Алгебра 9 класс 24: Номер (задание) 24 — гдз по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк

Пояснение:

Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.

Нам дано, что

у = 24 — 4х —— (1)
2x + y / 2 = 12 —— (2)

Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в самая упрощенная форма:

(Подставляя это значение y в уравнение (2), а затем решая для x дает)

2x + (24-4x) / 2 = 12 —— (2) (∵ y = 24 — 4x)
2x + 24 / 2- 4x / 2 = 12
2x + 12 — 2x = 12
12 = 12

Вы можете подумать, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24).Но ждать! Вы слишком рано пытаетесь сделать вывод. В предыдущем сценарии результат 24 = 24 был получен потому, что мы поместили значение переменной в то же уравнение, что и используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.

Результат 12 = 12 имеет какое-то отношение к природе системы уравнений, которую мы даны.Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных уравнения лежит в единственной точке, где их линии пересекаются. В этом сценарии две строки в основном одинаковы (одна линия над другой. На следующем рисунке показан этот сценарий.

Такая система называется зависимой системой уравнения.И решение такой системы — это вся линия (каждая точка на линии — это точка пересечения двух линий)

Следовательно, решением данной системы уравнений является вся строка: y = 24 — 4x

Другой возможный сценарий:

Подобно этому примеру, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной в уравнение 2 ^и приводит к результату, аналогичному показанному ниже:

23 = –46

или

5 = 34

Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений.Т.е., когда две линии вообще не пересекаются ни в одной точке.

Следовательно, в случае такого результата, когда кажется, что ваши основные математические правила не работают, простой вывод заключается в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется системой Несогласованная .

Ошибка

Перейти к… Перейти к … План курсаКалендарь курсаРекомендуемые профессиональные репетиторы по математикеГлава 1 Ключ к ответу в рабочей тетрадиГлава 1 Ключ к ответу на обзорГлава 2 Обзор 2.1 Ключ к ответу на рабочем листе по моделированию квадратов и кубов2.2 Выражение числа в качестве ключа ответа 2.3 Разнообразное выражение числа Ключ ответа2 .4 Таблицы умножения и деления степеней 1 и 2 Обозначение ответов 2.5 Объединение степеней Ключ ответа 2.5 Объединение степеней 2 Ключ ответа Глава 2.1 — 2.5 Проверка ключа Ключ ответа Отрицательные экспоненты Ключ ответа 2.6 Вычисление с помощью степеней Ключ ответа Глава 2 Обзор ответа Ключ Глава 3 Обзор 3.2 Определение сходства 3.3 Масштабный коэффициент 3.4 Рисование похожих многоугольников Активность Ответ Обозначение 3.4 Рисование похожего многоугольника 3.5 Решение проблем Глава 3 Обзор ответа Ключ Глава 4 Обзор 4.1 Примечания 4.1 Обозначение ответа на листе 4.2 Примечания 4.3 Примечания 4.3 Ключ на ответ на листе 4.4 Примечания Глава 4 Обзор ответа Ключ Глава 5 Обзор5.1 Примечания 5.1 Ключ к ответу на листе 5.2 Примечания 5.2 Ключ к ответу на обзор 5.3 Примечания 5.4 Введение 5.4 Ключ к ответу на листе 2 5.1-5.4 Ключ к ответу на проверку 5.6 Примечания и рабочие листы Ключ к ответу5.7 Примечания Глава 5 Контрольный ответ Глава 5 Обзор Ответ Ключевая глава 6 Схема 6.1 Моделирование с помощью многочленов 6.3 Сбор одинаковых терминов 6.4 Добавление многочленов 6.4 Ключ рабочего листа 6.5 Вычитание многочленов 6.7 Умножение одночлена на многочлен6.7 Деление многочленов на одночлены6.7 Умножение и деление многочленов6.7 Умножение и деление многочленов. 7 Биномиальные продукты Глава 6 Обзор Таблица умножения и деления одночленов Ключ к ответу на рабочий лист Биономные продукты Ключ к ответу Глава 6 Контрольный ответ Ключ Геометрия Введение Ключ Примечания к свойствам хорды (включая обзорные вопросы) Ключ свойства аккорда Ключ с описанными углами и центральными углами Ключ центрального вписанного свойства Ключ свойства полукруга (страница 2) Ключ свойства радиуса Свойство равного касания Ключ Касательные от внешней точки Циклические четырехугольники Ключ Геометрический блок Примечания Ответ KeyGeometry Review Pack Возраст # 1 Код ответа Пакет # 2 проверки геометрии Ключ ответа к главе 10 Примечания к буклету Примечания к буклету Примечания к буклету Часть 1 Примечания к буклету Часть 2 Ключ с ответом в буклет

Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства

\ begin {align *} 2г — 3 & = 7 \\ 2л & = 10 \\ y & = 5 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 2c & = c — 8 \\ c & = -8 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 3 & = 1 — 2c \\ 2c & = 1 — (3) \\ 2c & = -2 \\ c & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align *}

