A test nagyon fontos fogalom az algebrán belül, nem utolsósorban amiatt, mivel rendkívül sok, az elemi matematikából is ismert számcsoport közös általánosítását ny. racionális, valós — это komplex számokét.Тест на математику над соком мастером — это felhasználhatóak (ld. «A testelmélet alkalmazásai»).

Тест [szerkesztés]

R (x) знак равно {p (x) q (x) | p (x), q (x) ∈R [x], q (x) ≢0} {\ displaystyle \ mathbb {R} ( x) = {\ biggl \ {} {\ frac {p (x)} {q (x)}} \, {\ biggl |} \, p (x), q (x) \ in \ mathbb {R} [x], \ q (x) \ not \ Equiv 0 {\ biggl \}}}
  • a racionális számok kibővítve t {\ displaystyle {\ sqrt {t}}} — vel (t∈Q { \ displaystyle t \ in \ mathbb {Q}})
Q (t) = {a + bt | a, b∈Q} {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {t}} ) = {\ big \ {} a + b {\ sqrt {t}} \, {\ big |} \, a, b \ in \ mathbb {Q} {\ big \}}}

Ferdetest [szerkesztés]

{a + bi + cj + dk | a, b, c, d∈R} {\ displaystyle \ {a + bi + cj + dk \, | \, a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \}}

A testaxiómák és egyszerű következményeik [szerkesztés]

A testaxiómák:

∀a, b, c∈F: a + (b + c) = (a + b) + c, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c {\ displaystyle \ forall a, b, c \ in F: \ quad a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b * c) = (a * b) * c}
∀a , b∈F: a + b = b + a, a ∗ b = b ∗ a {\ displaystyle \ forall a, b \ in F: \ quad a + b = b + a, a * b = b * a}
∀a, b∈F: a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) {\ displaystyle \ forall a, b \ in F: \ quad a * (b + c) = (a * b) + (a * c)}
  • Létezik nullelem (additív semleges elem), azaz olyan 0-val jelölt elem, hogy
0∈F: ∀a∈F: a + 0 = a {\ displaystyle \ exists 0 \ in F: \ quad \ forall a \ in F: \ quad a + 0 = a}
  • Létezik egységelem (multiplikatív semleges elem), azaz olyan 1-gyel jelölt elem, hogy
∃1 (≠ 0) ∈F: ∀a∈F: a ∗ 1 = a {\ displaystyle \ exists 1 (\ neq 0) \ in F: \ quad \ forall a \ in F: \ quad a * 1 = a}
∀a∈F: ∃ − a ∈F: a + (- a) = 0 {\ displaystyle \ forall a \ in F: \ quad \ exists -a \ in F: \ quad a + (- a) = 0}
  • Léteznek multiplikatív Inverz Elemek vagy reciprokok (0-hoz pedig az előbbiekből bizonyítóan biztosan nincs):
∀a ≠ 0∈F: ∃a − 1∈F: a ∗ a − 1 = 1 {\ displaystyle \ forall a \ neq 0 \ in F: \ quad \ exists a ^ {- 1} \ in F: \ quad a * a ^ {- 1} = 1}

Általában ki szokták kötni, hogy a test legalább két elemet tartalmazzon, ezt a fentiekben az 1 ≠ 0 követelmény biztosítja. {- 1}}

ha a és b nem nulla;

  • −a = (- 1) ∗ a {\ displaystyle -a = (- 1) * a}
  • sőt — (a * b) = (- a) * b = a * (- b) {\ displaystyle — (a * b) = (- a) * b = a * (- b)}
  • továbbá a ∗ 0 = 0 {\ displaystyle a * 0 = 0};

Testben érvényesek az alapműveletekkel kapcsolatban a racionális vagy a valós számok között megszokott azonosságok (például a törtekkel való műveletékéldágok, f.

Ha van olyan n pozitív egész szám, hogy a test valamelyik elemét n -szer önmagához adva 0-t kapunk, akkor n többszörösei is ilyáúgakakd. A legkisebb ilyen n -t a test karakterisztikájának nevezzük; ennek gyakori jelölése char F. Ez könnyen láthatóan ugyanaz minden elemre és prímszám. Ha ilyen szám nincs, akkor azt mondjuk, hogy a test karakterisztikája 0 (ritkábban: végtelen).

Résztest, testbővítés [szerkesztés]

Ha az elemek egy T ‘ részhalmaza maga is testet alkot az F -beli műveletekkel (ebbe beleértjük, hogy tartalmazza a testbeli 0-t és az 1-et), akhetkor elemek a testbeli 0-t és az 1-et. résztestről ; ezt például K F -fel jelölhetjük.Gyakran lenyeglátóbb az a nézőpont, mikor a nagyobb testet a kisebb bővítésének mondjuk; ennek gyakori jelölése F | K vagy F / K.

