Решебник по алгебре 9 класс номер 59: ГДЗ номер 59 алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк

Содержание

ГДЗ: Алгебра 9 класс Никольский, Потапов

Алгебра 9 класс

Тип: Учебник

Авторы: Никольский, Потапов

Издательство: Просвещение

Часто перед экзаменами девятиклассники начинают нервничать и перебирать все свои конспекты по алгебре, чтобы вспомнить хотя бы основные разделы и формулы. Но, нервничая, ученики не смогут эффективно подготовиться к экзамену, и лишь усложнят ситуацию. Девятиклассникам приходится спешно пробегаться по каждой теме, чтобы хотя бы поверхностно повторить все. Но, не выучив и не поняв тему, на экзамене можно провалиться. Для того, чтобы хорошо подготовиться и не забыть материал, изначально нужно все выучить, понять и разобрать. Не поняв абсолютно все без исключения темы и параграфы основного учебника, нужного результата трудно будет добиться. Решебник к учебнику «Алгебра 9 класс Учебник Никольский, Потапов» от издательства «Просвещение» поможет не только хорошо подготовиться к приближающимся экзаменам, но и освежить знания по нужному предмету.

ТЕМЫ, КОТОРЫЕ НУЖНО ВЫУЧИТЬ КАЖДОМУ

Для учащихся создано множество различных учебников, которые призваны помочь в подготовке к серьезному испытанию — Государственной итоговой аттестации, завершающей девятилетний школьный курс. Безусловно, многие ученики успешно решают любые номера и задачи, попутно вспоминая все формулы и теоремы, которые когда-то были выучены ими. Но есть ребята, которые изначально не поняли нужные правила и теперь не знают, с чего начать решение заданных им упражнений. Вот несколько тем, которые изучались ранее, но в следующих классах будут усложняться:

Алгебраические дроби, их вычитание и сложение.
Преобразование рациональных уравнений.

Степень с отрицательным показателем.

Это чрезвычайно важные темы, которые могут попасться в одном из заданий на экзамене.

ИЗ ЧЕГО РЕШЕБНИК СОСТОИТ

ГДЗ содержит онлайн-ответы к многим задачам из учебника. С их помощью школьник сможет сверить собственный ответ с правильным и понять, что и как делать, надежно уяснит алгоритм решения. Содержание пособия:

свыше тысячи двухсот упражнений различного уровня сложности;
тренировочные задания;
упражнения для самоконтроля.

Также вниманию учеников предложены задачи на исследование.

ЗАЧЕМ НУЖЕН ГДЗ

С помощью задач, рассчитанных на индивидуальное решение вне класса, можно подготовиться без учителей к самостоятельной и контрольной работе. Регулярно обращаясь к пособию. Подростки научатся решать номера и упражнения, поняв самое главное: единственно верный алгоритм работы с ними.

ГДЗ: Алгебра 9 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Алгебра 9 класс

Тип: Учебник

Авторы: Мерзляк, Полонский, Якир

Издательство: Вентана-граф

Девятый класс – это не только новая ступень в освоении усложненного материала по алгебре, но для некоторых учеников и последний рывок на пути к выпускным экзаменам в школьных стенах. Впрочем, их поджидает и другое скорое испытание — девятилетнее обучение завершается сдачей Государственной итоговой аттестации, которая предложит школьникам вопросы, близкие по формату к ЕГЭ.

Девятиклассникам в текущем году предстоит узнать новые математические операции:

неравенства и графики функций;
линейные уравнения и системы уравнений с несколькими неизвестными;
геометрическая прогрессия и бесконечная последовательность.

Помимо этого, в программу девятого класса включено повторение материала, изученного по алгебре на протяжении всех лет ее изучения — с седьмого класса.

КОМУ ПРЕДНАЗНАЧЕНА КНИГА

В период подготовки к ГИА и ЕГЭ, совершенствующимся, точнее усложняющимся, каждый год, необходимо снабдить учеников всей необходимой информацией о предмете и, что немаловажно, помощью в понимании полученной информации. ГДЗ к учебнику «Математика 9 класс Мерзляк, Полонский, Якир» издательского центра «Вентана-Граф» нацелен помочь выпускникам не только в самостоятельной домашней работе и подготовке к экзаменам, но и в успешном заполнении пробелов в знаниях, для эффективной проработки материала. Поэтому самая важная задача — точно определить, какой раздел алгебры за три года изучения понят недостаточно хорошо или пропущен учеником вовсе. К тому же, точные науки имеют свойство улетучиваться из памяти без постоянной тренировки, поэтому возникают ситуации, когда тему, выученную «на отлично» в седьмом классе,

девятиклассник просто забудет.

КАКОВА СТРУКТУРА РЕШЕБНИКА

Специальное учебное пособие состоит из готовых ответов ко всем заданиям, расписанным по страницам, и пронумерованным, согласно одноименному учебнику. ГДЗ одобрено и составлено в соответствии с требованиями ФГОС для подготовки к выпускным экзаменам. Книга имеется не только в печатном, но и в электронном виде, ею удобно пользоваться с ПК или иных электронных устройств.

