Алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение задачник: ГДЗ Алгебра 9 класс Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова

ГДЗ Алгебра 9 класс Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова

Алгебра 9 класс

Задачник (Углубленный уровень)

Мордкович, Звавич, Рязановский, Александрова

2

Мнемозина

Предстоящие экзамены, постоянные проверочные работы, большие объемы информации и непомерные психологические нагрузки — все это кого угодно выбьет из колеи, нечего и говорить о подростках, у которых еще нет выработанной психологической стабильности. Кроме того, от школьников порой требуют то, что по сути им даже не излагают. Именно поэтому ребятам может пригодиться решебник к учебнику «Алгебра. Задачник 9 класс (углубленный уровень)» Мордкович, Звавич, Рязановский, где все изложено самым подробным образом.

Параметры данного сборника.

В пособии имеется двадцать девять параграфов по основному материалу, которые включают в себя разноплановые упражнения. Так же в издание вошли задания для повторения ранее пройденного и пятьсот девяносто восемь задач для закрепления текущей информации.

ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович поможет более полноценно изучить практическую часть предмета.

Почему им надо пользоваться.

О том, что современная система образования себя явно не оправдывает, поняли уже многие. Особенно это становится заметно, когда идет подготовка к проверочным работам. Подростки, которые еще вчера получали пятерки за выполненные задания, сегодня не могут справиться с аналогичными примерами. Причем поражает спокойствие учителей, которые не обращают на этот факт особого внимания. Конечно можно предположить, что со временем все это наверстается. Однако, учитывая, что для многих учащихся этот год станет заключительным, то невольно встает вопрос — когда же именно будет эта более детальная проработка познаний? Чтобы не остаться в итоге у разбитого корыта, школьникам стоит самостоятельно разобраться во всех проблемных моментах используя для этого решебник к учебнику

«Алгебра. Задачник 9 класс (углубленный уровень)» Мордкович. «Мнемозина», 2015 г.

учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев

Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект для изучения курса алгебры в 9-м классе с углубленным изучением математики, состоящий из двух книг:

• А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. Алгебра. Учебник.
• Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра. Задачник.

У вас в руках первая часть — учебник. Он адресован не столько специализированным математическим школам или классам, обучающимся по авторским программам, сколько классам с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных классах.

Этот учебник в значительной мере соответствует нашему учебнику для общеобразовательных учреждений (речь идет о книге А. Г. Мордковича и П. В. Семенова «Алгебра. 9 класс. Часть 1. Учебник». Мнемозина, 2008). В нем реализована та же программа, а отличие состоит в более глубоком изучении соответствующих вопросов курса: слишком простые примеры и рассуждения заменены более сложными и интересными.

Добавлен и новый материал: совокупности неравенств, неравенства с модулями, иррациональные неравенства, задачи с параметрами, однородные, симметрические, иррациональные системы уравнений, системы с модулями, метод математической индукции.

В учебнике достаточно много примеров с подробными решениями (иногда несколькими способами). На окончание решения указывает либо слово «ответ», либо знак «квадрат». На окончание доказательства того или иного рассуждения в необходимых случаях указывает знак «круг».

В некоторых параграфах встречаются тексты, набранные шрифтом меньшего размера. Это материал, несколько выходящий за рамки программы. Изучать его или нет — определяет учитель.

В дальнейшем издательство планирует выпустить методическое пособие для учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики по предлагаемым учебнику и задачнику и аналогичный учебный комплект для 7-го класса.

Комплект из двух учебников для 8 и 9-го классов с углубленным изучением математики (авторы: А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) и соответствующих двух задачников (авторы: Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) поможет учителю организовать предпрофильное обучение тех школьников, которые в старших классах выберут математику в качестве предмета, изучаемого на профильном уровне.

Авторы

ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович, Александрова, Мишустина Мнемозина

Поскольку сдавать ОГЭ придется всем, и тем, кто планирует и дальше посвящать свое время и силы познанию математики, и тем, кому она мало пригодится в будущем, подходить к работе гдз по алгебре за 9 класс Мордкович вдумчиво надо всем без исключения девятиклассникам. Среди рекомендаций специалистов, позволяющих сделать такую подготовку максимально результативной — её ежедневность и достаточное количество времени, выделяемого на занятия. Оптимальным считается час в день при условии своевременного начала работы и полтора — два, если она начата со второго полугодия и должна проводиться интенсивно.

Не стоит и прерываться надолго — перерывы сверх десяти дней приводят к забыванию значительной части изученного, а также требуют дополнительных временных затрат впоследствии, на устранение появившихся пробелов в знаниях.

Кто активно применяет сборники онлайн ответов процессе обучения?

Среди тех, кто нередко применяет онлайн решения по алгебре за 9 класс Мордковича в качестве источника для выполнения своих задач, можно встретить:

• 9-ти и 11-ти-классников, готовящихся к экзаменам, повторяющих курс материала и порядок грамотной записи решения и ответа, что тоже крайне важно, поскольку влияет на оценку, результат выполнения итогового испытания;
• заинтересованные в математике подростки, изучающие в классе предмет по другим УМК и учебникам. Применение ресурса поможет им расширить свои знания, рассмотреть решение под иным углом зрения, дополнить материал;
• школьники, уже определившиеся с будущим родом деятельности, и не включающие математику в сферу своих интересов. Для них площадка станет помощником для получения хорошей оценки по дисциплине, что важно для среднего балла в аттестате, по которому ведется прием в колледжи и техникумы;
• педагоги, которым надо оперативно завершить проверку большого количества сданных их учениками работ в условиях недостаточности времени на решение этой задачи. Сборник позволит эффективно проверить тетради, не рискуя не выполнить в срок другие важные рабочие дела и зная, что результат будет безупречен;
• родители девятиклассников, оценивающие готовность своего ребенка к ответам на уроке, проверочным, экзаменам, не внедряясь в школьный курс дисциплины.

Какую пользу несет сборник готовых решений по алгебре 9 класс (авторы Мордкович, Александрова, Мишустина)?

Хотя и сейчас не все учителя и родители разделяют массовое мнение о полезности еуроки ГДЗ, все же больше тех, кто оценил их преимущества:

• доступность, круглосуточную и для всех;
• экономическую выгодность, поскольку часто этот источник становится альтернативой кружкам, репетиторской помощи;
• соответствие оформления данных требованиям Стандартов образования;
• удобный и понятный каждому пользователю поиск.

Изучив справочник, научившись им пользоваться, школьники приобретут ценные навыки работы со справочной информацией, которые не раз пригодятся им в школе и в жизни.

▶▷▶▷ гдз алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение

▶▷▶▷ гдз алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	03-09-2019

гдз алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение — ГДЗ Алгебра учебник (углубленное изучение) 9 класс АГ Мордкович gdz-putinaorgreshebnik-po-algebre 9 -klassuglu Cached ГДЗ Алгебра учебник 9 класс Часть 1 Мордкович ( углубленное изучение ) авторы: АГ Мордкович , НП Николаев Новые и подробные решебники и гдз по алгебре за 9 класс Углубленный уровень ФГОС часть 1 ГДЗ Алгебра 9 класс углубленное изучение Мордкович АГ otbetanetalgebra160-gdz-algebra- 9 -klass Cached На данной странице, представлены готовые ответы ( ГДЗ ) к учебнику по алгебре за 9 класс углубленное изучение , под редакцией Мордкович АГ, с помощью которых можно всегда проверить правильность выполнения домашнего ГДЗ по алгебре за 9 класс задачник АГ Мордкович, ЛИ gdzruclass- 9 algebramordkovich-uglublennoe Cached В этом случае очень поможет ГДЗ задачник по алгебре углубленное изучение за 9 класс авторы: АГ Мордкович , ЛИ Звавич, АР Рязановский, ЛА Александрова, ПВ Семенов В данном пособии ГДЗ по алгебре 9 класс Макарычев углубленное изучение gdzme 9 -classalgebra- 9 makarychev-uglublennoe Cached ГДЗ по Алгебре 9 класс к учебнику углубленное изучение Макарычев, онлайн ответы из решебника ГДЗ по алгебре 9 класс углубленное изучение Мерзляк, Поляков lineikaxyz 9 -klass867-algebra- 9 -klass Cached Решебник по алгебре за 9 класс хорошо подходит для проверки домашних заданий В ГДЗ собраны ответы к учебнику по алгебре Мерзляк АГ, Поляков ВМ за 9 класс , которые всегда помогут в трудную минуту Гдз Алгебра 9 Класс Мордкович Углубленное Изучение — Image Results More Гдз Алгебра 9 Класс Мордкович Углубленное Изучение images ГДЗ по Алгебре за 9 класс задачник (углубленный уровень) АГ megareshebarugdzalgebra 9 -klassmordkovich Cached Вот тут и окажет неоценимую услугу ГДЗ по алгебре 9 класс задачник углубленное изучение Мордкович Оно представляет собой сборник подробных решений задач и упражнений по каждой теме, будь Алгебра 9 класс АГ Мордкович Задачник gdzotputinaclub 9 -klassalgebrauglublennoe Cached ГДЗ к учебнику по Алгебре 9 класс Мордкович (углубленный уровень) можно скачать здесь ГДЗ контрольным работам по алгебре за 7- 9 классы Мордкович АГ (углубленный уровень) можно скачать здесь Решебник (ГДЗ) Алгебра 8 класс АГ Мордкович, ЛИ Звавич vklassework8-klassreshebnikialgebraag Cached Стать отличником не так сложно Каждый может получать только хорошие оценки Для этого мы разместили на нашем портале гдз Алгебра 8 класс АГ Мордкович , ЛИ Звавич Часть 2 ГДЗ Алгебра за 8 класс АГ Мордкович, ЛИ Звавич задачник eurokiappgdzalgebra8classmordkovich-uglu Cached Приветствуем на образовательном портале Еуроки Здесь вы найдете ГДЗ с подробным и полным решением упражнений (номеров) по Алгебре задачник за 8 класс , автор: АГ Мордкович , ЛИ Звавич, АР Рязановский, ЛА читать Алгебра 8 класс Макарычев (Углубленное изучение) онлайн newgdzcomuchebniki-8-klass11346-chitat Вы здесь: Главная сайта ГДЗ Учебники 8 класс читать Алгебра 8 класс Макарычев ( Углубленное изучение ) онлайн читать Алгебра 8 класс Макарычев ( Углубленное изучение ) онлайн Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 35,400

• Алгебра 9 класс учебник углубленный уровень Мордкович. Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. 2016 z
• oobrilka.org adminzoobrilka.org. ГДЗ по алгебре 9 класс учебник (углубленное изучение) А.Г. Мордкович. Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра 9 класс А.Г. Мордкович. ГДЗ по к задачнику алге
• ич. Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра 9 класс А.Г. Мордкович. ГДЗ по к задачнику алгебре 9 класс Моркдвич (базовый уровень) можно скачать здесь . Скачать бесплатно Алгебра. 9 класс. Задачник. Мордкович А.Г., и др. Основная особенность задачника система упражнений, тщательно выстроенная. УМК quot;Englishquot; (Углубленное изучение) Мордкович А. Г., Николаев Н. П. Углубленное изучение. Введите в строку поиска только фамилию автора и класс. Ответы по алгебре. Ответы и решения алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение!!! плиз дайте ссылку на эти решения Срочно!!! пжл!!! Скачать без СМС гдз по алгебре 9 класс мордкович для углублённого изучения. quot;Школьный гидquot; — о школьном процессе. Цель сайта — помочь родителям разобраться в содержании и организации процесса обучения в школе. УМК для 9 класса. Автор: Мордкович А.Г. Алгебра (Мордкович) (углубленно) Мегаботан по Алгебре за 9 класс, к учебникам всех авторов на 2016-2017 учебный год. Алгебра 9 класс Мордкович А.Г. 9 класс Гузей Л.С., Сорокин В.В., Суровцева Р.П.. 6-е изд., переработанно. А.Г. Мордкович , Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская.: В двух частях. Домашние задание по алгебре за 9 класс: Мордкович задание 10-10 — решебник, ответы и онлайн гдз.

Т.Н. Мишустина

Т.Н. Мишустина

• под редакцией Мордкович АГ
• НП Николаев Новые и подробные решебники и гдз по алгебре за 9 класс Углубленный уровень ФГОС часть 1 ГДЗ Алгебра 9 класс углубленное изучение Мордкович АГ otbetanetalgebra160-gdz-algebra- 9 -klass Cached На данной странице
• которые всегда помогут в трудную минуту Гдз Алгебра 9 Класс Мордкович Углубленное Изучение — Image Results More Гдз Алгебра 9 Класс Мордкович Углубленное Изучение images ГДЗ по Алгебре за 9 класс задачник (углубленный уровень) АГ megareshebarugdzalgebra 9 -klassmordkovich Cached Вот тут и окажет неоценимую услугу ГДЗ по алгебре 9 класс задачник углубленное изучение Мордкович Оно представляет собой сборник подробных решений задач и упражнений по каждой теме

