ГДЗ решебник Алгебра 9 класс
Давно уже в прошлое мнение, что решебники – это книги для ленивых и двоечников. Сейчас любой продвинутый преподаватель имеет в своем арсенале набор из решебников. В особенности, это касается выпускных классов – таких, как девятый и одиннадцатый. А, если говорить о точных науках, то ГДЗ по ним иметь просто необходимо.
Решебник к учебнику по алгебре за девятый класс
«ГДЗ по алгебре 9 класс» заслуживает особое внимание, так как составлялся на основе синтеза знаний и накопленного многолетнего опыта. Никто не будет спорить, что алгебра довольно сложный предмет и может поставить в тупик, даже отличника. По этому, готовые домашние задания просто необходимо иметь под рукой, чтобы всегда была возможность посмотреть оптимальный вариант решения той или иной задачи и получить должный опыт и понимание проблемы. Тем более, то некоторые преподаватели задают домашние задания, как бы на перспективу, то есть, не до конца осветив изучаемую тему.
Однако, как показывает практика, спрос с учеников от этого не уменьшается. Вот решебники и выступят способом борьбы с непрофессионализмом учительского состава. Большим плюсом современного мира является — сеть интернет, получившая, на сегодняшний, широкое развитие. Теперь и решебники ученики могут просмотреть онлайн или просто скачать. Достаточно просто ввести требуемый номер, чтобы получить ответы. А на контрольной – это может стать шпаргалкой в режиме реального времени, так как у большинства сейчас на мобильном телефоне есть выход в сеть интернет. Чтобы понять, чем же так хорош, именно, решебник по алгебре за 9 класс необходимо рассмотреть его основные преимущества пунктуально. ГДЗ решает следующие задачи:
- Возможность проанализировать свои ошибки.
- Стремление к оптимизации получаемого результата.
- Возможность проверить итог, используя готовые домашние задания.
Ключевые преимущества решебника
ГДЗ имеет ряд положительных особенностей.
- Составлялся решебник на основе анализа многолетнего опыта.
- Все решения оптимизированы, то есть выбран наиболее простой способ для получения конечного результата. Зачастую, простота решения той или иной задачи или уравнения могут удивить, даже преподавателя алгебры с большим стажем.
- Все пояснения приводятся доступными языком, при чем количество пояснений минимизировано, чтобы не отвлекаться от процесса решения алгебраических заданий.
С нашим порталом знания даются проще!
Персональный сайт учителя математики — математика
Математика остаётся олицетворением науки, символом мудрости, царицей всех наук. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Волошинов А.
Использование образовательных ресурсов сети Интернет способно существенно разнообразить содержание и методику обучения математике. Ресурсы, собранные в данном разделе, помогут учителю подготовить и провести не только уроки математики, но и занятия математических кружков; предложить ученикам оригинальные и занимательные задачи на смекалку, логические задачи и математические головоломки; подготовить школьников к участию в математических олимпиадах и конкурсах.
Среди образовательных ресурсов сети Интернет особое место занимают учебные и методические материалы, разработанные педагогами и опубликованные ими на собственных сайтах. Такие материалы содержат оригинальные авторские разработки и результаты обобщения педагогического опыта обучения математике, в том числе алгебре и геометрии.
Геометрия 9 класс к учебнику Атанасян Л.С.
1. Задачи на готовых чертежах Э.Н. Балаян
2. Конспекты. Ершова А.П.
3. Поурочные разработки. Гаврилова Н.Ф.
4. Рабочая тетрадь. Л.С.Атанасян
Алгебра 9 класс к учебнику Мордкович А.Г
1. Самостоятельные работы. Александрова.
2. Блицопрос. Е.Е. Тульчинская.
3. Конспекты. А.П.Ершова
3. Поурочные разработки. А.Н.Рурукин.
4. Рабочая тетрадь. Е.М.Ключникова
Математика 6 класс к учебнику Мордковича А.Г.
1. Математика. 6 класс. Ерина. Рабочая тетрадь в 2 ч.
: 1 часть; 2 часть
2. Рабочая тетрадь по математике. Зубарева. 6 класс. 1 часть; 2 часть
3. Математика. 6 класс. Поурочные планы по учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. 22.10.2016г, ссылка удалена по требованию изд-ва «Учитель»
4. Математика. 6 класс. ГИА
5. Математика. 6 класс. Тетрадь для контрольных работ № 1 и № 2.
6. Математика. 5-6 классы. Тесты.
7. Математика. 6 класс. Блицопрос.
8. Математика. 5-6 классы. Методическое пособие для учителя.
9. Сборник задач и упражнений по математике.
10. Дидактические материалы по математике.
11. Тесты по математике.
Математика 5 класс к учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович
Алгебра 8 класс к учебнику Мордкович А.Г
Геометрия 8 класс к учебнику Атанасян Л.С.
Алгебра 8 класс (Макарычев Ю.Н.)
- Дидактические материалы Жохов, Макарычев, Миндюк скачать
- Поурочные планы по учебнику Макарычева скачать
- Самостоятельные и контрольные работы скачать
- Тесты к учебнику Макарычева скачать
- Изучение алгебры 7-9, пособие для учителя скачать
ГДЗ решебники по алгебре за 9 класс
Алгебра 9 класс
Учебник
Арефьева, Пирютко
Народная асвета
Алгебра 9 класс
Учебник
Макарычев, Миндюк, Нешков
Просвещение
Алгебра 9 класс
Учебник
Никольский, Потапов
Просвещение
Алгебра 9 класс
Учебник
Колягин, Ткачева, Фёдорова
Просвещение
Алгебра 9 класс
Учебник
Алимов
Просвещение
Алгебра 9 класс
Учебник
Мерзляк, Полонский, Якир
Вентана-Граф
Алгебра 9 класс
Тесты, Базовый уровень
Мордкович, Тульчинская
Мнемозина 2013-2019
Алгебра 9 класс
Учебник
Дорофеев, Суворова
Просвещение
Алгебра 9 класс
Учебник
Алгоритм успеха
Мерзляк, Поляков
Вентана-граф
Алгебра 9 класс
Самостоятельные и контрольные работы
А.
П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова
Илекса 2015
Учебник
Муравин, Муравина
Экзамен
Алгебра 9 класс
Сборник задач
Мордкович, Александрова, Мишустина
Мнемозина
Алгебра 9 класс
Рабочая тетрадь
Ткачёва, Фёдорова
Просвещение
Алгебра 9 класс
Рабочая тетрадь
Ключникова, Комиссарова
Экзамен
Алгебра 9 класс
Рабочая тетрадь
Миндюк, Шлыкова
Просвещение
Алгебра 9 класс
Рабочая тетрадь
Минаева, Рослова
Просвещение
Алгебра 9 класс
Тетрадь для самостоятельных работ
Александрова
Мнемозина
Алгебра 9 класс
Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ
Журавлев, Малышева
Экзамен
Алгебра 9 класс
Тетрадь для самостоятельных и контрольных работ
Попов
Экзамен
Алгебра 9 класс
Тетрадь для контрольных работ
Кузнецова, Минаева
Просвещение
Алгебра 9 класс
Тетрадь для контрольных работ
Александрова
Мнемозина
Алгебра 7-9 класс
Тетрадь для контрольных работ
Мордкович
Алгебра 9 класс
Тесты
Чулков, Струков
Просвещение
Алгебра 9 класс
Тесты
Дудницын, Кронгауз
Просвещение
Алгебра 9 класс
Тесты
Ключникова, Комиссарова
Экзамен
Алгебра 9 класс
Тесты
Глазков, Варшавский
Экзамен
Алгебра 9 класс
Тесты
Ткачева
Просвещение
Алгебра 7-9 класс
Тесты
Мордкович, Тульчинская
Мнемозина
Алгебра 9 класс
Дидактические материалы
Мерзляк, Полонский, Рабинович
Вентана-Граф
Алгебра 9 класс
Дидактические материалы
Зив, Гольдич
Петроглиф
Алгебра 9 класс
Дидактические материалы
Евстафьева, Карп
Просвещение
Алгебра 9 класс
Дидактические материалы
Макарычев, Миндюк, Крайнева
Просвещение
Алгебра 9 класс
КИМ
Глазков, Гаиашвили
Экзамен
Девятый класс является переходной вехой для подростков: кто-то отправится поступать в ВУЗы и др.