\ begin {align *} 4b +5 & = -7 \\ 4b & = -7 — (5) \\ 4b & = -12 \\ b & = \ frac {-12} {4} \\ & = -3 \ end {align *}

\ begin {align *} -3y & = 0 \\ у & = 0 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 16л + ​​4 & = -10 \\ 16лет & = -14 \\ y & = — \ frac {14} {16} \\ & = — \ frac {7} {8} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 12лет + 0 & = 144 \\ 12лет & = 144 \\ y & = 12 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 7 + 5л & = 62 \\ 5лет & = 55 \\ y & = 11 \ end {выровнять *}

\ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)

\ begin {align *} 55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\ 220 & = 20х + 3 \\ 20x & = 217 \\ х & = \ frac {217} {20} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 5х & = 2х + 45 \\ 3x & = 45 \\ х & = 15 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 23х — 12 & = 6 + 3х \\ 20x & = 18 \\ x & = \ frac {18} {20} \\ & = \ frac {9} {10} \ end {выровнять *}

\ (12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64 \)

\ begin {align *} 12 — 6x + 34x & = 2x — 24 — 64 \\ 12 + 28x & = 2x — 88 \\ 26x & = -100 \\ x & = — \ frac {100} {26} \\ & = — \ frac {50} {13} \ end {выровнять *}

\ (6x + 3x = 4-5 (2x — 3) \)

\ begin {align *} 6x + 3x & = 4-5 (2x — 3) \\ 9x & = 4 — 10x + 15 \\ 19x & = 19 \\ х & = 1 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 18 — 2р & = р + 9 \\ 9 & = 3п \\ p & = 3 \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)

\ begin {align *} \ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\ (4) (24) & = (16) (p) \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} — (- 16 — п) & = 13п — 1 \\ 16 + п & = 13п — 1 \\ 17 & = 12п \\ p & = \ frac {17} {12} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 3f — 10 & = 10 \\ 3f & = 20 \\ f & = \ frac {20} {3} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 3f + 16 & = 4f — 10 \\ f & = 26 \ end {выровнять *}

\ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)

\ begin {align *} 10f + 5 & = -2f — 3f + 80 \\ 10f + 5 & = -5f + 80 \\ 15f & = 75 \\ f & = 5 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 8 (ф — 4) & = 5 (ф — 4) \\ 8f — 32 & = 5f — 20 \\ 3f & = 12 \\ f & = 4 \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 6 & = 6 (f + 7) + 5f \\ 6 & = 6f + 42 + 5f \\ -36 & = 11f \\ f & = — \ frac {36} {11} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} -7x & = 8 (1 — х) \\ -7x & = 8 — 8x \\ х & = 8 \ end {выровнять *}

\ (5 — \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)

\ begin {align *} 5 — \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\ \ frac {5b — 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\ 5b — 7 & = 2b + 8 \\ 3b & = 15 \\ b & = 5 \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {x + 2} {4} — \ dfrac {x — 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)

\ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} — \ frac {x — 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3 (x + 2) — 4 (x — 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3x + 6 — 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\ (-x + 30) (2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12 \\ -2x & = -48 \\ х & = 24 \ end {выровнять *}

\ (1 = \ dfrac {3a — 4} {2a + 6} \)

Обратите внимание, что \ (a \ neq — -3 \)

\ (\ dfrac {2-5a} {3} — 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 — a \)

\ begin {align *} \ frac {2-5a} {3} — 6 & = \ frac {4a} {3} +2 — a \\ \ frac {2-5a} {3} — \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\ \ frac {2-5a — 4 a + 3a} {3} & = 8 \\ 2 — 6а & = 24 \\ 6а & = -22 \\ a & = — \ frac {22} {6} \ end {выровнять *}

\ (2 — \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)

Примечание \ (b \ neq -5 \)

\ (3 — \ dfrac {y — 2} {4} = 4 \)

\ begin {align *} 3 — \ frac {y — 2} {4} & = 4 \\ — \ frac {y — 2} {4} & = 1 \\ -у + 2 & = 4 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}

\ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)

\ begin {align *} \ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\ \ text {1,5} x — \ text {1,25} x & = — \ text {3,125} \\ \ text {0,25} x & = — \ text {3,125} \\ х & = — \ текст {12,5} \ end {выровнять *}

\ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} х + 1) = \ текст {4,1} — х \)

\ begin {align *} \ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} — x \\ \ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} — x \\ \ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\ x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\ & = \ frac {280} {451} \ end {выровнять *}

\ (\ текст {6,5} х — \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)

\ begin {align *} \ text {6,5} x — \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\ \ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\ x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\ & = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\ & = \ frac {223} {45} \ end {выровнять *}

\ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 = 0 \)

\ begin {align *} \ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 & = 0 \\ \ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\ 5П & = 60 \\ P & = 12 \ end {выровнять *}

\ (1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)