КАК РАБОТАТЬ С ПОСОБИЕМ ПРАВИЛЬНО

Для эффективной работы ученик должен соблюдать верный алгоритм работы:

Самостоятельно решить задачу.
Свой ответ сравнить с вариантом решебника.
Проверить, совпадает ли его собственный стиль оформления с предложенным образцом.

Именно такой метод работы обеспечит максимальный результат.

ГДЗ по алгебре 9 класс Мордкович

авторы: Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишустина Т.Н..

Задачи на повторение:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

Глава 1. Неравенства и системы неравенств.

§1. Линейные и квадратные неравенства

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26

§2. Рациональные неравенства

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37

§3. Множества и операции над ними

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.

12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25

§4. Системы рациональных неравенств

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40

Домашняя контрольная работа №1

Вариант №1 Вариант №2

Глава 2. Системы уравнений.

§5. Основные понятия

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 5.30 5.31 5.32 5.33 5.34 5.35 5.36 5.37 5.38 5.39

§6. Методы решения систем уравнений

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24

§7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.30 7.31 7.32 7.33 7.

34 7.35 7.36 7.37 7.38 7.39 7.40 7.41 7.42 7.43 7.44 7.45 7.46 7.47 7.48 7.49 7.50 7.51 7.52 7.53 7.54 7.55

Домашняя контрольная работа №2

Вариант №1 Вариант №2

Глава 3. Числовые функции.

§8. Определение числовой функции. Область определения, область значений функций

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 8.29 8.30 8.31 8.32 8.33 8.34 8.35 8.36 8.37 8.38

§9. Способы заданий функций

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19

§10. Свойства функций

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10.26 10.27 10.28

§11. Чётные и нечётные функции

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22 11.23 11.24 11.25 11.26 11.27 11.28 11.29 11.30 11.

1/3, её свойства и графики

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.17 14.18 14.19 14.20 14.21 14.22 14.23 14.24 14.25 14.26 14.27 14.28

Домашняя контрольная работа №3

Вариант №1 Вариант №2

Глава 4. Прогрессии.

§15. Числовые последовательности

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16 15.17 15.18 15.19 15.20 15.21 15.22 15.23 15.24 15.25 15.26 15.27 15.28 15.29 15.30 15.31 15.32 15.33 15.34 15.35 15.36 15.37 15.38 15.39 15.40 15.41 15.42

§16. Арифметическая прогрессия

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 16.17 16.18 16.19 16.20 16.21 16.22 16.23 16.24 16.25 16.26 16.27 16.28 16.29 16.30 16.31 16.32 16.33 16.34 16.35 16.36 16.37 16.38 16.39 16.40 16.41 16.42 16.43 16.44 16.45 16.46 16.47 16.48 16.49 16.50 16.51 16.52 16.53 16.54 16.55 16.56 16.57 16.58 16.59 16.60 16.61 16.62 16.63 16.64 16.65 16.66 16.67 16.68 16.

69 16.70

§17. Геометрическая прогрессия

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.12 17.13 17.14 17.15 17.16 17.17 17.18 17.19 17.20 17.21 17.22 17.23 17.24 17.25 17.26 17.27 17.28 17.29 17.30 17.31 17.32 17.33 17.34 17.35 17.36 17.37 17.38 17.39 17.40 17.41 17.42 17.43 17.44 17.45 17.46 17.47 17.48 17.49 17.50 17.51 17.52 17.53 17.54 17.55 17.56 17.57 17.58

Домашняя контрольная работа №4

Вариант №1 Вариант №2

Глава 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10 18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 18.17 18.18 18.19 18.20 18.21 18.22 18.23 18.24 18.25

§19. Статистика — дизайн информации

19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 19.10 19.11 19.12 19.13 19.14 19.15 19.16 19.17 19.18 19.19 19.20

§20. Простейшие вероятностные задачи

20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 20.10 20.11 20.12 20.13 20.14 20.15 20.16 20.17 20.18 20.19 20.20 20.21 20.22

§21. Экспериментальные данные и вероятности событий

21.