Возможные сложности.
Как правило, у детей с математическим складом ума проблем практически не возникает, но и они могут испытывать дискомфорт при изучении квадратичных уравнений. Подростки же с гуманитарным складом ума могут более или менее освоить теорию, но вот при практической части им придется тяжеловато.
Чем помочь.
Чтобы школьник чувствовал себя уверенно на уроках, он должен хорошо знать тему урока, а для этого можно воспользоваться ГДЗ по алгебре 9 класс, который поможет ему разобраться со всеми нюансами.
Графическое решение систем линейных неравенств
Решение неравенств. Неравенства бывают разных типов и требуют разного подхода к их решению. Если вы не хотите тратить время и силы на устранение неравенств, или вы сами решили неравенство и хотите проверить, правильно ли вы получили ответ, то мы предлагаем вам решать проблемы неравенства онлайн и использовать для этого наш сервис Math34.su. Он решает как линейные, так и квадратные неравенства, включая иррациональные и дробные неравенства.Обязательно укажите обе стороны неравенства в соответствующих полях и выберите знак неравенства между ними, затем нажмите кнопку «Решение». Чтобы продемонстрировать, как сервис реализует решение проблемы неравенства, вы можете просмотреть различные примеры и их решения (выбранные справа от кнопки «Решение»). Сервис предоставляет как интервалы решения, так и целые числа. Пользователи, впервые заходящие на Math34.su, восхищаются высокой скоростью работы сервиса, ведь вы можете решать неравенства онлайн за считанные секунды, а пользоваться сервисом можно абсолютно бесплатно неограниченное количество раз.
Д. В математике смысл неравенств не теряется, но здесь речь идет уже о неравенстве математических объектов: чисел, выражения, значения величин, формы и т. д. Принято использовать несколько знаков неравенства :, ≤, ≥.Математические выражения с такими знаками и называются неравенствами. Знак> (больше) ставится между большим и меньшим объектами. Знак обозначает строгие неравенства. Неравенства Лакса описывают ситуацию, когда одно выражение «не больше» («не меньше»), чем другое. «Не больше» означает меньше или то же самое, а «не меньше» означает больше или то же самое.В этом уроке мы начнем изучать системы неравенства. Сначала рассмотрим системы линейных неравенств… В начале урока мы рассмотрим, где и почему возникают системы неравенства. Далее мы изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце решим конкретные примеры для систем линейных неравенств.
Тема : Рацион Реальное неравенство и его системы
Урок: Основные концепции, решение систем линейных неравенств
До сих пор мы решали индивидуальные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это могло быть линейных неравенств , а также квадратные и рациональные .
Теперь перейдем к решению систем неравенств — сначала линейных систем … Рассмотрим пример, откуда возникает необходимость рассматривать системы неравенств.
Найти область определения функции
Найти область определения функции
Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е.
Как решить такую систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенствам.
На оси Ox начертите множество решений первого и второго неравенств.
Наше решение — интервал пересечения двух лучей.
Этот метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыши.
Решение системы — пересечение двух множеств.
Изобразим это графически. У нас есть множество A произвольной природы и множество B произвольной природы, которые пересекаются.
Определение: пересечение двух наборов A и B является третьим набором, который состоит из всех элементов, включенных как в A, так и в B.
Рассмотрим на конкретных примерах решения линейных систем неравенств, как найти пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Решите систему неравенств:
Ответ: (7; 10].
4. Решите систему
Откуда взялось второе неравенство системы? Например, из неравенства
Обозначим графически решения каждого неравенства и найдем интервал их пересечения.
Таким образом, если у нас есть система, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.
Ответ: система несовместима.
Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.
Рассмотрим следующую систему.
7.
Иногда линейная система задается двойным неравенством; рассмотрим этот случай.
8.
Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли, откуда они берутся, рассмотрели типовые системы, к которым сводятся все линейные системы, и решили некоторые из них.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учебное пособие. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М .: Мнемосина, 2002.-192 с .: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемосина, 2002.-143 с .: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учебник. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. — 7-е изд., Перераб. И доп. — М .: Мнемосина, 2008.
.4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., Стер. — М .: 2010. — 224 с .: Ил.
. 6. Алгебра. 9 класс. В 14.00 ч. 2. Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н.
Мишустина и др .; Эд. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Перераб. — М .: 2010.-223 с .: ил.
1. Портал естественных наук ().
2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().
4. Образовательный центр «Технологии обучения» ().
5. Раздел College.ru по математике ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: ил. № 53; 54; 56; 57.
Урок и презентация на тему: «Системы неравенств. Примеры решений»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Учебные пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса «Правила и упражнения по геометрии»
Электронное учебное пособие «Четкая геометрия» для 7-9 классов
Система неравенств
Ребята, вы изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи по этим темам.
Теперь перейдем к новому понятию в математике — системе неравенств. Система неравенств аналогична системе уравнений.Вы помните системы уравнений? Системы уравнений, которые вы изучали в седьмом классе, постарайтесь вспомнить, как вы их решали. Введем определение системы неравенств.
Несколько неравенств с некоторой переменной x образуют систему неравенств, если нужно найти все значения x, для которых каждое из неравенств образует правильное числовое выражение.
Любое значение x, которое делает каждое неравенство допустимым числовым выражением, является решением неравенства.Это тоже можно назвать частным решением.
Какое конкретное решение? Например, в ответ мы получили выражение x> 7. Тогда x = 8, или x = 123, или какое-то другое число больше семи — частное решение, а выражение x> 7 — общее решение … Общее Решение состоит из множества частных решений.
Как мы объединили систему уравнений? Правильно, с фигурной скобкой, так же и с неравенствами. Рассмотрим пример системы неравенств: $ \ begin (cases) x + 7> 5 \\ x-3
Если система неравенств состоит из одинаковых выражений, например, $ \ begin (cases) x + 7 > 5 \\ x + 7
Итак, что значит найти решение системы неравенств?
Решение неравенства — это набор частных решений неравенства, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам системы.
Запишем общий вид системы неравенств в виде $ \ begin (cases) f (x)> 0 \\ g (x)> 0 \ end (cases) $
Обозначим через $ X_1 $ общее решение неравенства f (x)> 0.
$ X_2 $ — общее решение неравенства g (x)> 0.
$ X_1 $ и $ X_2 $ — набор частных решений.
Решением системы неравенств будут числа, принадлежащие как $ X_1 $, так и $ X_2 $.
Вспомним множество операций.Как мы можем найти элементы множества, которые принадлежат сразу обоим множествам? Правильно, для этого есть операция пересечения. Итак, решением нашего неравенства будет множество $ A = X_1∩ X_2 $.
Примеры решения систем неравенств
Рассмотрим примеры решения систем неравенств. Решите систему неравенств.
a) $ \ begin (case) 3x-1> 2 \\ 5x-10 b) $ \ begin (cases) 2x-4≤6 \\ — x-4
Решение.
