Что проходят по геометрии в 9 классе – Материалы школьной программы по геометрии за 9 класс

Геометрия 9 класс рабочая программа

Пояснительная записка

Рабочая программа по геометрии для 9 класса «Б» разработана на основе рабочей программы по геометрии для 7-9 классов базового уровня основного образования, утвержденной приказом по школе от 29.08.2014 года № 1564 «Об утверждении рабочих программ по предметам на уровне начального общего, основного общего и среднего общего образования».

Цели и задачи изучения учебного предмета.

Основными целями изучения курса геометрии в 9 классе являются:

– ввести понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов, научить изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному; ввести понятия суммы и разности двух векторов, рассмотреть законы сложения векторов и на их основе ввести понятие суммы трех и более векторов, научить строить сумму векторов, используя правило треугольника и параллелограмма, строить разность векторов двумя способами; ввести действие умножения вектора на число и его свойства.

– ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами; рассмотреть простейшие задачи в координатах и показать, как они используются при решении более сложных задач методом координат; вывести уравнения окружности и прямой, показать, как можно использовать эти уравнения при решении геометрических задач.

– ввести понятия синуса, косинуса, тангенса вывести формулы для вычисления координат точки; доказать теорему о площади треугольника, теоремы синусов, косинусов, познакомить с методами решения треугольников; познакомить со скалярным произведением векторов, его свойствами.

– ввести понятие правильного многоугольника, доказать теоремы об окружностях описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, вывести формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей, рассмотреть задачи на построение правильных многоугольников; дать представление о выводе формул длины окружности и площади круга, вывести формулы длины окружности и площади кругового сектора.

– ввести понятия отображения плоскости на себя и движения, рассмотреть осевую и центральную симметрии, некоторые свойства движений; познакомить с параллельным переносом и поворотом.

– ввести понятия геометрического тела, поверхности, границы тела, секущей плоскости и сечения тела; ввести понятие многогранника, его видов и элементов; ввести понятие призмы, ее видов и свойств; ввести понятие параллелепипеда, его свойств; ввести понятие объема тела, рассмотреть основные свойства объемов, принцип Кавальери; ввести понятие пирамиды, ее видов и свойств; рассмотреть тела вращения, вывести формулы для вычисления площади поверхности и объемов тел вращения.

— дать более глубокое представление о системе аксиом планиметрии и аксиоматическом методе.

Основными задачами изучения курса геометрии в 9 классе являются:

• сформировать понятие вектора как направленного отрезка, показать учащимся применение вектора к решению простейших задач.

• познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач; дать представление об изучении геометрических фигур с помощью методов алгебры.

• развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.

• расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках

• познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом

• выделить основные методы доказательств, с целью обоснования (опровержения) утверждений и для решения ряда геометрических задач.

• научить проводить рассуждения, используя математический язык, ссылаясь на соответствующие геометрические утверждения.

• использовать алгебраический аппарат для решения геометрических задач.

Учебно-методический комплект

— Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7-9 классы. / Авторы

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др

— Геометрия: учеб, для 7—9 кл. / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. — М.: Просвещение, 2004-2008.

— Зив Б. Г. Геометрия: дидакт. материалы для 9 кл. / Б. Г. Зив, — М.: Просвещение, 2011.

— Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод, рекомендации: кн. для учителя / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др.]. — М.: Просвещение, 2003 — 2008

Изменения, внесенные в программу:

Рабочая программа рассчитана на 68 часов, 2 часа в неделю, 34 учебных недель. 4 часа отведено на проведение текущих контрольных работ + еще 1 контрольная работа взята из часов Повторения в качестве итоговой. Также за счет часов Повторения взяты 2 часа на вводное повторение материала за 8 класс обучения. Итого, на повторение – 6 часов

Методическая система достижений планируемых результатов, средств их достижения (технологии, методы, приемы и средства)

• В данном классе ведущими методами обучения предмету являются: объяснительно-иллюстративный и репродуктивный, частично-поисковый. На уроках используются элементы следующих технологий: личностно ориентированное обучение, обучение с применением опорных схем, ИКТ, здоровьесберегающие технологии и др.