\ begin {align *} 1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {3} {2} (3x) — \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {9} {2} x — \ frac {6} {2} & = 0 \\ \ frac {5 — 18} {4} x + \ frac {-5 — 12} {4} & = 0 \\ \ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\ -13x & = 17 \\ х & = — \ frac {17} {13} \ end {выровнять *}

\ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)

\ begin {align *} \ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\ \ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\ — \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} — 3 & = \ frac {2} {15} x \\ — \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\ х & = — \ frac {38} {2} \\ х & = -19 \ end {выровнять *}

\ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} — \ dfrac {3} {a} = 2 \)

\ begin {align *} \ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} — \ frac {3} {a} & = 2 \\ \ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\ \ frac {15 + 1 — 18} {6a} & = 2 \\ \ frac {-2} {6a} & = 2 \\ -2 & = 12а \\ а & = — \ frac {1} {6} \ end {выровнять *}

Задачи и решения математических слов

Проблема 1 Днем продавец продал в два раза больше груш, чем утром.Если он продал в тот день 360 килограммов груш, сколько? килограммов он продал утром, а сколько днем?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством килограммов, которое он продал утром. Затем днем ​​он продал 2 доллара за килограммы. Так что итого $ x + 2x = 3x $. Это должно быть равно 360.
$ 3x = 360 $
$ x = \ frac {360} {3}
$ x = 120 $
Таким образом, продавец продал утром 120 кг, а 2 \ cdot 120 = 240 $ кг днем.

Задача 2 Мэри, Питер и Люси собирали каштаны. Мэри собрала в два раза больше каштанов, чем Питер. Люси выбрала На 2 кг больше Питера. Вместе они собрали 26 кг каштанов. Сколько килограммов набрал каждый из них?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранной Питером суммой. Затем Мэри и Люси выбрали $ 2x $ и $ x + 2 $ соответственно. Итак,
$ x + 2x + x + 2 = 26 $
$ 4x = 24 $
$ x = 6 $
Таким образом, Питер, Мэри и Люси выбрали 6, 12 и 8 кг соответственно.

Задача 3
София закончила $ \ frac {2} {3} $ книги. Она подсчитала, что закончила на 90 страниц больше, чем еще не прочитала. Как долго ее книга?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет общим количеством страниц в книге, тогда она закончила $ \ frac {2} {3} \ cdot x $ страниц.
Тогда у нее осталось $ x- \ frac {2} {3} \ cdot x = \ frac {1} {3} \ cdot x $ страниц.
$ \ frac {2} {3} \ cdot x- \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ x = 270 $
Итак, в книге 270 страниц.

Задача 4
Сельскохозяйственное поле можно вспахать 6 тракторами за 4 дня. Когда 6 тракторов работают вместе, каждый из них пашет. 120 га в сутки. Если два трактора были перенесены на другое поле, тогда оставшиеся 4 трактора могут вспахать то же поле за 5 дней. Сколько гектаров в день будет обрабатывать один трактор?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Если каждый из тракторов за 6 долларов обрабатывает 120 гектаров в день, и они завершают работу за 4 доллара дней, то все поле будет: 120 $ \ cdot 6 \ cdot 4 = 720 \ cdot 4 = 2880 $ га.Давайте предположим, что каждый из четырех тракторов обрабатывал $ x $ гектаров в день. Таким образом, за 5 дней вспахано
$ 5 \ cdot 4 \ cdot x = 20 \ cdot x $ га, что равняется площади всего поля, 2880 га.
Итак, получаем $ 20x = 2880 $
$ x = \ frac {2880} {20} = 144 $. Таким образом, каждый из четырех тракторов будет обрабатывать 144 гектара в день.

Задача 5
Студент выбрал число, умножил его на 2, затем вычел 138 из результата и получил 102. Какое число он выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным им числом, тогда
$ 2 \ cdot x — 138 = 102 $
$ 2x = 240 $
$ x = 120 $

Задача 6
Я выбрал число и разделил его на 5.Затем я вычел из результата 154 и получил 6. Какое число я выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным мной числом, тогда
$ \ frac {x} {5} -154 = 6 $
$ \ frac {x} {5} = 160 $ ​​
$ x = 800 $

Задача 7
Расстояние между двумя городами 380 км. В этот же момент легковой автомобиль и грузовик начинают движение навстречу друг другу из разные города. Они встречаются через 4 часа. Если автомобиль движется на 5 км / ч быстрее грузовика, какова их скорость?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Задача 8
Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой стороны. Если увеличить длину каждой стороны на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 18 см ² . Найдите длины всех сторон.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет длиной большей стороны $ x \ gt 3 $, тогда длина другой стороны будет $ x-3 $ см. Тогда площадь S ₁ = x (x — 3) см ² . После увеличения длины сторон они станут $ (x +1) $ и $ (x — 3 + 1) = (x — 2) $ см в длину.2 + x — 2x — 2 $
$ 2x = 20 $
$ x = 10 $. Итак, стороны прямоугольника равны $ 10 $ см и $ (10 — 3) = 7 $ см в длину.