а) Решите каждое неравенство отдельно.
$ 3x-1> 2; \; 3x> 3; \; x> 1 $.
$ 5x-10
Разметим наши интервалы на одной координатной прямой.
Решением системы будет отрезок пересечения наших интервалов. Неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым.
Ответ: (1; 3).
B) Также мы решаем каждое неравенство отдельно.
$ 2x-4≤6; 2x≤ 10; х ≤ 5 $.
$ -x-4-5 $.
Решением системы будет отрезок пересечения наших интервалов.Второе неравенство строгое, тогда отрезок будет открыт слева.
Ответ: (-5; 5].
Подведем итог полученным знаниям.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $ \ begin (cases) f_1 (x)> f_2 (x) \\ g_1 (x )> g_2 (x) \ end (cases) $.
Тогда интервал ($ x_1; x_2 $) является решением первого неравенства.
Интервал ($ y_1; y_2 $) является решением второго неравенства
Решение системы неравенств — это пересечение решений каждого неравенства.
Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других типов неравенств.
Важные правила решения систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, значит, нет решений для всей системы.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменной, то решение системы будет решением другого неравенства.
Примеры.2 + 4x + 4> 0 \ end (case) $.
Решение.
а) Первое неравенство имеет решение x> 1.
Найдем дискриминант второго неравенства.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $ D Напомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, значит, нет решений у всей системы.
Ответ: Нет решений.
B) Первое неравенство имеет решение x> 1.
Второе неравенство больше нуля для всех x. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.2 + 36
Системой неравенств принято называть любой набор из двух и более неравенств, содержащих неизвестную величину.
Эту формулировку наглядно иллюстрируют, например, таких систем неравенств :
Решите систему неравенств — означает найти все значения неизвестной переменной, для которых реализуется каждое неравенство системы, или доказать, что таких нет.
Следовательно, для каждого отдельного системных неравенств вычисляют неизвестную переменную.Далее из полученных значений выбираются только те, которые верны как для первого, так и для второго неравенства. Следовательно, при замене выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.
Разберем решение нескольких неравенств:
Поместите одну пару числовых линий под другую; вверху мы применим значение x , для которого первые неравенства примерно ( x > 1) станут истинными, а внизу значение NS , которые являются решением второго неравенства ( NS > 4).
Сравнивая данные на числовых прямых , обратите внимание, что решением для обоих неравенств будет NS > 4. Ответ, NS > 4.
Пример 2.
Вычисляя первое неравенство , получаем -3 NS x> 2, второе — NS > -8, или NS NS, при котором первое системное неравенство , а на нижней числовой строке все те значения NS , при которых реализуется второе неравенство системы.
Сравнивая данные, мы обнаруживаем, что оба неравенства будут реализованы для всех значений NS , размещенных от 2 до 8. Наборы значений NS обозначают двойное неравенство 2 NS
Пример 3. Найдите
Графический метод решения систем уравнений. Графический способ решения уравнений
Муниципальное государственное образовательное учреждение
Поповская общеобразовательная школа
имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева
Открытый урок
учителя математики
Воронина Вера Владимировна,
по математике в 9 классе
на тему: «Графический способ решения систем уравнений»
Тип урока: урок по изучению нового материала.
2017/2018 учебный год
Графический метод решения систем уравнений. 9 класс
Воронина Вера Владимировна, учитель математики.
ли урок:
дидактический:
открыть вместе со студентами новый способ решения систем уравнений;
выводят алгоритм решения систем уравнений в графическом виде;
уметь определять, сколько решений имеет система уравнений;
научиться находить решения системы уравнений в графическом виде;
повторить построение графиков элементарных функций;
создать условия для контроля (самоконтроля) обучающихся:
образовательных:
воспитание ответственного отношения к работе,
аккуратного ведения делопроизводства.
Во время занятий.
I. Организационный момент.
Что такое функция? (слайд 3-11)
Что называется графиком функций?
Какие функции вам известны?
Какова формула линейной функции? Что такое линейный функциональный график?
Какова формула прямой пропорциональности? Какой у нее график?
Какова формула обратной пропорциональности? Какой у нее график?
Какова формула квадратичной функции? Какой у нее график?
Какое уравнение задает уравнение круга?
То, что называется графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)
Организовано знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике, и их графиками (строфоид, лемниската Бернулли, астроид, кардиоида).(слайд 13-16)
Рассказ учителя сопровождается слайд-шоу с этими графиками.
Выразите переменную y через переменную x:
a) y — x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x — y + 3 = 0
d) xy = -12
Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
a) x² + y = 1;
б) ху + 3 = х;
c) y (x +2) = 0.
Каково решение системы уравнений с двумя переменными?
Какая из пар чисел является решением системы уравнений
a) (6; 3)
b) (- 3; — 6)
at 21)
d) (3; 0)
Какие уравнения можно использовать для составления системы уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
a) 2x — y = 3
b) 3x — 2y = 5
c) x² + y² = 4
г) xy = 2
III.Обновление знаний студентов по изученному материалу … (слайд 20, 21)
Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью визуального восприятия (на слайде показано графическое решение системы уравнений):
График уравнения с двумя переменными — это совокупность точек на координатной плоскости, координаты которых поворачивают уравнение. в истинное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными очень разнообразны.
Вопросы к этому слайду:
Какой график уравнения x² + y² = 25?
Какой график уравнения y = — x² + 2x +5?
Координаты любой точки окружности удовлетворяют уравнению x² + y² = 25, координаты любой точки параболы удовлетворяют уравнению y = — x² + 2x +5.
Координаты каких точек удовлетворяют как первому, так и второму уравнениям?
Сколько точек пересечения у этих графиков?
Сколько решений в этой системе?
Как называются эти решения?
Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?
Предлагается слайд, на котором показан алгоритм графического метода решения систем уравнений с двумя неизвестными.
Графический способ может быть применен к решению любой системы, но, используя графики уравнений, можно приблизительно найти решения системы. Только некоторые из найденных решений системы могут быть точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.
IV. Применение изучаемого метода для решения систем уравнений.
1. Решите систему уравнений графически (слайд 23)
Каков график уравнения xy = 3?
Какой график уравнения 3x — y = 0?
2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и ее решение. (слайд 24)
Задаем наводящие вопросы:
Запишите систему, определяемую этими уравнениями?
Сколько точек пересечения у этих графиков?
Сколько решений имеет эта система уравнений?
Каковы решения этой системы уравнений?
3. Выполнение задания от ГИА (слайд 25).
4. Решите систему уравнений графически (слайд 26)
Задание выполняют студенты в тетрадях.Решение проверяется.
V. Краткое содержание урока.
Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
Какой метод решения систем уравнений с двумя переменными вы встречали?
В чем его суть?
Дает ли этот метод точные результаты?
Когда система уравнений не будет иметь решений?
Vi. Домашнее задание.
стр. 18, № 420 (237), 425 (240)
Видеоурок «Графический метод решения систем уравнений» представляет собой учебный материал для усвоения данной темы.Материал содержит общую концепцию решения системы уравнений, а также подробное объяснение на примере того, как система уравнений решается графически.
В наглядном пособии используется анимация, чтобы сделать конструкции более удобными и понятными, а также различные способы выделения важных понятий и деталей для более глубокого понимания материала, лучшего запоминания.