гдз алгебра класс мордкович углубленное изучение tm manXML mln answers found found thsd answers akcollegeru Челябинский академический колледж официальный сайт T Преподавание в начальных классах Право и организация социального обеспечения Право и судебное администрирование заочное обучение после класса челябинск ru lanasvetblogspotcom Юрий Нечипоренко Помощник царям Жизнь и творения Михаила T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием экзамен по русскому языку класс Элементы Популярный сайт о фундаментальной науке Новости науки ru lanasvetblogspotcom Анна Рапопорт К Пушкину в Лицей T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием Задание для А класса Заметки на полях Пробуем найти свой стиль бесплатный тренинг ru xnkclvecajpxnacgfbslazdqrxnpai МАОУ гимназия T С июля г начинается прием в класс детей, не проживающих на закрепленной территории при наличии свободных мест В МАОУ гимназия на июля г свободных мест в первые классы нет Просмотров всего , сегодня ru ouomskobrru ДА ЗДРАВСТВУЕТ ШКОЛА! БОУ Средняя T с углубленным изучением отдельных предметов БОУ г Омска Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучение отдельных предметов объявляет набор первоклассников на учебный год ru xnkclvecajpxnacgfbslazdqrxnpai МАОУ гимназия T Классы с углубленным изучением отдельных предметов Государственная итоговая аттестация Городской конкурс ораторского мастерства Дар речи для обучающихся классов на разных языках! ru cheboksaribezformatacom Чебоксары В День знаний в Чебоксарах состоялось открытие T В старших классах в рекреационных залах планируется чтение лекций по различным дисциплинам В физкультурнооздоровительном блоке размещены два зала для занятий спортом, а также бассейн Всего на строительство объекта направлено свыше млн руб ru ouomskobrru Сентябрь БОУ Средняя общеобразовательная школа T с углубленным изучением отдельных предметов БОУ г Омска Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучение отдельных предметов объявляет набор первоклассников на учебный год ru cheboksaribezformatacom Чебоксары В День знаний в Чебоксарах открылась школа T В старших классах в рекреационных залах планируется чтение лекций по различным дисциплинам В физкультурнооздоровительном блоке размещены два зала для занятий спортом, а также бассейн Всего на строительство объекта направлено свыше млн руб ru cheboksaribezformatacom Чебоксары В День знаний в Чебоксарах открылась школа T В старших классах в рекреационных залах планируется чтение лекций по различным дисциплинам В физкультурнооздоровительном блоке размещены два зала для занятий спортом, а также бассейн Были люди, которые не верили, что школу построят в срок ru lanasvetblogspotcom Учитель словесности Серия ЖЗЛ для детей Издательство T Домашняя школа Многозначность существительных и глаголов Изучай русский и украинский по опорным конспектам Ю С Меженко! Готовимся к ГИА Задание для А класса Заметки на полях Пробуем найти свой стиль бесплатный тренинг ru voprosru Вопросру Ответы на школьные домашние задания , решаем ГДЗ T класс Вопрос от Женя Алгебра класс ru xnkclvecajpxnacgfbslazdqrxnpai МАОУ гимназия T Классы с углубленным изучением отдельных предметов Государственная итоговая аттестация Городской конкурс ораторского мастерства Дар речи для обучающихся классов на разных языках! ru uslugiocom Услуги Саранск доска бесплатных Uslugiocom Услугиоком T Разбор домашнего задания , прошедшего и нового материала, подготовка к сдаче ОГЭ, а так же к контрольным работамПредыдущие ученики успешно сдали Помогу в изучении языка с нуля, а так же помощь в выполнении домашнего задания , подготовка к тестам и ru wwwschoolspbru Открытие памятного знака T с углубленным изучением английского языка Невского района СанктПетербурга О назначении должностных лиц, ответственных за предоставление услуги Зачисление в класс общеобразовательного учреждения ru nevatoday Медведев назвал главную задачу Зенита в Лиге NevaToday T На проспекте Космонавтов открылась новая школа с углубленным изучением английского ПОСМОТРЕТЬ ВСЕ ru okru О том, с какими сложностями сегодня сталкивается T Большое количество наших врачей и медсестер в рамках подготовки к участию в программе трансплантации прошли углубленное обучение и поддерживают общение в рабочем порядке с ведущими в своих областях специалистами ru znanijacom решите, алгебра , повторение за класс Школьные Знанияcom T Алгебра Укажіть допустимі значення змінної у виразі зробити всі Алгебра Пожалуйста помогите решить эти два номера и дам баллов! ru nytvadusshpermarearu nytvadusshpermarearuuploadversionsSP_Lyzhnyje T Углубленные медицинские обследования для спортсменов сборных команд Российской Федерации и их резервного состава проводятся по отдельным программам проведения углубленного медицинского обследования ru applicationvndopenxmlformatsofficedocumentwordprocessingmldocument scsarschoolrmru Сентября День знаний! МОУ Средняя T Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов Лицей МГУ им НП Огарёва ждет выпускников классов на собеседования ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom Нажми, чтобы увидеть ответ на свой вопрос Алгебра класс , условие во вложении T ru znanijacom Представьте в виде произведения одинаковых множетелей T Алгебра класс , условие во вложении Алгебра корень из минус умножить корень из корень из розпишите всё по порядку! пожайлуста ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Алгебра Почему счастливый тот человек коьорый дружит з книгой Алгебра Помогите решить Упражнение П,П,П Заранее спасибо ru znanijacom П Найдите значение производной функции yfx в точке T Алгебра класс , условие во вложении diko В каких точках графика линии yxx касательная к ней параллельна прямой у x ? emil Алгебра ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Самые новые вопросы rahimzanf Алгебра Помогите с примерами Фото кину diko Алгебра Помогите решить Упражнение П,П,П Заранее спасибо ru znanijacom Найдите неизвестный член пропорции Помогите!!!! Алгебра ! T emil Алгебра Помогите пожалуйстоооооо Алгебра корень из минус умножить корень из корень из розпишите всё по порядку! пожайлуста ru yznaycom Определите неформального исполнителя ответ на yznaycom Ответов на вопрос Определите неформального исполнителя в ученик шестого класса списывает у своей одноклассницы ученик шестого класса одноклассница здесь нет ответ на yznaycom T ru wwwschooltobru schooltobrumediasubdocumentsoop_ooo_maou_sosh_na T При этом невыполнение учащимися заданий , с помощью которых ведется оценка достижения планируемых результатов данного блока, не является анализироватьрефлексировать опыт разработки и реализации учебного проекта, исследования теоретического, эмпирического на ru applicationvndopenxmlformatsofficedocumentwordprocessingmldocument wwwschooltobru Примерная основная образовательная программа T Успешное выполнение учащимися заданий базового уровня служит единственным основанием для положительного решения вопроса о При этом невыполнение учащимися заданий , с помощью которых ведется оценка достижения планируемых результатов этой группы, не ru applicationmsword znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Самые новые вопросы markvajsner Алгебра Алгебра пример нужно выполнить номер lolkek ru znanijacom Помогите пожалуйста! Школьные Знанияcom T Алгебра Помогите пжлстрешите систему уравнений Алгебра класс ,рациональные выражения,решите все что можете с объяснением пожалуйста Спасибо ru newsvideosu Игры по финансовой грамотности на уроках математики T Задание ГДЗ по математике класс Дорофеев ГВ, Шарыгин ИФ Задание ГДЗ по математике класс Дорофеев ГВ, Шарыгин ИФ новости жизнь игры фильмы веселье авто техно музыка спорт еда стройка охота обучение здоровье креатив детское ru lanasvetblogspotcom Марина Улыбышева Как Пушкин русский язык изменил T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием Задание для А класса Заметки на полях Пробуем найти свой стиль бесплатный тренинг ru lanasvetblogspotcom Юрий Нечипоренко Ярмарочный мальчик T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием экзамен по русскому языку класс Элементы Популярный сайт о фундаментальной науке Новости науки ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Алгебра Срочно и !Даю баллов! cernyjcaj Алгебра Пожалуйста помогите мне пожалуйста с пояснениями если можно ru znanijacom Я вообще не сильна в алгебре , но я уверена, что шарящие тут T Алгебра Помогите пожалуйста по алгебре Алгебра Можно пожалуйста решение с объяснением, я просто не очень умный Заранее огромное спасибо, а то в интернете одни ответы, а я разобраться хочу ru lanasvetblogspotcom Наталья Михайлова Александр Пушкин и его дядя Василий T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием экзамен по русскому языку класс Элементы Популярный сайт о фундаментальной науке Новости науки ru sitefsserversru Образовательные стандарты Основного общего образования T получены путём научного исследования , отбирать адекватные абстрагирование от привходящих факторов, проверка на совместимость методы исследования , формулировать вытекающие из исследования с другими известными фактами ru applicationpdf sitefsserversru Рабочая программа составлена на основе Федерального T В классах обозначенные в данной рубрике литературные произведения включаются в книгу для внеклассного чтения, а в классах некоторые из них входят в хрестоматию Данная рабочая программа составлена на основе авторской программы Литература для ru applicationpdf znanijacom Алгебра , класс , повторение Хелп ми плезз gt; Школьные T Алгебра класс , условие во вложении Pavlik zopah Алгебра Пожалуйста помогите мне пожалуйста с пояснениями если можно ru lanasvetblogspotcom Участие в вебинаре Александр Пушкин и современный T Домашняя школа Многозначность существительных и глаголов Изучай русский и украинский по опорным конспектам Ю С Меженко! Задание для А класса Заметки на полях Пробуем найти свой стиль бесплатный тренинг О литературе и не только ru xnkcbfrexnacgfbslazdqrxnpai МАОУ СОШ T Учащиеся а класса , Анастасия и Мария, стали в течении этого учебного года победителями муниципального и городского этапа, а также стали Список номеров заявлений, по которым предоставлено право на получение путевки в ГОЛ на базе МАОУ СОШ с углубленным ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom Нажми, чтобы увидеть ответ на свой вопрос Алгебра класс , условие во вложении Самые новые вопросы rubchinskiy Алгебра Найди значение выражения ab, если abba T ru znanijacom Алгебра , класс , повторение Хелп ми плеззgt; Школьные T Алгебра класс , условие во вложении dolmatova Алгебра Представьте в виде произведения одинаковых множетелей разными способами степень ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Самые новые вопросы markvajsner Алгебра Алгебра класс , условие во вложении david ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Алгебра Представьте в виде произведения одинаковых множетелей разными способами степень Алгебра Найдите неизвестный член пропорции ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Самые новые вопросы markvajsner Алгебра Алгебра класс , условие во вложении diko ru kulebakibezformatacom Кулебаки Антитеррористическая молодежная акция T в борьбе с терроризмом сотрудники городской библиотеки провели антитеррористическую молодежную акцию Пусть в борьбе с терроризмом победа улыбается! среди студентов курса Кулебакского металлургического колледжа и учащихся класса школы ru schoolucozru Адаптированная основная Природоведение класс T Однако, если задание посильно для ученика и интересно ему, то его внимание может определенное время поддерживаться на должном уровне Под влиянием специально организованного обучения и воспитания объем внимания и его устойчивость значительно ru applicationpdf schoolucozru Адаптированная основная T Наполняемость класса обучающихся по варианту АООП должна быть до пяти человек Рекомендуется следующее комплектование класса до х обучающихся из первой группы; обучающийся из второй группы, или обучающихся из третьей группы ru applicationpdf xnkcbfrexnacgfbslazdqrxnpai МАОУ СОШ с углубленным изучением отдельных предметов T Вакантные места для приёмазачисления в классы на учебный год В период с по мая года обучающиеся х классов нашей школы участвовали в пятидневных учебных военных сборах! ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Алгебра Найдите неизвестный член пропорции Алгебра Какие свойства степени числа с целым натуральным показателем вы знаете? ru xneaaaalcqlxnpai ПОСТАНОВЛЕНИЕ Правительства РФ от N T Количество классов с очной формой обучения, групп с заочной формой обучения и индивидуально обучающихся в учреждении зависит от условий, необходимых для осуществления образовательного процесса ru znanijacom Алгебра класс , условие во вложении Школьные Знанияcom T Алгебра Какая окружность называется описанной около данного треугольника Алгебра Трава при сушке теряет своей массы сколько свежей нужно поносить чтобы получить тонны сени ru znanijacom Алгебра , класс , повторение Хелп ми плезз gt; Школьные T Алгебра класс , условие во вложении pavlovaksenia Алгебра Изобразите A точки б пять точек в шесть точек никакие три из которых не принадлежат одной прямой и Проведите прямые проходящие через различные пары и ru wwwpedalmanacru pedalmanacruwpcontentuploads klass rpdljarosobrdocx T Учебник для класса состоит из тематических модулей первый и последний модули содержат уроков, остальные и резервных часов Ваулина Юлия Евгеньевна, Дули Дженни, Подоляко Ольга Евгеньевна, Эванс Вирджиния Английский язык, контрольные задания , класс ru applicationvndopenxmlformatsofficedocumentwordprocessingmldocument nevatoday Собственник дома Черкасского получил штраф за пожары T На проспекте Космонавтов открылась новая школа с углубленным изучением английского ПОСМОТРЕТЬ ВСЕ ru wwwopennetru Новая версия среды разработки для FreePascal Lazarus T KOIU center Готовые установочные пакеты с Lazarus для различных платформ и архитектур можно загрузить здесь http ничем а вот сам паскаль начав изучение с него ОЧЕНЬ многие и остаются в его рамках, даже не представляя той безднысвоего НЕ знания и того готового ru wwwpedalmanacru Публикации Страница Педагогический альманах T Рабочая программа для групповых консультаций по углубленному изучению образовательной программы по русскому языку Автор Полоумова Светлана Владимировна ru populiru Анализ маркетингового потенциала внутренней среды МБОУ T изучение субъектов и объектов маркетинга в сфере образования Теоретическая и практическая значимость определяется тем, что рекомендации, разработанные в результате исследования , будут способствовать оптимизации маркетинговой деятельности в МБОУ ru lanasvetblogspotcom Ирада Вовненко Мой Пушкин, или Приключения Пети и кота T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием экзамен по русскому языку класс Элементы Популярный сайт о фундаментальной науке Новости науки ru shopprosvru Алгебра класс Электронная форма учебника Полная версия руб Задания даны в широком диапозоне сложности, что позволяет эффективно работать с учащимися разного уровня подготовки Каждая глава завершается рубрикой Чему вы научились Отличительной особенностью данных учебников является внимание к T ru newsliferu Новооскольцы отметили День знаний Торжественные линейки T После череды поздравлений учащиеся школы в небольшом музыкальном номере показали свои успехи и в роботехнике, танцах, боксе, футболе, гимнастике Завершилась линейка традиционным звонком, который по традиции дали учащиеся первых и одиннадцатых классов ru eschoolru Главные уроки МБОУ Средняя общеобразовательная школа T МБОУ Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением английского языка гНовокузнецк Сегодняшний учебный день в каждом классе начался с урока Памяти, на котором ребята говорили о невозможности повторения этих страшных событий ru eschoolru Как быть финансово грамотным? МБОУ Средняя T сентября в нашей школе представителями компании PPF страхование в А классе была проведена финансовая игра DRIVE YOUR LIVE Ребятам было предложено окунуться в мир финансов и задуматься над тем, как же ими распорядиться грамотно ru eschoolru Сентябрь МБОУ Средняя общеобразовательная T МБОУ Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением английского языка гНовокузнецк сентября в нашей школе представителями компании PPF страхование в А классе была проведена финансовая игра DRIVE ru eschoolru День знаний МБОУ Средняя общеобразовательная школа T Все ребята отдохнувшие и загорелые снова собрались на школьном дворе, где они пожелали друг другу успеха в ново учебном году ивместе исполнив гимн родной школы, отправились в свои классы для проводения единого урока мира ru yznaycom Прошу ,! найти высказываний о книге ответ на yznaycom T Решебники ГДЗ ГДЗ решебник по математике класс Моро ru lanasvetblogspotcom Мария Бершадская Большая маленькая девочка История десятая T Домашняя школа Многозначность существительных и глаголов Изучай русский и украинский по опорным конспектам Ю С Меженко! Задание для А класса Заметки на полях Пробуем найти свой стиль бесплатный тренинг О литературе и не только ru znanijacom Помогите решить срочно алгебра класс даю баллов T Алгебра Помогите решить номер Алгебра уравнения, класс , если хотя бы одно знаете как решить, пишите, буду очень благодарен ru znanijacom Алгебра класс , рациональные выражения, решите все что T Помогите решить срочно алгебра класс даю баллов Алгебра Помогите решить номер vitaminka ru znanijacom Решите столбиком Алгебра класс Школьные Знанияcom T Решите столбиком Алгебра класс Загрузить jpg Попроси больше объяснений Алгебра уравнения, класс , если хотя бы одно знаете как решить, пишите, буду очень благодарен ru lanasvetblogspotcom Маргарита Погорелова Кто такой Пушкин? T Мастер класс Как научиться превращать свою френдленту в источник информации nina_dereeva Для тех, кому важно, чтобы ребенок учился с удовольствием экзамен по русскому языку класс Элементы Популярный сайт о фундаментальной науке Новости науки ru znanijacom уравнения, класс , если хотя бы одно знаете как решить T Решите столбиком Алгебра класс Алгебра Помогите решить номер vitaminka ru znanijacom Помогите решить, срочно алгебра класс даю баллов T Алгебра уравнения, класс , если хотя бы одно знаете как решить, пишите, буду очень благодарен Алгебра Разложить на множителиcab joy ru wwwaversevby Биология класс Рабочая тетрадь Средняя школа Аверсэв T В ней приведены вопросы и задания разного уровня сложности, а также лабораторные и практические работы, обязательное выполнение которых предусмотрено программой Использование тетради как на уроках, так и дома существенно облегчит повторение ru rasayanavlru На спине могут быть бородавки Бородавка на спине это доброкачественное эпителиальное образование, которое является внешним проявлением заболевания, вызванного вирусом папилломы человека Клетки наростов имеют отличную от здоровых тканей структуру, но при этом не несут в себе прямой опасности T ru vgpuorg В Волгограде появился первый педагогический класс ВГСПУ T Такой педагогический класс в Волгограде создан впервые лет назад, занятия подобного типа стали проводиться в школах Новониколаевского района региона Но только там это не было включено в учебный план, а преподавалось на основе факультативных курсов ru wwwremosproru Купить двухкомнатную квартиру на вторичном рынке рн Северное T Оптимальное сочетание зеленых зон усадьба Братцево, Алешкинский лес, парк Северное Тушино с выходом на канал им Москвы с развитой инфраструктурой благоустроенного района детские сады, школа с профильными классами , поликлиники, бассейн, все сетевые магазины ru liceyru Лицей Лицей при УлГУ Официальный сайт T Они решали блока заданий по математике базовый и углубленный уровни Базовый уровень олимпиады содержал заданий по школьной программе Углубленный уровень олимпиады содержал дополнительные заданий , требующих от учащихся высокого уровня ru wwwremosproru Купить квартиру на вторичном рынке Братеевская ул T Развитая инфраструктура гипермаркеты, спортивные площадки, детские сады, школы рядом отличная школа с углубленным изучением английского Помогаем в одобрении и получении ипотеки от банков Звоните!!!Свернуть ru wwwlbzru Позвони закажи забери T windows В новом магазине представлены все книги нашего издательства Стоимость книг приятно удивит покупателей, ведь это цены напрямую от издательства!!! На площадке магазина будут проходить интересные мероприятия автографсессии, мастер классы авторов, презентации новинок ru wwwgranilv Со следующего года в школах начнется постепенное введение T windows В х и х классах в рамках углубленных курсов будет более широко изучаться то, что учащиеся уже освоили в основной школе, а Новая модель образования будет способствовать более детальному изучению и специализации в более узкой области знаний в соответствии с ru ouomskobrru Сентябрь БОУ Средняя общеобразовательная школа T с углубленным изучением отдельных предметов БОУ г Омска Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучение отдельных предметов объявляет набор первоклассников на учебный год ru nfschedumskoru График проведения школьного этапа всероссийской олимпиады T Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение НароФоминская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов Государственная итоговая аттестация класс Информационные материалы Плакаты ru liceyru Физика класс ОФ Кабардин, ВА Орлов T отношения к мнению оппонента, уважения к творцам науки и техники; приобретение опыта обоснования высказываемой позиции, моральноэтической оценки результатов использования научных достижений; Физика класс ОФ Кабардин, ВА Орлов ru applicationpdf liceyru Данная рабочая программа предназначена для работы по T Алгебра класс В ч Ч Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений АГ Мордкович М Мнемозина, Л А Александрова Алгебра кл Контрольные работы для общеобразоват учреждений ru applicationpdf wwwtomskru Томская область единственная за Уралом примет конкурс УМНИК T Для томичей проведут прямой эфир об искусственном интелекте тысяч на углубленное изучение математики и информатики в школах конкурс Под гитару и с душой в Томске продолжается конкурс дворовой песни ru wwwvspuru В Волгограде появился первый педагогический класс ВГСПУ T Такой педагогический класс в Волгограде создан впервые лет назад, занятия подобного типа стали проводиться в школах Новониколаевского района региона Но только там это не было включено в учебный план, а преподавалось на основе факультативных курсов ru nevatoday Маршрутчик из Петербурга прославился в сети благодаря своей T На проспекте Космонавтов открылась новая школа с углубленным изучением английского ПОСМОТРЕТЬ ВСЕ ru wwwksturu В химическом лицее КНИТУ за парты сели лицеистов! T windows лицеистов пополнили другие классы Всего в этом году в химическом лицее КНИТУ будут обучаться ребят из городов Татарстана и России Почётное право подать его в этом году представилось ученику класса Руслану Гараеву Он гордость химического лицея ru nfschedumskoru Участие в благотворительной акции Дети вместо цветов T Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение НароФоминская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов Государственная итоговая аттестация класс ru kazanbezformatacom Казань В химическом лицее КНИТУ за парты сели лицеистов! T лицеистов пополнили другие классы Всего в этом году в химическом лицее КНИТУ будут обучаться ребят из городов Татарстана и России Почётное право подать его в этом году представилось ученику класса Руслану Гараеву Он гордость химического лицея ru zakupkigovru Карточка плана закупок T Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Школа с углубленным изучением отдельных предметов дневной ПАНСИОН городского округа самара ru edutatarru Лицейинтернат для одаренных детей с углубленным изучением T Лицейинтернат КНИТУ поддерживает с датским предприятием тесные связи с года в лицее функционирует специализированный профильный класс им доктора Хальдора Топсё, регулярно проводятся встречи с представителями компании ru yznaycom Тесты укажите правильный вариант ответ на yznaycom T Решебники ГДЗ ГДЗ решебник по математике класс , дидактические материалы Чесноков ,Нешков ru shucozru Со спортом по жизни Сентября Сайт школы города T Прием в профильный и углублённый класс ГПД по присмотру и уходу за детьми Каникулы Итоги участия в международном исследовании TIMSS Родителю дошкольника ru shucozru Первый урок Сентября Сайт школы города Старый T В наш ой Г класс пришло новое, любознательное поколение первоклассников После торжественной линейки в классе прошел самый первый урок день знаний На нем ученики узнали о доброжелательной школе, о правилах поведения и распорядке дня школы, приняли ru shucozru Самый классныйклассный час! Сентября Сайт школы T Учащиеся класса А посвятили товарищескую встречу спортивной игры Пионербол, показав спортивную подготовленность, дружелюбие, доброжелательность, работу в команде ru geniuspskoveduru Квалификационные испытания учителейпредметников T windows Углубленное изучение предметов и подготовку к олимпиадам осуществляет Псковский областной центр развития одаренных детей и Школьникам классов предоставляется дополнительная услуга Модуль обучение по индивидуальным образовательным ru