Задача 9
В первый год две коровы дали 8100 литров молока. Второй год их производство увеличилось. на 15% и 10% соответственно, а общее количество молока увеличилось до 9100 литров в год. Сколько литров молока давалось от каждой коровы за год?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x будет количеством молока первой коровы. произведен в течение первого года.Затем вторая корова в тот год произвела (8100 — x) литров молока. На второй год каждая корова произвела такое же количество молока, как и в первый год, плюс увеличение на 15 \% $ или 10 \% $.
Итак, 8100 $ + \ frac {15} {100} \ cdot x + \ frac {10} {100} \ cdot (8100 — x) = 9100 $
Следовательно, 8100 $ + \ frac {3} {20} x + \ frac {1} {10} (8100 — x) = 9100 $
$ \ frac {1} {20} x = 190 $
$ x = 3800 $
Следовательно, коровы дали 3800 и 4300 литров молока в первый год и 4370 долларов и 4730 долларов за литр молока во второй год, соответственно.

Проблема 10
расстояние между станциями A и B — 148 км. Экспресс отправился со станции A в сторону станции B со скоростью 80 км / ч. В то же В это время товарный поезд покинул станцию ​​B в сторону станции A со скоростью 36 км / час. Они встретились на станции C в 12 часов, и к тому времени экспресс остановился на промежуточной станции на 10 мин, а грузовой поезд остановился на 5 мин. Найдите:
a) Расстояние между станциями C и B.
b) Время, когда грузовой поезд покинул станцию ​​B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение
a) Пусть x будет расстоянием между станции B и C. Тогда расстояние от станции C до станции A составляет $ (148 — x) $ км. К моменту встречи на станции C экспресс ехал $ \ frac {148-x} {80} + \ frac {10} {60} $ часов, а грузовой поезд ехал $ \ frac {x} {36} + \ frac {5} {60} $ часов . Поезда ушли одновременно, так что: $ \ frac {148 — x} {80} + \ frac {1} {6} = \ frac {x} {36} + \ frac {1} {12} $. Общий знаменатель чисел 6, 12, 36, 80 равен 720.Тогда
$ 9 (148 — x) +120 = 20x + 60 $
$ 1332 — 9x + 120 = 20x + 60 $
$ 29x = 1392 $
$ x = 48 $. Таким образом, расстояние между станциями B и C составляет 48 км.
б) К моменту встречи на станции С фрахт поезд ехал $ \ frac {48} {36} + \ frac {5} {60} $ часов, то есть 1 доллар в час и 25 долларов в минуту.
Следовательно, он покинул станцию ​​B на отметке $ 12 — (1 + \ frac {25} {60}) = 10 + \ frac {35} {60} $ часов, то есть в 10:35 утра.

Задача 11
Сьюзен едет из города А в город Б.После двух часов езды она заметил, что она преодолела 80 км и подсчитал, что если она продолжит двигаясь с той же скоростью, она опаздывала на 15 минут. Так она увеличила скорость на 10 км / ч и прибыла в город B на 36 минут раньше чем она планировала.
Найдите расстояние между городами A и B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет расстоянием между точками A и B. Поскольку Сьюзен преодолела 80 км за 2 часа, ее скорость составила $ V = \ frac {80} {2} = 40 $ км / час.
Если бы она продолжила движение с той же скоростью, то опоздала бы на 15 $ минут, т.е. запланированное время в пути составляет $ \ frac {x} {40} — \ frac {15} {60} $ hr. Остальное расстояние $ (x — 80) $ км. $ V = 40 + 10 = 50 $ км / час.
Итак, она преодолела расстояние между A и B за $ 2 + \ frac {x — 80} {50} $ hr, и это оказалось на 36 минут меньше, чем планировалось. Таким образом, запланированное время было $ 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $.
Когда мы выравниваем выражения для запланированного времени, мы получаем уравнение:
$ \ frac {x} {40} — \ frac {15} {60} = 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $
$ \ frac {x — 10} {40} = \ frac {100 + x — 80 + 30} {50} $
$ \ frac {x — 10} {4} = \ frac {x +50} {5} $
$ 5x — 50 = 4x + 200 $
$ x = 250 $
Итак, расстояние между городами A и B составляет 250 км.

Задача 12
Чтобы доставить заказ вовремя, компания должна производить 25 деталей в день. После изготовления 25 частей в день по 3 дней компания начала производить на 5 деталей больше в день, а к последнему дню работы было произведено на 100 деталей больше, чем планировалось. Узнайте, сколько деталей изготовила компания и сколько дней это заняло.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней, в течение которых компания проработала. Тогда 25x — это количество деталей, которые они планировали сделать.При новом уровне добычи они сделано:
$ 3 \ cdot 25 + (x — 3) \ cdot 30 = 75 + 30 (x — 3)
$ Следовательно: 25 $ x = 75 + 30 (x -3) — 100 $
$ 25x = 75 + 30x -90 — 100 $
$ 190 -75 = 30x -25 $
$ 115 = 5x
$ x = 23 $
Итак, компания проработала 23 дня и заработала 23 $ \ cdot 25 + 100 = 675 $ штук.