Видеоурок начинается с введения в тему. Ученикам напоминают, что такое система уравнений, и с какими системами уравнений им уже приходилось знакомиться в 7 классе.Раньше студентам приходилось решать системы уравнений вида ax + by = c. Углубляя понятие решения систем уравнений и с целью формирования умения их решать, в этом видеоуроке рассматривается решение системы, состоящей из двух уравнений второй степени, а также одного уравнения второй степени, а также второго. — первой степени. Это напоминает о том, что такое решение системы уравнений. Определение решения системы как пары значений переменных, которые преобразуют ее уравнения, при подстановке в правильное равенство отображается на экране.В соответствии с определением решения системы задача конкретизируется. Это отображается на экране, чтобы помнить, что решение системы означает поиск подходящих решений или доказательство их отсутствия.
Предлагается освоить графический метод решения определенной системы уравнений. Применение этого метода рассматривается на примере решения системы, состоящей из уравнений x 2 + y 2 = 16 и y = -x 2 + 2x + 4. Графическое решение системы начинается с построения графика каждого из эти уравнения.Очевидно, график уравнения x 2 + y 2 = 16 будет окружностью. Точки, принадлежащие этой окружности, являются решением уравнения. Рядом с уравнением на координатной плоскости строится окружность радиуса 4 с центром O в начале координат. График второго уравнения представляет собой параболу с ветвями вниз. Эта парабола нанесена на координатную плоскость, которая соответствует графику уравнения. Любая точка, принадлежащая параболе, является решением уравнения y = -x 2 + 2x + 4.Объясняется, что решение системы уравнений — это точки на графиках, которые принадлежат одновременно графикам обоих уравнений. Это означает, что точки пересечения построенных графиков будут решениями системы уравнений.
Отмечено, что графический метод заключается в нахождении приблизительного значения координат точек, расположенных на пересечении двух графиков, которые отражают множество решений каждого уравнения системы.На рисунке показаны координаты найденных точек пересечения двух графиков: A, B, C, D [-2; -3,5]. Эти точки являются решениями системы уравнений, найденных графически. Вы можете проверить их правильность, подставив их в уравнение и получив справедливое равенство. После подстановки точек в уравнение можно увидеть, что некоторые точки дают точные значения решений, а часть представляет собой приблизительное значение решения уравнения: x 1 = 0, y 1 = 4; х 2 = 2, у 2 ≈3.5; x 3 ≈3,5, y 3 = -2; х 4 = -2, 4 = -3,5.
Видеоурок подробно объясняет суть и применение графического метода решения системы уравнений. Это дает возможность использовать его как видеоурок на уроке алгебры в школе при изучении данной темы. Кроме того, материал будет полезен учащимся самообучения и может помочь в разъяснении темы при дистанционном обучении.
В этом уроке мы рассмотрим решение систем двух уравнений с двумя переменными.Сначала рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее мы решим несколько систем графически.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графический метод решения системы уравнений
Рассмотрим систему
Пара чисел, которая одновременно является решением как первого, так и второго уравнений системы, называется путем решения системы уравнений .
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.
Пример 1. Решить систему
Решение:
это линейные уравнения, график каждого из которых представляет собой прямую линию. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0).Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это решение системы уравнений (Рис. 1).
Решение системы — пара чисел. Подставляя эту пару чисел в каждое уравнение, получаем правильное равенство.
Получилось единственное решение линейной системы.
Напомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:
у системы только одно решение — линии пересекаются,
система не имеет решений — прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений — прямые совпадают.
Мы рассмотрели частный случай системы, когда p (x; y) и q (x; y) являются линейными выражениями по x и y.
Пример 2. Решите систему уравнений
Решение:
График первого уравнения представляет собой прямую линию, график второго уравнения — круг. Построим первый график по точкам (рис. 2).
Центр круга находится в точке O (0; 0), радиус 1.
Графики пересекаются в точке A (0; 1) и точке B (-1; 0).
Пример 3. Решить систему графически
Решение: Построим график первого уравнения — это круг с центром в точке O (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения представляет собой параболу. Он сдвинут относительно начала координат на 2 вверх, т.е. его вершиной является точка (0; 2) (рис. 3).
Графики имеют одну общую точку — точку A (0; 2). Это решение системы. Давайте подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить, верны ли они.
Пример 4. Решить систему
Решение: Построим график первого уравнения — это круг с центром в точке O (0; 0) и радиусом 1 (рис. 4).
Построим график функции Это полилиния (рис. 5).
Теперь переместим его на 1 вниз по оси oy. Это будет график функции
Поместим оба графика в одну систему координат (рис. 6).
Получаем три точки пересечения — точка A (1; 0), точка B (-1; 0), точка C (0; -1).
Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если вы можете построить график для каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода будет достаточно.
Но часто графический метод позволяет найти только приблизительное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нам нужны другие методы, более точные, и мы разберемся с ними в следующих уроках.
1. Мордкович А.Г.и другие. Алгебра 9 класс: Учебное пособие. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М .: Мнемосина, 2002.-192 с .: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемосина, 2002.-143 с .: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учебник. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов.- 7-е изд., Перераб. И доп. — М .: Мнемосина, 2008.
.4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. — 12-е изд., Стер. — М .: 2010. — 224 с .: Ил.
.6. Алгебра. 9 класс. В 14.00 ч. 2. Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т. Н. Мишустина и другие; Эд. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Перераб. — М .: 2010.-223 с .: ил.
1. Раздел College.ru по математике ().
2. Интернет-проект «Задачи» ().
3. Образовательный портал «Решу ЕГЭ» ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: ил. № 105, 107, 114, 115.
Графический способ решения систем уравнений
(9 класс)
Учебник: Алгебра, 9 класс, под ред. С.А. Теляковского.
Тип урока: урок комплексного применения знаний, навыков и умений.
Задачи урока:
Образовательная: Развивать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с компьютерной программой для построения графиков функций и нахождения количества корней в заданных уравнениях.
Развитие : сформировать у учащихся способность выделять основные черты, устанавливать сходства и различия. Пополните свой словарный запас. Развивайте речь, усложняя ее смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.
Образовательный : Воспитание чувства ответственности за результат своей работы. Учите сопереживать успехам и неудачам одноклассников.
Средства обучения : компьютер, мультимедийный проектор, раздаточные материалы.
План урока:
Организация времени. Домашнее задание — 2 мин.
Актуализация, повторение, коррекция знаний — 8 мин.
Изучение нового материала — 10 мин.
Практическая работа — 20 мин.
Подведение итогов — 4 мин.
Отражение — 1 мин.
ВО ВРЕМЯ КЛАССОВ
Организационный момент — 2 мин.
Привет, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений.«
В точных науках нет таких областей знания, где бы эта тема ни применялась. Эпиграфом нашего урока являются следующие слова :« Разум не только в знаниях, но и в умении применять знания. на практике ». (Аристотель)
Изложение темы, целей и задач урока.
Учитель информирует класс о том, что будет изучено на уроке, и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными в графическом виде.
Передача на дом (Л.18 №416, 418, 419 а).
Повтор теоретического материала — 8 мин.
A) Учитель математики: Ответьте на вопросы и обоснуйте свой ответ, используя готовые чертежи.
1). Найдите график квадратичной функции D = 0 (учащиеся ответят на вопрос и назовите график 3c).
2). Найдите график обратной пропорциональной функции для k> 0 (учащиеся отвечают на вопрос, звоните на график 3 a ).
3). Найдите график круга с центром в точке O (-1; -5). (Студенты отвечают на вопрос, они называют график 1b).
4). Найдите график функции y = 3x -2. (учащиеся отвечают на вопрос и назовите график 3b).
5). Найдите график квадратичной функции D> 0, a> 0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 1 a ).
Учитель математики: — Чтобы успешно решать системы уравнений, вспомним:
1).Что называется системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, которые удовлетворяют всем этим уравнениям одновременно).
2). Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений — значит найти все решения или доказать, что решений нет).