Алгебра 9 класс учебник углубленный уровень Мордкович. Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. 2016 zoobrilka.org adminzoobrilka.org. ГДЗ по алгебре 9 класс учебник (углубленное изучение) А.Г. Мордкович. Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра 9 класс А.Г. Мордкович. ГДЗ по к задачнику алгебре 9 класс Моркдвич (базовый уровень) можно скачать здесь . Скачать бесплатно Алгебра. 9 класс. Задачник. Мордкович А.Г., и др. Основная особенность задачника система упражнений, тщательно выстроенная. УМК quot;Englishquot; (Углубленное изучение) Мордкович А. Г., Николаев Н. П. Углубленное изучение. Введите в строку поиска только фамилию автора и класс. Ответы по алгебре. Ответы и решения алгебра 9 класс мордкович углубленное изучение!!! плиз дайте ссылку на эти решения Срочно!!! пжл!!! Скачать без СМС гдз по алгебре 9 класс мордкович для углублённого изучения. quot;Школьный гидquot; — о школьном процессе. Цель сайта — помочь родителям разобраться в содержании и организации процесса обучения в школе. УМК для 9 класса. Автор: Мордкович А.Г. Алгебра (Мордкович) (углубленно) Мегаботан по Алгебре за 9 класс, к учебникам всех авторов на 2016-2017 учебный год. Алгебра 9 класс Мордкович А.Г. 9 класс Гузей Л.С., Сорокин В.В., Суровцева Р.П.. 6-е изд., переработанно. А.Г. Мордкович , Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская.: В двух частях. Домашние задание по алгебре за 9 класс: Мордкович задание 10-10 — решебник, ответы и онлайн гдз.

ГДЗ по алгебре 9 класс: Мордкович. Решебник задачника.

Решебник по алгебре за 9 класс Мордокович – это практическое пособие, которое включает в себя решения и готовые ответы на все задачи курса алгебры 9 класса, основанного на учебнике Мордоковича А.Г., Александровой Л.А., Мишустиной Т.Н., Тульчинской Т.Е., Семенова П.В, который рекомендован Министерством образования для российских средних школ.

Решебник задачника часть 2 по алгебре 9 класс Мордкович с полным решением

Программа изучения алгебры в 9 классе представлена комплексом сложных тем – решением систем уравнений, квадратичной функцией, элементами комбинаторики и теории вероятности. В итоге многие школьники не успевают разобраться с решением заданий в классе, что приводит к ошибкам в домашней работе.

Для того чтобы их избежать и разобраться в алгоритме решения уравнений и пропорций стоит воспользоваться ГДЗ по алгебре для 9 класса Мордокович. Это практическое пособие дает исчерпывающий ответ относительно выполнения задачи или примера:

• с комментариями и пошаговой инструкцией;
• с приведением нескольких способов выполнения одного и того же упражнения.

Наш сайт повышает удобство использования решебника по алгебре. Пользователю достаточно вбить название учебника в поисковой строке и выбрать номер задачи в появившейся таблице.

Такая опция экономит время. Но это не единственное достоинство нашего ресурса, который также:

1. доступен с телефона, планшета, ноутбука;
2. имеет в базе самые актуальные версии решебников.

Все готовые задачи и онлайн ответы передаются школьникам и их родителям на бесплатной основе. Никаких ограничений на использование сведений сайта нет.

ГДЗ по алгебре 9 класс — задачник от Мордковича, Мишустиной, Тульчинской и Александровой

В 2010 году издательство «Мнемозина» в 12 раз выпустило известный учебник по алгебре для девятиклассников, написанного под редакцией Мордоковича А.Г.

Учебное пособие состоит из двух частей: теоретической части и задачника, который закрепляет изученные в курсе алгебре правила и формулы. В учебнике детально раскрываются такие темы:

• понятие рациональных неравенств и решение систем неравенств;
• способы определения значения переменных в системах уравнений;
• построение графиков числовых функций;
• определение и использование закономерностей формирования прогрессий;
• базовые понятия теории вероятности и комбинаторики.

Большая часть материала в дальнейшем найдет отражение в аттестации по итогам получения неполного высшего образования, а также поможет при поступлении в средние специальные учебные заведения после 9-го класса.

▶▷▶▷ гдз по математике 7 класс алгебра мордкович

▶▷▶▷ гдз по математике 7 класс алгебра мордкович

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	23-09-2019

гдз по математике 7 класс алгебра мордкович — ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Мордкович АГ Задачник gdzruclass- 7 algebramordkovich-14 Cached ГДЗ : Спиши готовые домашние задания задачник по алгебре за 7 класс , решебник АГ Мордкович , Базовый уровень ФГОС, часть 2 онлайн ответы на gdzru ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович megareshebarupublreshebnikalgebra 7 _klass Cached ГДЗ к задачнику за 7 класс , автор АГ Мордкович по алгебре Подробные решения и пояснения с рисунками Гдз По Математике 7 Класс Алгебра Мордкович — Image Results More Гдз По Математике 7 Класс Алгебра Мордкович images ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович — онлайн решебник uchimorggdzpo-algebre- 7 -klass-mordkovich Cached ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович — онлайн решебник Здесь вы можете бесплатно воспользоваться ГДЗ по алгебре за 7 класс по учебнику Мордковича ГДЗ Алгебра 7 класс — YouTube wwwyoutubecom channelUC3qzAZZ51xvl9foham 7 WIMg Cached Канал проверки правильности решения домашних заданий: Алгебра 7 класс по учебнику Модкович АГ Решебник (ГДЗ) по алгебре за 7 класс megareshebarupublgdzalgebra 7 _klass97-1-0-1265 Cached ГДЗ по плгебре для 7 класса включает выполненные примеры и уравнения с одной или несколькими переменным В пособиях рассмотрены задачи по статистике, приведены примеры изображения функций ГДЗ по алгебре 7 класс Мордкович (Решебник задачника) gdzputinainforeshebniki 7 -klassalgebra Cached Гдз по алгебре 7 класс : Мордкович АГ — задачник 2 часть Практикум по алгебре для 7 класса это вторая часть учебника Мордоковича АГ В задачнике представлены примеры и задачи по таким ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович 2014 reshebamegdzalgebra9-klassmordkovich Cached Гдз тесты по Алгебре за 7 класс можно найти тут; Гдз учебник (углубленное изучение) по Алгебре за 9 класс можно найти тут ГДЗ решебник по алгебре 7 класс Мордкович gdzputinaco 7 -klass-onlajnalgebra- 7 gdz Cached Здесь представлены ответы к задачнику по алгебре 7 класс Мордкович Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств Решебник на обновлении Решебник по алгебре 7 класс — reshebame reshebamegdzalgebra 7 -klass Cached Решебники по алгебре за 7 класс научат анализировать и решать системы уравнений В пособиях приводятся графические материалы, табулированные данные, рабочие формулы ГДЗ Алгебра за 9 класс АГ Мордкович, ЛА Александрова Задачник eurokiappgdzalgebra9classmordkovich Cached Приветствуем на образовательном портале Еуроки Здесь вы найдете ГДЗ с подробным и полным решением упражнений (номеров) по Алгебре Задачник за 9 класс , автор: АГ Мордкович , ЛА Александрова, ТН Мишустина, ЕЕ Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 99,300

• Видеоуроки по математике. Готовые домашние задания, видеоуроки. Понравился сайт поделись с друзьями.
• И добавь в закладки, нажми. Автор: А.Г. Мордкович. Именно таковым и является решебник по алгебре за 7 класс к учебнику А.Г. Мордковича. Домашние задание по алгебре за 9 класс: Мордкович задание 1-
• за 7 класс к учебнику А.Г. Мордковича. Домашние задание по алгебре за 9 класс: Мордкович задание 1-1 — решебник, ответы и онлайн гдз. Домашняя контрольная работа 7. ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев. ГДЗ по математике, 6 класс — Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд — онлайн решебник. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. ГДЗ математика. Гдз 8 класс uztest. Домашняя работа Английский язык 6кл Афанасьева Михеева 2000 тетрадь решебник по ступенькам 7 класс. Гдз сборник задач по физике для 7-9 классов. Зубрилка.орг — подробные гдз и решебник по Алгебре для 1011 класса А.Г. Мордкович на 2015-2016 год. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. 7 класс. (для русских школ) Бевз Г. П., Бевз В. Г. Сборник задач по математике для поступающих в вузы Сканави М. И. Группа В. Успешно выполнить домашние задания поможет решебник по алгебре за 8 класс Мордковича , имеющий 2 части. Официальные ГДЗ России. ГДЗ 8 класс Алгебра Мордкович А.Г. ГДЗ по алгебре 7 класс А.Г. Мордкович. Издательство: Мнемозина 2015 год. автор: А.Г. Мордкович.

тесты

Жохов

• автор: АГ Мордкович
• ТН Мишустина
• решебник АГ Мордкович

is not in this users list of permitted IP addresses vlaXML

Видеоуроки по математике. Готовые домашние задания, видеоуроки. Понравился сайт поделись с друзьями. И добавь в закладки, нажми. Автор: А.Г. Мордкович. Именно таковым и является решебник по алгебре за 7 класс к учебнику А.Г. Мордковича. Домашние задание по алгебре за 9 класс: Мордкович задание 1-1 — решебник, ответы и онлайн гдз. Домашняя контрольная работа 7. ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев. ГДЗ по математике, 6 класс — Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд — онлайн решебник. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. ГДЗ математика. Гдз 8 класс uztest. Домашняя работа Английский язык 6кл Афанасьева Михеева 2000 тетрадь решебник по ступенькам 7 класс. Гдз сборник задач по физике для 7-9 классов. Зубрилка.орг — подробные гдз и решебник по Алгебре для 1011 класса А.Г. Мордкович на 2015-2016 год. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. 7 класс. (для русских школ) Бевз Г. П., Бевз В. Г. Сборник задач по математике для поступающих в вузы Сканави М. И. Группа В. Успешно выполнить домашние задания поможет решебник по алгебре за 8 класс Мордковича , имеющий 2 части. Официальные ГДЗ России. ГДЗ 8 класс Алгебра Мордкович А.Г. ГДЗ по алгебре 7 класс А.Г. Мордкович. Издательство: Мнемозина 2015 год. автор: А.Г. Мордкович.