При организации учебного процесса будет обеспечена последовательность изучения учебного материала: новые знания опираются на недавно пройденный материал; обеспечено поэтапное раскрытие тем с последующей реализацией; закрепление в процессе практикумов и деловых игр, тренингов; будут использоваться уроки – соревнования.

Календарно-тематическое планирование

Плановые сроки

прохождения

Наименование раздела и тем

Примечание

план

Факт

ВВОДНОЕ ПОВТОРЕНИЕ (2 часа)

1

02.09

Повторение. Некоторые свойства треугольников и четырехугольников.

2

07.09

Повторение. Некоторые свойства треугольников и четырехугольников.

ГЛАВА IX. ВЕКТОРЫ. (8 часов)

3/1

09.09

Понятие вектора. Равенство векторов.

7.6.1, 7.6.2

4/2

14.09

Откладывание вектора от данной точки. Входное тестирование

5/3

16.09

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

7.6.3

6/4

21.09

Сумма нескольких векторов.

7/5

23.09

Вычитание векторов.

8/6

28.09

Умножение вектора на число.

7.6.3

9/7

30.09

Применение векторов к решению задач

10/8

05.10

Средняя линия трапеции.

ГЛАВА Х. МЕТОД КООРДИНАТ (10 часов)

11/1

07.10

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

7.6.5

12/2

12.10

Координаты вектора.

7.6.6

13/3

14.10

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

14/4

19.10

Решение задач.

15/5

21.10

Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

6.2.4, 6.2.5

16/6

02.11

Уравнения окружности. Решение задач.

17/7

09.11

Уравнение прямой.

18/8

11.11

Решение задач.

19/9

16.11

Решение задач.

20/10

18.11

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 по теме «Метод координат».

ГЛАВА XI. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Скалярное произведение векторов (11 часов)

21/1

23.11

Урок коррекции знаний по теме «Метод координат».

Синус, косинус, тангенс угла, основное тригонометрическое тождество.

7.2.10

22/2

25.11

Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки.

23/3

30.11

Решение задач

24/4

02.12

Теорема о площади треугольников. Теорема синусов.

7.2.11

25/5

07.12

Теорема косинусов.

7.2.11

26/6

09.12

Ключевые задачи по теме «Решение треугольников».

27/7

14.12

Решение треугольников.

7.2.11

28/8

16.12

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов в координатах.

7.6.7

29/9

21.12

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме: «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов»

7.6.7

30/10

23.12

Урок коррекции знаний по теме: «Скалярное произведение векторов». Решение задач на применение скалярного произведения векторов

31/11

11.01

Решение задач на применение скалярного произведения векторов

ГЛАВА XII. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА. (12 часов)

32/1

13.01

Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника.

7.3.5,

7.4.6

33/2

18.01

Окружность, вписанная в правильный многоугольник.

7.4.6

34/3

20.01

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

35/4

25.01

Решение задач на вычисление площади, сторон правильного многоугольника и радиусов вписанной и описанной окружности.

36/5

27.01

Длина окружности.

7.5.2

37/6

01.02

15.02

Площадь круга.

7.5.8

38/7

03.02

Площадь кругового сектора

39/8

08.02

17.02

Решение задач.

40/9

10.02

Решение задач.

41/10

15.02

24.02

Решение задач по теме главы «Длина окружности и площадь круга».

42/11

17.02

Решение задач по теме главы «Длина окружности и площадь круга».

43/12

22.02

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 по теме «Длина окружности и площадь круга».

ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ. (8 часов)

44/1

24.02

29.02

Урок коррекции знаний по теме главы «Длина окружности и площадь круга». Отображение плоскости на себя

45/2

29.02

Понятие движения. Осевая и центральная симметрии.