3). Что называется решением системы уравнений? (Решение системы уравнений — это пара чисел (x; y), при которой все уравнения системы превращаются в истинные равенства).
4) Выясните, является ли решение системы уравнений
парой чисел: а) x = 1, y = 2; (-) б) х = 2, у = 4; (+) в) х = — 2, у = — 4? (+)
III Новый материал — 10 мин.
Пункт 18 учебника изложен способом разговора .
Учитель математики: В 7 классе курса алгебры мы рассматривали системы уравнений первой степени.Теперь займемся решением систем, составленных из уравнений первой и второй степени.
1. Что называют системой уравнений?
2. Что значит решить систему уравнений?
Мы знаем, что алгебраический метод позволяет находить точные решения системы, а графический метод позволяет визуально увидеть, сколько корней имеет система, и приблизительно их найти. Поэтому в следующих уроках мы продолжим учиться решать системы уравнений второй степени, и сегодня основной целью урока будет практическое использование компьютерной программы для построения графиков функций и нахождения количества корней систем уравнений.
IV . Практическая работа — 20 мин. Графическое решение систем уравнений. Определение корней уравнений. (Построение графика на компьютере.)
Задания студенты выполняют на компьютерах. Решения проверяются на лету.
y = 2x 2 + 5x +3
y = 4
y = -2x 2 + 5x + 3
y = -3x + 4
y = -2x 2 -5x-3
y = — 4 + 2x
y = 4x 2 + 5x +3
y = 2
y = -4 x 2 + 5x + 3
y = -3x + 2
y = -4x 2 -5x-3
y = -2 + 2x
y = 4 х 2 + 5 х + 5
y = 3
y = -4x 2 + 5x + 5
y = -x + 3
y = -4x 2 -5x-5
y = -2 + 3x
Перед вами графики двух уравнения.Запишите систему, определяемую этими уравнениями, и ее решение.
— Какая из следующих систем может быть решена с помощью этого рисунка?
— было дано 4 системы, их нужно было соотнести с графиками. Теперь задача обратная: да графиков , их нужно соотнести с системой.
Подведение итогов урока. Оценка — 4 мин.
* Решение систем уравнений. ( Назначение звезд * .)
Уравнения для 1-й группы студентов:
Уравнения для 2-й группы студентов:
Уравнения для 3-й группы студентов:
х y = 6
х 2 + у = 4
x 2 + y = 3
x — y + 1 = 0
x 2 — y = 3
Основные понятия, решение систем линейных неравенств.Онлайн калькулятор
Рассмотрим примеры решения системных линейных неравенств.
4x + 29 \ конец (массив) \ вправо. \] «Title =» (! LANG: обработано QuickLaTeX.com «>!}
Для решения системы необходимо каждое из составляющих ее неравенств. Только было принято решение записывать не по отдельности, а вместе, соединив их фигурной скобкой.
В каждом из неравенств системы мы переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с противоположным знаком:
Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com «>!}
После упрощения обе части неравенства нужно разделить на число перед x. Делим первое неравенство на положительное число, чтобы знак неравенства не изменился. Делим второе неравенство на отрицательное число, поэтому знак неравенства нужно поменять на противоположный:
Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com»>!}
Отмечаем решение неравенств на числовых строках:
В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка находится на обеих линиях.
Ответ: x∈ [-2; 1).
Избавимся от дроби в первом неравенстве. Для этого умножаем обе части попарно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.
Раскройте скобки во втором неравенстве. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. Справа квадрат разницы между двумя выражениями.
Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com»>!}
Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком и упрощаем:
Разделим обе части неравенства на число перед x. В первом неравенстве мы делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Во втором делим на положительное число, знак неравенства не меняется:
Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com «>!}
Оба неравенства со знаком «меньше» (не обязательно, чтобы один знак был строго меньшим, а другой — не строгим, меньшим или равным). Нам не нужно отмечать оба решения, а воспользуемся правилом «». Чем меньше 1, тем система сводится к неравенству
Отмечаем его решение в числовой строке:
Ответ: x∈ (-∞; 1].
Раскрываем скобки. В первом неравенстве -. Он равен сумме кубиков этих выражений.
Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, равное разности квадратов. Так как перед круглыми скобками стоит знак минус, их лучше открывать в два этапа: сначала использовать формулу, а уже потом открывать круглые скобки, меняя знак каждого члена на противоположный.
Перенесем неизвестные в одну сторону, известные в другую с обратным знаком:
Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com «>!}
И то, и другое больше знаков. Используя правило «больше чем больше», мы сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел — 5, следовательно,
.Title = «(! LANG: обработано QuickLaTeX.com»>!}
Отмечаем решение неравенства на числовой строке и записываем ответ:
Ответ: x∈ (5; ∞).
Так как в алгебре системы линейных неравенств встречаются не только как самостоятельные задачи, но и при решении разного рода уравнений, неравенств и т. Д., важно вовремя освоить эту тему.
В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений или его решением является любое число.
Категория: |Не все знают, как решать неравенства, похожие по структуре и отличительным особенностям с уравнениями. Уравнение — это упражнение, состоящее из двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять более или менее знак.Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительный или отрицательный), если возникает необходимость умножить обе части на какое-либо выражение. Тот же факт следует учитывать, если для решения неравенства требуется возведение в квадрат, поскольку возведение в квадрат выполняется умножением.
Как решить систему неравенств
Решать системы неравенств намного сложнее, чем обычные неравенства.Как решить неравенство в 9 классе, мы рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед решением квадратных неравенств (систем) или любых других систем неравенств необходимо решить каждое неравенство отдельно, а затем сравнить их. Решением системы неравенств будет либо положительный, либо отрицательный ответ (система имеет решение или не имеет решения).
Задача решить набор неравенств:
Решите каждое неравенство отдельно
Строим числовую линию, на которой изображаем множество решений
Поскольку набор представляет собой объединение наборов решений, этот набор в числовой строке должен быть подчеркнут хотя бы одной строкой.
Решение неравенств по модулю
Этот пример покажет вам, как решать неравенства по модулю. Итак, у нас есть определение:
Нам нужно решить неравенство:
Перед решением этого неравенства необходимо избавиться от модуля (знака)
Напишем, исходя из данных определения:
Теперь нужно решать каждую из систем отдельно.
Построим одну числовую линию, на которой мы изобразим множества решений.
В результате у нас есть коллекция, объединяющая множество решений.
Решение квадратичных неравенств
Используя числовую прямую, рассмотрим пример решения квадратичных неравенств. Имеем неравенство:
Мы знаем, что график квадратного трехчлена является параболой. Мы также знаем, что ветви параболы направлены вверх, если a> 0.
х 2 -3x-4
Используя теорему Виета, находим корни x 1 = — 1; х 2 = 4
Изобразим параболу, а точнее ее эскиз.
Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 в интервале от — 1 до 4.
У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств, таких как g (x)
На самом деле существует несколько методов решения неравенств, поэтому вы можете использовать их для решения сложных неравенств графическим способом.
Решение дробных неравенств
Дробное неравенство требует более внимательного подхода. Это связано с тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств знак может меняться.Прежде чем решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона знака выглядела как дробное рациональное выражение, а другая — «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, получаем в результате f (x) / g (x)> (.
Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов основан на методе полной индукции, то есть, чтобы найти решение неравенства, необходимо перебрать все возможные варианты… Этот метод решения может не понадобиться учащимся 8-го класса, так как им нужно знать, как решать неравенства 8-го класса, которые являются простейшими упражнениями. Но для старших классов этот метод незаменим, поскольку он помогает решить дробное неравенство. Решение неравенств с помощью этой техники также основано на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.