Задача 13
В седьмом классе 24 ученика. Решили посадить на заднем дворе школы березы и розы. Пока каждая девочка посадила по 3 роз, каждые три мальчика посадили по 1 берёзе.К концу дня они посадили растения за 24 доллара. Сколько берез и роз было посажено?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством роз. Тогда количество берез составляет 24 $ — x $, а количество мальчиков — $ 3 \ times (24-x) $. Если каждая девочка посадила 3 роз, в классе $ \ frac {x} {3} $ девочек.
Мы знаем, что в классе 24 ученика. Следовательно, $ \ frac {x} {3} + 3 (24 — x) = 24 $
$ x + 9 (24 — x) = 3 \ cdot 24 $
$ x +216 — 9x = 72 $
$ 216 — 72 = 8x $
$ \ frac {144} {8} = x
$ x = 18
$ Итак, ученики посадили 18 роз и 24 — x = 24 — 18 = 6 берез.

Задача 14
Автомобиль выехал из города A в сторону города B, двигаясь со скоростью V = 32 км / час. После 3 часов в пути водитель остановился на 15 минут в городе C. на закрытой дороге ему пришлось изменить маршрут, увеличив поездку на 28 км. Он увеличил скорость до V = 40 км / час, но все равно опоздал на 30 минут. Находим:
а) Расстояние, которое преодолела машина.
б) Время, которое потребовалось, чтобы добраться от пункта C до пункта B.
Щелкните, чтобы увидеть решение

A
Остановка была запланирована. Рассмотрим только поездку из C в B, и пусть $ x $ будет количеством часов, в течение которых водитель потратил на эту поездку.
Тогда расстояние от C до B равно $ S = 40 \ cdot x $ км. Если бы водитель мог использовать первоначальный маршрут, ему потребовалось бы $ x — \ frac {30} {60} = x — \ frac {1} {2} $ часов, чтобы проехать от C до B. Расстояние от C до B. согласно первоначальному маршруту $ (x — \ frac {1} {2}) \ cdot 32 $ км, и это расстояние на $ 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $ км.Тогда у нас есть уравнение
$ (x — 1/2) \ cdot 32 + 28 = 40x $
$ 32x -16 +28 = 40x $
$ -8x = -12 $
$ 8x = 12 $.
$ x = \ frac {12} {8} $
$ x = 1 \ frac {4} {8} = 1 \ frac {1} {2} = 1 \ frac {30} {60} = 1 час. 30 минут.
Итак, автомобиль преодолел расстояние от C до B за 1 час 30 минут.
Расстояние от A до B составляет $ 3 \ cdot 32 + \ frac {12} {8} \ cdot 40 = 96 + 60 = 156 $ км.

B
Предположим, ему потребовалось $ x $ часов чтобы добраться из C в B. Тогда расстояние $ S = 40 \ cdot x $ км.
Водитель не планировал остановку на C. Допустим, он остановился, потому что ему пришлось изменить маршрут.
Потребовалось $ x — \ frac {30} {60} + \ frac {15} {60} = x — \ frac {15} {60} = x — \ frac {1} {4} $ h, чтобы проехать от С к Б. расстояние от C до B составляет 32 (x — \ frac {1} {4}) $ км, что на 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $, т.е.
$ 32 (x — \ frac {1} {4}) + 28 = 40x
$ 32x — 8 +28 = 40x
$ 20 = 8x
$ x = \ frac {20} {8} = \ frac {5} {2} = 2 \ text {hr} 30 \ text {min}. $
Пройденное расстояние равно $ 40 \ умножить на 2.5 = 100 км $.

Задача 15
Если фермер хочет вовремя вспахивать поле фермы, он должен вспахивать 120 гектаров в день. По техническим причинам он пахал всего 85 гектаров в день, следовательно, ему пришлось пахать на 2 дня больше, чем планировалось, и он осталось еще 40 га. Какова площадь фермерского поля и сколько дней фермер изначально планировал работать?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней в первоначальном плане.Таким образом, все поле составляет 120 $ \ cdot x $ га. Фермеру приходилось работать x + 2 доллара в день, и он вспахали 85 долларов (x + 2) гектаров, оставив 40 гектаров невыпаханными. Тогда у нас есть уравнение:
$ 120x = 85 (x + 2) + 40 $
$ 35x = 210 $
$ x = 6 $.
Таким образом, фермер планировал завершить работу за 6 дней, а площадь фермерского поля составляет 120 $ \ cdot 6 = 720 $ га.