46/3

02.03

Наложения и движения

47/4

07.03

Параллельный перенос.

48/5

09.03

Поворот

49/6

14.03

Поворот

50/7

16.03

Решение задач по теме «Параллельный перенос. Поворот».

51/8

21.03

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4 по теме «Движения».

Начальные сведения из стереометрии (8 часов)

52/1

23.03

Урок коррекции знаний по теме: «Движения». Предмет стереометрии. Многогранник.

53/2

04.04

Призма. Параллелепипед.

54/3

06.04

Объем тела. Свойства прямоугольного параллелепипеда.

7.5.9

55/4

11.04

Пирамида

56/5

13.04

Тела и поверхности вращения. Цилиндр.

57/6

18.04

Конус

58/7

20.04

Сфера и шар

59/8

25.04

Решение задач

Об аксиомах планиметрии (2 часа)

60/1

27.04

Аксиомы планиметрии

61/2

02.05

Решение задач с применением аксиом планиметрии

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ (6 часов+итоговая контрольная работа)

62/1

04.05

Повторение по теме «Треугольники», «Четырёхугольники», «Многоугольники»

7.2

63/2

11.05

Повторение по теме «Окружность»

7.4

64/3

16.05

Повторение по темам «Векторы. Метод координат», «Движение»

7.3

65/4

18.05

Итоговая контрольная работа

7.6

66/5

23.05

Анализ результатов итоговой контрольной работы. Решение задач Повторение по теме «Начальные сведения из стереометрии»

67/6

25.05

Решение задач

68/7

Решение задач

Примечание содержит коды по Кодификатору элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ОГЭ 2016г.

Формы и средства контроля

• математический диктант

• самостоятельная работа

• контрольная работа

• тестирование

Текущий контроль осуществляется с помощью дидактических материалов в форме самостоятельных работ, устного опроса.

Тематический контроль осуществляется по завершению крупного блока темы в форме контрольной работы.

Тексты контрольных работ полностью взяты из Программ общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы / составитель Т.А. Бурмистрова. – М. : Просвещение, 2010

infourok.ru

План-конспект урока по геометрии (9 класс) по теме: Урок одной задачи. Урок по геометрии в 9 классе, включающий все пройденные темы.

ЗАДАЧА.

Центром окружности служит вершина прямого угла С треугольника ABC, радиусом – катет ВС. Величина угла А равна 400. Окружность пересекает АВ и АС в точках D и Е соответственно. Определить величину одной из дуг ВD или DЕ.

Суждения, на которые нужно опираться при решении задач разными способами.

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

2) Все точки окружности с диаметром BF являются вершинами прямоугольных треугольников с гипотенузой BF.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

4) Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги.

5) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

6) Сумма углов треугольника равна 1800.

7) Величина каждого острого угла прямоугольного треугольника равна 450.

8) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним.

9) Сумма смежных углов равна 1800.

10) При параллельном переносе угол отображается на равный ему угол.

11) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её дуги пополам.

12) Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны.

13)Если две прямые плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой,  то они параллельны.

14) Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

15) Величина угла, образованного касательной и хордой

 проведенных  из точки окружности, равна половине дуги угла, заключенного между сторонами.

Задания

1. 1,2,3.
2. 1,5,6,4
3. 3,7,8,6
4. 4,3,9,6,3.
5. 10,3,11
6. 10,3,4,12
7. 13,14,15

1.

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

2) Все точки окружности с диаметром BF являются вершинами прямоугольных треугольников с гипотенузой BF.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

Решение. 1)     В=900-400=500 

       2) В   ∆BDF       D=900 , значит    F=400

        3) Дуга BD=800.

2.

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

5) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

6) Сумма углов треугольника равна 1800.

4) Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги. 

1)     В=900-400=500 

2) ∆BDC равнобедренный, так как BC=CD

3)    C= 1800-50∙2=800

4)  Дуга BD=800

3.

7) Величина каждого острого угла прямоугольного треугольника равна 450.

8) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним.

6) Сумма углов треугольника равна 1800.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

Решение

1) В ∆BCE         B=  E=450

2)   BEA=450+900=1350

3)    EBA = 1800-(1350+400) = 50

4) ДугаDE=100.

   

4.

4) Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

9) Сумма смежных углов равна 1800.

6) Сумма углов треугольника равна 1800.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

Решение

1. Дуга FE=900,так как уголC прямой
2.     FBE=450

3)   BEA=450+900=1350

4)      EBA = 1800-(1350+400) = 50

5)  Дуга DE=100.

5.

10) При параллельном переносе угол отображается на равный ему угол.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

11) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её дуги пополам.

Решение

1. Совершим параллельный перенос угла A на вектор AD. Угол D равен углу A равен 400.
2. Дуга BK = 800
3. Хорда KD перпендикулярна диаметру BF, значит дуга BK равна дуге BD и равна 800 

       6.

10) При параллельном переносе угол отображается на равный ему угол.

3) Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую опирается.

4) Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги.

12) Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны.

Решение 1)    А =    Е =400 при параллельном переносе на вектор AD.

2. Дуга MC = 800
3. Дуга MKB =900
4. Дуга BK =100
5. Дуга BK равна дуге DE.

7.

13)Если две прямые плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой,  то они параллельны.

14) Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.

15) Величина угла, образованного касательной и хордой

 проведенных из точки окружности, равна половине дуги угла, заключенного между сторонами.

Проведем прямую BK перпендикулярно BF.

Прямые BK и AC параллельны.

    А =    ABK =400

Дуга BD  равна 800 .

nsportal.ru

Справочный материал по геометрии за курс 9 класса «Основные определения и теоремы»

Ответы

к листу опроса № 3

1. Отрезок, для которого указано, какой из его концом считается началом, а какой – концом называется направленным отрезком или вектором.

2. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке нулевой вектор изображается одной точкой. Длина нулевого вектора равна нулю.

3. Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка AB.

4. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

5. Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные. Два ненулевых вектора, называются сонаправллеными, если они коллинеарны и одинаково направлены. Два ненулевых вектора, называются противоположно направленными, если они коллинеарны и противоположно направлены.

6. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

7. От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.

8. Правило треугольника

9. Правило параллелограмма

10. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

11. Координаты равных векторов соответственно равны.

12. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

13. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

14. Каждая координата произведения векторов на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

15. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂), то

16. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Если А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) и С – середина отрезка АВ, то С

17. Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его соответствующих координат.

Если ;, то .

18. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разности его соответствующих координат.

Если М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), то М₁М₂ = .

19. Уравнение окружности радиуса r c центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид ( x – x₀)² + ( y – y₀)² = r². Уравнение окружности радиуса r c центром в начале координат имеет вид x² + y² = r².

20. Уравнение прямой имеет вид ax + by +c = 0.

21. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ синусом угла α называется ордината точки M.

22. Для любого угла α из промежутка 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ косинусом угла α называется абсциссаточки M.

23. Тангенсом угла α (α ≠ 90⁰) называется отношение , т. е. .

24. Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin² α + cos² α = 1.

25. Формулы приведения имеют вид

, при 0   90;

, при 0   180.

26. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

27. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

28. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

29. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

30. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

31. Скалярное произведение ∙ называется скалярным квадратом вектора и обозначается ² . Скалярный квадрат равен квадрату его длины.

32. Скалярное произведение векторов {х₁; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

∙ = x₁x₂ + y₁y₂.

33. Косинус угла α между ненулевыми векторами {x₁ ; y₁} и {x₂ ; y₂} выражается формулой

x₁x₂ + y₁y₂

cos α =

x₁²+y₁² ∙ x₂²+y₂²

34. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны.

35. Сумма углов правильного n-угольника равна (n — 2)·180⁰.

36. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

37. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

38. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

39. Формула для вычисления площади правильного n-угольника.