Egy F test tetszőleges számú résztestének metszete is résztest, így defiálható T egy A részhalmazának general részteste. Ez jellemezhető „kívülről”: az összes A -t tartalmazó résztest metszete; s „belülről”: A -ból, a 0-ból és az 1-ből a testműveletekkel megkapható összes F -beli elem által alkotott részhalmaz, ami történetesen részhalmaz.

Test és résztestének karakterisztikája egyenlő. Bővebb F тестирует K fölött lineáris teret (sőt, algebrát) alkot a testmveletekkel; a testbővítés fokának nevezzük e vektortér dimenzióját.

Az F bővebb test egy element algebrai K fölött, ha gyöke egy nem konstans nulla K -beli együtthatós polinomnak; egyébként transzcendens . Például A π szám transzcendens a racionális számok teste felett.Algebrai elemmel bővítve algebrai, transzcendens elemmel bővítve transzcendens bővítéshez jutunk. Ha egy bővítés foka véges, akkor algebrai bővítésről van szó. Véges sok algebrai elemmel való bővítés helyettestő egy algebrai elemmel való bővítéssel; ekkor a testbővítés foka megegyezik az adott algebrai elem minimálpolinomjának a fokával, amit az adott elem fokának is neveznek.

Egypt testbővítés normális , ha azok a kisebb test fölötti felbonthatatlan polinomok, amiknek van gyökük a bővebb testben, elsőfokú tényezők szorzatára föbbö test a bomble.Megmutatható, hogy egy bővítés akkor és csak akkor ilyen, имеет тест bővebb, egy polinomhalmaz , felbontási teste , vagyis olyan bővítésről van szó, amibérazafés, meibéra Minden polinomhalmaznak van felbontási teste, és az izomorfia erejéig egyértelmű. Ha egy test fölötti összes polinom felbontási testét vesszük, akkor az adott test algebrai lezártját kapjuk.

Egypt K fölötti polinom szeparábilis , ha K egy bővítésében sincsenek többszörös gyökei.Ha egy algebrai elem főpolinomja szeparábilis, akkor az az elem szeparábilis, és a vele való bővítés is szeparábilis. Ha egy K test minden algebrai bővítése szeparábilis, akkor K tökéletes test . Az összes nulla karakterisztikájú test tökéletes, és a véges testek is azok.

A nevezetes Galois-elmélet olyan bővítésekkel foglalkozik, amik véges fokúak, normálisak, és szeparábilisek. Galois-elmélet nevezetes alkalmazásai a szerkeszthetőségi feladatok, és az algebrai egyenletek megoldása gyökjelekkel.Így lehet bebizonyítani, hogy például mely szabályos sokszögek szerkeszthetők, és hogy a három klasszikus probléma: a kockakettőzés, a szögharmadolás, ézöszörnétglan. Továbbá a Galois-elmélettel belátható, hogy csak az első-, a másod-, harad- és a negyedfokú egyenleteket lehet mindig megoldani gyökvonások segítségével; csak ezekre létezik megoldóképlet.

A fentiek alapján bármely testnek van minimális részteste, ezt nevezzük a test prímtestének .Ezt izomorfizmustól eltekintve egyértelműen meghatározza a test karakterisztikája: véges p karakterisztika esetén a prímtest az Fp {\ displaystyle F_ {p}} p elemű vézomikálák {\ displaystyle F_ {p}} p elemű vézomikálák {тестетик {тесттел {тесттел ь тесттел {тесттел) {тесттел {тесттел) testével. Tehát Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}} -nál szűkebb végtelen test nincs.

Тест Minden véges ferdetest. (Веддерберн-тетель.)

Könnyen elérhető példát устанавливает Veges testekre по модулю р maradékosztályok rendszere, ahol р prímszám: а szorzás invertálhatóságát kivéve Minden testaxióma következik аз egész számok és kongruencia megfelelő tulajdonságából, AZT pedig элого számelmélettel мек Lehet mutatni.{q} -x} polinom felbontási teste. E test multiplikatív csoportja ciklikus. A q elemű testet — это Fq {\ displaystyle F_ {q}} — val, vagy GF (q) {\ displaystyle GF (q)} — val jelöljük; ezek igen fontos szerepet töltenek быть számítástudományi alkalmazásokban, különösen a kódelméletben.

Kapcsolódó szócikkek [szerkesztés]

  • Поцелуй Эмиля: Bevezetés az algebrába
  • Пеликан Йожеф: Алгебра (PDF / Postscript). Összeállította Gröller Ákos .ЭЛТЕ ТТК
  • Редей Ласло: Алгебра I. kötet , Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika , Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • И. Р. Шафаревич: Алгебра , Typotex Kiadó, Bp (2000) ISBN 963-9132-53-5
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *