Что проходят по геометрии в 9 классе: Как понять Геометрию? Основы с нуля

Содержание

Как понять Геометрию? Основы с нуля

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.

Все эти фигуры обладают двумя свойствами:

  • симметрия
  • равенство или подобие составных частей.

Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.

У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.

Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).

Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.

Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.

Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.


Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.

 

Базовые геометрические объекты


Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.


Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).


 

Два варианта расположения точек относительно прямой:

 
  1. Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись
    A ∈ a
    (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

  2. Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Важно знать

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

 

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

 
  1. Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.

    Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩ , то есть a ∩ b (читают: прямая a пересекает прямую b).


  2. Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

    Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — ,
    то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:


Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

  • Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.
  • Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Комбинации простейших объектов

Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
 


Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.


Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
 

Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.


Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.

Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:

  • Если градусная мера угла меньше 90° — угол острый.
  • Если градусная мера угла равна 90° — угол прямой.
  • Если градусная мера угла больше 90°, но меньше 180° — угол тупой.
  • Если градусная мера угла равна 180° — угол развернутый.

Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.


А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.

Первый случай: все три прямые параллельны.


Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.


Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.


Треугольник

Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.


Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.


Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.


Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:

  • две стороны и угол между ними;
  • два угла и сторону;
  • три стороны.

Свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.

Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника

Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.

Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.


Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.

Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников звучит так:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны


ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и ∠A = ∠A1 (∠A лежит между сторонами AC и AB, а ∠A1 между A1C1 и A1B1).

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.


ΔABC = ΔA1B1C1, так как AB = A1B1,  ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


ΔABC = ΔA1B1C1, так как AC = A1C1, AB = A1B1 и BC = B1C1.

Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.

 

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Треугольники АВС и A1B1C1 будут подобны, если

∠ А = A1, ∠ В = B1, ∠ С = C1,


Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A1B1C1 подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA1B1C1.

Теорема о первом признаке подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.


Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.

На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.


Теорема о средней линии звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.


Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.


Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.


Свойства прямоугольного треугольника

 
  1. Теорема Пифагора: сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы


  2. Свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.


Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.


Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.


Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃


Четырехугольники

Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.


Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.


Взаимодействие объектов

Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.

Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.

На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.


Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:

  • Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
     
  • Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности.
     
  • Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.

На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.


В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.


Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила. 

Практическая сторона геометрии

Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.

Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.

А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.

Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.

Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.

Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.

Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.

Методическая разработка «Прикладные задачи по геометрии» 9 класс

 

 

 

 

 

Методическая разработка.

 

 

 Прикладные задачи геометрии.

 

 

 

 

 

 

Составитель:

Брызгалова Надежда Анатольевна

МБОУ СОШ №66

Г. Нижний Тагил, Свердловская область

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2021

ОГЛАВЛЕНИЕ:

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ .                                                                                                     3

 

Тренировочные задания по теме «Прикладные задачи геометрии».                4   

 

ПРИЛОЖЕНИЕ.                                                                                                6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Назначение КИМ ОГЭ — оценить уровень общеобразовательной подготовки по математике выпускников 9 классов общеобразовательных организаций.

КИМ разработаны с учетом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, то есть они должны овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности; научиться преобразованию знания и его применению в учебных и в не учебных ситуациях; сформировать качества, присущие математическому мышлению, а так же овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами. Представленная нами работа содержит задания из модуля «Реальная математика». В этом модуле работы содержится восемь заданий, отнесенных в соответствии с КТ к категории «Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, уметь строить и исследовать математические модели». Это задания, формулировка которых содержит практический контекст, знакомый обучающимся или близкий к их жизненному опыту. Одно из заданий (17) умеет применять геометрические

знания.

Работа состоит из 26 задач, различающихся условием и уровнем сложности согласно спецификации, имеющие код элемента 7.5 и проверяющие умения описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Цель работы: научить решать задачи практического характера по геометрии. Задачи:

•  обосновать актуальность решения задач практической направленности;

•  создать условия для самостоятельной работы учащихся;

•  научить анализировать задачу, формулировать вывод по ней.

Гипотеза: решение задач прикладного характера будут способствовать успешной сдаче ОГЭ.

Предложенные задания могут быть использованы для промежуточного

контроля при изучении геометрии в 8 классе и при подготовке к ОГЭ в 9

классе, когда учащиеся могли бы начать подготовку не после окончания курса геометрии, а непосредственно в процессе изучения этого курса.

 

 

 

 

 

Тренировочные задания по теме «Прикладные задачи геометрии», позволяющие формировать ключевые компетенции учащихся при

подготовке к ОГЭ.

1. От столба к палатке «Мороженое» натянут провод, длиной 13 м, (см.

рис.). Вычислите высоту столба, если расстояние от палатки до столба равно 12м.

 

 

 

 

 

2.     Определите ширину реки АА1 (см. рис.), если BC1 = 50 м, АВ = 18 м, ∠A = ∠Al. (Ответ дайте в метрах).

 

3.     Проектор полностью освещает экран А высотой 60 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными (см. рис.)

 

4.     Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 20 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной в 20 шагов. Определите высоту столба в метрах.

 

 

 

 

 

 

5.     Колесо имеет 12 спиц (см. рис.). Сколько осей симметрии имеет фрагмент, изображенный на рисунке?

6.     Колесо имеет 15 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

7.     Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спицами равны

8.     Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 4 часа?

9.     Площадь земельного участка, имеющего форму прямоугольника, равна 6 га, ширина участка равна 200 м. Найдите длину этого участка в метрах.

10. На стене в музее висит декоративная композиция в специальной раме, представляющей из себя равнобедренный треугольник, две стороны которого равны 50 см и 120 см. Определите длину третьей стороны (в см)

11. Из трёх брусьев равной длины сколотили треугольник, сбивая между собой концы брусьев. Найдите наименьший угол получившегося треугольника, Ответ дайте в градусах.

12. Во сколько раз увеличится площадь садового участка прямоугольной формы, если его длину увеличить в три раза, а ширину на 20%.

 

 

 

Приложение

Ответы и возможный вариант решения задач

1.     В ΔАВС ∠А = 900 , АС=12 м, ВС=13м. По теореме Пифагора имеем ВС2=АВ2 + АС2. Отсюда АВ2= ВС2-АС2=132-122=25, АВ=5м. Учитывая, что высота палатки З м, найдем высоту столба: 5 + З = 8 м. Ответ: 8

2.   На местности отметим точки А и В так, чтобы они находились на одной прямой с точкой А1. На берегу отметим точки С и С1 так, чтобы АС была параллельна А1С1.

Получим ΔАВС~ΔА1ВС1

     АА11В-АВ=60-18=42м.

     Ответ: 42

 

 

 

 

3.  Из рисунка ΔОАА1~ΔОВВ1, значит  ;  ; ОН1= 5·150=750см.

Высоты подобных треугольников (ОН и ОН1) относятся так же, как и стороны .

Ответ: 750

 

4.  Рассмотрим ΔАСD~ΔАВЕ,  ; AD=AE+ED=20+20=40;

 ; CD=2·1.8=3.6м

: 3.6

 

 

 

 

 

 

5.     Оси симметрии проходят как «по спицам», так и посередине между спицами. Всего 12 осей симметрии.

Ответ: 12

6.     Полный круг 3600, всего 15 секторов: значит 360: 15 = 240 между двумя соседними спицами. Ответ: 24

7.     Задача обратная предыдущей: 3600 : n = 360 , значит n = 10 спиц в колесе.

Ответ: 10

8.     Полный круг 3600, часовых делений 12. Значит 360º÷12·4=120ºпроходит часовая стрелка за 4 часа.

Ответ: 120

9.     6 га=60000 м2, Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину S = а • в, S = 60000 м2 , а = 200 м, тогда длина в = 60000 : 200 = 300 (м).

Ответ: 300

10. Возможны два случая: 50 см, 50 см и 120 см; 120 см, 120 см и 50 см. На основании теоремы о неравенстве треугольника имеем:

50 + 50 > 120 данное неравенство неверно, такой случай невозможен; 120 + 120 > 50 данное неравенство верно, значит третья неизвестная сторона 120 см. Ответ: 120

11. Так как длины сторон треугольника равны, то данный треугольник является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны, т.е. 1800 : З = 600.

Ответ: 60

12. Пусть длина садового участка х, а ширина у, тогда S = х·у. После увеличения длины в три раза, она будет — З•х. Ширину уменьшили на

20%, значит будет — 0,8 • у. Площадь нового участка: S1 = (3х) •(O,8y) = 2,4·x·y=2.4·S. В 2,4 раза увеличится площадь садового участка. Ответ: 2,4

13. Найдем площадь одной плитки: 20 • 40 = 800 см2 ; теперь найдем площадь всего пола 600•600=120000 см 2 . Чтобы узнать количество плиток нужно вторую площадь разделить на первую:

120000 : 800 = 150 (шт).

Ответ: 150

 

 

как подготовиться к промежуточной и итоговой аттестации по математике с 5 по 11 класс

В «Экстернате и домашней школе Фоксфорда» вы можете готовиться к аттестациям по математике с пятого по 11 класс вместе с преподавателями из МГУ, МФТИ, ВШЭ. Занятия базового уровня позволяют успешно сдавать промежуточные аттестации, также есть специальные курсы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Любители математики могут совершенствовать знания на углублённых и олимпиадных курсах. На онлайн-занятиях вы сможете напрямую задавать вопросы, а для повторения и закрепления материала полезно просматривать записи. 

Занятия — это фундамент, но порой для успешного освоения материала нужно что-то большее. Особенно если предмет не относится к разряду любимых. Мы собрали интересные способы подготовиться к аттестации по математике без заучивания. А также составили небольшой чек-лист знаний и умений для каждого класса, чтобы вы точно не забыли повторить всё, что нужно. 

5 класс 

Что нужно знать и уметь к промежуточной аттестации по математике

  • Складывать и вычитать двузначные числа и обыкновенные дроби в уме.
  • Умножать однозначные числа. 
  • Округлять натуральные числа.
  • Знать основные единицы длины, массы, времени, скорости, площади, объёма. 
  • Решать текстовые задачи. 
  • Изображать геометрические фигуры. 
  • Составлять таблицы, строить диаграммы.
  • Находить проценты. 

Способы подготовки к аттестации по математике в 5 классе

Математика — сложный предмет, и в ней бывают темы, которые никак не даются. В таком случае поможет игра.

Например, стать настоящим знатоком дробей поможет настольная игра «Делиссимо». В ней несколько уровней сложностей. Самый лёгкий для тех, кто ещё только знакомится с дробями: на этом этапе игроку нужно собирать кусочки пиццы, соотнося их друг с другом. Это поможет понять, что три четверти пиццы и одна четверть плюс половина — одно и то же. Позже добавляются карточки с дробями, и с их помощью можно потренировать умение складывать и вычитать дроби, приводить их к одному знаменателю. 

Чтобы поладить с задачами, нужно решать их каждый день, тогда математический текст перестанет быть для вас чем-то сложным. Каждая задача — интересная головоломка, в которой нужно разобраться. Чтобы процесс подготовки к аттестации по математике не наскучил, советуем найти действительно интересные задачки. Например, у Григория Остера есть целый юмористический задачник «Ненаглядное пособие по математике». 

<<Форма демодоступа>>

6 класс

Что нужно знать и уметь к промежуточной аттестации по математике

  • Представлять основные этапы развития математической науки.
  • Понимать математический текст, знать символы и термины.
  • Владеть натуральными числами.
  • Пользоваться системой координат, уметь располагать на ней точки.
  • Складывать, умножать и делить рациональные числа.
  • Умножать и делить дроби.
  • Решать задачи при помощи пропорции.
  • Знать основные законы и определения геометрии.
  • Считать длину и площадь круга. 

Способы подготовки к аттестации по математике в 6 классе

В шестом классе материала очень много, и к аттестации что-то может забыться. Быстро повторить основные этапы развития математики можно при помощи образовательного сериала «Нарисованные и100рии». Истории математики посвящена одна серия: в виде комиксов она рассказывает, как математика помогала в древности и чем занимался Пифагор. 

В курс математики шестого класса входит раздел простейшей геометрии. Здесь очень важно освоить основные термины. Разобраться и подготовиться к промежуточной аттестации поможет карточная настольная игра «Геометрика», а также дополнение к ней «Геометрика Extra» — для тех, кого не пугают сложные задания. Играть нужно картами: на одних фигуры, на других условия и признаки. Условий несколько, их можно менять в зависимости от уровня подготовки. 

7 класс

Что нужно знать и уметь к

промежуточной аттестации по математике
  • Уметь определять линейную функцию.
  • Знать, что такое степень, и производить с ней различные действия.
  • Проводить арифметические операции над одночленами и многочленами.
  • Решать квадратичную функцию.
  • Владеть всеми начальными геометрическими сведениями.
  • Знать признаки треугольников и решать задачи с их помощью.
  • Уметь находить сумму углов треугольника.
  • Строить различные треугольники. 

Способы подготовки к аттестации по математике в 7 классе

Главное в математике — это  не выучить, а понять правило и научиться его использовать. Именно это вы и должны продемонстрировать на промежуточной аттестации. 

Например, трудности могут вызвать степени, и разобраться с ними снова помогут игры. Потренировать степени числа 2 можно при помощи популярной игры «2048». Нужно передвигать по игровому полю фишки, на которых написаны различные степени числа 2. Две одинаковые фишки образуют следующую степень. Цель игры — получить число 2048, то есть 2 в 11 степени. Сделать это не так просто, как кажется. 

Источник: 4stor.ru

8 класс

Что нужно знать и уметь к промежуточной аттестации по математике

  • Уметь совершать различные действия с алгебраическими дробями и решать их через функции.
  • Понимать определение квадратного корня, уметь его извлекать.
  • Применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления числовых выражений.
  • Решать квадратные уравнения, владеть терминологией; знать формулы Виета.
  • Применять свойства неравенств; решать линейные неравенства и их системы.
  • Находить площади фигур; знать Теорему Пифагора.
  • Знать все четырёхугольники и владеть действиями с ними.
  • Знать признаки подобия треугольников.
  • Понимать окружность.

Способы подготовки к аттестации по математике в 8 классе

По геометрии в восьмом классе проходят очень много фигур и правил. Легко и с интересом изучить их поможет игра на мобильный «Пифагория». Она содержит более 300 головоломок по всем разделам геометрии. Некоторые задачки настолько сложные, что придётся долго ломать голову. Это отличный игровой тренажёр, чтобы повторить все правила, научиться легко решать задачи, выучить что-то новое и успешно подготовиться к аттестации. 

Быстро вспомнить весь пройденный ранее материал поможет книга Кэрол Вордерман «Как объяснить ребёнку математику». Это краткий иллюстрированный справочник со всей школьной программой. Информация разделена по разделам: алгебра, геометрия, тригонометрия и другие. Яркие диаграммы и примеры помогут вспомнить все формулы и правила в процессе подготовки к аттестации по математике. 

9 класс

В девятом классе обязательна сдача государственной итоговой аттестации в форме ОГЭ (основного государственного экзамена). На ОГЭ проверяются все знания по математике за девять классов. Экзамен сдаётся в тестовой форме, на выполнение даётся почти четыре часа. Работа состоит из двух частей. В первой 17 заданий с кратким ответом, во второй шесть заданий с развёрнутым ответом. Впервые в 2020 году в ОГЭ 1–5 задания будут практической направленности. Они выполняются при помощи одного чертежа в начале теста. 

Что нужно знать и уметь к итоговой аттестации по математике 

  • Делать вычисления и преобразования.
  • Решать уравнения, неравенства и их системы.
  • Строить и читать графики функций.
  • Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
  • Работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события.
  • Решать математические задачи разными способами.
  • Уметь математически грамотно и ясно записать решение.
  • Применять математические знания в практических ситуациях.

Способы подготовки к аттестации по математике в 9 классе

Потренируйтесь верно распределять время. Поставьте себе таймер на 3 часа 55 минут и попробуйте решить тест. Вам должно хватить времени на то, чтобы решить все задания, как следует посидеть над сложными задачами, а потом ещё и всё перепроверить. 

На ОГЭ пригодится устный счёт. Времени на экзамен даётся не так много, а нужно успеть решить все примеры и задачи, и ещё и проверить самые сложные. Артур Бенджамин и Майкл Шермер написали книгу «Магия чисел», которая научит быстрым операциям в уме даже с большими числами. 

10 класс

Что нужно знать и уметь к промежуточной аттестации по математике в 10 классе 

  • Решать числовые функции.
  • Знать действия с тригонометрическими функциями.
  • Решать тригонометрические уравнения.
  • Выполнять преобразования тригонометрических выражений.
  • Знать действия с производными. 

Способы подготовки к аттестации по математике в 10 классе

В 10 классе много повторений прошлых лет. Если решать уравнения уже наскучило, а двигаться вперёд и улучшать свой результат нужно — советуем прочитать книгу Алекса Беллоса «Красота в квадрате». С ней вы влюбитесь в математику, повторите всю программу средней школы и поймёте основы тригонометрии. После этой книги даже самые сложные формулы и функции будут не страшны. 

<<Форма аттестации>>

11 классы

В 11 классе государственная итоговая аттестация по математике сдаётся в форме ЕГЭ. На ЕГЭ проверяются знания по всей школьной программе по математике. На едином госэкзамене можно выбрать уровень: базовый или профильный. Второй нужен тем, кто собирается поступать на специальности, где важна математика. Первый обязателен для всех. 

Что нужно знать и уметь для того, чтобы сдать базовую математику на ЕГЭ

  • Выполнять вычисления и преобразования.
  • Решать уравнения и неравенства.
  • Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
  • Использовать математику в практической деятельности. 

Для сдачи профильного уровня понадобится всё то же самое, только более углублённо. А ещё необходимо будет владеть элементами комбинаторики, статистики и теории вероятностей. 

Способы подготовки к итоговой аттестации по математике в 11 классе

Для подготовки к ЕГЭ решайте как можно больше задач — это разовьёт математическое мышление и навык делать из текста лёгкое уравнение. Старайтесь решать задачи простыми способами. Для проверки попробуйте взглянуть на задание иначе. Большинство задач можно решить по-разному. 

Не бойтесь сложных задач при подготовке к итоговой аттестации. Многие задания профильного уровня могут получиться не сразу. На одну задачу может потребоваться несколько часов или даже дней. Важно, чтобы перед экзаменом у вас уже был большой опыт. Поучаствуйте в олимпиадах — они станут дополнительной тренировкой и пробудят нестандартный подход к решению заданий. 

Особенности работы наших репетиторов по алгебре и геометрии

Подготовка по алгебре и геометрии – одно из приоритетных направление в компании «Репетитор Дона». Каждый год в нашем центре по нему обучаются более 100 человек, и к концу занятий они серьезно повышают свой уровень. В этом году максимальный прирост составил 70 баллов: оба ученика, показавшие такой результат, при входном тесте набрали 14 баллов по стобалльной шкале, и оба в итоге написали ЕГЭ на 84 балла. И вот как мы этого достигаем.

В чём особенности работы наших репетиторов по алгебре и геометрии?

Во-первых, основная цель подготовки по математике, как для девятиклассников, сдающих ГИА, так и для одиннадцатиклассников – это, прежде всего, устранение пробелов в школьных знаниях, а уже потом – подготовка к самому вступительному испытанию. К сожалению, в современной школе у детей накапливается много не усвоенных тем как к девятому, так и к одиннадцатому классу. Программа идет быстро, а школьный преподаватель математики не спрашивает, все ли поняли и усвоили материал. И алгебра, и геометрии устроены так, что, не поняв предыдущую тему, ты не можешь идти дальше и изучать следующую, даже если очень этого хочешь. Рано или поздно, ребенок совсем перестает понимать предмет и просто списывает чужие решения из ГДЗ (специальные издания с готовыми домашними заданиями) или у одноклассников. Он делает вид, что активно занимается, и в журнале стоит «4» или «5», а мы при тестировании понимаем, что в реальности его знания на 1-2 балла ниже  и находятся  на уровне 5-6 класса, реже 7-8, а ребенок перешел уже в 11 класс.

Поэтому мы и начинаем с устранения пробелов. Наши методички разбиты по классам: 5-6, 7-8-9 класс, а после заданий для 10 и 11 классов идут темы повышенной сложности для тех, кто хочет получить очень хороший балл на экзамене. После прохождения каждой темы с учеником мы решаем задания ЕГЭ. Наши специалисты проанализировали около 100 пособий от ФИПИ – организации, которая разрабатывает сам экзамен. Мы разделили все задачи по разным темам и классам, и к каждой теме добавили упражнения из школьной программы, которые тематически подготавливают к решению того или иного задания ЕГЭ. Таким образом, мы снова проходим всю школьную программу, устраняем все пробелы, осваиваем задания ЕГЭ части 1, а знание школьной программы без пробелов создает необходимый фундамент части 2.

Если ученик хорошо знает тот или иной раздел, мы даем пару примеров  на проверку этого и идем дальше. Если же нет – останавливаемся и работаем до тех пор, пока он её не освоит всю тему. Поэтому в наших группах скорость прохождения материала у каждого индивидуальна: начинают ученики одновременно, затем один может уже осваивать программу 10 класса, а другой – застрять на уровне 8 класса. Однако это оправдано тем, что и цели у каждого свои. Кому-то нужен очень высокий балл для поступления на профильные направления в престижные вузы, кому-то достаточно набрать меньше и все равно поступить на бюджетное направление. Даже дети с очень низким начальным результатом получают свои 50-60 баллов и очень довольны, в то время как их одноклассники, которые не занимались дополнительно или не занимались устранением пробелов, получают всего 30-40 баллов. Устранение пробелов дает тот запас прочности, который позволяет в независимости от сложности экзамена решать любые задания на ЕГЭ.

Кроме того, после прохождения каждой методички наши ученики пишут контрольную работу в формате ЕГЭ или ГИА. Уже с первой такой проверки они учатся заполнять бланк ЕГЭ или ГИА, при этом мы полностью симулируем атмосферу экзамена: забираем телефон, даём примеры из открытого банка заданий ЕГЭ – и и уже к десятой контрольной ученик заполняет бланк автоматически, не испытывая шока и стресса. Помимо этого, в каждой методичке есть блоки повторения, чтобы ученик на экзамене мог вспомнить, что мы проходили в марте или в сентябре.

Как наш репетитор по алгебре и геометрии работает с учениками?

Курсы алгебры и геометрии мы проходим параллельно. Как правило, геометрию школьники знают намного хуже: однажды не усвоив тему, ребенок перестает что-либо понимать. Чаще всего проблемы начинаются в 8 классе, где много сложных теорем, и, упустив что-то в этот период, к 10 классу школьник вообще не может ориентироваться в предмете.

Также одна из сложных тем – это тригонометрия. К сожалению, часто школьные учителя сами до конца её не понимают. Если преподаватель заставляет учить таблицу синусов-косинусов, значит, он не понимает тригонометрический круг, а это основа тригонометрии, поняв которую можно вообще ничего не учить. Вместо того, чтобы зубрить тригонометрические формулы десятками, мы показываем, как их выводить, и наши ученики могут в любой момент вывести любую формулу, которую подзабыли, потому что мы задействуем прежде всего не память, а понимание. Пока ученик не понял тему, он не идет дальше, и если ему нужно 20 или 50 примеров для закрепления – у нас есть на это время. В школе же его нет.

Если школьные темы даются ребенку легко, мы переходим к сложным разделам: параметры, тяжелая стереометрия, тяжелая планиметрия и многие другие интересные вещи, которые просто не проходят в обычной школе. Всё это помогает нашим ученикам получать высокие баллы. Для сравнения: в 2016 году средний балл в нашей компании по математике – 71,2, по стране – 45. Это говорит о том, что наши ученики, которые написали ЕГЭ на 70, 80, 90 баллов – лучшие ученики в своих классах и школах.

Как проходит занятие?

Ещё одна особенность нашего центра – это само построение занятия. Здесь важны несколько моментов.

  1. Ученики занимаются в одной группе, но материал у всех свой. Преподаватель распечатывает каждому его задание, вкратце рассказывает тему и отмечает в методичке примеры, которые он должен выполнить, чтобы освоить материал.  Затем переходит к следующему. В ходе занятия он по мере необходимости подходит к каждому, проверяет прорешанное, задает наводящие вопросы, дает подсказки, если не получается что-то решить, иногда пишет варианты решения.
  2. Ученики не связаны между собой скоростью усвоения материала, поэтому сильные ребята не «топчутся на месте», а слабые – делают столько заданий, сколько им необходимо для усвоения новой темы. В одной группе могут заниматься слабые и сильные ученики, не мешая друг другу.
  3. По факту каждый ребенок получает длительное индивидуальное занятие, а стоимость за счет группы получается ниже, чем у других преподавателей того же уровня.
  4. В прохождении материала мы движемся от простого к сложному, и постепенно доводим школьника до решения довольно серьезных примеров.
  5. Каждый год наши методички обновляются, отслеживаются все изменения, которые даёт ФИПИ. Если что-то изменилось, наши ученики знают об этом, и решают самые актуальные задания. Например, в прошлом году впервые появилась новая экономическая задача, и наши 10 человек решили ее на полный балл, хотя ребята из других школ считали ее просто нерешаемой.

Как построены наши методички?

Каждая наша методичка делится на несколько уровней: базовый, средний, повышенный и олимпиадный:

  • первый уровень нужен тем ученикам, которые сдают базовый ЕГЭ – там нет сложной геометрии и алгебры;
  • средний уровень предназначен для тех, кто хочет сдать ЕГЭ на уровне до 80 баллов;
  • повышенный уровень предполагает, что ученик хочет сдать ЕГЭ на балл больше 80: там есть параметры, тяжелая планиметрия и теория чисел;
  • олимпиадный уровень был разработан в последние два года, и он нужен тем школьникам, кто собирается поступать в ведущие вузы (МГУ, СПБГУ, МФТИ и т.д.)  и ставит перед собой задачу получить 100 баллов для поступления. Обычная подготовка и ЕГЭ могут не дать такого результата (могут помешать нервы или невнимательность на экзамене). Больше гарантии получить высший балл появляется за счет вузовской олимпиады, причем школьнику не обязательно решать всё. 100 баллов по ЕГЭ даёт даже призёрство третьей степени. Однако подготовка к такому уровню длится минимум два года.

Подготовка к повышенному уровню в идеале тоже длится не один год. В нашей практике бывает, что ученик осваивает его и за 9 месяцев, но это достигается за счет огромного количества домашней работы – ребята могут приносить нам до 40 листов домашней работы. Именно благодаря огромному трудолюбию и трудоспособности наших учеников они и получают высокие баллы.

Предмет стереометрии

Мы с вами геометрию изучаем уже третий год и практически постоянно имели дело с плоскими фигурами, то есть с фигурами, которые целиком расположены в одной плоскости. Раздел геометрии, который занимается изучением свойств плоских фигур называется планиметрия. Основными фигурами планиметрии являются точка и прямая.

У плоских фигур есть только два измерения: длина и ширина, эти измерения используются для нахождения площади фигур.

Но давайте посмотрим вокруг. В природе практически нет плоских тел. Все предметы располагаются в пространстве и не умещаются в одной плоскости. Раздел геометрии, который изучает свойства таких фигур, называется стереометрией.

Например, если в планиметрии мы говорили о квадрате, то в стереометрии мы будем говорить о кубе, который состоит из квадратов.

Если в планиметрии мы говорили о прямоугольном треугольнике, то в стереометрии из треугольника, вращая его вокруг одного из катетов, мы получим конус.

Слово стереометрия происходит от двух древне-греческих слов στερεός — «твёрый, пространственный» и слово μετρέω — «измеряю». В отличии от планиметрии основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость.

Точки, как и в планиметрии обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита.

Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Для обозначения плоскости используются строчные буквы греческого алфавита.

Наряду с этими понятиями в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. У геометрических тел три измерения: длина, ширина и высота. Эти измерения позволяют вычислить объем фигуры, то есть геометрические тело обладают вместимостью. Практически каждый окружающий нас предмет можно представить в виде геометрических тел.

Тела, поверхность которых состоят из многоугольников называют многогранниками.

Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась вместе с человеком. Геометрия была очень нужна строителям, которые возводили на реках дамбы, перекидывали с одного берега на другой мосты, виадуки, создавали многоэтажные здания и величественные храмы.

Ярким примером этого являются египетские пирамиды, сооруженные за два четыре тысячелетия до нашей эры. До сих пор эти пирамиды поражают точностью своих метрических соотношений.

Считается, что геометрия появилась в древнем Египте около 2000 лет до нашей эры. В 5 веке нашей эры древнегреческий ученый Геродот о появлении геометрии писал так: Египетский фараон Сеозоострис разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию.

Геродо́т Галикарна́сский (около 484 г до н. э. — около 425 г до н. э.)

Сначала геометрия была интуитивной. То есть факты признавались существующими и никак не доказывались. Но в шестисотом году до нашей эры греческий ученый Фалес выдвинул и развил идею о том, что должны быть пути, доказывающие справедливость тех или иных фактов. В геометрии факты называются теоремами. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого.

Фалес Милетский

640/624 — 548/545 гг. до н. э.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии.

Одной из самых первых и самых известных геометрических школ была пифагорейская, она существовала в шестом пятом веках до нашей эры. Названа она была в честь своего основателя древнегреческого ученого Пифагора.

 

Пифагор Самосский

570 — 490 гг. до н. э.

Пифагорейцы использовали правильные многогранники для философских теорий. Так огню они придавали форму тэтраэдра (пирамиды), земле – форму гексаэдра (куба), воздуху – форму октаэдра (фигуры, которая образована восьмью равносторонними треугольниками), воде – форму икосаэдра (фигуры, которая образована двадцатью равносторонними треугольниками).

По их мнению вся вселенная имеет форму додекаэдра (фигуры, которая состоит из двенадцати правильных пятиугольников).

Нетрудно заметить, что названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. Первая часть названия показывает количество граней из которых состоит фигура, а слово эдр произошло от древнегреческого слова «эдра» — грань.

 Еще одной известной школой, которая занималась вопросами геометрии, является Александрийская философская школа. Выходцем этой школы был знаменитый ученый Евклид, который жил около трехсотого года до нашей эры.

Эвклид

 ок. 325 — 265 гг. до н. э.

Евклид является автором «Начала», работы, которая состоит из тринадцати книг и содержит изложение планиметрии, стереометрии, ряда вопросов теории чисел. Этой работой Евклид создал фундамент дальнейшего развития математики. До сих пор этот труд считается основой изучения курса геометрии.

Он сформулировал 5 постулатов:

1.  Через две точки можно провести прямую.

2.  Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.

3.  Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.

4.  Все прямые углы равны между собой.

5.  И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.

Широко известен факт о том, что царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». На что Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути».

В 19 веке в геометрии появились новые методы, которые позволили переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Возникли и развиваются новые направления геометрических исследований: геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология, компьютерная геометрия и так далее.

В 1829 году русский математик Николай Лобачевский написал работу «О началах геометрии», в которой заявил, что можно построить геометрию такую же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова. Если геометрию Евклида можно назвать геометрией земных пространств и расстояний, то геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.

Николай Иванович Лобачевский

1792 – 1856 гг

Основное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида заключается в так называемом «пятом постулате». Евклид утверждал, что «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её». В геометрии Лобачевского вместо этой аксиомы принимается другая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

В 1899 году немецкий математик Давид Гильберт написал труд «Основания геометрии». Эта работа стала образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.

Давид Гильберт

1862 – 1943 гг

Геометрические тела как и все геометрические фигуры являются воображаемыми объектами. Геометрическое тело – часть пространства, отделенное от остальной части пространства границей этого тела. Другими словами, мы представляем геометрические тела «пустыми», то есть есть оболочка, а внутри находить пустое пространство. Например, границей шара является сфера. По аналогии с планиметрией, когда окружность – являлась границей круга. Для каждого тела можно провести плоскость, по обе стороны которой будут находится точки этого тела. Такая плоскость является секущей.

При изучении пространственных фигур пользуются изображением этих фигур на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одну и ту же фигуру можно изобразить по разному. Например, пирамиду можно изобразить так:

Штриховыми линиями изображаются невидимые части фигуры.

Обычно выбирают то изображение, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. Очевидно, что для изображения пирамиды мы выберем вот этот чертеж.

В 9 классе мы рассмотрим только несколько геометрических тел. Такие как призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. При этом мы будем в основном опираться на наглядные представления. Более подробно эти тела мы будем изучать в курсах геометрии 10 и 11 классов.