Построим многочлен. это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть f (x) будет равна 0 в точках x 1, x 2 и x 3, корнях многочлена.В промежутках между этими точками знак функции сохраняется.
Поскольку для решения неравенства f (x)> 0 нам нужен знак функции, переходим к координатной прямой, оставляя график.
f (x)> 0 для x (x 1; x 2) и для x (x 3;)
f (x) x (-; x 1) и для x (x 2; x 3)
На графике четко показаны решения неравенств f (x) f (x)> 0 (решение первого неравенства выделено синим цветом, а решение второго — красным).Определение Чтобы определить знак функции на интервале, достаточно знать знак функции в одной из точек. Этот прием позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть раскладывается на множители, потому что в таких неравенствах довольно легко найти корни.
В этом уроке мы начнем изучать системы неравенства. Сначала рассмотрим системы линейных неравенств. В начале урока мы рассмотрим, где и почему возникают системы неравенств.Далее мы изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце решим конкретные примеры для систем линейных неравенств.
Тема : Рацион Реальное неравенство и его системы
Урок: Основные концепции, решение систем линейных неравенств
До сих пор мы решали индивидуальные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это могло быть линейных неравенств , а также квадратные и рациональные .Теперь перейдем к решению систем неравенств — сначала линейных систем … Рассмотрим пример, откуда возникает необходимость рассматривать системы неравенств.
Найти область определения функции
Найти область определения функции
Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е.
Как решить такую систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие как первому, так и второму неравенствам.
На оси Ox начертите множество решений первого и второго неравенств.
Наше решение — интервал пересечения двух лучей.
Этот метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыши.
Решение системы — пересечение двух множеств.
Изобразим это графически. У нас есть множество A произвольной природы и множество B произвольной природы, которые пересекаются.
Определение: пересечение двух наборов A и B является третьим набором, который состоит из всех элементов, включенных как в A, так и в B.
Рассмотрим на конкретных примерах, решая линейные системы неравенств, как найти пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Решите систему неравенств:
Ответ: (7; 10].
4. Решите систему
Откуда взялось второе неравенство системы? Например, из неравенства
Обозначим графически решения каждого неравенства и найдем интервал их пересечения.
Таким образом, если у нас есть система, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.
Ответ: система несовместима.
Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.
Рассмотрим следующую систему.
7.
Иногда линейная система задается двойным неравенством; рассмотрим этот случай.
8.
Мы исследовали системы линейных неравенств, поняли, откуда они берутся, изучили типовые системы, к которым относятся все линейные системы, и решили некоторые из них.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Учебное пособие. Для общего образования. Учреждения. — 4-е изд. — М .: Мнемосина, 2002.-192 с .: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учебник. для учащихся общеобразовательных школ. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. — 7-е изд., Перераб. И доп. — М .: Мнемосина, 2008.
.4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16 изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., Стер. — М .: 2010. — 224 с .: Ил.
.6. Алгебра. 9 класс. В 2 часа, часть 2. Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др .; Эд. А.Г. Мордкович. — 12-е изд., Перераб. — М .: 2010.-223 с .: ил.
1. Портал естественных наук ().
2. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().
4. Образовательный центр «Технологии обучения» ().
5. Раздел College.ru по математике ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 класс: Задача для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М .: Мнемозина, 2002.-143 с .: ил. № 53; 54; 56; 57.
Одна из тем, требующих от учащихся максимального внимания и настойчивости, — это решение проблемы неравенства. Так похожи на уравнения и в то же время сильно от них отличаются.Потому что их решение требует особого подхода.
Свойства, необходимые для поиска ответа
Все они используются для замены существующей записи на эквивалентную. Большинство из них похожи на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.
- Функцию, определенную в ODZ, или любое число можно добавить к обеим сторонам исходного неравенства.
- Умножение возможно аналогичным образом, но только на положительную функцию или число.
- Если это действие выполняется с отрицательной функцией или числом, то знак неравенства необходимо заменить на противоположный.
- Неотрицательные функции могут быть возведены в положительную степень.
Иногда решение неравенств сопровождается действиями, дающими посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив зону междугородной телефонной связи и несколько решений.
Использование метода интервалов
Суть его в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.
- Определите область, в которой лежат допустимые значения переменных, то есть ODV.
- Преобразуйте неравенство с помощью математических операций так, чтобы в правой части неравенства был ноль.
- Замените знак неравенства на «=» и решите соответствующее уравнение.
- Отметьте на числовой оси все ответы, полученные в ходе решения, а также интервалы LRD. В случае строгого неравенства точки нужно рисовать с проколами.Если стоит знак равенства, то их предполагается закрасить.
- Определите знак исходной функции на каждом интервале, полученном из точек ODZ и ответов, делящих его. Если при переходе через точку знак функции не меняется, то она включается в ответ. В противном случае он исключен.
- Граничные точки для ODZ необходимо дополнительно проверить и только потом включать или не включать в ответ.
- Ответ, который мы получим, должен быть записан в виде конкатенированных множеств.
Немного о двойных неравенствах
В письменной форме используют сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция сразу ограничивается условиями дважды. Такие неравенства решаются как система двух, когда оригинал разбивается на части. А в методе интервалов указаны ответы от решения обоих уравнений.
Для их решения также допустимо использовать указанные выше свойства. С их помощью удобно сводить неравенство к нулю.
А как насчет неравенства с модулем?
В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, и они действительны для положительного значения «a».
Если «x» принимает алгебраическое выражение, то верны следующие изменения:
Если неравенства не строгие, то формулы также верны, только в них, помимо знака больше или меньше, «=» появляется.
Как осуществляется решение системы неравенств?
Эти знания потребуются в тех случаях, когда такая задача поставлена или есть запись о двойном неравенстве или в записи появился модуль.В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем неравенствам в записи. Если таких номеров нет, значит, у системы нет решений.
План, по которому осуществляется решение системы неравенств:
- решать каждое из них отдельно;
- отобразить все интервалы на числовой оси и определить их пересечения;
- запишите ответ системы, который будет комбинацией того, что произошло во втором абзаце.
А как насчет дробного неравенства?
Поскольку при их решении может возникнуть необходимость изменения знака неравенства, то нужно очень внимательно и внимательно следить за всеми пунктами плана. В противном случае вы можете получить противоположный ответ.
При решении дробных неравенств также используется интервальный метод. И план действий будет таким:
- Используя описанные свойства, задайте дробь так, чтобы справа от знака оставался только ноль.
- Замените неравенство на «=» и определите точки, в которых функция будет равна нулю.
- Отметьте их на координатной оси. В этом случае числа, полученные в результате вычислений в знаменателе, всегда будут выколоты. Все остальные основаны на условии неравенства.
- Определите интервалы постоянства.
- В ответ запишите объединение тех интервалов, знак которых соответствует знаку в исходном неравенстве.
Ситуации, когда в неравенстве проявляется иррациональность
Другими словами, в записи есть математический корень.Так как в школьном курсе алгебры большинство задач приходится на квадратный корень, именно он будет рассматриваться.