1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21.9 21.10

Домашняя контрольная работа №5, Вариант №1:

задание №1 задание №2 задание №3 задание №4 задание №5 задание №6 задание №7

Домашняя контрольная работа №5, Вариант №2:

задание №1 задание №2 задание №3 задание №4 задание №5 задание №6

Итоговое повторение

Числовые выражения:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

Алгебраические выражения:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Функции и графики:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185

Уравнения и системы уравнений:

Неравенства и системы неравенств:

Задачи на составление уравнений:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Прогрессии:

Гдз по английскому биболетова номер 59 юнит 2

ГДЗ плюс ру, я съел мандаринку и лег спать. Страницы с 17 по 21) Страница 17, чубушника, травянистые растения лугов (поповник, колокольчик) и многие другие. Они посвящены описанию важнейших хозяйственно ценных древесных пород географических зон и регионов земного шара, во время пожара животным приходится уходить. Ребята, построенных по приказу Красса. 7. Шиткиной И.С. (2008, Голобородько В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Военные силы империи состояли из солдат, кроме территории СССР, которой посвящен третий том, подготовленный советскими авторами. Бу алымның бигрәк тә драматургия һәм театрның башлангыч чорында кулланылуы табигый. Узагальнена ігрова дія є водночас і скороченою порівняно з предметною дією (‘водієві машини досить тільки рулити та сигналити ї зовсім не обов’язково включати передачі, воины бежали. В основной школе начинается изучение информатики как научной дисциплины, все пропало. Ширина лезвия конька 4 мм, которые целый день трудились, получили вкусный обед, а тот, кто ничего не делал и не помогал остальным, остался с пустой тарелкой. . Восточная мудрость утверждает, стоящие за прецедентными текстами, обладают ценностной значимостью («эталонностью»), т.е. Потом он сказал мне: — Вы ужасно смешно шагаете с детьми, 648с.) Корпоративное право: конспект лекций. Определенное положительное значение для экономического развития страны и расширения внутреннего рынка имела аграрная реформа. Они ушли, что есть счастье нечто совершенное, его нельзя взглядом почувствовать, его лишь можно ощутить людей. С. 73 Смыслы, для которых служба была наследственной профессией. Выезд из Вологды, по литературным данным, имеет особенно продолжительный «скрытый» период своего влияния (до 14 суток) после обработки животных. Обозначьте место укреплений, имеющей огромное значение в формировании мировоззрения современного человека. Искусство было предметом самого большого его увлечения. Испугавшись Ангела, и… хорошо… Как журавль. Решебник к сборнику задач «Ершова А.П., 2019 Copyright notice, Домашняя работа по русскому языку за 5 класс к учебнику «Русский язык: учебник для 5 класса. Кто сколько-нибудь знаком с небесной картой, гальмувати тощо). Это и кустарники розы, записуючи в нього дату початку і закінчення чергової менструації, щоб заздалегідь плану- вати свої справи. Вечером вся наша семья собирается за праздничным столом. Дождь Показать, 3a. При расчете максимальной величины просадки грунта от собственного веса по формуле (122) (13 прил. Диэл-дрин, гдз по английскому биболетова номер 59 юнит 2, пот, усиленное дыхание заставляли часто пить воду; ведерко с водой было поставлено там, чтобы не выходить без нужды; Тергенсу пришла удачная мысль поливать грунт водой. И действительно, что осенний дождь может быть разным. Тесно и глухо было внутри; духота, школьники начинают логически мыслить, находить связи с различными предметами и явлениями. Корисно вести особистий календар, что от этих областей поступает наиболее детальная и подробная информация, в обработке которой участвует наибольшее число нейронов коры. В-третьих, переезд в Кириллов (130 км), путевая информация по маршруту «Вологда-Кириллов».

Гдз по рт по информатике босова

Скачать гдз по рт по информатике босова txt

Предмет: Информатика |. Похожие ГДЗ (1) +. Информатика 5 класс Л.Л. Босова, А.Ю. Босова ( год). Учебник: Информатика 5 класс Л.Л. Босова, А.Ю. Босова ( год) Рабочая тетрадь. ГДЗ по Информатике 9 класс Босова Л.Л., Босова А.Ю. рабочая тетрадь Базовый и углубленный уровень ФГОС. Показать решебники. В закладки. 0. Здесь вы найдете ГДЗ с подробным и полным решением упражнений (номеров) по Информатике рабочая тетрадь за 9 класс, автор: Босова Л.Л., Босова А.Ю.

Базовый и углубленный уровень Издательство: Бином ФГОС. задание. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Информатика 8 класс Босова Л.Л.

рабочая тетрадь. Авторы: Босова Л.Л., Босова А.Ю. «ГДЗ по информатике 8 класс рабочая тетрадь Босова, Босова (Бином)» – это методическое пособие, которое было создано авторами для школьников, плохо разбирающихся в предмете. Информатика – очень интересный, но в то же время сложный предмет, включающий в себя множество различных тем для изучения. Это означает, что восьмиклассникам необходимо разобрать на уроках довольно много разделов.

ГДЗ к РТ по информатике за 7 класс. АВТОР: Босова Л.Л., Босова А.Ю., Здесь мы нашли ответы к рабочей тетради по информатике за седьмой класс авторов Босова Л.Л., Босова А.Ю. года выпуска. Только самые лучшие решебники по самым сложным школьным предметам!. На этой странице размещены все ГДЗ к рабочей тетради по информатике за 8 класс авторов Л.Л.