Геометрия (ГИА-9). Задания с выбором ответа

Геометрия (ГИА-9)
Задания с выбором ответа.
ОБД , стр. 163-164
1) Все высоты равностороннего треугольника
равны.
2) Существуют три прямые, которые проходят
через одну точку.
3) Если диагонали параллелограмма равны,
то этот параллелограмм является ромбом.
1) Если три угла одного треугольника равны
соответственно трём углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
2) Все диаметры окружности равны между собой.
3) Площадь параллелограмма равна половине
произведения его диагоналей.
1) Все хорды одной окружности равны
между собой.
2) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не
существует.
3) Все углы прямоугольника равны.
1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника
равна 360 градусам.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её
оснований.
3) Любой параллелограмм можно вписать в
окружность.
1) Все углы ромба равны.
2) Вписанный угол, опирающийся на
диаметр окружности, прямой.
3) Если две стороны и угол одного
треугольника равны соответственно двум
сторонам и углу другого треугольника, то
такие треугольники равны.
1) Один из углов треугольника всегда не
превышает 60 градусов.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её
оснований.
3) Касательная к окружности
перпендикулярна радиусу, проведённому
в точку касания
1) Средняя линия трапеции параллельна её
основаниям.
2) Если две стороны одного треугольника
соответственно равны двум сторонам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
3) Центр описанной около треугольника
окружности всегда лежит внутри этого
треугольника.
1) Боковые стороны любой трапеции равны.
2) Площадь прямоугольника равна
произведению длин его смежных сторон.
3) Биссектрисы треугольника пересекаются в
точке, которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
1) В параллелограмме есть два равных угла.
2) В тупоугольном треугольнике все углы
тупые.
3) Площадь прямоугольника равна
произведению длин всех его сторон.
1) Через заданную точку плоскости можно провести
только одну прямую.
2) Серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются
в точке, являющейся центром окружности,
описанной около треугольника.
3) Если в параллелограмме две соседние стороны
равны, то этот параллелограмм является
ромбом.
1) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
2) Если три угла одного треугольника равны
соответственно трём углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
3) Тангенс любого острого угла меньше
единицы.
1) Один из углов треугольника всегда не
превышает 60 градусов.
2) Если диагонали параллелограмма равны,
то это прямоугольник.
3) Две прямые, параллельные третьей
прямой, перпендикулярны.
1) Диагонали ромба равны.
2) Отношение площадей подобных
треугольников равно коэффициенту
подобия.
3) Средняя линия трапеции равна полусумме
её оснований.
1) Площадь трапеции равна произведению
основания трапеции на высоту.
2) Если в треугольнике есть один острый
угол, то этот треугольник остроугольный.
3) Диагонали прямоугольника точкой
пересечения делятся пополам.

Старшая школа 9-12 классы — чему и как учат? Часть 2 / Хабр

В первой части мы обсудили начальное образование в США младшую и среднюю школу.
Данная заметка относится к старшей школе т. е. выпускным классам с 9 по 12, когда ученик формирует свою специализацию и решает, продолжать ли ему дальнейшее обучение и в каком направлении.

Смысл этих статей — поделиться своими наблюдениями об образовательной системы США, исходя из опыта полученного моими детьми, высказать свои соображения.

Стратегия выбора предметов

К примеру в нашем районо есть подробный список, объясняющий предназначение каждого класса и какую стратегию лучше избрать для обучения.

Если коротко, то все сводится к деньгам, школьное обучение в США бесплатно, получение дальнейшего образование стоит часто значительных сумм и поэтому, учась в школе можно взять курсы уровня университета тем самым сэкономить средства и время на образование. Год обучения в колледже в среднем здесь в Калифорнии стоит порядка 20 тысяч долларов.

Таким образом у мотивированного ученика есть вполне серьезная возможность закончив школу, также получить два года высшего образования. Мне приходилось довольно часто встречать в ИТ людей, кто, имея два года колледжа, вполне себя чувствовал прекрасно на рынке труда. Большинство из моих знакомых вынуждены были доучиваться уже к сорока годам, так как решили оставить профессию программиста и расти по карьерной лестнице.

Второй не маловажный мотивирующий момент — брать больше классов университетского уровня, исходя из политики университетов, каких учеников они хотели бы видеть в своих стенах. Также за каждый класс университетского уровня в средний школьный бал добавляется добавочный один. Т.е. цена такого курса на единицу выше. Ученики, кто взяли университетские курсы, могут получить средний балл выше четырех (максимальная оценка в школе США 4). Стоит также отметить, что средний балл серьезно учитывается университетами при поступлении наряду с федеральными экзаменами, так же как и с личными достижениями в различных областях.

Что и как преподают и какие навыки хотят развить у ученика.

Литература

В литературе делается основной упор на понимание произведения и почему автор выбрал эту тему и какую технику автор использует для выражения своих мыслей в произведении. Сразу скажу это очень сильный уровень университетского образования. Вот неполный список литературы, который читал мой сын за 9-10 класс:

«Скотный двор» и «1984»  Оурэлл
Убить Пересмешника Ли
«Ромео и Джульетта» и « Сон в летнюю ночь» Шекспир
«Илиада» Гомер
«На Западном фронте без перемен» Ремарк
«Повелитель мух» Голдинг
«Старик и море» Хеменгуэй
«Греческая мифология»

Мне лично понравился один момент в обсуждении произведения Ремарка — описания избиения сержанта Химельштоса, фактически Ремарк посвятил этому акту возмездия всю третью главу. Так вот, учительница целый урок распиналась, объясняя всему классу не только морально-философский аспект происходящего метко описанный в произведении фразой Катчинского

Видишь ли, если ты приучишь собаку есть картошку, а потом положишь ей кусок мяса, то она все ж таки схватит мясо, потому что это у нее в крови. А если ты дашь человеку кусочек власти, с ним будет то же самое: он за нее ухватится.

а также какую писательскую технику использует автор, чтоб держать в напряжении читателя, повествуя о динамике группового насилия над ненавистным сержантом.

Математика

Явно просматривается тренд на нарабатывания навыков по расчету тот же матанализ в старшей школе можно изучать три года два из которых университетского уровня. Как раз картина конца 19 века Николая Петровича Богданова-Бельского «Устный счет» как нельзя кстати характеризует состояние математики в США хотя задачи не всегда столь оригинальны как в сельской школе Российской Империи.

Математике в старших классах уделяется огромное внимание большинство курсов университетского уровня даже просто перечисление впечатляет — алгебра, тригонометрия, матанализ, статистика.

К сожалению геометрия разработанная еще в советской школе легко «кладет» выпускника старшей школы США так как увы не учат понимать базовые математические принципы необходимого и достаточного.

Программирование

Два года обучение второй год специализация в языке Java по крайней мере так в нашей школе.