Решение иррациональных неравенств сводится к получению системы из двух или трех, которая будет эквивалентна исходной.
| Исходное неравенство | условие | эквивалентная система |
| √ n (x) | m (x) меньше или равно 0 | нет решений |
| m (x) больше 0 | n (x) больше или равно 0 n (x) | |
| √ n (x)> m (x) | m (x) больше или равно 0 n (x)> (m (x)) 2 | |
n (x) больше или равно 0 m (x) меньше 0 | ||
| √n (x) ≤ m (x) | m (x) меньше 0 | нет решений |
| m (x) больше или равно 0 | n (x) больше или равно 0 n (x) ≤ (m (x)) 2 | |
| √n (x) ≥ m (x) | m (x) больше или равно 0 n (x) ≥ (m (x)) 2 | |
n (x) больше или равно 0 m (x) меньше 0 | ||
| √ n (x) | n (x) больше или равно 0 n (x) меньше m (x) | |
| √n (x) * m (x) | n (x) больше 0 m (x) меньше 0 | |
| √n (x) * m (x)> 0 | n (x) больше 0 m (x) больше 0 | |
| √n (x) * m (x) ≤ 0 | n (x) больше 0 | |
n (x) равно 0 m (x) -any | ||
| √n (x) * m (x) ≥ 0 | n (x) больше 0 | |
n (x) равно 0 m (x) -any |
Примеры решения различных типов неравенств
Чтобы внести ясность в теорию решения неравенств, ниже приведены примеры.
Первый пример. 2x — 4> 1 + x
Решение: Достаточно внимательно посмотреть на неравенство, чтобы определить DHS. Он формируется из линейных функций, поэтому определен для всех значений переменной.
Теперь вам нужно вычесть (1 + x) из обеих частей неравенства. Получается: 2x — 4 — (1 + x)> 0. После того, как скобки будут раскрыты и будут даны аналогичные члены, неравенство примет следующий вид: x — 5> 0.
Приравняв его к нулю, получим Ее решение легко найти: x = 5.
Теперь эту точку нужно отметить цифрой 5 на координатном луче. Затем проверьте признаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, полученное после преобразований. После расчетов получается -7> 0. Под дугой интервала нужно поставить знак минус.
На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда оказывается, что 1> 0.Под дугой стоит знак «+». Этот второй интервал будет ответом на неравенство.
Ответ: x лежит в интервале (5; ∞).
Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3x + 3 ≤ 2x + 1 и 3x — 2 ≤ 4x + 2.
Решение. ODZ этих неравенств также лежит в диапазоне любых чисел, поскольку заданы линейные функции.
Второе неравенство примет форму этого уравнения: 3x — 2 — 4x — 2 = 0.После преобразования: -x — 4 = 0. Это дает значение переменной, равное -4.
Эти два числа должны быть нанесены на оси путем нанесения интервалов. Поскольку неравенство не строгое, все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе -. Это означает, что этот интервал не входит в ответ.
Второй диапазон — от -4 до -2.Вы можете выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Следовательно, под дугой «-».
В последнем диапазоне от -2 до бесконечности лучшее число равно нулю. Необходимо подставить его и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а во втором — ноль. Этот пробел тоже нужно исключить из ответа.
Только один из трех интервалов решает неравенство.
Ответ: x принадлежит [-4; -2].
Третий пример. | 1 — х | > 2 | х — 1 |.
Решение. Первый шаг — определить точки, в которых функции обращаются в нуль. Для левых это число будет 2, для правых — 1. Их следует отметить на луче и определить интервалы постоянства.
На первом интервале от минус бесконечности до 1 функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные.Под дугой нужно написать рядом два знака «+» и «-».
Следующий интервал — от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, есть два плюса под дугой.
Третий интервал от 2 до бесконечности даст следующий результат: левая функция отрицательна, правая положительна.
С учетом полученных знаков нужно рассчитать значения неравенства для всех интервалов.
По первому, получаем следующее неравенство: 2 — x> — 2 (x — 1).Минус перед двумя во втором неравенстве связан с тем, что эта функция отрицательна.
После преобразования неравенство выглядит так: x> 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только интервал от 0 до 1.
На втором: 2 — x> 2 (x — 1). Преобразования дадут следующее неравенство: -3x + 4 больше нуля. Его нулем будет значение x = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что x должно быть меньше этого числа.Это означает, что этот интервал уменьшается до интервала от 1 до 4/3.
Последнее дает следующие обозначения неравенства: — (2 — x)> 2 (x — 1). Его преобразование приводит к следующему: -x> 0. То есть уравнение верно, когда x меньше нуля. Это означает, что неравенство не дает решений на нужном интервале.
На первых двух интервалах границами оказалась цифра 1. Это нужно проверять отдельно. То есть подставить в исходное неравенство.Получается: | 2 — 1 | > 2 | 1 — 1 |, Подсчет дает, что 1 больше 0. Это истинное утверждение, поэтому в ответ включается 1.
Ответ: x лежит в интервале (0; 4/3).
Неравенства и системы неравенств — одна из тем, изучаемых в средней школе по алгебре. По сложности он не самый сложный, так как в нем есть простые правила (о них чуть позже). Как правило, школьники достаточно легко осваивают решение систем неравенства.Это также связано с тем, что учителя просто «обучают» своих учеников этой теме. И они не могут этого не делать, потому что это изучается в будущем с использованием других математических величин, а также проверяется на ОГЭ и ЕГЭ. В школьных учебниках тема неравенства и систем неравенства раскрыта очень подробно, поэтому если вы собираетесь ее изучать, то лучше всего к ним прибегнуть. Эта статья — всего лишь пересказ больших материалов, и здесь могут быть некоторые упущения.
Понятие о системе неравенств
Если обратиться к научному языку, то можно дать определение понятию «система неравенств». Это математическая модель, которая представляет собой несколько неравенств. От этой модели, конечно, требуется решение, и его емкость будет общим ответом на все неравенства системы, предложенной в задаче (обычно в ней пишут, например: «Решите систему неравенств 4 x + 1> 2 и 30 — х> 6… »). Однако, прежде чем переходить к типам и методам решения, нужно разобраться в другом.
Системы неравенств и системы уравнений
В процессе изучения новой темы очень часто возникают недопонимания. С одной стороны, все ясно и я бы предпочел приступить к решению задач, но с другой стороны, некоторые моменты остаются в «тени», они не очень хорошо осмыслены. Также некоторые элементы уже полученных знаний могут быть переплетены с новые.Ошибки часто возникают в результате такого совпадения.
Поэтому, прежде чем приступить к анализу нашей темы, следует вспомнить различия между уравнениями и неравенствами, их системами. Для этого вам нужно еще раз прояснить, что это за математические понятия. Уравнение всегда есть равенство, и оно всегда чему-то равно (в математике это слово обозначается знаком «=»). Неравенство — это модель, в которой одна величина либо больше, либо меньше другой, либо содержит утверждение, что они не совпадают.Таким образом, в первом случае уместно говорить о равенстве, а во втором, как бы очевидно это ни звучало из самого названия, о неравенстве исходных данных. Системы уравнений и неравенств практически не отличаются друг от друга и методы их решения одинаковы. Единственное отличие состоит в том, что в первом используются равенства, а во втором — неравенства.
Типы неравенств
Есть два типа неравенств: числовые и с неизвестной переменной.Первый тип представляет собой предоставленные значения (числа), не равные друг другу, например, 8> 10. Второй — неравенства, содержащие неизвестную переменную (обозначаемую любой буквой латинского алфавита, чаще всего X). Эту переменную нужно найти. В зависимости от того, сколько их, математическая модель различает неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).
Последние два типа по степени их построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные.Простые также называются линейными неравенствами. Они в свою очередь делятся на строгие и нестрогие. Строгие конкретно «говорят», что одна величина обязательно должна быть либо меньше, либо больше, поэтому это неравенство в чистом виде. Можно привести несколько примеров: 8 x + 9> 2, 100 — 3 x> 5 и т. Д. Нестрогие также включают равенство. То есть одна величина может быть больше или равна другой величине (знак «≥») или меньше или равна другой величине (знак «≤»). Даже в линейных неравенствах переменная не в корне, возведена в квадрат, не делится ни на что, поэтому они и называются «простыми».Сложные переменные включают неизвестные переменные, поиск которых требует выполнения большего количества математических операций. Они часто встречаются в квадрате, кубе или под корнем, они могут быть модульными, логарифмическими, дробными и т. Д. Но поскольку наша задача — разобраться в решении систем неравенств, мы будем говорить о системе линейных неравенств. Однако перед этим следует сказать несколько слов об их свойствах.