S = , где Р – периметр правильного n-угольника, r – радиус окружности, описанной около правильного n-угольника.

40. Формула для вычисления стороны правильного n-угольника.

, где R – радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник.

41. Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

r =

42. Таблица «Правильные многоугольники».

a_n

n = 3

R

n = 4

R

n = 6

R

43. Формула для вычисления длины окружности. C = 2πR

44. Формула для вычисления длины дуги окружности. l =

45. Формула для вычисления площади круга. S = πR²

46. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

47. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

48. Площадь кругового сектора. S = .

57) Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником.

58) Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

59) Куб – один из простейших многогранников.

60) Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром.

61) Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

62) Часть пространства, отделенное от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела.

63) Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела.

64) Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела.

65) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

66) Стороны граней называются ребрами.

67) Концы ребер называются вершинами многогранника.

68) Выпуклые и невыпуклые.

69) Многогранник называется призмой.

70) n-угольной призмой называется многогранник А₁А₂…А_nВ₁В₁…В_n, составленный из двух равных n-угольников А₁А₂…А_n и В₁В₂…В_n

_{71) Прямая, наклонная, правильная.}

72) Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

73) Прямой, прямоугольный.

74) Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

75) Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³.

Аналогично определяется кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

76) 1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этх тел.

77) 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

78) Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂…А_n и этих угольников, называется пирамидой.

79) Тетраэдром – треугольная пирамида.

80) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

81) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

82) Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т. е. S_бок=2πrh.

83) Возьмем прямоугольный треугольник ABC и будем вращать его вокруг катета АВ. В результате получится тело, которое называется конусом.

84) Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

85) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

86) Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки.

87) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

88) Данная точка называется центром сферы.

89) Данное расстояние называется радиусом сферы.

90) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

91) Объем шара радиуса R равен четыре третьих πR²

92) S = 4 πR²

Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)

infourok.ru

Теория по геометрии 7-9 класс

Поиск Лекций

---

Виды углов:

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

Виды треугольников:

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

· накрест-лежащие;

· соответственные;

· односторонние.

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

Признаки параллелограмма:

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

Виды трапеций:

· произвольная;

· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

· углы при основаниях равны;

· диагонали равны.

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

Свойство ромба:

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

Свойство прямоугольника:

· у прямоугольника диагонали равны

Признак прямоугольника:

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

Свойство площадей:

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

S =

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =

Формула Герона, где р – полупериметр: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =

Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =

Площадь круга, где r – радиус: S =

Длина окружности, где r – радиус: C = 2

Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =

Свойства площадей треугольников:

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции: *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: sin²(a) + cos²(a) = 1

Тригонометрические формулы:

·

·

Табличные углы:

 

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных:

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема о хордах:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов:

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника:

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Теорема о медианах:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре:

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Электронный учебник по геометрии: все темы школьной программы

 

Геометрия является одним из разделов математики, изучаемых в школе. Начиная с 7 класса, под изучение этого предмета выделяется отдельный урок. И с этого момента геометрия будет сопровождать школьников, на протяжении всего обучения.

• Геометрия является предметом, который развивает и формирует у школьников пространственное изображение и логическое мышление. При изучении школьники узнают об основных методах доказательства теорем и утверждений.

Темы школьной геометрии

Школьный курс геометрии разбит на два больших раздела: планиметрия (геометрия на плоскости) и стереометрия (геометрия в пространстве).

• Первые три года (с 7 по 9 класс) изучается планиметрия.

В 7 классе изучаются основные понятия геометрии: точка, прямая, отрезок, угол, луч. После изучения основ, рассматривается одна из основных фигур – треугольник. Изучаются три признака равенства треугольников и основные теоремы: теорема о сумме углов треугольника, неравенство треугольника и д.р. А также исследуются параллельные прямые.

В 8 классе продолжается изучение треугольников. Рассматриваются три признака подобия треугольников. Рассматриваются основные виды четырехугольников. На этом же этапе изучения рассматривается подробно понятие площади фигуры. Даются формулы для вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции. Изучается теорема Пифагора. Вводится понятие вектора. Изучаются правила сложения и вычитания векторов.