Науки

Довольно разнообразный набор от продвинутой химии до биотехнологии с серьезными лабораториями. Отдельный тренд по физике от классической механики до инженерного дела видимо что-то навроде сопромата.

История

Начиная с 10 класса можно брать продвинутые классы по истории. Классы считаются очень сложные это реальный уровень университета исторического факультета или кандидатский минимум если кто сдавал тот помнит там все не хило. Историю обычно берут те кто хочет специализироваться в юриспруденции и просто фанаты истории.

Можно условно разделить на базовые направления как история Европы, США и Мировая история, далее идет экономика и макроэкономика и уж совсем для забойных Правительство и Политика.

Очень популярны в исторических классах трибуналы над историческими личностями в этом году у сына был трибунал над Луи 14 и Сталиным. Когда проходят историю США то часто обсуждают ядерный удар по Японии и насилие над гражданским населением во время гражданской войны в США в городке Антенс, Алабама начавшегося с легендарной фразы генерала Ивана Васильевича Турчанинова «I shut my eyes for two hours ».

Физическое воспитание

С первого года обучения по 10 класс включительно каждый день одно занятие физкультурой. Особого разнообразия не наблюдается — обычно бег и подвижные игры: волейбол, баскетбол, если есть корты то теннис, если бассейн то плавание или ватерполо (это то, что у моих детей в школе).

Начиная со старшей школы, а в некоторых школах и со средней можно так же заниматься в спортивной секции при школе. Обычно это выглядит как два часа каждый будний день т. е. пять раз в неделю и каждую субботу, а иногда и воскресенье районные соревнования. Довольно утомительно для родителей, но подход полностью себя оправдывает за пару лет таких занятий дети выглядят очень атлетично.

Заключение

Я полагаю, что описывать все в деталях довольно сложно, мне просто хотелось передать общий подход. На мой взгляд школа придерживается вольтеровского принципа разделения «на умных и не очень» при этом каждому дается шанс проявить себя на любом поприще будь то наука/литература или спортивные достижения. На практике это выглядит так, что есть кто решает не доучиваться до 12 класса, то просто идут работать. Часто можно видеть в объявлении по приему на работу, чтоб соискатель имел диплом об окончании школы т. е. школьный диплом довольно высоко котируется.

Мой бывший коллега как-то рассказал занятную историю на эту тему. В середине 90-х они с пацанами создали хорошо известную в дот комовский кругах фирму и в какой-то момент он был вынужден бросить школу и за несколько лет стал миллионером купил себе дом и БМВ последней модели. Пришли серьезные инвесторы и «они с пацанами» потеряли контроль над фирмой и выяснили, что уволены и их акции размыты до центов.

Так вот он сказал мне мои родители не были ни капли расстроены и сказали, — «ну, наконец ты закончишь школу». Наш разговор состоялся после десяти лет его разорения, школу он закончил и БМВ все еще была в отличном состоянии.

Министр образования Онтарио раскрывает подробности новой учебной программы по математике для 9 классов

Новый курс

Онтарио по математике для 9 классов, который будет первым, в котором будет устранена практика «потоковой передачи», будет включать больше практических приложений этого предмета и включать уроки по финансам. грамотность и кодирование.

Министр образования Стивен Лечче объявил подробности в среду, заявив, что курс, который вступит в силу осенью, поможет подготовить студентов к успеху.

«Мир изменился, изменилась экономика, изменился рынок труда, а также учебная программа, которая информирует и вдохновляет вашего ребенка», — сказал он.

Раньше учащихся направляли на «академические» или «прикладные» курсы математики в 9-х классах, что, по словам оппонентов,
дискриминировало учащихся из маргинализованных сообществ.

Новый курс вступит в силу осенью и будет охватывать больше областей математики.

Английская и французская версии курса также будут одинаковыми, но «с учетом культурных и языковых различий», согласно провинциальным документам.

Провинция заявляет, что новая учебная программа будет включать больше реальных примеров математических понятий, а также будет обращать внимание на важность математики в разных культурах.

Также будет уделяться внимание кодированию и финансовой грамотности, говорят в провинции, что будет включать такие концепции, как понимание оценки и амортизации активов или обучение тому, как изменять бюджет в зависимости от изменений обстоятельств.

Курс изменить часть 4-летнего плана

Новый курс 9-го класса будет включать в себя программирование, данные и финансовую грамотность, математическое моделирование и элементы STEM — или естественных наук, технологий, инженерии и математики. Также будет рассмотрено значение математики в разных культурах.

Этот курс является частью четырехлетнего правительственного плана по изменению математического образования в Онтарио.

В июле 2020 года провинция заявила, что положит конец противоречивой практике академической потоковой передачи, начиная с математики для учеников старших классов.

Стриминг — в котором учащиеся должны выбрать либо «академический», либо «прикладной» путь при поступлении в среднюю школу — было показано, что непропорционально влияет на чернокожих учащихся и учащихся с низким доходом, когда речь идет о показателях окончания и шансах на учебу. в высшее учебное заведение.

В то время Лечче назвал это «систематической, расистской и дискриминационной практикой». Некоторые преподаватели и группы защиты уже давно призывают к прекращению потоковой передачи.

Онтарио — единственная провинция Канады, где он все еще распространен в государственных школах, хотя некоторые советы, такие как школьный совет округа Торонто, уже начали постепенно отказываться от этого, когда было сделано первоначальное объявление.

Министерство образования ранее заявляло, что в «модернизированной» учебной программе основное внимание будет уделяться работе и жизненным навыкам учащихся.

«Последнее обновление учебной программы по математике для 9-х классов — первое с 2005 года», — сказал Лечче в своем объявлении.

В то время как объявление касалось только прекращения потоковой передачи и обновления учебной программы по математике для 9 классов, Лечче сказал, что в провинции будут «дальнейшие объявления» относительно обновлений для учебных программ по математике для 10, 11 и 12 классов.

Министр также сказал, что консультации с сообществами, затронутыми стримингом, будут продолжены, «чтобы понять, что еще мы можем сделать» по этому вопросу.

«Мой инстинкт — пойти дальше, — сказал Лечче.

Оппозиционные «Новые демократы» призвали правительство в среду немедленно прекратить трансляцию по другим темам и должным образом профинансировать изменение.

NDP, критик в области образования Марит Стайлз назвала новый курс математики «давно назревшей победой» и сказала, что для достижения успеха учащимся потребуются классы меньшего размера и возможности индивидуального обучения.

Правительство заявило, что выделит 40 миллионов долларов на обучение преподавателей новому курсу математики.

Некоторые учебные материалы должны были появиться в среду, хотя официальные лица заявили, что преподаватели не будут обязаны проходить обучение в течение лета. Провинция заявила, что в нее войдут тренинги по борьбе с расизмом и дискриминацией.