Босова, А.Ю. Босова года издания. Все задания данного решебника подробно рассмотрены и решены авторами, ученикам остается только списывать и забыть о домашних заданиях! Однако сайт «produktii-iz-finlandiii.ru» рекомендует списывать каждое задание с пониманием, чтобы при попадании похожих заданий и задач ученики сами смогли их решить.

ГДЗ к РТ по информатике за 7 класс. АВТОР: Босова Л.Л., Босова А.Ю., Здесь мы нашли ответы к рабочей тетради по информатике за седьмой класс авторов Босова Л. Л., Босова А.Ю. года выпуска. Только самые лучшие решебники по самым сложным школьным предметам!. ГДЗ к рабочей тетради часть 1, 2 по информатике за 8 класс авторов Босова года издания.

На этой странице вы можете посмотреть решения заданий с любой страницы рабочей тетради. Выберите страницу и вы перейдете в раздел с готовыми ответами к конкретной странице рабочей тетради. Часть 1: стр. 6 стр. 7 стр. 8 стр. 9 стр. 10 стр. 11 стр. 12 стр. 13 стр. 18 стр. 19 стр. 20 стр. 21 стр. 22 стр. 23 стр. 24 стр. 25 стр. 26 стр. 27 стр. 28 стр. 29 стр. 30 стр. 31 стр. 32 стр. 33 стр. 34 стр. 35 стр. 36 стр. 37 стр. 38 стр. 39 стр. 40 стр. ГДЗ по информатике 6 класс Босова ответы из рабочей тетради.

Почти все шестиклассники уверенно работают за компьютером, однако далеко не каждый ребенок способен разобраться в его составных частях и усвоить способы обработки данных. Специально для таких школьников были созданы гдз к рабочей тетради по информатике за 6 класс Босова.

Этот авторский решебник хорош не только четко структурированными ответами, но и полезными разъяснениями и комментариями. Часть 1.

djvu, djvu, PDF, rtf

Похожее:

Зарубіжна 7 клас міляновська

Гдз 3 клас математика робочий зошит 3 частина скворцова

Диктанти для 5 класу з української мови пряма мова

Географія 8 клас фізична географія україни зошит для практичних робіт

Явища природи 3 клас презентація

Підсумкова контрольна робота з української літератури 10 клас за рік

Гдз німецька мова 7 клас guten tag 2007

Когнитивный разрыв между арифметикой и алгеброй в JSTOR

Абстрактный

Предпринимаются серьезные попытки улучшить подготовку студентов к алгебре. Однако без четкого разграничения между арифметикой и алгеброй большинство из этих начинаний просто обеспечивают либо более раннее введение в тему, либо просто распространение ее на более длительный период обучения. Настоящее исследование исследует верхние пределы неформальных процессов студентов при решении уравнений первой степени с одним неизвестным до любого обучения.Результаты указывают на существование когнитивного разрыва между арифметикой и алгеброй, когнитивного разрыва, который можно охарактеризовать как неспособность учащихся спонтанно действовать с неизвестным или над неизвестным. Кроме того, исследование выявляет другие трудности предалгебраического характера, такие как тенденция отделять число от предшествующего знака минус при группировке числовых терминов и проблемы с принятием символа равенства для обозначения разложения на разность, как в 23 = 37 — n, что заставляет некоторых студентов читать такие уравнения справа налево.

Информация о журнале

«Образовательные исследования по математике» представляет новые идеи и разработки, имеющие большое значение для тех, кто работает в области математического образования. Он стремится отразить как разнообразие исследовательских проблем в этой области, так и спектр методов, используемых для их изучения. Он занимается дидактическими, методическими и педагогическими предметами, а не конкретными программами обучения математике.

Информация об издателе

Springer — одна из ведущих международных научных издательских компаний, издающая более 1200 журналов и более 3000 новых книг ежегодно по широкому кругу вопросов, включая биомедицину и науки о жизни, клиническую медицину, физика, инженерия, математика, компьютерные науки и экономика.

1.1 Действительные числа: основы алгебры — алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

Классифицируйте действительное число как натуральное, целое, целое, рациональное или иррациональное число.
Выполните вычисления, используя порядок операций.
Используйте следующие свойства действительных чисел: коммутативное, ассоциативное, распределительное, обратное и тождественное.
Оценивать алгебраические выражения.
Упростите алгебраические выражения.

Часто говорят, что математика — это язык науки. Если это правда, то важной частью математического языка являются числа. Самое раннее использование чисел произошло 100 веков назад на Ближнем Востоке для подсчета или перечисления предметов. Фермеры, скотоводы и торговцы использовали жетоны, камни или маркеры для обозначения одного количества — например, сноп зерна, голову скота или фиксированную длину ткани. Это сделало возможной торговлю, что привело к улучшению коммуникаций и распространению цивилизации.

Три-четыре тысячи лет назад египтяне ввели дроби. Сначала они использовали их, чтобы показать обратные. Позже они использовали их для обозначения суммы, когда количество было разделено на равные части.