В 9 классе изучается очень мощный метод используемый при решении широкого класса геометрических задач – метод координат. Кроме того, изучается основные теоремы о соотношении между сторонами и углами в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов. Вводится понятие правильного многоугольника и изучаются основные виды правильных многоугольников. Даются формулы для вычисления площади правильного многоугольника. 

• На этом заканчивается изучение планиметрии. В 10 и 11 классе изучается стереометрия.

На начальном этапе изучаются основные понятия и аксиомы стереометрии. Изучаются основные виды расположения прямых в пространстве: пересечение, параллельность, скрещивание. Кроме того изучается расположение прямой и плоскости в пространстве.

После изучения основ изучаются основные виды многогранников: призма, пирамида, усеченная пирамида. Кроме того, в конце 10 класса начинается изучение векторов в пространстве, что бы в начале 11 класса начать изучение метода координат в пространстве. 

Кроме метода координат, в 11 классе изучаются фигуры образованные вращением прямой: цилиндр, конус, усеченный конус, а также сфера. Также вводится понятие объема тела и даются основные формулы для вычисления объемов различных геометрических фигур.

Стоит напомнить, что знания этого предмета проверяются в некоторых заданиях ЕГЭ по математике. В части С обязательно есть геометрическая задача.

• Ниже есть список из классов, в каждом из которых есть список тем. Каждая тема написана нашим репетитором по геометрии. Все материалы по геометрии уникальны и могут использоваться любыми желающими на этом сайте.

Все материалы разбиты по классам:

Геометрия 7 классГеометрия 8 классГеометрия 9 классГеометрия 10 класс

Нужна помощь в учебе?

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Теория по геометрии — Математика

Признаки равенства треугольников

1 признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам ): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак (по трём сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки параллельности двух прямых

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;

2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны;

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны;

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180

Треугольник

1. Сумма углов треугольника равна 180

2. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона

3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон

4. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90

5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1 признак (по двум катетам): Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого , то такие треугольники равны.

2 признак (по катету и прилежащему к нему острому углу): Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3 признак (по гипотенузе и острому углу): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4 признак (по гипотенузе и катету): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Параллелограмм

Определение: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойства: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны,

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Признаки: 1)Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник-параллелограмм,

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны , то этот четырёхугольник-параллелограмм

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм

Трапеция

Определение: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Свойство средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции: Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности.

Площадь

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

2. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон

3. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию

4. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

6. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

7. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту, проведённую к одному из оснований

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одног о треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия

Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам

Теорема о биссектрисе треугольника: Биссектрисса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Признаки подобия треугольников

1 признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2 признак (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3 признак (по трём пропорциональным сторонам ): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника

Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Свойство: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы

3. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника ( т.е имеющих равные площади)

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла

Окружность

Свойства касательных к окружности

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания

2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Свойства:

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол равен дуге, на которую он опираетя

2. Если вписанный и центральный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального

3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

4. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Своиства четырёхугольника вписанного в окружность и описанного около окружности

1. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

2. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны

multiurok.ru

Рабочая программа по геометрии в 9 классе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Леонтьевская средняя общеобразовательная школа»

Рассмотрено. Согласовано. Утверждаю.

Руководителем МО Зам. директора по УВР Директор

«___»_________2016 г. «___»_________2016 г. «___»_________2016 г.

2016 г.

Рабочая программа по геометрии 9 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, программы общеобразовательных учреждений «Геометрия. 7 – 11 классы» и УМК к учебнику Погорелова А. В.

Данная рабочая программа полностью отражает базовый уровень подготовки школьников по разделам программы. Она конкретизирует содержание тем образовательного стандарта и дает распределение рабочих часов по разделу курса.

Программа выполняет две функции. Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета. Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов.