УМК для 7-9 классов «Алгебра». Авторский коллектив под руководством А.

Г. Мордковича Создано 02 Август 2015

Авторский коллектив под руководством А. Г. Мордковича

    Учебники углубленное изучение «Алгебра» 7,8, 9 классы. Автор А. Г. Мордкович, Н.П. Николаев

    Задачник углубленное изучение «Алгебра» 7 класс. Авт.: А. Г. Мордкович, Н.П. Николаев

    Задачник углубленное изучение «Алгебра» 8 класс. Авт.: А. Г. Мордкович, Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, Л.А. Александрова

    Задачник углубленное изучение «Алгебра»  9 класс Авт.: А. Г. Мордкович, Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П.В. Семенов, Л.А. Александрова

    Методическое пособие для учителя. Преподавание алгебры. 7 класс. Автор А. Г. Мордкович

    Методическое пособие для учителя. Преподавание алгебры. 8—9 классы. Автор А. Г. Мордкович

    Контрольные работы «Алгебра» 7-9 классы. Автор А. Г. Мордкович

   Уважаемые господа, посетите персональный сайт автора www.ziimag.narod. ru «Практика развивающего обучения»

   Содержание учебников соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту и рекомендованы Министерством образования и науки РФ к использованию в общеобразовательных учреждениях.

   Для обеспечения предпрофильной подготовки в старших классах общеобразовательной школы создан курс алгебры для 7—9-го классов с углубленным изучением предмета. Учебники написаны в стиле той же концепции, что и соответствующие учебники А. Г. Мордковича для общеобразовательных учреждений. Порядок следования глав и параграфов практически сохранен, но с закономерными для математических классов углублением и частичным расширением материала. Добавлены:

    теория делимости,

    дробно-линейная функция,

    доказательство неравенств,

    уравнения высших степеней,

    уравнения с модулями,

    задачи с параметрами,

    неравенства с модулями и иррациональные неравенства,

    корни n-й степени и обобщение понятия о показателе степени,

    формулы тригонометрии,

    метод математической индукции.

   В комплекте с учебниками изданы задачники, которые содержат насыщенную систему упражнений и заданий. Ими можно пользоваться и в общеобразовательных классах, если учитель испытывает потребность в дополнении трудных и интересных задач.

Взято с www.mnemozina.ru

Добавить комментарий

Литвиненко Мордкович — Решение задач алгебры и тригонометрии — Мир-1988

 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
В
АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
Б. Х. JInTBHHeHKO,
А. р. MopAKOBHH
nPAK TH K YM
n o PEIIIEHMIO MATEM ATH NECK H X 3A, H, An
Ajire6pa. TpnroHOMeTpnH
h4flaTejibCTBO «npocBemeime»
MOCKBA
Решение проблем в
АЛГЕБРА
ТРИГОНОМЕТРИЯ
от
В. Литвиненко
А.Мордхович
Издательство Мир Москва
Перевод с русского ЛЕОНИД ЛЕВАНТ.
Впервые опубликовано в 1987 г.
Переработка русского издания 1984 г.
ЧИТАТЕЛЮ =
Издательство "Мир" будет признательно за ваш ком.
комментарии по содержанию, переводу и оформлению
эта книга.Мы также будем рады получить любые
другие предложения, которые вы, возможно, пожелаете сделать. 
Наш адрес:
Издательство Мир
Первый Рижский переулок, 2
1-110, ГСП, Москва, 129820
СССР
Ha amjiuucKOM as bine
Отпечатано в: Союз Советских Социалистических Республик.
© HaflaTejibCTBo «IIpocBemeHne», 1984
© Английский перевод, Мир, 1987
Предисловие
Это учебное пособие предназначено для студентов, изучающих физику и математику.
Кафедры педагогических институтов.
В книге около 2000 примеров, задач и упражнений.
из них 1700 задач - для самостоятельного решения.Вместе с
достаточно простые задачи, есть и задачи, решение которых
требует серьезной, а иногда и изобретательной работы. В течение
готовя рукопись к печати, мы постарались распределить пространство
среди основных типов «школьных» задач по алгебре и тригоном
этри. Решение этих проблем поможет студенту приобрести профессиональную
профессиональные навыки, необходимые учителю, который должен уметь решать
математические задачи среднего школьного уровня.
Эта книга - не только сборник задач, это, скорее, исследование.
пособие для практической работы, что видно по структуре текста
книга. Каждый раздел содержит необходимый теоретический материал и
достаточное количество проработанных примеров (общее количество которых
составляет около 300), что очень полезно для студенческих
marily с методологической точки зрения.
Настоящая книга основана на серии разработанных нами учебных пособий.
для практического решения недавно опубликованных математических задач
и предназначен для студентов заочного обучения. Разные учебники
и учебные пособия для школьников, многочисленные книги для учителей,
различные сборники задач по алгебре, тригонометрии, учебные пособия для предварительной
студенты колледжа, задачи для вступительных экзаменов по математике,
материалы школьных математических олимпиад и др., также использовались
при подготовке рукописи.
Авторы очень благодарны И.П. Макаров, М. Рассудов-
ская, М. Денисова, А.Х. Назиеву за ценные советы
ции и замечания.
Авторы
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
ЧАСТЬ 1. АЛГЕБРА 7
Глава 1. ИДЕНТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 7
П. 1. Факторизация многочленов 7
П. 2. Идентичные преобразования рациональных функций 11
П.  3. Тождественные преобразования иррациональных функций 20
П. 4. Идентичные преобразования экспоненты и логарифа.
Функции микрофона 29
П.5. Доказательство неравенств 33
П. 6. Сравнение числовых выражений 41
Глава 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 45
П. 7. Эквивалентные уравнения 45
П. 8. Рациональные уравнения 53
П. 9. Уравнения, содержащие модуль переменной 59
П. 10. Системы рациональных уравнений 62
П. 11. Проблемы построения уравнений и систем уравнений 81
П. 12. Иррациональные уравнения 107
П. 13. Экспоненциальные уравнения 121
П. 14. Логарифмические уравнения 126
П. 15. Системы экспоненциальных и логарифмических уравнений 135
П.16. Рациональное неравенство 139
П. 17. Иррациональные неравенства 160
П. 18. Экспоненциальные неравенства 167
П. 19. Логарифмические неравенства 171
П. 20. Параметрические уравнения и неравенства 179
ЧАСТЬ II. ТРИГОНОМЕТРИЯ 202
Глава 3. ИДЕНТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 202
П. 21. Идентичные преобразования тригонометрических функций 202
П. 22. Преобразование функций, содержащих обратную тригонометрию. 
Функции 218
П. 23. Доказательство неравенств 224
Глава 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 234
П. 24. Уравнения 234
П.25. Системы уравнений 254
П. 26. Неравенство 265
П. 27. Параметрические уравнения и неравенства. 276
Ответы 287
Часть I
АЛГЕБРА
Глава 1
ID E N T IC A L T R A N SF O R M A T IO N S
SEC. 1. ФАКТОРИЗАЦИЯ ПОЛИНОМОВ
При решении многих алгебраических задач оказывается необходимым
sary, чтобы представить многочлен в виде произведения двух или
больше многочленов или как многочлен и одночлен, содержащий
хотя бы одну переменную. Но не всякий многочлен факторизуем над
поле действительных чисел.Например, невозможно разложить на множители
многочлены x + 3 и x2 + 6x + 10. Такие многочлены
называется неприводимым или простым. Факторизация полинома есть
считается завершенным, если все полученные множители неприводимы.
При факторизации многочленов мы используем различные методы:
скобок - общий фактор, группировка, использование for
мулы для кратчайшего умножения и т. д. Рассмотрим несколько
примеры, иллюстрирующие эти методы. 
Пример 1. Разложите следующие многочлены на множители:
(1) / (a, b) = a2 - 2a3b - 2ab3 + ft2,
(2) / (а) = a3 - 7a2 + 7a + 15.Решение. (1) Объединение крайних членов в одну группу и
средние члены в другой, и вынимая из скобок
общий фактор во второй группе, получаем:
/ (a, b) = (a2 + b2) - 2ab (a2 + b2) = (a * + b2) (1 - 2ab).
(2) Представим второе и третье слагаемые данного поли
номинальным следующим образом:
—La2 = —3a2 - 4a2; 7 а = 12а - 5а.
Тогда запишем: / (a) = a3 - 3a2 - 4a2 + 12a - 5a + 15. Группа
попарно расставляя слагаемые и вынося за скобки общий множитель
в каждой группе получаем:
/ (а) = (a3 - 3a2) - (4a2 - 12a) - (5a - 15)
= a2 (a - 3) - 4a (a - 3) - 5 (a - 3)
= (а - 3) (а2 - 4а - 5).8 Часть 1. Алгебра.
Осталось разложить на множители многочлен a2 - 4a - 5. Это может быть
выполняется двумя следующими способами.
Первый метод. У нас есть:
а2 - 4 а - 5 = а2 + а - 5а - 5
= а (а + 1) - 5 (а + 1) = (а + 1) (а - 5).
Второй метод. Из уравнения a2 - 4a - 5 = 0 находим
корни: ax = —1, a2 = 5.  Применяя формулу факторизации
квадратичный трехчлен ax2 + bx + c = a (x - (x - x 2), получаем:
а2 - 4а - 5 = (а - ах) (а - а2) = (а + 1) (а - 5).
Таким образом,
/ (а) = (а - 3) (а + 1) (а - 5).
Пример 2. Фактор:
/ (a, 6, c) = ab (a + b) - быть (b + c) + ac (a - c).Решение. Воспользуемся тем, что выражение con
в первых скобках заключена сумма выражений, содержащихся в
во вторых и третьих скобках: a + b = (b + c) + (a - c).
потом
/ (a, 6, c) = ab ((b + c) + (a - c)) - быть (b + c) + ac (a - c)
= ab (b + c) + aft (a - c) - быть (b + c) + ac (a - c).
Группируем термины и вынимаем из скобок общий фактор
в каждой группе получаем:
/ (a, b. c) = (ab (b + c) - be (b + c)) + (ab (a - c)
+ ac (a - c)) = (b + c) (ab - быть)
+ (a - c) (ab + ac) = (b + c) b (a - c)
+ (a - c) a (b + c) = (a - c) (b + c) (a + b).Пример 3. Фактор:
/ (а) = а3 - 5а2 - а + 5.
Решение. Группировка терминов и снятие скобок a
общий множитель, получаем:
/ (а) = (а3 - 5а2) - (а - 5) = а2 (а - 5) - (а - 5)
= (а - 5) (а2 - 1).
Используя формулу p2 - q2 = (p - q) (p + q) i, получаем:
/ (а) = (а - 5) (а - 1) (а + 1). 
Пример 4. Фактор:
/ = (а, 6) = 4a2 - 12a6 + 562.
Гл. 1. Идентичные преобразования 9
Решение. Завершая двучлен 4a2 - 12ab до полного квадрата,
получаем: (2a) 2 - 2 (2a) (36) + (36) 2. потом
/ (а, 6) = (4a2 - 12a6 + 962) - 962 + 562
= (2a - 36) 2 - (26) 2 = (2a - 36 - 26) (2a - 36 + 26)
= (2a - 56) (2a - 6).Пример 5. Фактор:
/ (а) = а4 - 10а2 + 169.
Решение. Отметив, что a4 + 169 = (a2) 2 + 132, и завершив
получим из этой суммы полный квадрат:
/ (а) = (a4 + 26a2 + 169) - 26a2 - 10a2
= (a2 + 13) 2 - (6a) 2 = (a2 - 6a + 13) (a2 + 6a + 13).
Пример 6. Фактор:
/ (а, 6) = а6 + а4 + а262 + 64 - 66.
Решение. С
а6 - 66 = (а3) 2 - (63) 2 = (а3 - 63) (а3 + 63)
= (a - 6) (a2 

Функция равна наибольшему целому числу, не превышающему. Целая и дробная части числа. Vi. Домашнее задание

40k-39 10k

1) 40 тыс. -39 10 тыс., 2) 10 тыс.

К 1,3, к>.

Из 1) и 2) => k = 0; к = 1.

Для k = 0 x =;

Для k = 1 x = 0,8.

Ответ :; 0.8.

Возникает вопрос: можно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить?

Рассмотрим уравнение: + — = 5.

Сложность этого уравнения заключается в неоднозначности числа x.

Пусть х = 0.4, тогда = 1; = 1; = 4, а при х = 0,8 = 1; = 2; = 5.

Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам нужно найти точки, в которых каждый член изменяет значение целой части на 1. Назовем их критическими точками и рассмотрим конкретный пример.

X = t + a, t — целая часть числа, a — дробная часть числа.

Т + т-т + 4-3-3 ++ — = 5,

Т ++ — = 7,

А = 0.7; а = 0,4; а = 0,5 — критические точки.

1) a € = a € N,

0≤t

(2s-3) 2 = 3a 2 -12c + 46,

4c 2 -12c + 9-3a 2 + 12c-46 = 0,

4c 2 -37-3a 2 = 0,

4c 2 -37-3 [c] 2 = 0,

4 (а + т) 2 -37-3а 2 = 0,

(а + т) 2 =,

T = — -a — не соответствует постановке задачи,

Изучение алгебры в 10 классе по учебнику А.Г. Мордковича и П.В. Семёнова школьники впервые познакомились с функцией целой части числа y = [x]. Некоторых это интересовало, но теоретической информации было очень мало, да и задачи, содержащие целую часть числа. Чтобы поддержать интерес детей к предмету, возникла идея создать данное пособие.

Реализация программы курса рассчитана на 1 половину 10 класса для студентов физико-математического профиля.

Цель курса: расширить знания студентов о математических функциях и сформировать умение использовать знания о функциях при решении уравнений и неравенств различной степени сложности.Представленное руководство содержит теоретическую информацию справочного характера. Это информация о функции целой части числа y = [x] и функции дробной части числа y = (x), их графики. Объясняет преобразования графов, содержащих целую часть числа. Рассмотрены решения простейших уравнений и неравенств, содержащие целую или дробную часть числа. А также методы решения квадратных, дробно-рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений, содержащих целую или дробную часть числа.

Пособие содержит задачи для самостоятельного решения.

Руководство включает в себя следующие элементы:

Введение.

§ один. Знакомство с функциями y = [x] и y = (x).

§2. Уравнения, содержащие дробные или целые части числа.

2.1 Простейшие уравнения.

2.2 Решение уравнений вида = g (x).

2.3 Графический способ решения уравнений.

2.4 Решение уравнений путем введения новой переменной.

2.5 Системы уравнений.

§3. Преобразование графиков функций, содержащих целую часть числа.

3.1 Построение графиков функций вида y =

3.2 Построение графиков функций вида y = f ([x]).

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа.

§5. Целая и дробная часть числа в олимпиадных заданиях.

Ответы на задачи для самостоятельного решения.

Пособие обеспечивает развитие представлений о функциях и формирование прикладных навыков.

Адресовано учителям, решающим задачи профильного образования.

Загрузить:

Предварительный просмотр:

Розина Т. А.

Задания, содержащие целое

или дробную часть числа

Междуреченск 2011

Уважаемые старшеклассники!

Теперь вы приступаете к углубленному изучению целой и дробной частей числа.Этот учебник позволит вам расширить свои знания о математических функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. Представленное руководство содержит теоретическую информацию справочного характера, объясняет преобразования графиков, содержащих целую или дробную часть числа, и рассматривает решения простейших уравнений. А также методы решения квадратных, дробно-рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений. Пособие содержит задачи для самостоятельного решения.Учебное пособие поможет вам систематизировать и обобщить знания, полученные по теме «Целые и дробные части числа».

Удачи!