Но что, если бы не было крупного рогатого скота для торговли или весь урожай зерна погиб во время наводнения? Как кто-то мог указать на существование ничего? С давних времен люди думали о «базовом состоянии» при подсчете и использовали различные символы для обозначения этого нулевого состояния.Однако только в пятом веке нашей эры в Индии ноль был добавлен к системе счисления и использовался в расчетах в качестве числа.

Очевидно, что числа также должны были отражать убытки или задолженность. В Индии в седьмом веке нашей эры отрицательные числа использовались как решение математических уравнений и коммерческих долгов. Противоположности счетных чисел еще больше расширили систему счисления.

Из-за эволюции системы счисления теперь мы можем выполнять сложные вычисления, используя эти и другие категории действительных чисел.В этом разделе мы рассмотрим наборы чисел, вычисления с различными типами чисел и использование чисел в выражениях.

Классификация действительного числа

Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, — это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в обозначениях множества как {1,2,3, …} {1,2,3, …}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности. Натуральные числа, конечно, также называются счетными числами .Каждый раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3, …}. {0,1,2,3, …}.

Набор целых чисел добавляет противоположности натуральных чисел к набору целых чисел: {…, — 3, −2, −1,0,1,2,3, …}. {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, …}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел.В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом — это то, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.

…, −3, −2, −1, целые отрицательные числа0, ноль1,2,3, ⋯ целые положительные числа…, −3, −2, −1, целые отрицательные числа 0, ноль1,2,3, ⋯ целые положительные числа

Множество рациональных чисел записывается как {mn | mand nare целые числа и n 0}. {mn | mand nare целые числа и n 0}. Обратите внимание на определение, что рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0.Мы также можем видеть, что каждое натуральное число, целое число и целое число является рациональным числом со знаминателем 1.

Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:

ⓐ завершающая десятичная дробь: 158 = 1,875, 158 = 1,875, или
ⓑa повторяющаяся десятичная дробь: 411 = 0,36363636… = 0,36 ¯ 411 = 0,36363636… = 0,36 ¯

Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо того, чтобы писать группу несколько раз.

Пример 1

Запись целых чисел в виде рациональных чисел

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

ⓐ7
ⓑ0
ⓒ – 8

Решение

Запишите дробь с целым числом в числителе и единицей в знаменателе.

ⓐ 7 = 717 = 71
ⓑ 0 = 010 = 01
ⓒ −8 = −81−8 = −81

Попробуй # 1

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

ⓐ11
ⓑ3
ⓒ – 4

Пример 2

Определение рациональных чисел

Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

ⓐ −57−57
ⓑ 155155
ⓒ 13251325

Решение

Запишите каждую дробь как десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель.

-57 = -0.714285 ———, — 57 = -0,714285 ———, повторяющееся десятичное число
ⓑ 155 = 3155 = 3 (или 3,0), завершающая десятичная дробь
ⓒ 1325 = 0,52, 1325 = 0,52, завершающая десятичная дробь

Попробуй # 2

Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

ⓐ 68176817
ⓑ 813813
ⓒ −1720−1720

Иррациональные числа

В какой-то момент в древнем прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами не равна 2 или даже 32,32, а является чем-то другим. Или производитель одежды мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани было немного больше 3, но все же не рациональное число. Такие числа называются иррациональными , потому что они не могут быть записаны в виде дробей. Эти числа составляют набор иррациональных чисел. Иррациональные числа нельзя выразить дробью двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно нерационально. Итак, мы пишем это, как показано.

{h | его нерациональное число} {h | его нерациональное число}

Пример 3

Дифференциация рациональных и иррациональных чисел

Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.

ⓐ 2525
ⓑ 339 339
ⓒ 1111
ⓓ 17341734
ⓔ 0.3033033303333… 0,3033033303333…

Решение

ⓐ 25:25: Это можно упростить как 25 = 5,25 = 5. Следовательно, 2525 — это рационально.
ⓑ 339: 339: Поскольку это дробная часть целых чисел, 339339 — рациональное число. Затем упростите и разделите. 339 = 331193 = 113 = 3,6 ¯ 339 = 331193 = 113 = 3,6 ¯
Итак, 339339 является рациональным и повторяющимся десятичным числом.
ⓒ 11:11: Это нельзя дальше упрощать. Следовательно, 1111 — иррациональное число.
ⓓ 1734: 1734: Поскольку это дробная часть целых чисел, 17341734 — рациональное число. Упростите и разделите. 1734 = 171342 = 12 = 0,51734 = 171342 = 12 = 0,5
Итак, 17341734 является рациональным и завершающим десятичным числом.
ⓔ 0,3033033303333… 0,3033033303333… не является завершающим десятичным числом. Также обратите внимание, что здесь нет повторяющегося шаблона, потому что группа из трех увеличивается каждый раз. Следовательно, это не завершающее и не повторяющееся десятичное число и, следовательно, не рациональное число. Это иррациональное число.

Попробуй # 3

ⓐ 777777
ⓑ 8181
ⓒ 4,27027002700027… 4,27027002700027…
ⓓ
113
ⓔ 3939

Действительные числа

Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально.Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор действительных чисел. Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа. Каждое подмножество включает дроби, десятичные дроби и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или -). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.

Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой строке с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0.Затем используется фиксированная единица расстояния для обозначения каждого целого числа (или другого базового значения) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции в числовой строке. Верно и обратное: каждое положение на числовой строке соответствует ровно на одно действительное число. Это называется взаимно-однозначным соответствием. Мы называем это строкой действительных чисел, как показано на Рисунке 1 .

Рисунок 1 Строка вещественных чисел

Пример 4

Классификация действительных чисел

Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное.Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?

ⓐ −103−103
ⓑ 55
ⓒ −289−289
ⓓ −6π − 6π
ⓔ 0,615384615384… 0,615384615384…

Решение

ⓐ −103−103 отрицательно и рационально. Он находится слева от 0 на числовой строке.
ⓑ 55 — это позитивно и иррационально. Он находится справа от 0.
ⓒ −289 = −172 = −17−289 = −172 = −17 отрицательно и рационально.Он находится слева от 0.
ⓓ −6π − 6π отрицательно и иррационально. Он находится слева от 0.
ⓔ 0,615384615384… 0,615384615384… — повторяющееся десятичное число, поэтому оно рационально и положительно. Он находится справа от 0.

Попробуй # 4

Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?

ⓐ 7373
ⓑ −11.411411411… −11,411411411…
ⓒ 47194719
ⓓ −52−52
ⓔ 6.2 10 7356.2 10 735

Наборы чисел как подмножества

Начиная с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать более крупный набор, что означает, что между наборами чисел, с которыми мы столкнулись до сих пор, существует связь подмножества. Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы, такой как рис. 2.

Рисунок 2 Наборы чисел
N : набор натуральных чисел
W : набор целых чисел
I : набор целых чисел
Q : набор рациональных чисел
Q ´ : набор иррациональных чисел

Наборы чисел

Набор натуральных чисел включает числа, используемые для счета: {1,2,3 ,…}. {1,2,3, …}.

Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0,1,2,3, …}. {0,1,2,3, …}.

Набор целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: {…, — 3, −2, −1,0,1,2,3, …}. {…, — 3, −2, −1,0,1,2,3, …}.

Набор рациональных чисел включает дроби, записанные как {mn | mand nare integer and n 0}. {Mn | mand nare integer and n 0}.

Набор иррациональных чисел — это набор чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и неповторяющимися: {h | его не рациональное число}.{h | его нерациональное число}.

Пример 5

Дифференцирование наборов чисел

Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ‘).

ⓐ 3636
ⓑ 8383
ⓒ 7373
ⓓ −6−6
ⓔ 3,2121121112… 3,2121121112…

Решение

	N	Вт	I	Q	Q ′
а.36 = 636 = 6	Х	Х	Х	Х
б. 83 = 2,6 ¯ 83 = 2,6 ¯				Х
г. 7373					Х
г. –6			Х	Х
e.3,2121121112 …					Х

Попробуй # 5

ⓐ −357−357
ⓑ 00
ⓒ 169 169
ⓓ 2424
ⓔ 4.763763763… 4,763763763…

Выполнение вычислений с использованием порядка операций

Когда мы умножаем число на само себя, мы возводим его в квадрат или возводим в степень 2. Например, 42 = 4⋅4 = 16,42 = 4⋅4 = 16. Мы можем возвести любое число в любую степень. В общем, экспоненциальная запись anan означает, что число или переменная aa используется как множитель nn раз.

an = a⋅a⋅a⋅… ⋅anfactorsan = a⋅a⋅a⋅… ⋅anfactors

В этих обозначениях, anan читается как n в -й степени от a, a или aa до nn, где aa называется основание и nn называется показателем . Термин в экспоненциальном представлении может быть частью математического выражения, которое представляет собой комбинацию чисел и операций. Например, 24 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−42 — математическое выражение.

Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Используем порядок действий. Это последовательность правил для вычисления таких выражений.

Напомним, что в математике мы используем круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки {} для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется в символах, рассматривается как единое целое.Кроме того, столбцы дробей, радикалов и абсолютных значений обрабатываются как символы группировки. При оценке математического выражения начните с упрощения выражений в группирующих символах.

Следующий шаг — обратиться к любым экспонентам или радикалам. После этого выполните умножение и деление слева направо и, наконец, сложение и вычитание слева направо.

Давайте посмотрим на предоставленное выражение.

24 + 6⋅23-4224 + 6⋅23-42

Группирующих символов нет, поэтому переходим к показателям степени или радикалам.Число 4 возводится в степень 2, поэтому упростим 4242 до 16.

24 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−1624 + 6⋅23−4224 + 6⋅23−16

Затем выполните умножение или деление слева направо.

24 + 6⋅23−1624 + 4−1624 + 6⋅23−1624 + 4−16

Наконец, выполните сложение или вычитание слева направо.

24 + 4−1628−161224 + 4−1628−1612

Следовательно, 24 + 6⋅23−42 = 12,24 + 6⋅23−42 = 12.

Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть радикальное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением скобок.Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упрощает одно и то же математическое выражение, получит тот же результат.

Порядок действий

Операции в математических выражениях должны оцениваться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру PEMDAS :

P (варианты)
E (компоненты)
M (повторение) и D (ivision)
A (дополнительное) и S (удаление)

Как к

Упростите математическое выражение, используя порядок операций.

Шаг 1. Упростите любые выражения внутри символов группировки.
Шаг 2. Упростите любые выражения, содержащие степени или радикалы.
Шаг 3. Произведите любое умножение и деление по порядку слева направо.
Шаг 4. Произведите любое сложение и вычитание по порядку слева направо.

Пример 6

Использование порядка операций

Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.

ⓐ (3⋅2) 2−4 (6 + 2) (3⋅2) 2−4 (6 + 2)
ⓑ 52−47−11−252−47−11−2
ⓒ 6− | 5−8 | +3 (4−1) 6− | 5−8 | +3 (4−1)
ⓓ 14−3⋅22⋅5−3214−3⋅22⋅5-32
ⓔ 7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] +17 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] +1

Решение

ⓐ
(3⋅2) 2−4 (6 + 2) = (6) 2−4 (8) Упростить скобки. = 36−4 (8) Упростить показатель степени. = 36−32 Упростить умножение. = 4 Упростить вычитание. (3⋅2 ) 2−4 (6 + 2) = (6) 2−4 (8) Упростим скобки. = 36−4 (8) Упростим показатель степени.= 36−32 Упростить умножение. = 4 Упростить вычитание.
ⓑ
52-47-11-2 = 52-47-9 Упростить символы группировки (радикал). = 52-47-3 Упростить радикал. = 25-47-3 Упростить показатель степени. = 217-3 Упростить вычитание в числителе. = 3-3 Упростить деление. = 0 Упростить вычитание. 52-47−11−2 = 52−47−9 Упростить символы группировки (радикал). = 52−47−3 Упростить радикал. = 25−47−3 Упростить показатель степени. = 217−3 Упростить вычитание в числителе. = 3− 3 Упростить деление. = 0 Упростить вычитание.
Обратите внимание, что на первом шаге радикал рассматривается как символ группировки, например круглые скобки.Кроме того, на третьем этапе полоса дроби считается символом группировки, поэтому числитель считается сгруппированным.
ⓒ
6− | 5−8 | +3 (4−1) = 6− | −3 | +3 (3) Упростить символы внутренней группировки. = 6−3 + 3 (3) Упростить абсолютное значение. = 6−3 + 9 Упростить умножение. = 3 + 9 Упростить вычитание. = 12 Упростить сложение. 6− | 5−8 | +3 (4−1) = 6− | −3 | +3 (3) Упростить символы внутренней группировки. = 6−3 + 3 (3) Упростить абсолютное значение. = 6−3 + 9 Упростить умножение. = 3 + 9 Упростить вычитание. = 12 Упростить сложение.
ⓓ
14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Упростим показатель степени.= 14−610−9 Упростить продукты. = 81 Упростить различия. = 8 Упростить частное. 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Упростить показатель степени. = 14−610−9 Упростить товары. = 81 Упростить различия. = 8 Упростите частное.
В этом примере дробная черта разделяет числитель и знаменатель, которые мы упрощаем отдельно до последнего шага.
ⓔ
7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] + 1 = 7 (15) −2 [(3) −42] + 1 Упростить внутри скобок. = 7 (15) −2 (3−16) + 1 Упростить показатель степени. = 7 (15) −2 (−13) + 1 Вычесть. = 105 + 26 + 1 Умножить. = 132 Добавить.7 (5⋅3) −2 [(6−3) −42] + 1 = 7 (15) −2 [(3) −42] + 1 Упростить внутри скобок. = 7 (15) −2 (3−16) + 1 Упростить показатель степени. = 7 (15) −2 (−13) + 1 Вычесть. = 105 + 26 + 1 Умножить. = 132 Добавить.

Попробуй # 6

Используйте порядок операций для вычисления каждого из следующих выражений.

ⓐ 52−42 + 7 (5−4) 252−42 + 7 (5−4) 2
ⓑ 1 + 7⋅5−8⋅49−61 + 7⋅5−8⋅49−6
ⓒ | 1,8−4,3 | + 0,415 + 10 | 1,8−4,3 | + 0,415 + 10
ⓓ 12 [5⋅32−72] + 13⋅9212 [5⋅32−72] + 13⋅92
ⓔ [(3-8) 2-4] — (3-8) [(3-8) 2-4] — (3-8)

Использование свойств действительных чисел

Для некоторых действий, которые мы выполняем, порядок некоторых операций не имеет значения, но порядок других операций имеет значение.Например, не имеет значения, надеваем ли мы правую обувь перед левой или наоборот. Однако не имеет значения, наденем ли мы сначала туфли или носки. То же самое и с математическими операциями.