Рабочая программа включает следующие разделы: пояснительная записка, основное содержание, распределение учебных часов по разделам программы, требования к уровню подготовки учащихся данного класса, тематическое планирование учебного материала, поурочное планирование.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, она не обходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры и эстетического воспитания. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления и формирования понятия доказательства.

Изучение предмета направленно на достижение следующих целей:

На изучение предмета отводится 2 часа в неделю, итого 68 часов за учебный год.

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достичь все учащиеся, оканчивающие 9 класс, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс 9 класса. Эти требования структурированы по трем компонентам: знать, уметь, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Распределение учебных часов по разделам программы

Подобие фигур – 17 часов.

Решение треугольников – 11 часов.

Многоугольники – 12 часов.

Площади фигур – 14 часов.

Элементы стереометрии – 6 часов.

Повторение курса планиметрии – 8 часов.

Навыки работы в указанных разделах являются базовыми, поэтому имеется необходимость заложить и отработать их в 9 классе. В каждом из разделов уделяется внимание привитию навыков самостоятельной работы.

На протяжении изучения материала предполагается закрепление и отработка основных умений и навыков, их совершенствование, а также систематизация полученных раннее знаний, таким образом, решаются следующие задачи:

В ходе изучения материала планируется проведение пяти контрольных работ.

Начальные понятия и теоремы геометрии. Многоугольники. Окружность и круг. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток.

Треугольник. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.

Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Касательная и секущая к окружности, равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.

Измерение геометрических величин. Длина окружности, число ; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь четырехугольника. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных фигур. Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.

В результате изучения курса учащиеся должны:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

Тематическое планирование по геометрии в 9 классе

Геометрия: учебник для 7 – 9 класса общеобразовательных учреждений. / под. ред. Погорелова А. В. – М.: Просвещение, 2013.