§ один. Ознакомление с функциями y = [x] и y = (x) ……………………… 4

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа … … 7

1. Простейшие уравнения …………………………………… 7

1. Решение уравнений вида = g (x) …………………… ..8.

2.3 Графический способ решения уравнений ………………… 10

1. Решение уравнений путем введения новой переменной ……. 11

1. Системы уравнений ……………………………………… .12

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целое число

Часть числа …………………………………………………… …. 13

1. 3.1 Построение функций вида y \ u003d …………… 13
2. 3.2 Построение графиков функций вида y = f ([x]) …………… 15

§4.Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа … 17

……

§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях … … 20

Ответы на задания для самостоятельного решения …………… … 23

Список литературы ………………………………… …………… … 25

§один. Введение в функции y = [x]

и y = (x)

История и определение целой и дробной частей числа

Понятие целой части числа ввел немецкий математик Иоганн. Карл Фридрих Гаусс (1771-1855), автор работ по теории чисел.Гаусс также развил теорию специальных функций, рядов, численные методы, решения задач математической физики и создал математическую теорию потенциала.

Целая часть действительного числа x обозначается [x] или E (x).

Символ [x] был введен К. Гауссом в 1808 году.

Функцию целой части числа ввел Адриен Мари Лежандр (1752-1833). — французский математик. Его труд «Опыт теории чисел», опубликованный в 1798 году, является фундаментальным трудом, результатом достижений арифметики 18 века.Именно в его честь функция y = [x] названа французским словом «Antje» ​​(французское «entier» — целое число) .E (x).

Определение: целая часть числа x — это наибольшее целое число c, не превышающее x, т.е. если [x] = c, c ≤ x

Например: = 2;

[-1,5] = -2.

Некоторые значения функции можно использовать для построения ее графика. Выглядит это так:

Свойства функции y = [x]:

1. Область определения функции y = [x] — это множество всех действительных чисел R.

2. Диапазон значений функции y = [x] — это набор всех целых чисел Z.

3. Функция y = [x] кусочно-постоянная, неубывающая.

4. Общие функции.

5. Функция не периодическая.

6. Функция не ограничена.

7. Функция имеет точку останова.

8.y = 0, для x.

Например: (3,7) = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Построим график функции y = (x).Выглядит это так:

Простейшие свойства функции y = (x):

1. Область определения функции y = (x) — это множество всех действительных чисел R.

2. Диапазон значений функции y = (x) — это полуинтервал и y = (x) поможет выполнить некоторые задачи.

ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ РЕШЕНИЙ

1) Построение графиков функций:

А) y = [x] + 5;

В) у = (х) — 2;

В) у = | [x] |.

2) Какие могут быть числа x и y, если:

A) [x + y] = y;

Б) [х — у] = х;

В) (х — у) = х;

D) (x + y) = y.

3) Что можно сказать о величине разности x — y, если:

A) [x] = [y];

В) (х) = (у).

4) Что больше: [а] или (а)?

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа

2.1. Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [x] = a.

Уравнения такого типа решаются по определению:

a ≤ x

Если a — дробное число, то у такого уравнения не будет корней.

Рассмотрим пример решения одного из этих уравнений:

[x + 1.3] = — 5. По определению такое уравнение трансформируется в неравенство:

5 ≤ x + 1.3

Это будет решение к уравнению.

Ответ: x [-6,3; -5,3).

Рассмотрим еще одно уравнение, относящееся к категории простейших:

[x + 1] + [x-2] — [x + 3] = 2

Для решения уравнений этого типа необходимо использовать свойство целочисленной функции: Если p — целое число, то равенство

[x ± p] = [x] ± p

Доказательство: x = [x] + (x)

[[x]] + (x) ± p] = [[x] + (x)] ± p

x = k + a, где k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ± p.

Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получаем [x] + 1 + [x] — 2 — [x] — 3 = 2. Приведем аналогичные термины и получим простейшее уравнение [x] \ u003d 6. Его решением является полуинтервал x = 1

Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ x2 -5x + 6

x 2 — 5x + 6

x 2 — 5x + 6 ≥ 1 и решаем Это;

x 2 — 5x + 4

x 2 — 5x + 5> 0

Получаем x (1; 4)

X (-∞; (5 -) / 2] [(5 +) / 2 ; + ∞),

X (1; (5 -) / 2] [(5 +) / 2; 4).

Ответ: x (1; (5 -) / 2] [(5 +) / 2; 4).

Решите уравнения:

1) = 1

2) = 0,487

3) — = 2

4) [x 2] = 4

5) [x] 2 = 4

6) = — 5

7) [x 2 — x + 4] = 2

8) = — 1

9) = 4,2

10) (x) — [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x — 5] = 7

2.2 Решение уравнений вида = g (x)

Уравнение вида = g (x) можно решить, сведя их к уравнению

[x] = a.

Давайте посмотрим на пример 1.

Решите уравнение

Замените правую часть уравнения новой переменной a и выразите отсюда x

11a = 16x + 16, 16x = 11a — 16,

Тогда = =

Теперь решим уравнение для переменной a.

Выявим знак целой части по определению и запишем его по системе неравенств:

Из интервала выделим все целые значения: 3; 4; 5; 6; 7 и произвести обратную замену:

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение:

Разделите каждый член числителя в скобках на знаменатель:

Из определения целой части числа следует, что (a + 1) должно быть целым числом, следовательно, a — целое число. . Числа a, (a + 1), (a + 2) — это три последовательных числа, что означает, что одно из них должно делиться на 2, а одно на 3. Следовательно, произведение чисел делится на 6.

То есть целое число. Средство

Решим это уравнение.

а (а + 1) (а + 2) — 6 (а + 1) = 0

(а + 1) (а (а + 2) — 6) = 0

а + 1 = 0 или 2 + 2a — 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (не целые числа).

Ответ: -1.

Решите уравнение:

2.3. Графический способ решения уравнений

Пример 1. [x] = 2 (x)

Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций y = [x] и y = 2 (x).Найдем абсциссы их точек пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

В некоторых случаях удобнее находить ординаты точек пересечения графиков с помощью графика. Затем подставьте полученное значение в одно из уравнений и найдите нужные значения x.

ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЗАВИСИМОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения графически:

1. (x) = 1 — x;
2. (х) + 1 = [х];
3. = 3х;
4. 3 (х) = х;
5. (х) = 5х + 2;
6. [| х |] = х;
7. [| х |] = х + 4;
8. [| х |] = 3 | х | — один;
9. 2 (х) — 1 = [х] + 2;

10) Сколько решений имеет уравнение 2 (x) = 1 -.

2.4. Решение уравнений путем введения новой переменной.

Рассмотрим первый пример:

(x) 2-8 (x) +7 = 0

Заменим (x) на a, 0 a

a 2-8a + 7 = 0, которую мы решаем по формуле обратная теорема к теореме Виета: Полученные корни — это a = 7 и a = 1. Проведем обратную замену и получим два новых уравнения: (x) = 7 и (x) = 1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Рассмотрим другой случай решения уравнения путем введения новой переменной

:

3 [x] 3 + 2 [x] 2 + 5 [x] -10 = 0

Сделаем замену [x] = a , az. и получаем новое кубическое уравнение для 3 + 2a 2 + 5a-10 = 0. Находим первый корень этого уравнения, выбирая: a = 1 — корень уравнения. Разделите наше уравнение на (a-1). Получаем квадратное уравнение 3a2 + 5a + 10 = 0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений.То есть а = 1 — единственный корень уравнения. Осуществляем обратную замену: [x] = a = 1. Решаем получившееся уравнение, определяя целую часть числа: x 2 + 8 [x] -9 = 0

3 (x- [x ]) 2 + 2 ([x] -x) -16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2 (x) +1) 3 — (2 (x ) -1) 3 = 2

(x- [x]) 2 = 4

1. 5 [x] 2-7 [x] -6 = 0
2. 6 (x) 2 + (x) -1 = 0
3. 1 / ([x] -1) — 1 / ([x ] +1) = 3- [x]
4. 12 (x) 3 -25 (x) 2 + (x) +2 = 0

10) 10 [x] 3-11 [x] 2 -31 [x] -10 = 0

2.5. Системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

2 [x] + 3 [y] = 8,

3 [x] — [y] = 1.

Решается как сложением, так и заменой. Остановимся на первом способе.

2 [x] + 3 [y] = 8,

9 [x] — 3 [y] = 3.

После сложения двух уравнений получаем 11 [x] = 11. Отсюда

[x] = 1. Подставляем это значение в первое уравнение системы и получаем

[y] = 2.

[x] = 1 и [y] = 2 — решения системы. То есть x

= 18-y

18-xy

3) 3 [x] — 2 (y) = 6

[x] 2 — 4 (y) = 4

4) 3 (х) — 4 (у) = -6

6 (х) — (у) 2 = 3.

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую часть числа

3.1. Построение функции вида y =

Пусть будет график функции y = f (x). Для построения функции y = поступаем следующим образом:

1. Отметим точки пересечения прямых y = n, y = n + 1 графиком функции y = f (x).Эти точки принадлежат графику функции y =, так как их ординаты целые числа (на рисунке это точки A, B, C, D).

Построим график функции y = [x]. Для этого

1. проводим прямые y = n, n = 0; -один; +1; -2; +2; … и рассмотрим одну из полос, образованных прямыми y = n, y = n + 1.
2. Отметим точки пересечения прямых y = n, y = n + 1 знаком график

Функции y = [x].Эти точки принадлежат графику функции y = [x],

Так как их координаты целые числа.

1. Для получения оставшихся точек графика функции y = [x] в указанной полосе часть графика y = x, попавшая в полосу, проецируется параллельно оси O на прямой y = n, y = n + 1. Поскольку любая точка M этой части графика функции y = x, имеет следующую ординату y0 такую, что n 0 0] = n
2. В каждой второй полосе, где есть точки на графике функции y = x, построение проводится аналогично.

ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЗАВИСИМОГО РЕШЕНИЯ

Постройте график функции:

3.2. Построение функции вида y = f ([x])

Пусть дан график некоторой функции y = f (x). Построение функции y = f ([x]) осуществляется следующим образом:

1. Проводим прямые x = n, n = 0; -один; +1; -2; +2; …
2. Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми y = n и y = n + 1. Точки A и B пересечения графика функции y = f (x) с этими линиями принадлежат график функции y = f ([x]), так как их абсциссы — целые числа.

1. Для получения оставшихся точек графика функции y = f ([x]) в указанной полосе проецируется часть графика функции y = f (x), попадающая в эту полосу параллельно оси О на прямой y = f (n).
2. В каждой второй полосе, где есть точки на графике функции y = f (x), построение проводится аналогично.

Рассмотрим построение функции y = … Для этого строим график функции y =… Далее

номеров.

3. В каждой другой полосе, где есть точки на графике функции y =, построение аналогично.

ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЗАВИСИМОГО РЕШЕНИЯ

Постройте график функции:

§4. Неравенства, содержащие целые или дробные части числа

Назовем следующие отношения основными неравенствами с [x] и (x): [x]> b и (x)> b. Удобный метод их решения — графический метод. Поясним это на двух примерах.

Пример 1. [x] ≥ b

Решение. Введем в рассмотрение две функции y = [x] и y = b и нарисуем их графики на одном чертеже. Понятно, что тогда следует различать два случая: b — целое число и b — нецелое число.

Случай 1.b — целое

Из рисунка видно, что графики совпадают.

Следовательно, решением неравенства [x] ≥ b является луч x ≥ b.

Случай 2. b — нецелое число.

При этом графики функций y = [x] и y = b не пересекаются.Но та часть графика y = [x], которая лежит выше прямой, начинается в точке с координатами ([b] + 1; [b] + 1). Таким образом, решением неравенства [x] ≥ b является луч x ≥ [b] + 1.

Другие типы основных неравенств исследуются таким же образом. Результаты этих исследований приведены в таблице ниже.

(x) ≥ b, (x)> b, b ≥1

Нет решений

(x) ≥ b, (x)> b, b

(-∞; + ∞)

(x) ≥ b, (x)> b, 0 ≤ b

n + b ≤ x n + b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; + ∞)

(x) ≤ b, (x)

Нет решений

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b + n

Рассмотрим пример решения неравенства:

Замените [x] переменной a, где a — целое число.

> 1; > 0; > 0; > 0.

Методом интервалов находим a> -4 [x]> -4

Для решения полученных неравенств воспользуемся составленной таблицей:

x ≥ -3,

Ответ: [-3 ; 1).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x]> 2,3

4) [x] 2

5) [x] 2-5 [x] -6

6) [x] 2 — 7 [x] + 6 0

7) 30 [x] 2 -121 [x] + 80

8) [x] 2 + 3 [x] -4 0

9) 3 (x) 2-8 (x) -4

10) 110 [x] 2 -167 [x] + 163 0

11)> 2

12)> 1

13) 0

14) 0

§5.Целая или дробная часть числа в олимпиадных задачах

Пример 1.

Докажите, что число делится на 5 для любого натурального n.

Доказательство: Пусть n будет четным числом, т.е. n = 2m, где mN,

итак.

Тогда это выражение имеет вид :,

тех. он делится на 5 для любого четного n.

Если n = 2m -1, то

, то это выражение выглядит так:

Это число делится на 5 для любого нечетного n.

Итак, это выражение делится на 5 для любого натурального n.

Пример 2.

Найдите все простые числа вида, где nN.

Решение. Позволять. Если n = 3k, то p = 3k2 … Это число будет простым и равным 3, при k = 1.

Если n = 3k + 1, k0, то

Тогда

Это число будет простым и равно 5 при k = 1.

Если n = 3k + 2, k 0, то

Составное число для любого kN.

Ответ: 3; 5

Пример 3.

Числа записываются в ряд как кратные двум, трем, шести.Найдите число, которое будет на тысячном месте в этой строке.

Решение:

Пусть x будет требуемым числом, затем последовательность чисел, кратных двум в этой строке -, кратным трем -, кратным шести -. Но числа кратны шести, кратны двум и трем, т.е. будут пересчитаны трижды. Следовательно, от суммы чисел. При умножении на два, три, шесть необходимо вычесть удвоенное количество, кратное шести. Тогда уравнение для решения этой задачи:

Введем обозначение:

Тогда a + bc = 1000 (*) и по определению целой части числа имеем:

Умножение каждого члена неравенства на 6 , получаем:

6a3x

6b2x

Складывая первые два неравенства и вычитая из них суммы третьего неравенства, получаем:

6 (a + b + c) 4x

Воспользуемся равенством (* ), то: 60004x

1500x

Решениями уравнения будут числа: 1500 и 1501, но по условию задачи подходит только число 1500.

Ответ: 1500

Пример 4.

Известно, что младшему брату не больше 8, но не менее 7 лет. Если количество полных лет младшего брата удвоится, а количество неполных лет (т. Е. Месяцев) его возраста утроится, то общее количество лет будет возрастом старшего брата. Укажите возраст каждого из братьев с точностью до месяцев, если известно, что их общий возраст составляет 21 год 8 месяцев.

Решение:

Пусть x (лет) будет возрастом младшего брата, затем (месяцев) его возраста.По состоянию проблемы (лет) — возраст старшего брата. Совокупный возраст обоих братьев:

(года).

3 (, 3x +,

Так как (x) = x — [x], то … (Уравнение вида = bx + c, где a, b, c R)

N = 6, n = 7.

При n = 6, x = — не удовлетворяет условию задачи.

При n = 7, x =.

Возраст младшего брата 7 лет и 2 месяца

Возраст старшего брата 14 лет 6 месяцев.