Задача 16
Столяр обычно делает определенное количество запчасти за 24 дня. Но он смог увеличить свою производительность на 5 деталей в день, и поэтому он не только закончил работу всего за 22 дня, но и сделал 80 дополнительных деталей.Сколько частей плотник обычно делает в день, а сколько штук он делает за 24 дня?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством деталей, которые плотник обычно изготавливает ежедневно. За 24 дня он заработал $ 24 \ cdot x $ штук. Его новая дневная норма производства составляет x + 5 долларов за штуку и в $ 22 $ дней он сделал $ 22 \ cdot (x + 5) $ деталей. Это на 80 больше, чем $ 24 \ cdot x $. Следовательно уравнение:
$ 24 \ cdot x + 80 = 22 (x +5) $
$ 30 = 2x
$ x = 15 $
Обычно он делает 15 частей в день, а за 24 дня он зарабатывает 15 $ \ cdot 24 = 360 $ частей.

Задача 17
Байкер преодолел половину расстояния между двумя городами за 2 часа 30 минут. После этого он увеличил скорость на 2 км / час. Вторую половину дистанции он преодолел за 2 часа 20 минут. Найдите расстояние между двумя городами и начальная скорость байкера.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x км / ч будет начальной скоростью байкером, то его скорость во второй части поездки составляет x + 2 км / час. Половина расстояния между двумя городами равна $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x $ км и $ 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ км.Из уравнения: $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x = 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ получаем $ x = 28 $ км / час.
Начальная скорость байкера 28 км / ч.
Половина расстояния между двумя городами составляет
$ 2 ч 30 мин \ умножить на 28 = 2,5 \ умножить на 28 = 70 $.
Таким образом, расстояние равно 2 \ умножить на 70 = 140 $ км.

Задача 18
Поезд преодолел половину расстояния между станциями A и B со скоростью 48 км / час, но затем ему пришлось остановиться на 15 мин. Составить из-за задержки он увеличил свою скорость на $ \ frac {5} {3} $ м / сек и прибыл на станцию ​​B вовремя.Найдите расстояние между двумя станциями и скорость поезда после остановки.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Для начала определим скорость поезда после остановки. Скорость было увеличено на $ \ frac {5} {3} $ м / сек $ = \ frac {5 \ cdot 60 \ cdot 60} {\ frac {3} {1000}} $ км / час = $ 6 $ км / час. Следовательно новая скорость 48 $ + 6 = 54 $ км / час. Если на покрытие первого половины расстояния, то на преодоление вторая часть.
Итак, уравнение: $ 48 \ cdot x = 54 \ cdot (x — 0,25) $
$ 48 \ cdot x = 54 \ cdot x — 54 \ cdot 0,25 $
$ 48 \ cdot x — 54 \ cdot x = — 13,5 $
$ -6x = — 13,5 $
$ x = 2,25 $ ч.
Все расстояние
$ 2 \ умножить на 48 \ умножить на 2,25 = 216 $ км.

Задача 19
Элизабет может выполнить определенную работу за 15 дней, а Тони — только 75%. эта работа в одно и то же время. Тони работал один несколько дней, а затем к нему присоединилась Элизабет, так что они закончили остаток работы. работа за 6 дней, работаем вместе.
Сколько дней проработал каждый из них и какой процент работы каждый из них выполнил?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала мы найдем дневную производительность каждого рабочего. Если мы рассмотрим вся работа как единица (1), Элизабет выполняет $ \ frac {1} {15} $ работы в день, а Тони выполняет 75 \% $ из $ \ frac {1} {15} $, т.е.
$ \ frac { 75} {100} \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {1} {20} $. Предположим, что Тони работал один за $ x $ дней. Затем он в одиночку выполнил $ \ frac {x} {20} $ всей работы.Работающий вместе в течение 6 дней двое рабочих закончили $ 6 \ cdot (\ frac {1} {15} + \ frac {1} {20}) = 6 \ cdot \ frac {7} {60} = \ frac {7} { 10} $ работы.
Сумма $ \ frac {x} {20} $ и $ \ frac {7} {10} $ дает нам всю работу, т.е. $ 1 $. Получаем уравнение:
$ \ frac {x} {20} + \ frac {7} {10} = 1 $
$ \ frac {x} {20} = \ frac {3} {10} $
$. х = 6 $. Тони проработал 6 + 6 = 12 дней и Элизабет работала за 6 долларов в день. Часть работы сделана это $ 12 \ cdot \ frac {1} {20} = \ frac {60} {100} = 60 \% $ для Тони и $ 6 \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {40} {100} = 40 \% $ для Элизабет.

Задача 20
Фермер планировал вспахать поле, выполнив 120 га в сутки. После двух дней работы он увеличил свою дневную производительность на 25% и закончил работу на два дня раньше срока.
а) Какова площадь поля?
б) За сколько дней фермер выполнил свою работу?
c) За сколько дней фермер планировал завершить работу?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Прежде всего мы найдем новую суточную производительность фермер в гектарах в сутки: 25% от 120 гектаров $ \ frac {25} {100} \ cdot 120 = 30 $ га, поэтому 120 $ + 30 = 150 $ га новая ежедневная производительность.Пусть x будет запланированным количеством дней, отведенных на работу. Тогда хозяйство будет 120 \ cdot x $ га. На с другой стороны, мы получим ту же площадь, если добавим 120 $ \ cdot 2 $ гектаров к 150 $ (х -4) $ га. Тогда мы получаем уравнение
$ 120x = 120 \ cdot 2 + 150 (x -4)
$ x = 12 $
Итак, работа изначально должна была занять 12 дней, но на самом деле поле было вспахано за 12-2. = 10 дней. Площадь поля 120 $ \ cdot 12 = 1440 $ га.