Календарно-тематическое планирование по геометрии в 9 классе

№ п/п	Содержание учебного материала	Домашнее задание	Дата план.	Дата факт.
I триместр (2 часа в неделю, 22 часа за триместр)
Подобие фигур (17 часов)
1	Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия	П. 100 – 101, в. 1 – 4, № 2, 4
2	Подобие фигур	П. 102, вопросы 5 – 6, № 6, 7, 8
3	Признак подобия треугольников по двум углам	П. 103, вопрос 7, № 13, 15, 16
4	Признак подобия треугольников по двум углам. Решение задач	№ 19, 20(2), 21
5	Признак подобия треугольников по двум углам. Решение задач	№ 24, 26, 28
6	Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними	П. 104, вопрос 8, № 31, 33
7	Признак подобия треугольников по трем сторонам	П. 105, вопрос 9, № 35(1, 3), 36
8	Признак подобия треугольников по трем сторонам. Решение задач	№ 38, 29
9	Признаки подобия треугольников. Решение задач	По записи
10	Подобие прямоугольных треугольников	П. 106, вопросы 10 – 12, № 39(2), 41, 42
11	Подобие прямоугольных треугольников. Решение задач	№ 44, 45, 47
12	Углы, вписанные в окружность	П. 107, вопросы 13 – 16, № 48(2), 50, 51
13	Углы, вписанные в окружность. Решение задач	№ 55, 57, 59
14	Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности	П. 108, вопрос 17, № 62, 64
15	Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Решение задач	По записи
16	Решение задач по теме «Подобие фигур»	По записи
17	Контрольная работа № 1 по теме «Подобие фигур»	П. 101 – 108, по записи
Решение треугольников (11 часов)
18	Теорема косинусов. Анализ к/р	П. 109, вопросы 1 – 2, № 2, 4, 5
19	Теорема косинусов. Решение задач	№ 7, 9, 11
20	Теорема синусов	П. 110, в.3, № 12,15
21	Теорема синусов. Решение задач	По записи
22	Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами	П. 111, вопрос 4, № 19, 21, 23
II триместр (2 часа в неделю, 23 часа за триместр)
23	Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами. Решение задач	По записи
24	Решение треугольников	П. 112, № 26(2, 4), 27(2)
25	Решение треугольников	№ 27(4, 6), 28(2)
26	Решение треугольников	№ 28(4), 29(2,4,6)
27	Урок обобщающего повторения по теме «Решение треугольников»	П. 109 – 112, по записи
28	Контрольная работа № 2 по теме «Решение треугольников»	П. 109 – 112, по записи
Многоугольники (12 часов)
29	Ломаная. Анализ к/р	П. 113, вопросы 1 – 2, № 4, 6, 7
30	Выпуклые многоугольники	П. 114, вопросы 3 – 7, № 9, 10
31	Правильные многоугольники	П. 115, вопросы 8 – 9, № 12(2), 13(2), 15
32	Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников	П. 116, вопросы 10 – 11, № 18, 20, 22
33	Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников. Решение задач	№ 26, 27, 29
34	Построение некоторых правильных многоугольников. Подобие правильных выпуклых многоугольников	П. 117 – 118, вопросы 12 – 14, № 31, 33
35	Длина окружности	П. 119, в.15 – 16, № 34(2), 37, 38
36	Длина окружности. Решение задач	№ 40(2,3), 41(2,3)
37	Радианная мера угла	П. 120, вопросы 17 – 18, № 43(2, 4), 44(2, 4, 6)
38	Радианная мера угла. Решение задач	№ 46(2, 4, 6), 48(2),49(3),51(2,4,6)
39	Решение задач по теме «Многоугольники»	П. 113 – 120, по записи
40	Контрольная работа № 3 по теме «Многоугольники»	П. 113 – 120, по записи
Площади фигур (14 часов)
41	Понятие площади. Площадь прямоугольника. Анализ к/р	П. 121 – 122, в. 1 – 2, № 3, 5, 7
42	Площадь параллелограмма	П. 123, вопрос 3, № 10, 12, 13
43	Площадь треугольника	П. 124, вопросы 4 – 5, № 17, 19, 21
44	Площадь треугольника. Решение задач	№ 23, 25, 26
45	Формула Герона для площади треугольника	П. 125, № 30(2, 4, 6), 32(2)
III триместр (2 часа в неделю, 23 часа за триместр)
46	Формула Герона для площади треугольника. Решение задач	№ 34, 36(2, 4)
47	Площадь трапеции	П. 126, вопрос 6, № 38, 39, 41
48	Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника	П. 127, № 43 (2, 4), 45
49	Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. Решение задач	№47, 48
50	Площади подобных фигур	П. 128, вопрос 7, № 50, 51
51	Площадь круга	П. 129, вопр. 8 – 9, № 54(2), 56(2), 57
52	Площадь круга. Решение задач	№ 58, 59(2, 4, 6), 62(3)
53	Решение задач по теме «Площади фигур»	П. 121 – 129, по записи
54	Контрольная работа № 4 по теме «Площади фигур»	П. 121 – 129, по записи
Элементы стереометрии (6 часов)
55	Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Анализ к/р	П. 130 – 131, № 3, 5(2), 7(2)
56	Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве	П. 132, № 10(2, 4), 13, 14
57	Многогранники	П. 133, № 18, 22, 25
58	Многогранники. Решение задач	№ 27, 29, 30
59	Тела вращения	П. 134, № 46, 47, 51
60	Тела вращения. Решения задач	П. 134, по записи
Повторение курса планиметрии (8 часов)
61	Повторение по теме «Основные свойства простейших геометрических фигур»	По записи
62	Повторение по теме «Треугольники»	По записи
63	Повторение по теме «Четырехугольники»	По записи
64	Повторение по теме «Векторы»	По записи
65	Повторение по темам «Подобие», «Решение треугольников»	По записи
66	Повторение по темам «Многоугольники», «Площади фигур»	По записи
67	Итоговая контрольная работа	По записи
68	Анализ итоговой контрольной работы. Итоги года	По записи

multiurok.ru