Ответ: возраст младшего брата 7 лет 2 месяца,

возраст старшего брата 14 лет 6 месяцев.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите уравнения: а) x + 2 [x] = 3,2; б) x3 — [x] = 3

2. Натуральные числа m и n взаимно просты и n

Или

3. Дано число x больше 1. Имеет ли равенство

Решите систему уравнений: x + [y] + (z) = 1,1

Y + [z] + (x) = 2.2

Z + [x] + (y) = 3,3.

4. Известно, что количество полных метров в ленте в 4 раза больше, чем количество неполных метров (т.е. сантиметров). Определите максимально возможную длину ленты.

Ответы на задачи для самостоятельного решения.

§1 2. а) xЄ d) x Є Z; y Є> (a), если a ≥ 1, (a) ≥ [a], если a

§2. 2.1 1), nЄ Z

3), n Z

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1. а) x = 1,2

Если (x) — дробная часть числа x, то [x] + (x) = x.

Тогда [x] + (x) + 2 [x] = 3,2. 3 [х] + (х) = 3,2. Поскольку 3 [x] — целое число, a 0 ≤ (x)

B) x =.

Индикация. [x] = x- (x), где 0 ≤ (x)

X 3 — x + (x) = 3, откуда 2 2 — 1) ≤ 3.

1. Первая сумма больше, чем второй по m — n.

1. Обязательно.

Индикация. Если [√] = n, то n4 ≤ x 4. Теперь легко

Докажите, что [√] = n.

1. (1; 0,2; 2,1)
2. 3м 75 см.

Библиография

1. Алексеева В., Ускова Н. Задачи, содержащие целую и дробную части числа // Математика. 1997. № 17. С.59-63.
2. Воронова А.Н. Уравнение с переменной под знаком целой или дробной части // Математика в школе. 2002. № 4. С. 58-60.
3. Воронова А.Н. Неравенства с переменной под знаком целой части // Математика в школе. 2002. № 2. С.56-59.
4. Е.В. Галкин Нестандартные задачи математики.Алгебра: Учебник. пособие для учащихся 7-11 классов Челябинск: «Взгляд», 2004.
5. Дополнительные главы в курсе математики 10 класса для факультативных занятий: Учебное пособие для учащихся / Сост. PER. Евнух. М .: Просвещение, 1979.
6. Еровенко В.А., Михаскова О.В. Методологический принцип О.В. Оккама на примере функций целой и дробной частей числа. 2003. № 3. С.58-66.

7. Кирзимов В. Решение уравнений и неравенств, содержащих целое число и

Дробная часть числа // Математика.2002. № 30. С. 26–28.

8. Шрайнер А.А. «Проблемы областных математических олимпиад

Новосибирская область». Новосибирск 2000.

9. Справочник «Математика», Москва «АСТ-ПРЕСС» 1997.

10. Рейхмист Р.Б. Графики функций. Задачи и упражнения ». Москва.

«Школа-пресс» 1997.

11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. и др. «Алгебра и начало анализа. 10

класс. Часть 2. Задача. Профильный уровень» Смоленск

«Мнемозина» 2007г.

y = b (bZ)

y = b (bZ)

Johann Gauss

Adrien Legendre

Функция [ x ] равна наибольшему целому числу больше x ( x — любое действительное число). Например:

Функция [ x ] имеет «точки останова»: для целых значений x она «резко меняется».

На рисунке 2 показан график этой функции, причем левый конец каждого из горизонтальных сегментов принадлежит графику (жирные точки), а правый конец — нет.

Попробуйте доказать, что если каноническое расширение числа n ! есть, то

Аналогичные формулы справедливы для

Зная это, легко определить, например, сколько нулей оканчивается числом 100! Действительно, пусть будет. Тогда

и

.

Отсюда 100! Делится на, т.е. оканчивается на двадцать четыре нуля.

Фигурки из кусочков квадрата

Полезное и увлекательное развлечение включает составление фигурок из семи кусочков квадрата, вырезанного в соответствии с рис.3, (а), а при составлении данных фигур должны быть использованы все семь фигур, причем они должны хотя бы частично накладываться друг на друга.

На рис. 4 показаны симметричные фигуры 1. Попробуйте сложить эти формы из частей квадрата, показанного на рис. 3, (а).

Из тех же рисунков можно добавить множество других фигур (например, изображения различных предметов, животных и т. Д.).

Менее распространенный вариант игры состоит в создании фигур из частей квадрата, показанного на рис.3, (б).

Магические квадраты

Магический квадрат « n 2 -квадрат « назовем квадрат деленный на n 2″ ячеек заполнены первыми n 2 натуральных чисел, так что суммы чисел в любой горизонтальной или вертикальной строке, а также на любой из диагоналей квадрата равны одному и тому же числу

Если только суммы чисел в любой горизонтальной или вертикальной строке такие же, то квадрат называют полумагическим.

Магический квадрат 4 2 назван в честь Дюрера, математика и художника 16 века, который изобразил квадрат на знаменитой картине «Меланхолия».

Между прочим, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514, дату написания картины.

Всего восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным отображением друг друга, показаны на рисунке; остальные шесть можно получить из этих квадратов, повернув их вокруг центра на 90 °, 180 °, 270 °

2.Полностью изучить вопрос о магических квадратах при n = 3

несложно. Действительно, S 3 = 15, а способов представить число 15 в виде суммы разных чисел (от одного до девяти) всего восемь. :

15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 2 + 5 + 8 = 2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8 = 3 + 5 + 7 = 4 + 5 +6

Обратите внимание, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в два, и каждое из чисел 2, 4, 6, 8 входит в три указанные суммы, и только 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехячеечных рядов: три горизонтальных, три вертикальных и два диагональных — три проходят через каждую из угловых ячеек квадрата, четыре — через центральную ячейку и по два ряда — через каждую из оставшихся ячеек. .Следовательно, цифра 5 обязательно должна находиться в центральной ячейке, цифры 2, 4, 6, 8 — в угловых ячейках, а цифры 1, 3, 7, 9 — в остальных ячейках квадрата.

Издательство «Школьник»

Волгоград, 2003
Доморяд А.П.

BBK 22.1y2ya72

Доморяд Александр Петрович

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.№

Тех. редактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сешейко Л.О.

Подарено набору 26.09.2003. Подписано в печать 14.12.2003. Формат 84x 108 ¼. Физические печатные листы. 8,375. Условная печать. 13,74. Учебно-издательский дом 12.82. Тираж 200 000 экз. Заказ № 979. Стоимость книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения: Избранные. — Волгоград: ВГПУ, 2003.-20 с.

В книге представлены избранные задачи из монографии А.П. Доморяда. «Математические игры и развлечения», изданный в 1961 году Государственным издательством физико-математической литературы в Москве.

ISBN 5-09-001292-X BBK22.1ya2ya72

© ИД «ВСПУ», 2003

Предисловие 6

Определение целевого числа по трем таблицам 7

8

Сложение и вычитание вместо умножения 11

Функция [x] (целая часть x) 12

Фигуры из квадратов 14

Магические квадраты 16

Приложение 17

Предисловие

Из различных материалов, Объединенные разными авторами под общим названием математические игры и развлечения, можно выделить несколько групп «классических развлечений», давно привлекающих внимание математиков:

1. 
   Развлечения, связанные с поиском оригинальных решений задач, позволяющих решать практически неисчерпаемый набор решений; обычно заинтересованы в установлении количества решений, разработке методов, дающих большие группы решений, или в решениях, удовлетворяющих некоторым особым требованиям.
2. 
   Математические игры, то есть игры, в которых два «хода», играемых бок о бок, выполняемые поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, и в любой начальной позиции можно заранее определить победителя и указать, как — любыми ходами соперника — он может добиться победы.
3. 
   «Игры одного человека», т.е. развлечение, в котором с помощью серии операций, выполняемых одним игроком в соответствии с этими правилами, необходимо достичь определенной, заранее определенной цели; здесь их интересуют условия, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее количество ходов, необходимых для ее достижения.

Большая часть этой книги посвящена классическим играм и развлечениям.

Каждый может попробовать, проявив настойчивость и смекалку, чтобы получить интересные (свои!) Результаты.

Если такие классические развлечения, как, например, рисование «магических квадратов», могут понравиться относительно узкому кругу людей, то составление, например, симметричных фигур из деталей вырезанного квадрата, поиск числовых курьезов и т. д., не требуя какой-либо математической подготовки, могут понравиться как любителям, так и не любителям математики.То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в размере 9-11 классов общеобразовательной школы.

Многие развлечения и даже индивидуальные задания могут предложить темы для самостоятельного изучения любителям математики.

В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в ​​объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы — даже ученикам 5-8 классов.

Многие абзацы могут использоваться учителями математики для организации внеклассных занятий.

1. 
   Разные категории читателей могут использовать эту книгу по-разному: люди, не увлекающиеся математикой, могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, цифр и т. Д., Не вникая в обоснование игр и развлечений, взяв на себя вера в отдельные высказывания; Любителям математики рекомендуется изучать отдельные отрывки из книги карандашом и бумагой, решая предложенные задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления.

Определение предполагаемого числа по трем таблицам

Разместив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцать чисел в каждой, во второй — в четырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьем — пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см. рис.1) легко быстро определить придуманное кем-то число N (N≤60), если числа α, β, γ столбцов, содержащих задуманное число в 1-й, 2-й и 3-й таблицах: N будет точно остатком от деления числа 40α + 45β + 36γ на 60 или, другими словами, N будет точно меньше положительного числа, сопоставимого к сумме (40α + 45β + 36γ) по модулю 60.Например, для α = 3, β = 2, γ = 1:

40α + 45β + 36γ≡0 + 30 + 36≡6 (mod60), т.е. N = 6.

I	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

I		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
I	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Аналогичный вопрос может быть решен для чисел до 420, помещенных в четыре таблицы с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если это номера столбцов, в которых находится предполагаемое число, то оно равно остатку деления числа 280α + 105β + 336γ + 120δ на 420.

Ленточный червь

363336

363336

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556 905
414441	424442	434443	444444	454445	464446	464446
313331	323332	333333	343334	353335
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

Игра под названием солитер выполняется на доске с тридцатью тремя ячейками.Такую доску легко получить, накрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.
Полезное и увлекательное развлечение включает составление фигур из семи частей квадрата, вырезанного в соответствии с рис. 3, (а), причем при составлении данных фигур должны использоваться все семь частей, причем они должны перекрываться, хотя бы частично, друг на друга.

На рис. 4 показаны симметричные фигуры 1. Попробуйте сложить эти формы из частей квадрата, показанного на рис. 3, (а).

(а) (б)
Рис.3

Рисунок: 4
Многие другие рисунки могут быть добавлены из тех же рисунков (например, изображения различных предметов, животных и т. Д.).

Менее распространенный вариант игры состоит в создании фигур из частей квадрата, показанного на рис. 3, (b).

Магические квадраты

Магический квадрат « n 2 -квадрат « назовем квадрат деленный на n 2″ ячеек заполнены первыми n 2 натуральных чисел, так что суммы чисел в любой горизонтальной или вертикальной строке, а также на любой из диагоналей квадрата равны одному и тому же числу

Если только суммы чисел в любой горизонтальной или вертикальной строке являются Так же, тогда квадрат называют полумагическим.

, математик и художник 16 века, изобразивший квадрат на знаменитой картине «Меланхолия».

Между прочим, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514, дату написания картины.
Всего восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным отображением друг друга, показаны на рисунке; остальные шесть можно получить из этих квадратов, повернув их вокруг центра на 90 °, 180 °, 270 °

2.Полностью изучить вопрос о магических квадратах при n = 3

несложно. Действительно, S 3 = 15, а способов представить число 15 в виде суммы разных чисел (от одного до девяти) всего восемь. :

15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 2 + 5 + 8 = 2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8 = 3 + 5 + 7 = 4 + 5 +6

Обратите внимание, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в два, и каждое из чисел 2, 4, 6, 8 входит в три указанные суммы, и только 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехячеечных рядов: три горизонтальных, три вертикальных и два диагональных, три проходят через каждую из угловых ячеек квадрата, четыре — через центральную ячейку и два ряда — через каждую из оставшихся ячеек. .Следовательно, цифра 5 обязательно должна находиться в центральной ячейке, цифры 2, 4, 6, 8 — в угловых ячейках, а цифры 1, 3, 7, 9 — в остальных ячейках квадрата. 15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 2 + 5 + 8 = 2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8 = 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 6.

Обратите внимание, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в два, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 входит в три указанные суммы, и только число 5 входит в четыре суммы.С другой стороны, из восьми трехячеечных рядов: три горизонтальных, три вертикальных и два диагональных — три проходят через каждую из угловых ячеек квадрата, четыре — через центральную ячейку и по два ряда — через каждую из оставшихся ячеек. . Поэтому цифра 5 обязательно должна находиться в центральной ячейке, цифры 2, 4, 6, 8 — в угловых ячейках, а цифры 1, 3, 7.9 — в остальных ячейках квадрата.

Удивительные встречи с занимательной математикой

Интересный набор заданий

Красивое лицо царицы наук МАТЕМАТИКИ

1 Рисунки позаимствованы у В.И. Обреимов «Тройной пазл»

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

---

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie.Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie.Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

---

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

---

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

JewishGen: Страница не найдена

Ошибка: запрошенная вами страница, « https://kehilalinks.jewishgen.org/bar/book-history/bar%20-%20history%20through%20the%20prism%20of%20time%20-%202019%20-%20kupershteyn.pdf », не существует на этом сервере (kehilalinks.jewishgen.org). Если этот запрос направлен через , нажав ссылку на веб-странице , обратите внимание на URL ссылающегося исходного документа что привело вас сюда (), и заполните форму внизу этой страницы, сообщив нам URL-адреса страниц, с которых вы приходили и пытались перейти, так что проблема может быть исправлена. Исходный URL: (Веб-страница, на которой вы были, когда щелкнули): <> Целевой URL: (Веб-страница, на которую вы пытались перейти): Если этот запрос через URL, который вы ввели вручную , пожалуйста, внимательно проверьте орфографию. Почти все ошибки типа «Страница не найдена» возникают из-за опечаток. Если проблема не исчезла, а URL-адрес, который вы вводите, взято из печатного источника, заполните форму внизу этой страницы, сообщив нам напечатанный URL и точно где вы его нашли, чтобы мы могли уведомить издателя, и помочь вам найти правильный URL. В любом случае всегда можно найти ту страницу, на которой ищу на сайте JewishGen: идет на домашнюю страницу JewishGen и следуя иерархическим ссылкам оттуда, или с использованием JewishGen’s поисковая система по сайту. Сообщить о неработающей ссылке: Последнее обновление 25 мая 2013 г. WSB

Руководство по решениям алгебры в домашних условиях для Гарольда Джейкобса

Описание

Математика для понимания

Jacobs ’ Elementary Algebra (Algebra 1) использует ясный, разговорный и увлекательный подход к обучению вашего ученика алгебре посредством практического применения в реальной жизни! Джейкобс направляет ваших учеников через алгебру, позволяя им открывать для себя концепции и развивать глубокое понимание их практического применения.

Sol Руководство по эксплуатации

Руководство по решениям элементарной алгебры расширяет понимание учащимся основных процессов и предоставляет полные решения для наборов упражнений I, II, III и IV, чтобы показать взаимосвязь основных понятий и алгебраических формул.

Elementary Algebra Solutions Manual Содержит:

• Полные решения наборов задач I, II, III и IV
• Решения для разделов окончательной проверки

Для прохождения курса также понадобятся:

Учебник

Учебник для учащихся по элементарной алгебре: Этот учебник для учащихся входит в наш самый продаваемый пакет учебных программ по алгебре, «Элементарная алгебра Джейкобса».