Президент Федерации учителей средней школы Онтарио заявил, что профсоюз поддерживает прекращение досрочного стриминга, но раскритиковал время объявления, которое было сделано всего за несколько недель до окончания учебного года.

Харви Бишоф сказал, что учителям «просто нереально» знакомиться с материалами нового курса до сентября.Он сказал, что в объявлении отсутствуют надлежащие планы по реализации и поддержке.

«Педагоги сделают все, что в их силах, но их нельзя оставлять наедине с собой, чтобы попытаться успешно реализовать это», — сказал он.

Математика

Студенты лучше всего изучают математику, когда у них есть возможность «заниматься математикой». Студенты должны работать над сложными проблемами, делиться своими мыслями с другими и использовать свое мышление для построения и углубления понимания. Этот процесс предоставит нашим студентам навыки, необходимые для поступления в колледж или более подготовленной работы.

Стандарты обучения

Стандарты обучения новому поколению математики штата Нью-Йорк представляют собой установленные руководящие принципы того, что каждый ученик должен знать и уметь делать по математике с классов K-12. Узнайте больше о стандартах математики. Чтобы узнать больше об основной учебной программе города Нью-Йорка, см. Оценки ниже:

Ресурсы для семей

Вот несколько занятий, которые можно попробовать дома:

Кулинария

Следующие шаги, использование дробей и соотношений и измерение количества — это всего лишь некоторые навыки, которые мы используем, чтобы приготовить даже базовые рецепты.А когда вы готовите вместе, вы вместе с ребенком можете приготовить вкусные блюда!

Покупки

Во время покупок поощряйте детей обращать внимание на размеры, вес, вместимость и размеры жидкости. Попросите ребенка:

  • найти самый большой контейнер с молоком и объяснить, почему он вмещает больше, чем другие контейнеры
  • сравните размер и стоимость двух или более предметов, чтобы определить наилучшее значение
  • подсчитайте количество предметов в вашем cart
  • оцените стоимость товаров.
  • определите, сколько денег можно ожидать в обмен на сдачу.

Повседневная жизнь

Проведите беседы, относящиеся к повседневной жизни, и включите математические вопросы.Во время путешествия используйте вопрос «Когда мы туда доберемся?» Как возможность посчитать:

  • посчитайте количество съездов и / или остановок, прежде чем вы доберетесь до пункта назначения
  • расскажите о милях до пункта назначения
  • спросите, с какой скоростью вы едете, чтобы ваш ребенок мог ответить

В повседневной жизни вы всегда можете задавать «удивительные» вопросы, например:

  • Какого роста это дерево?
  • Сколько мест в этой комнате?
  • Сколько людей впереди нас на этой линии?

Обдумайте эти вопросы вместе и попросите ребенка рассказать вам, о чем они думали, чтобы получить свои ответы.

Цифры и фигуры

Цифры и фигуры нас окружают! Найдите числа и формы в окружающей среде (адреса, спортивная статистика, прогноз погоды, номерные знаки, цены, знаки) и обсудите, что они означают и как используются.

Сколько времени это займет?

Изучите время, попросив ребенка оценить, а затем измерить, сколько времени требуется для выполнения различных действий. Какие из оценок вашего ребенка были близки к реальному времени? Какие были дальше всего? Попросите их назвать занятие, которое, по их мнению, займет менее пяти минут, затем попробуйте его и посмотрите, насколько точным было их предположение.Не забывайте отмечать время начала и окончания каждого действия, чтобы увидеть, как долго оно длилось; это поможет детям понять течение времени.

Пазлы и оригами

Пазлы помогают развивать пространственные навыки. Умение замечать формы и узоры в пазлах позволит вашему ребенку легко усвоить концепции геометрии, которым его обучают в школе.

Оригами (японское искусство складывания бумаги) укрепляет понимание формы и симметрии, а также требует от детей следовать указаниям в последовательном порядке.

Сыграть в игры

Настольные игры, такие как «Монополия», «Улика», «Желоба и лестницы» и многие другие, дают возможность попрактиковаться в математических навыках, вычислениях и логических рассуждениях. Карточные игры, такие как Twenty-One и Hearts, дадут вашему ребенку возможность попрактиковаться в базовых вычислениях.

Ресурсы для преподавателей

Учителя и другие преподаватели могут найти учебную программу и учебные материалы на сайте We Teach NYC.

математических игр | Математическая площадка

Детский сад
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
5 класс
6 класс
Веселые игры для детей
Пособия для учителя
Супер-математические головоломки
Новые игры
Игры сложения
Игры на умножение
Игры фракций
Игры с геометрией
Prealgebra Games
Математические модели
Игры с роботами
Найди путь
Многопользовательские игры
Проблемы с печатным словом
Игры в слова
Логические игры
Игры про животных
Экшн Игры
Идеальное время
Спортивные игры
Бесконечные игры
Классические игры
Веселые детские игры
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРОВАЯ ПЛОЩАДКА
Игры для 1-го класса
Игры для 2-го класса
Игры для 3-го класса
Игры для 4-го класса
Игры для 5-го класса
Игры для 6-го класса
Блоки мышления
Видео по математике МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Игры на сложение
Игры на вычитание
Игры на умножение
Игры на деление
Игры на дроби
Игры на соотношение
Игры на предалгебру
Игры на геометрию ОБУЧАЮЩИЕ ИГРЫ
Логические игры
Классические игры
Орфографические игры
Грамматические игры
Игры с набором текста
Географические игры
Математические головоломки
Пространственное мышление
FUN KIDS GAMES
Fun Games
Adventure Games
Car Games
Sports
Endless Runner Games
Perfect Timing Games
Two Player Games
Все игры FRACTION FOREST
Unit Fractions 1
Unit Fractions 2
Детская площадка 1
Равные дроби 1
Равные дроби 2
Детская площадка 2
Добавление дробей 1
Добавление дробей 2
Детская площадка 3
THINKING BLOCKS
TB Junior
TB Addition
TB Multiplication
TB Fractions
TB Ratio
Modeling Tool
Printable
Videos
Word Problems
ЧИСЛОВЫЕ ЗАГАДКИ
Сумма стеков
Числовая последовательность
Суммирующих связей
Суммарных блоков
Цепных сумм
Растянутых сумм
Своп-сумм
Суммы перекрытия
ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ
Головоломки по алгебре
Стратегическое умножение
Задачи на дроби
Решение задач
Математика для 3-го класса
Инструменты для визуальной математики
Задачи с модельным словом
Реклама | Без рекламы
О нас Политика конфиденциальности условия обслуживания Условия оплаты Получить помощь

© ООО «Математическая площадка, 2021» • Все права защищены.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.