Задача 21
Чтобы покосить травяное поле, бригада косилок планировала обрабатывать 15 гектаров в день.Через 4 рабочих дня они увеличили дневную производительность на $ 33 \ times \ frac {1} {3} \% $ и закончил работу на 1 день раньше запланированного срока.
А) Какова площадь травяного поля?
Б) Сколько дней понадобилось, чтобы косить все поле?
C) Сколько дней изначально было запланировано для этой работы?
Подсказка : Посмотрите на проблему 20 и решите ее сами.
Ответ: А) 120 га; Б) 7 дней; В) 8 дней.

Задача 22
Поезд идет от станции A до станции B.Если поезд отправляется со станции А со скоростью 75 км / час, прибывает на станцию ​​B на 48 минут раньше запланированного. Если бы он двигался со скоростью 50 км / час, то к запланированному времени прибытия бы осталось еще 40 км до станции B. Найти:
A) Расстояние между двумя станциями;
B) Время, за которое поезд следует из пункта А в пункт Б по расписанию;
C) Скорость поезда по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет запланированным временем поездки из пункта А в пункт Б.Тогда расстояние между A и B можно найти двумя способами. С одной стороны, это расстояние составляет $ 75 (x — \ frac {48} {60}) $ км. С другой стороны, это 50 $ + 40 $ км. Таким образом, мы получаем уравнение:
$ 75 (x — \ frac {48} {60}) = 50x + 40 $
$ x = 4 $ час — это запланированное время в пути. В расстояние между двумя станциями составляет 50 $ \ cdot 4 + 40 = 240 $ км. Тогда скорость, которую поезд должен поддерживать, чтобы идти по расписанию, составляет $ \ frac {240} {4} = 60 $ км / час.

Задача 23
Расстояние между городами A и B составляет 300 км.Один поезд отправляется из города А, а другой — из города. город B, оба уезжают в один и тот же момент времени и направляются друг к другу. Мы знаем, что один из них на 10 км / час быстрее другого. Найти скорости обоих поездов, если через 2 часа после отправления расстояние между ними составляет 40 км.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть скорость более медленного поезда составляет $ x $ км / час. Тогда скорость более быстрый поезд стоит (x + 10) $ км / час. За 2 часа они преодолевают 2x $ км и 2 (x +10) $ км соответственно.Поэтому, если они еще не встретились, весь расстояние от A до B составляет $ 2x + 2 (x +10) +40 = 4x + 60 $ км. Однако если они уже встретились и продолжили движение, расстояние будет $ 2x + 2 (x + 10) — 40 = 4x — 20 $ км. Таким образом, мы получаем следующие уравнения:
$ 4x + 60 = 300 $
$ 4x = 240 $
$ x = 60 $ или
$ 4x — 20 = 300 $
$ 4x = 320 $
$ x = 80 $
Отсюда скорость более медленного поезда составляет 60 долларов США км / час или 80 долларов США км / час, а скорость более быстрый поезд стоит 70 долларов за км / час или 90 долларов за км / час.

Задача 24
Автобус едет из города А в город Б.Если скорость автобуса составляет 50 км / час, он прибудет в город B на 42 минуты позже запланированного срока. Если автобус увеличивается его скорость составляет $ \ frac {50} {9} $ м / сек, он прибудет в город B на 30 минут раньше запланированного срока. Находим:
A) Расстояние между двумя городами;
B) Планируемое время прибытия автобуса в пункт B;
C) Скорость автобуса по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала определим скорость автобуса после ее увеличения. Скорость увеличено на $ \ frac {50} {9} $ м / сек $ = \ frac {50 \ cdot60 \ cdot60} {\ frac {9} {1000}} $ км / час $ = 20 $ км / час.Следовательно, новая скорость составляет $ V = 50 + 20 = 70 $ км / час. Если $ x $ — количество часов по расписанию, то со скоростью 50 км / ч автобус едет из пункта A в пункт B за $ (x + \ frac {42} {60}) $ час. Когда скорость автобуса составляет $ V = 70 $ км / час, время в пути составляет $ x — \ frac {30} {60} $ час. Затем
$ 50 (x + \ frac {42} {60}) = 70 (x- \ frac {30} {60}) $
$ 5 (x + \ frac {7} {10}) = 7 (x- \ frac { 1} {2}) $
$ \ frac {7} {2} + \ frac {7} {2} = 7x -5x $
$ 2x = 7 $
$ x = \ frac {7} {2} $ час.
Итак, автобус должен проехать 3 доллара за час 30 долларов за минуту.
Расстояние между двумя городами составляет 70 долларов США (\ frac {7} {2} — \ frac {1} {2}) = 70 \ cdot 3 = 210 $ км, а запланированная скорость составляет $ \ frac {210} {\ гидроразрыв {7} {2}} = 60 $ км / час.