• Полноцветные иллюстрации
• 17 разделов, охватывающих функции и графики, целые числа, рациональные числа, показатели степени, многочлены, факторинг, дроби и многое другое.
• Набор упражнений II, приведенный в конце текста
• Гибкость в зависимости от направленности и интенсивности курса
В упражнениях
• набора I рассматриваются идеи и концепции из предыдущих уроков, чтобы обеспечить постоянное применение материала.
Упражнения
• Set II позволяют студенту применить материал нового урока
• Упражнения из набора III (предоставленные в Руководстве для учителя) служат важной практикой для материала, усвоенного в новом уроке.
• Упражнения из набора IV бросают вызов отличным ученикам, и их также можно использовать для получения дополнительного кредита

Master Books Руководство для учителя

Руководство для учителя элементарной алгебры Включает:

• • Удобный предлагаемый распорядок дня
  • Комплект III Рабочие листы для дополнительной практики студентов
  • Тесты (глава, промежуточный экзамен, заключительный экзамен и альтернативные версии тестов)
  • Решения для испытаний
  • Практичные перфорированные страницы с 3 отверстиями для простоты использования

Видео

Видеоинструкция содержит: Проведите своего ученика через Элементарную алгебру Джейкобса с доктором Дж.Обучающие видео Каллахана! Видео-инструкция проведет вашего ученика по тексту Элементарная алгебра с видео-уроками по каждой теме и пошаговыми примерами.

Бесплатная поддержка домашних заданий!

Учебный DVD доктора Каллахана поставляется с БЕСПЛАТНОЙ поддержкой по электронной почте от AskDrCallahan, что делает этот курс идеальным решением для родителей и учеников, которые хотят изучать геометрию во время подготовки к ACT, SAT и будущим курсам математики.

• • • Примерно 6 часов содержания
    • Доктор.Каллахан выбрал домашнее задание
    • Бесплатное домашнее задание Помощь по электронной почте от AskDrCallahan
    • Ссылки на наше руководство для учителя в формате PDF с учебной программой и видео

Калькулятор

Научный калькулятор: Обычно мы используем TI-30, но иногда заменяем его эквивалентом, например Casio. Этот калькулятор разрешен на ACT. Его можно использовать на протяжении всей академической карьеры вашего студента и в колледже.

AskDrCallahan Руководство для учителя

Руководство для учителя от AskDrCallahan: Вам не нужно покупать это руководство отдельно, если у вас есть онлайн-видеокурс. Это руководство включено в ваш онлайн-доступ. Руководство для учителя алгебры AskDrCallahan доступно для скачивания в формате PDF:

• • • руководство по оценке результатов теста
    • программа
    • Доктор Каллахан выбрал домашнее задание
    • Инструкция по просмотру видеоинструкции

Общие вопросы

Другие особенности курса:

• Может использоваться как самостоятельными учениками, так и учителями и студентами
• Рекомендовано для: 9 класс / 1 балл

Примеры видео с курса

(PDF) Алгебра для решения задач Юлиуса Фрейлиха Скачать книгу

10 июня, · Программа решения проблем REA по алгебре и тригонометрии Каждая программа по решению проблем представляет собой содержательное и важное руководство по изучению и решению, наполненное ясными и краткими жемчужинами по решению проблем.Ответы на все ваши вопросы можно найти в одном удобном источнике из одного из / 5 (14).

Учебная программа по математике «Искусство решения задач» предназначена для выдающихся учеников-математиков в классах. Наши тексты предлагают более широкое, более глубокое и сложное обучение, чем другие учебные программы. Наша программа начальной школы Beast Academy охватывает 2–5 классы. Эта книга используется в наших курсах «Введение в алгебру A» и «Введение в алгебру B».

Обзор. Изучите основы алгебры у бывшего победителя математической олимпиады в США и основателя Art of Problem Solving Ричарда Рушика.Темы, затронутые в книге, включают линейные уравнения, отношения, квадратные уравнения, специальные факторизации, комплексные числа Автор: Ричард Рушик.

13 октября · Глупый я. Я не знаю, может быть, именно название «Рабочая тетрадь по решению проблем» заставило меня поверить в это. Как бы то ни было, это просто больше задач по алгебре. Я купил: Учебное пособие по решению задач по алгебре Холта 1, алгебру Холта 1: Техасское издание и по алгебре Холта 1, Блокнот для обучения 9 классам и тетрадь для домашних заданий / 5 (12).

Бесплатная программа для решения математических задач отвечает на вопросы домашнего задания по алгебре с пошаговыми пояснениями. Mathway. Посетите Mathway в Интернете. Скачать бесплатно в Google Play. Не могли бы вы прислать изображение проблемы, которую вы видите в своей книге или домашнем задании.

Если вы нажмете «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», вы увидите, что шаги теперь пронумерованы. В этой высокоэффективной страничной книге представлены конкретные стратегии решения распространенных типов задач алгебры со словами.

Каждый урок включает в себя множество практических задач, и есть.Пошаговые решения всех ваших домашних заданий по алгебре — бесплатные пошаговые решения Slader на все ваши вопросы Решение одношаговых уравнений Решение двухэтапных уравнений Решение многоступенчатых уравнений Решение уравнений с переменными с обеих сторон Решение Дона ‘ не вижу твою книгу.

Поиск по ISBN. Спасибо. Надеемся добавить. В качестве сборника задач я бы порекомендовал: Упражнения по алгебре: сборник упражнений по алгебре, линейной алгебре и геометрии (Алгебра, логика и приложения, том 6).Ищите старые экзамены по алгебре и старые экзамены.

Не могу, если вы изучаете абстрактную алгебру. Как пользоваться калькулятором. Введите свою задачу по алгебре в текстовое поле. Например, введите 3x + 2 = 14 в текстовое поле, чтобы получить пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = Попробуйте этот пример прямо сейчас! ».

Изучите основы алгебры у бывшего победителя математической олимпиады в США и основателя Art of Problem Solving Ричарда Рушика. Темы, затронутые в книге, включают линейные уравнения, отношения, квадратные уравнения, специальные факторизации, комплексные числа, построение графиков линейных и квадратных уравнений, линейные и квадратичные неравенства, функции, многочлены, показатели и логарифмы, / 5.

pdfspeedy.icu предлагает полезные ответы по структуре алгебры Макдугала Литтеля и методам решения задач 1, неравенствам, сложению и вычитанию дробей и другим предметным областям математики. Если вам нужно получить руководство по заполнению квадрата, а также по тригонометрии, pdfspeedy.icu окажется отличным местом для посещения.

23 октября · Решение задач с помощью алгебры. 23 октября, Дрю Лэннинг. Использование алгебры для решения словесных задач — очень мощное приложение математики.К сожалению, многие студенты не чувствуют себя комфортно в алгебре для решения задач, в книге — в алгебре для решения реальных задач, даже если они чувствуют себя комфортно со своими навыками алгебры.

Очень легко забронировать и отменить. Решение словесных задач по алгебре полезно для решения земных задач. Хотя ниже перечислены 5 шагов решения проблемы алгебры, следующее поможет вам узнать, как сначала определить проблему.

pdfspeedy.icu предоставляет важные сведения об онлайн-калькуляторе Algebra 2 Online Calculator, термины и графики линейных уравнений и другие предметы алгебры.Если вам нужна помощь в построении графиков линейных неравенств или, возможно, в научных обозначениях, pdfspeedy.icu станет отличным местом для изучения.

12 октября · В этом посте мы увидим книгу «Решение задач алгебры и тригонометрии» — В. Литвиненко, А. Мордкович. О книге: Учебное пособие предназначено для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. Алгебра 1 IXL предлагает сотни навыков Алгебры 1 для изучения и изучения.

Не уверен, с чего начать.Перейдите на свою персональную стену с рекомендациями и выберите навык, который вам интересен! IXL предлагает сотни навыков Алгебры 1 для изучения и изучения. Преалгебра: практический пошаговый подход. Гэри С. Голдман, доктор философии. Посвящается моему 5. Я пропустил практически все задачи и не мог перестать сосредотачиваться на большой букве «F» в верхней части моего теста.

Я был близок к слезам, но был слишком смущен. И в этой книге я попытаюсь вычислить. Имея дело с простыми алгебраическими выражениями, вам не всегда нужна алгебра для их решения.

В следующих практических вопросах предлагается использовать три различных метода: изучение, переписывание проблемы и угадывание и проверка. Практические вопросы В следующих вопросах решите для каждого случая x, просто глядя на уравнение.

18 — х []. Это характерно личный процесс, и такие лучшие учителя, несомненно, оставили свой личный след в учениках и читателях.

Александр Сойфер — учитель решения проблем, и его книга «Математика как решение проблем» предназначена для ознакомления следующего поколения с решением проблем.- Сесил Руссо. Американский математический ежемесячный бренд: Springer-Verlag New York.

О книге. My Math GPS: Elementary Algebra Guided Problem Solving — это учебник, который соответствует целям изучения элементарной алгебры CUNY, которые проверяются на выпускном экзамене CUNY по элементарной алгебре (CEAFE).

Эта книга контекстуализирует арифметические навыки в содержании элементарной алгебры с использованием методики решения задач. 5/5 (1). В Coolmath Algebra есть сотни действительно простых уроков и примеров.Алгебра 1, алгебра 2 и алгебра предвычисления. Алгебра в классном формате pdfspeedy.icu: Сотни бесплатных материалов по алгебре 1.

Пошаговые решения всех ваших домашних заданий по алгебре 2 — бесплатные пошаговые решения Slader на все ваши вопросы. Графическое отображение рациональных функций. Умножение и деление рациональных функций. Сложение и вычитание рациональных функций. Решение рациональных уравнений. Мы надеемся добавить вашу книгу. скоро.

Убрать рекламу. Обновитесь до. Pdf Pass Домашнее задание и Рабочая тетрадь по решению проблем i_0iv_CAG5FM_indd i0i_0iv_CAG5FM_indd i 44/2/08 PM / 14.08.Моя математика GPS: элементарная алгебра. Решение проблем под руководством Корника, Гая и Пури. Версия. Линейные уравнения и неравенства GPS 1: Понимание линейных уравнений Когда мы думаем об уравнениях, мы обычно думаем о числах, переменных и символах.

2𝑥𝑥 + 9 = 4𝑥𝑥 + 3 Автор: Джонатан Корник, Дж. Майкл Гай, Каран Пури. Узнайте, как решать широкий спектр задач по алгебре со словами с кристально ясными объяснениями. pdfspeedy.icu Трудные задачи по алгебре. Стратегии решения математических задач.

Проблемы со смесью слов.Мраморная задача и алгебра Пока нет оценок Есть два мешка. Каждый мешок содержит неизвестное количество шариков. Примечание. Цитаты основаны на справочных стандартах. Однако правила форматирования могут сильно различаться в зависимости от приложения и области интересов или исследования.

Должны применяться особые требования или предпочтения рецензирующего издателя, классного учителя, учреждения или организации. Переменные в алгебре. Порядок операций и степеней. Уравнения и неравенства. План решения проблем с использованием таблиц и графиков моделей: изучение данных и статистики. Введение в функции.

30 декабря · Я получил две бесплатные книги AoPS от National MATHCOUNTS в «Они были исчислении» и руководство по его решению. Перед соревнованием у нас было время встретиться и поприветствовать представителей математического мира, двое из которых были Ричард Рушик и Дэйв Патрик.

Двое моих мальчиков изучают математику по программе «Искусство решения задач». Мой старший начинал с Предалгебры «Искусство решения проблем», а сейчас он использует «Введение в алгебру». Мой младший сын начал заниматься преалгеброй «Искусство решения задач» в этом учебном году, но тратит на это время только три дня в неделю.

В последнее время он читает книги по математике, такие как «Убийственная математика» или «Числовой дьявол». pdfspeedy.icu: Холт Макдугал Алгебра 1: Практическое пособие по решению проблем () от HOLT MCDOUGAL и большой выбор аналогичных новых, бывших в употреблении цен. Диапазон: $ — $ путает проблему вроде — 3-8 с — 3 (- 8).

Вторая проблема — это проблема умножения, потому что между 3 и круглой скобкой нет ничего. Если между частями нет операции, то мы предполагаем, что это означает, что мы умножаем.- 3. Захватывающие иллюстрации в стиле комиксов заставляют детей возвращаться за новыми впечатлениями, даже когда они решают одни из самых сложных математических задач, доступных где бы то ни было.

Вы хотите, чтобы ваш ребенок воспринял математику как инструмент решения проблем, который он будет использовать до конца своей жизни. Академия Зверей доставит их туда. 11 декабря · Вот 10 задач по алгебре базового уровня, которые вы можете использовать в своих классах.

Они разработаны, чтобы попытаться поддержать новый GCSE. GCSE Foundation — Буклет вопросов по алгебре.Отзывы клиентов. Автор: Автор: pencho. Предварительный просмотр. Алгебра — Карточки для решения проблем — от 1 до 10 — Новый GCSE — v Сообщить о проблеме / 5 ().

Основанная на педагогически успешном подходе к решению задач линейной алгебры, эта работа заполняет пробел в литературе, которая резко разделена между, с одной стороны, элементарными текстами, содержащими лишь ограниченные упражнения и примеры, и, с другой стороны, книгами. слишком продвинутые в предпосылках и тоже.

Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.Пример 3. Целое равно сумме частей. Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа. Решение. В этой задаче нас просят найти два числа.

Следовательно, мы должны позволить x. 07 сентября, · Ура Математика в Studio представляет собой задачу из одного слова, с которой постоянно сталкиваются студенты по всему миру.

Удовольствие от этой проблемы — найти способы ее решить. pdfspeedy.icu содержит полезную информацию о книге по алгебре изюминки, ответы на вопросы, графики, экспоненциальные, логарифмические и другие математические темы.Если вам нужна помощь по уравнениям с двумя переменными или, возможно, квадратичным функциям, pdfspeedy.icu всегда лучший сайт для проверки.

QuickMath позволяет студентам мгновенно находить решения всех видов математических задач, от алгебры и решения уравнений до исчислений и матриц. Набор из 2 книг AoPS по алгебре: искусство решения задач Введение в учебник по алгебре и руководство по решениям Набор из 2 книг: изучение основ алгебры у бывшего победителя математической олимпиады в США и основателя Art of Problem Solving Ричарда Рушика.

Темы, затронутые в книге, включают линейные уравнения, отношения. Изучите основы алгебры у бывшего победителя математической олимпиады в США и основателя Art of Problem Solving Ричарда Рушика. Темы, затронутые в книге, включают линейные уравнения, отношения, квадратные уравнения, специальные факторизации, комплексные числа, построение графиков линейных и квадратных уравнений, линейные и квадратичные неравенства, функции, полиномы, показатели и логарифмы, абсолютные значения.

Вместо этого книга постепенно развивает у студентов алгебраические навыки и методы.Эта работа направлена ​​на то, чтобы расширить представление учащихся о математике и лучше подготовить их к возможному участию в различных математических олимпиадах.

Он обеспечивает углубленное обогащение важных областей алгебры путем реорганизации и улучшения навыков решения задач учащимися. Примеры задач по промежуточной алгебре Примеры задач находятся по ссылкам в столбце «Примеры задач», а соответствующий обзорный материал находится в разделе « Понятия »колонка.

Новые задачи выдаются каждый раз при переходе по ссылкам с проблемами.Это автономный учебник с открытыми образовательными ресурсами (ООР) по алгебре в колледже. Учащиеся могут использовать книгу для изучения концепций и самостоятельной работы с книгой. Преподаватели могут адаптировать книгу для использования в любом курсе алгебры колледжа, чтобы облегчить активное обучение путем решения задач.

Дополнительные ресурсы, такие как контрольные работы в классе и домашние задания онлайн / распечатать, доступны на pdfspeedy.icu: Даниэль Чифоне, Каран Пури, Дебра Маскланко, Эва Дабковска.