Свойства неравенств
Свойства неравенств включают следующие положения:
- Знак неравенства меняется на противоположный, если операция заключается в изменении последовательности сторон (например, если t 1 ≤ t 2, то t 2 ≥ t 1).
- Обе стороны неравенства позволяют прибавить к себе одно и то же число (например, если t 1 ≤ t 2, то t 1 + число ≤ t 2 + число).
- Два и более неравенства со знаком одного направления позволяют сложить их левую и правую части (например, если t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, то t 1 + t 3 ≥ t 2 + т 4).
- Обе части неравенства позволяют умножать или делить себя на одно и то же положительное число (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число · t 1 ≥ число · t 2).
- Два или более неравенства с положительными членами и знаком одного направления позволяют умножаться друг на друга (например, если t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0, тогда t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
- Обе части неравенства позволяют себя умножать или делить на одно и то же отрицательное число, но знак неравенства меняется (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число t 1 ≥ число t 2).
- Все неравенства обладают свойством транзитивности (например, если t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3, то t 1 ≤ t 3).
Теперь, изучив основные положения теории, связанные с неравенствами, можно приступить непосредственно к рассмотрению правил решения их систем.
Решение систем неравенств. Общая информация. Решения
Как упоминалось выше, решение — это значения переменной, которые соответствуют всем неравенствам данной системы. Решение систем неравенств — это выполнение математических действий, которые в конечном итоге приводят к решению всей системы или доказывают, что у нее нет решений.В этом случае говорят, что переменная относится к пустому числовому набору (записывается так: буква переменной ∈ (знак «принадлежит») ø (знак «пустой набор»), например, x ∈ ø (читается так : «Переменная« x »принадлежит пустому множеству»). Существует несколько способов решения систем неравенств: графический, алгебраический, методом подстановки. Стоит отметить, что они относятся к тем математическим моделям, которые имеют несколько неизвестных переменных. в случае, когда есть только один, метод интервала будет работать.
Графический способ
Позволяет решить систему неравенств с несколькими неизвестными (от двух и более). Благодаря этому методу система линейных неравенств решается достаточно легко и быстро, поэтому это наиболее распространенный метод. Это связано с тем, что построение графика сокращает количество написанных математических операций. Особенно приятно становится немного отвлечься от пера, взять в руки карандаш с линейкой и продолжить с их помощью дальнейшие действия, когда проделано много работы и хочется немного разнообразия.но этот метод некоторым не нравится из-за того, что они должны оторваться от задачи и переключить свою умственную деятельность на рисование. Однако это очень мощный способ.
Для решения системы неравенств графическим способом необходимо переместить все слагаемые каждого неравенства в их левую часть. Знаки поменяются местами, справа нужно написать ноль, затем каждое неравенство записать отдельно. В результате из неравенств будут получены функции.После этого можно достать карандаш и линейку: теперь нужно нарисовать график каждой полученной функции. Весь набор чисел, который окажется в интервале их пересечения, будет решением системы неравенств.
Алгебраический способ
Позволяет решить систему неравенств с двумя неизвестными переменными. Кроме того, неравенства должны иметь один и тот же знак неравенства (то есть они должны содержать либо только знак «больше», либо только знак «меньше» и т. Д.). Несмотря на свои ограничения, этот метод также является более сложным.Применяется в два этапа.
Первый включает действия по избавлению от одной из неизвестных переменных. Сначала нужно ее выделить, затем проверить наличие цифр перед этой переменной. Если их нет (тогда переменная будет иметь вид одной буквы), то ничего не меняем, если есть (тип переменной будет, например, такой — 5y или 12y), то необходимо чтобы убедиться, что в каждом неравенстве число перед выбранной переменной одинаковое.Для этого нужно каждый член неравенств умножить на общий множитель, например, если первое неравенство содержит 3у, а второе 5у, то нужно все члены первого неравенства умножить на 5, а второй на 3. Получаете 15й и 15й соответственно.
Второй этап решения. Необходимо перенести левую часть каждого неравенства в их правые части с изменением знака каждого члена на противоположный, справа написать ноль. Затем начинается самое интересное: избавление от выбранной переменной (по-другому это называется «сокращение») при сложении неравенств.В результате возникает неравенство с одной переменной, которую необходимо решить. После этого вы должны сделать то же самое, только с другой неизвестной переменной. Полученные результаты будут решением системы.
Метод подстановки
Позволяет решить систему неравенств, когда можно ввести новую переменную. Обычно этот метод используется, когда неизвестная переменная в одном члене неравенства возводится в четвертую степень, а в другом члене возводится в квадрат. Таким образом, этот метод направлен на снижение степени неравенства в системе.Неравенство выборки x 4 — x 2 — 1 ≤ 0 таким образом решается следующим образом. Вводится новая переменная, например t. Пишут: «Пусть t = x 2», потом модель переписывается в новом виде. В нашем случае получаем t 2 — t — 1 ≤0. Это неравенство нужно решить методом интервалов (об этом чуть позже), затем вернуться к переменной X, затем сделать то же самое с другим неравенством. Полученные ответы и будут решением системы.
Метод интервалов
Это самый простой способ решения систем неравенств, и в то же время он универсален и распространен.Он используется в средней школе и даже в средней школе. Его суть заключается в том, что ученик ищет интервалы неравенства на числовой прямой, которая нарисована в тетради (это не график, а просто обычная линия с числами). В местах пересечения интервалов неравенств находится решение системы. Чтобы использовать метод интервала, необходимо выполнить следующие действия:
- Все члены каждого неравенства переносятся в левую часть со сменой знака на противоположный (справа пишется ноль).
- Неравенства выписываются отдельно, определяется решение каждого из них.
- Найдите точки пересечения неравенств на числовой прямой. Все числа, расположенные на этих перекрестках, будут решением.
Какой способ использовать?
Очевидно, тот, который кажется самым простым и удобным, но бывают случаи, когда задачи требуют определенного метода. Чаще всего в них написано, что решать нужно либо с помощью графика, либо с помощью интервального метода.Алгебраический метод и подстановка используются крайне редко или совсем не используются, так как они довольно сложные и запутанные, к тому же они больше используются для решения систем уравнений, а не неравенств, поэтому вам следует прибегнуть к рисованию графиков и интервалов. Они обеспечивают наглядность, что не может не способствовать эффективному и быстрому выполнению математических операций.
Если что-то не получается
При изучении той или иной темы по алгебре, естественно, могут возникнуть проблемы с ее пониманием.И это нормально, потому что наш мозг устроен таким образом, что он не способен ухватить сложный материал за один раз. Часто вам нужно перечитать абзац, воспользоваться помощью учителя или попрактиковаться в решении типовых задач. В нашем случае они выглядят, например, так: «Решите систему неравенств 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x — 1> 3». Таким образом, личное участие, помощь извне и практика помогают разобраться в любой сложной теме.
Решебник?
И решебник тоже очень хорошо подходит, только не для списывания домашних заданий, а для самопомощи.В них можно найти системы неравенств с решением, посмотреть на них (как на закономерности), попытаться понять, как именно автор решения справился с задачей, а затем попробовать сделать это в самостоятельном порядке.