Что такое повторное добавление? — Определение, факты и пример

Повторное сложение

Связать умножение и сложение; умножение чисел можно рассматривать как многократное прибавление числа к самому себе.

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

При повторном сложении равные группы складываются вместе.Это также известно как умножение. Если то же число повторяется, мы можем записать это в форме умножения.

Например: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Здесь 2 повторяется 5 раз, мы можем записать это сложение как 5 × 2.

Точно так же, чтобы решить задачу умножения путем многократного сложения, мы многократно группируем и складываем одно и то же число снова и снова, чтобы найти ответ.

Вот несколько примеров повторного сложения.

Вот еще один пример повторного сложения, используемого для умножения в задачах со словами.

Есть 5 групп цыплят. В каждой группе по 3 цыпленка. Сколько всего цыплят?

Всего 5 групп.

В каждой группе по 3 цыпленка.

Всего цыплят 15.

Поскольку умножение — это повторное сложение, каждое повторное сложение может быть записано двумя способами:

Например: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать как 4 × 6 = 24, а также как 6 × 4 = 24

Повторное сложение также полезно при изучении фактов умножения.Например, если вы еще не знаете фактов 7 × 3, вам может быть проще вычислить 7 × 3, написав 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 или 7 + 7 + 7; а затем медленно добавляю. Это также может быть полезно с большими числами, такими как 5 × 40. Удобнее писать 40 + 40 + 40 + 40 + 40, а затем складывать десятки.

Что такое произведение в математике? — Определение и обзор — Видео и стенограмма урока

Как найти произведение

Умножение часто называют повторным сложением , потому что задача умножения говорит вам, что у вас есть определенное количество групп чего-то, каждая из которых содержит определенное число.Еще не запутались? Вот пример.

У вас есть 3 пакета конфет, каждый из которых содержит 5 конфет. Сколько у тебя конфет?

Эту проблему можно решить двумя способами. Первый — сложить леденцы:

5 + 5 + 5 = 15

Другой способ решения — использовать умножение, потому что у вас есть 3 группы конфет по 5 конфет в каждой сумке.

3 * 5 = 15

Ответом на эту задачу умножения является произведение, которое в данном случае равно 15.

Вот еще пример. В классе 8 рядов стульев, по 7 стульев в каждом ряду. Сколько здесь стульев?

Опять же, вы можете добавить:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 56

Или вы можете найти произведение, умножив:

7 * 8 = 56

Свойства Умножение

Есть четыре основных свойства умножения, которые верны независимо от того, что умножается вместе.

1. Коммутативное свойство : когда два числа умножаются вместе, произведение остается тем же, независимо от того, в каком порядке они написаны.

Например:

5 * 7 = 7 * 5

2. Ассоциативное свойство : Когда три или более чисел умножаются вместе, произведение одинаково независимо от того, какие два числа умножаются в первую очередь.

Например:

(2 * 4) * 6 = 2 * (4 * 6)

8 * 6 = 2 * 24

48 = 48

3. Свойство мультипликативной идентичности : Произведение любого число и 1 это число.

Например:

3 * 1 = 3

4. Распределительное свойство : сумма двух чисел, умноженная на третье число, равна сумме каждого слагаемого, умноженной на третье число.

Например:

2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4

2 * 7 = 6 + 8

14 = 14

Особые продукты

Следует упомянуть два особых продукта.

1. Произведение любого числа на 1 и есть это число. Вы узнали об этом в приведенном выше примере мультипликативного свойства идентичности.

Например:

7 * 1 = 7

2376 * 1 = 2376

2. Произведение любого числа, умноженного на 0, равно 0.

Например:

9 * 0 = 0

6,782 * 0 = 0

Краткое содержание урока

Произведение является ответом на задачу умножения. Вы можете найти продукт с помощью процесса, называемого , повторное добавление , то есть путем сложения количества групп в задаче. Есть четыре свойства, которые управляют правилами решения задач умножения: коммутативный , ассоциативный , мультипликативный тождественный и распределительный .Есть также два специальных правила произведения: произведение любого числа, умноженное на единицу, будет этим числом, а произведение любого числа, умноженного на ноль, будет равно нулю.

В поисках продукта

• Произведение — это ответ на задачу умножения.
• Чтобы найти произведение, вы можете использовать повторное сложение или умножение.
• Задачи умножения обладают четырьмя свойствами: коммутативным, ассоциативным, мультипликативным тождественным и дистрибутивным.
• Любое число, умноженное на 1, равно самому себе, а любое число, умноженное на 0, равно 0.

Результаты обучения

Изучите этот урок, чтобы точно выполнять следующие действия:

• Распознать произведение задачи умножения
• Продемонстрируйте два метода поиска продукта
• Перечислить четыре свойства умножения
• Расчет специальных продуктов