Графическое решение систем линейных неравенств.Графическое решение неравенств

Пусть будет f (x, y) и g (x, y) — два выражения с переменными x и на и область видимости X . Тогда неравенства вида f (x, y) > g (x, y) или f (x, y) g (x, y) называют неравенством с двумя переменными .

Значение переменных x, y из множества X , в которых неравенство превращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство — значит найти много таких пар.

Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства сопоставить точку M (x, y) , мы получим множество точек на плоскости, определяемых этим неравенством. Он назвал график этого неравенства . График неравенства обычно представляет собой область на плоскости.

Чтобы изобразить множество решений неравенства f (x, y) > g (x, y) , действуйте следующим образом.Сначала замените знак неравенства знаком равенства и найдите строку, имеющую уравнение f (x, y) = g (x, y) . Эта линия делит самолет на несколько частей. После этого достаточно взять по одной точке в каждой части и проверить, выполняется ли неравенство f (x, y) > g (x, y) . Если он выполняется в этой точке, то он будет выполнен во всей части, где находится эта точка. Комбинируя такие детали, мы получаем множество решений.

Задача. y > x .

Решение. Сначала мы заменяем знак неравенства знаком равенства и строим линию в прямоугольной системе координат, имеющую уравнение y = x .

Эта линия делит плоскость на две части. После этого берем по одной точке в каждой части и проверяем, выполняется ли неравенство y > x .

Задача. Решите графически неравенство
x 2 + при 2 25 фунтов стерлингов.

Решение. Сначала замените знак неравенства знаком равенства и проведите линию x 2 + при 2 = 25. Это круг с центром в начале координат и радиусом 5. Получившийся круг делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства x 2 + при 2 £ 25 в каждой части, мы видим, что график представляет собой набор точек круга и часть плоскости внутри круга.

Пусть даны два неравенства f 1 (x, y) > g 1 (x, y) и f 2 (x, y) > g 2 (x, у) .

Системы множеств неравенств с двумя переменными

Система неравенств представляет на себя совокупность этих неравенств. Системное решение означает (x, y) , что превращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений система неравенств — это пересечение множеств решений неравенств, образующих эту систему.

Множество неравенств представляет сам дизъюнкция этих неравенства. Совокупность решений означает (x, y) , что превращается в истинное числовое неравенство по крайней мере одно из неравенств в целом. Множество решений агрегат — это совокупность множеств решений неравенств, составляющих совокупность.

Задача. Решите систему неравенств графически

Решение. y = x и x 2 + при 2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.

Графом системы будет набор точек на плоскости, являющихся пересечением (двойной штриховкой) множеств решений первого и второго неравенств.

Задача. Решите графически набор неравенств

Решение. Сначала заменяем знак неравенства на знак равенства и проводим линии в одной системе координат y = x + 4 и x 2 + при 2 = 16. Решаем каждое неравенство совокупности. Граф множеств будет множеством точек на плоскости, которые представляют собой объединение множеств решений первого и второго неравенств.

Упражнения своими руками

1. Решите графически неравенства: а) при > 2 x ; б) при x + 3;

дюйм) x 2 + y 2> 9; г) x 2 + y 2 £ 4.

2. Решите графически систему неравенств:

а) в)

Система состоит из неравенств по двум переменным:

Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выпишите уравнение, соответствующее этому неравенству.

2. Постройте линии, которые представляют собой графики функций, определяемых уравнениями.

3. Для каждой прямой определите полуплоскость, которая определяется неравенством. Для этого возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой, подставим ее координаты в неравенство.если неравенство верно, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, является решением исходного неравенства. Если неравенство неверно, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений этого неравенства.

4. Для решения системы неравенств необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместима.В противном случае говорят, что система совместима. Решения могут быть как конечным, так и бесконечным числом. Область может быть замкнутым многоугольником или может быть неограниченной.

Пример 3 Решите систему графически:

Рассмотрим уравнения x + y — 1 = 0 и –2x — 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам. Построим линии, определяемые этими уравнениями (рис. 3).

Рисунок 3 — Изображение линий

Определим полуплоскости, определяемые неравенствами.Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 ≤ 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 — 1 ≤ 0. Следовательно, в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y — 1 ≤ 0 , т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0) во вторую, получим: –2 ∙ 0 — 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x — 2y + 5≥ 0, и нас спросили, где –2x — 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости — в той, что над линией.

Найдите пересечение этих двух полуплоскостей. Линии параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, а значит, система неравенств данных не имеет решений, она несовместима.

Пример 4 Графически найти решения системы неравенств:

1. Записываем уравнения, соответствующие неравенствам, и строим прямые (рис. 4).

х + 2у– 2 = 0 х 2 0

у — х — 1 = 0 х 0 2

у + 2 = 0; у = –2.

Рисунок 4 — Изображение линий

2. Выбирая точку (0; 0), определяем признаки неравенств в полуплоскостях:

0 + 2 ∙ 0 — 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже линии;

0 — 0 — 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже линии;

0 + 2 = 2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости над линией.

3. Пересечение этих трех полуплоскостей будет областью треугольника.Вершины области легко найти как точки пересечения соответствующих прямых

Таким образом, A (–3; –2), B (0; 1), C (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором результирующая область решения системы неограничена.

Пример 5 Графическое решение системы

Записываем уравнения, соответствующие неравенствам, и строим прямые (рис. 5).

Рисунок 5 — Изображение линий

х + у — 1 = 0 х 0 1

у — х — 1 = 0 х 0 –1

Определяем знаки в полуплоскостях.Выберите точку (0; 0):

0 — 0 — 1 ≤ 0, т.е. y — x — 1 ≤ 0 ниже линии;

0 + 0 — 1 ≤ 0, т.е. x + y — 1 ≤ 0 ниже линии.

Пересечение двух полуплоскостей — это угол с вершиной в точке A (0; 1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.

§ 1 Алгоритм решения модульного линейного неравенства с использованием графиков

В этом уроке мы научимся строить графики модульной линейной функции, познакомимся с алгоритмом решения линейного модульного неравенства с использованием графиков и проанализируем примеры решения модульного линейного неравенства. неравенства в графическом виде.

Напомним аналитическое определение модуля: модуль a — это само число a, если оно неотрицательно, и противоположно a, если оно отрицательно.

Следовательно, модульная функция y = | х | будет кусочно-линейной функцией, так как ее составляющими являются две линейные функции y = x и y = -x, определенные на x ≥ 0 и x

Рассмотрим линейное модулярное неравенство | x- p | > q.

В этом неравенстве может быть не только больший, но и меньший знак, не больше и не меньше.

Решаем это неравенство графически. Для этого:

1. В одной системе координат построить графики функций y = | х — р | и y = q. График y = | x- p | — угол с вершиной в точке (p; 0) и сторонами y = x — p и y = -x + p, направленными вверх, так как перед модулем нет знака, что означает знак + . Если перед модулем стоит знак «-», то стороны угла должны быть направлены вниз.

2.Выберите часть графика, соответствующую знаку неравенства: в неравенстве

| x- p | > Знак q необходимо понимать еще, что точки графика модулярной функции y = | x- p | должен быть выше графика y = q. В этом случае и во всех строгих неравенствах точка пересечения графов не попадает в область решения. Нестрогие признаки неравенства предполагают включение точки пересечения графов в область решения модульного неравенства.

3. Решением исходного модульного неравенства являются все абсциссы точек, то есть значение x, выделенной области графика.

§ 2 Примеры решения модульных линейных неравенств графическим способом

Рассмотрим примеры решения модульных линейных неравенств с помощью графов.

ПРИМЕР 1. Решите неравенство | х + 3 | ≤ 5 с использованием графиков.

1 ступень. В одной системе координат строим графики функций y = | х + 3 | а у = 5.График модульной линейной функции — это угол с вершиной в точке (-3; 0) и сторонами y = x + 3 и y = -x — 3. График постоянной линейной функции y = 5 — прямая, параллельная оси абсцисс Ox и проходящая через точку (0; 5).

2 ступени. Неравенство больше не является признаком неравенства, это означает, что на графике нужно выделить точки пересечения графиков и ту часть угла, которая расположена ниже линии.

3 ступени.Определите решение неравенства. Для этого находим все абсциссы точек выделенной области графика. Получаем, что решением неравенства являются все значения x, которые принадлежат интервалу от -8 до 2 включительно. Ответ: -8 ≤ x ≤ 2.

ПРИМЕР 2. Решите неравенство | 5 — 2x | > — 3 с использованием графиков.

Приведем неравенство к виду | х — р | > q. Для этого разделим обе части неравенства на модуль -2.Получаем неравенство | х — 2,5 | > -1,5. Теперь, шаг за шагом, выполним действия алгоритма решения модульного неравенства графическим способом.

1 ступень. В одной системе координат строим графики функций y = | х — 2,5 | а у = -1,5. График модульной линейной функции — это угол с вершиной в точке (2,5; 0) и сторонами y = x — 2,5 и y = 2,5 — x, направленными вверх. График y = — 1,5 представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс Ox и проходящую через точку (0; — 1.5).

2 ступени. В неравенстве стоит больший знак, что означает, что на графике необходимо выделить ту часть угла, которая расположена над линией, за исключением точек пересечения графиков.

3 ступени. На чертеже видно, что точек пересечения графиков нет, а весь график модульной функции расположен над линией. Это значит, что все точки угла войдут в выделенную область решения неравенства.Таким образом, решение неравенства — любое действительное число. В математике это утверждение моделируется в виде символической записи: x принадлежит R. Ответ: x∊ R

ПРИМЕР 3. Решите неравенство — | 5x -10 |

Это неравенство можно решить двумя способами. Первый трюк: умножьте обе части неравенства на -1, не забывая при этом менять знак неравенства меньше на противоположный больше, а затем получившееся неравенство | 5x — 10 | > 17 решить на примере рассмотренных выше примеров.Второй прием: разделите обе части неравенства на модуль числа 5 и примените алгоритм решения модульного линейного неравенства вида | х — р |

1 ступень. В одной системе координат строим графики функций y = — | х — 2 | а у = — 3,4. График модульной линейной функции y = — | x- 2 | — угол с вершиной в точке (2; 0) и сторонами y = x — 2 и y = 2 — x, направленными вниз, так как знак минус стоит перед модулем.График постоянной линейной функции представляет собой прямую y = — 3,4.

2 ступени. На графике выбираем ту часть угла, которая находится ниже прямой, не считая точек пересечения графиков, так как в неравенстве стоит меньший знак.

3 ступени. Определите абсциссы точек выделенной части графика модульной линейной функции. Таким образом, решение исходного неравенства — два открытых луча меньше -1,4 и больше 5,4. Ответ: x ∊ (-∞; -1,4) ∪ (5,4; + ∞).

В этом уроке мы познакомились с алгоритмом решения модульных линейных неравенств с помощью графов и рассмотрели примеры решения модульных линейных неравенств графическим способом.

Список использованной литературы:

1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Учебник. (ГЭФ) 16-е издание, с поправками. — М .: Мнемозина, 2013.
.
2. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1. Проблемная книга.Издание 16-е, переработанное. — М .: Мнемозина, 2013.
.
3. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра. 9 класс. Методическое пособие для учителя. М .: Мнемозина, 2013.
.
4. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра. 9 класс. В 2-х частях. Часть 1 — учебник. (GEF) Учебник для классов с углубленным изучением математики. — М .: Мнемозина, 2014.
.
5. А.Г. Мордкович. Обучение алгебре. Методическое пособие для учителя. 8-9 класс. — М .: Мнемозина, 2014.
.

Пусть дано линейное неравенство с двумя переменными и

(1)

Если величины и рассматриваются как координаты плоской точки, то набор плоских точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), называется решением область этого неравенства.Следовательно, область решений неравенства (1) представляет собой полуплоскость с граничной прямой
.

Пример 1

.

Решение. Построение прямой
в двух точках, например, в точках пересечения с осями координат (0; 4) и (6; 0). Эта линия делит плоскость на две части, то есть на две полуплоскости. Возьмем любую точку на плоскости, не лежащую на построенной прямой. Если координаты точки удовлетворяют заданному неравенству, то область решений — это полуплоскость, в которой расположена эта точка.Если мы получим неправильное численное неравенство, то полуплоскость, которой эта точка не принадлежит, является областью решения. Обычно за контроль берется точка (0; 0).

Подставляем
и
в заданное неравенство. Получаем
. Следовательно, полуплоскость «к нулю» является областью решений этого неравенства (заштрихованная часть рис. 1).

Пример 2 Найдите полуплоскость, определяемую неравенством

.

Решение. Построение прямой
, например, в точках (0; 0) и (1; 3).Потому что, если линия проходит через начало координат, точку (0; 0), то вы не можете взять ее под контроль. Возьмем, например, точку (- 2; 0) и подставим ее координаты в данное неравенство. Получаем
. Это неправда. Это означает, что полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка (заштрихованная часть рис. 2), будет областью решений этого неравенства.

2. Область решений системы линейных неравенств.

Пример. Найдите область решения системы неравенств:

Решение.Находим область решений первого неравенства (рис. 1) и второго неравенства (рис. 2).

Все точки той части плоскости, на которую накладывается штриховка, будут удовлетворять как первому, так и второму неравенствам. Таким образом, получается область решений заданной системы неравенств (рис. 3).

Если к заданной системе неравенств
и
добавить условия, то область решений системы неравенств
будет располагаться только в I-координатном квартале (рис.4).

Принцип решения системы линейных неравенств не зависит от количества неравенств, входящих в систему.

Примечание : Область допустимых решений (ODR), если таковая существует, представляет собой замкнутый или незамкнутый выпуклый многоугольник.

3. Алгоритм графического метода решения zlp

Если задача линейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решить графически, выполнив следующие операции:

Пример. Решите задачу линейного программирования с помощью графического метода

max

Decision. Третье и четвертое ограничения системы — двойное неравенство; преобразуем их к форме, более привычной для таких задач
, это
и
, поэтому первое полученное неравенство
(или
) относится к условию неотрицательности, а второе
— к системе ограничений. Аналогично
это
и
.

т.О. Задача примет вид

max

,

Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, строим область допустимых решений по уравнениям прямых:

;
;
;
.

Область решений неравенств — пятиугольник Abcde .

Построить вектор
. Через начало координат перпендикулярно вектору проведите линию уровня.А затем переместим его параллельно себе по направлению вектора к точке выхода из диапазона возможных решений. Это будет точка ОТ . Координаты этой точки находим, решая систему, состоящую из уравнений первой и четвертой прямых:

.

Подставить координаты точки ИЗ в целевую функцию и найти ее максимальное значение
Пример. Строки уровня сборки
и
для задачи линейного программирования:

max ( мин. )

Решение. Диапазон возможных решений — открытая область (рис. 6). Линия уровня
проходит через точку IN . На этом этапе функция Z имеет минимум. Линию уровня
построить невозможно, так как нет точки выхода из области возможных решений, это означает, что
.

Задания для самостоятельной работы .

Найдите область решения системы неравенств:

a) b)

Решите задачу линейного программирования графически

мин

Создать экономико-математическую модель и решить задачу линейного программирования графически

Компания производит продукцию двух типов А и Б. Продукция каждого типа обрабатывается на двух машинах (I и II). Время обработки одного продукта каждого типа на станках, часы работы станков в смену, прибыль компании от продажи одного продукта типа A и типа B указаны в таблице:

Маркетинговые исследования показали, что суточный спрос на продукцию типа B никогда не превышает спрос на продукцию типа A более чем на 40 единиц, а спрос на продукцию типа A не превышает 90 единиц в день.