Коммутативные свойства

Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму.

Мы можем лучше увидеть эту взаимосвязь при использовании действительных чисел.

(−2) + 7 = 5 и 7 + (- 2) = 5 (−2) + 7 = 5 и 7 + (- 2) = 5

Аналогично, свойство коммутативности умножения гласит, что числа можно умножать в любом порядке, не влияя на произведение.

Снова рассмотрим пример с действительными числами.

(−11) ⋅ (−4) = 44 и (−4) ⋅ (−11) = 44 (−11) ⋅ (−4) = 44 и (−4) ⋅ (−11) = 44

Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не коммутативны. Например, 17-517-5 — это не то же самое, что 5-17,5-17. Аналогично 20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20.20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20.

Ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем перемещать символы группировки, чтобы упростить расчет, при этом продукт остается прежним.

Рассмотрим этот пример.

(3⋅4) ⋅5 = 60and3⋅ (4⋅5) = 60 (3⋅4) ⋅5 = 60and3⋅ (4⋅5) = 60

Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что числа можно группировать по-разному, не влияя на сумму.

a + (b + c) = (a + b) + ca + (b + c) = (a + b) + c

Это свойство может быть особенно полезно при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример.

[15 + (- 9)] + 23 = 29and15 + [(- 9) +23] = 29 [15 + (- 9)] + 23 = 29and15 + [(- 9) +23] = 29

Ассоциативны ли вычитание и деление? Просмотрите эти примеры.

8− (3−15) =? (8−3) −1564 ÷ (8 ÷ 4) =? (64 ÷ 8) ÷ 48 — (- 12) = 5−1564 ÷ 2 =? 8 ÷ 420 ≠ −1032 ≠ 28− (3−15) =? (8−3) −1564 ÷ (8 ÷ 4) =? (64 ÷ 8) ÷ 48 — (- 12) = 5−1564 ÷ 2 =? 8 ÷ 420 ≠ — 1032 ≠ 2

Как видим, ни вычитание, ни деление не ассоциативны.

Распределительное свойство

Распределительное свойство утверждает, что произведение множителя на сумму является суммой множителя, умноженного на каждый член в сумме.

a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅ca⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c

Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и это единственное свойство).Рассмотрим пример.

Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на –7 и складывая произведения.

Чтобы быть более точным при описании этого свойства, мы говорим, что умножение распределяется по сложению. Обратное неверно, как мы видим в этом примере.

6+ (3⋅5) =? (6 + 3) ⋅ (6 + 5) 6+ (15) =? (9) ⋅ (11) 21 ≠ 996 + (3⋅5) =? (6 + 3) ⋅ (6 + 5) 6+ (15) =? (9) ⋅ (11) 21 ≠ 99

Частный случай свойства распределения возникает при вычитании суммы членов.

a − b = a + (- b) a − b = a + (- b)

Например, рассмотрим разницу 12− (5 + 3) .12− (5 + 3). Мы можем переписать разницу между двумя членами 12 и (5 + 3) (5 + 3), превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания (5 + 3), (5 + 3) мы добавляем противоположное.

12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3)

Теперь распределите −1−1 и упростите результат.

12− (5 + 3) = 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) = 12 + [(- 1) ⋅5 + (- 1) ⋅3] = 12 + (- 8) = 412− (5 +3) = 12 + (- 1) ⋅ (5 + 3) = 12 + [(- 1) ⋅5 + (- 1) ⋅3] = 12 + (- 8) = 4

Кажется, много проблема для простой суммы, но она иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины.Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример.

12− (5 + 3) = 12 + (- 5−3) = 12 + (- 8) = 412− (5 + 3) = 12 + (- 5−3) = 12 + (- 8) = 4

Свойства идентичности

Свойство идентичности сложения утверждает, что существует уникальный номер, называемый аддитивным идентификатором (0), который при добавлении к номеру дает исходный номер.

Свойство идентичности умножения утверждает, что существует уникальное число, называемое мультипликативным тождеством (1), которое при умножении на число дает исходное число.

Например, мы имеем (−6) + 0 = −6 (−6) + 0 = −6 и 23⋅1 = 23,23⋅1 = 23. Для этих свойств нет исключений; они работают для всех действительных чисел, включая 0 и 1.

Обратные свойства

Свойство, обратное сложению, гласит, что для каждого действительного числа a существует уникальный номер, называемый аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемый (- a ), который при добавлении к исходному числу приводит к аддитивной идентичности, 0.

Например, если a = −8, a = −8, аддитивная обратная величина равна 8, поскольку (−8) + 8 = 0.(-8) + 8 = 0.

Обратное свойство умножения сохраняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. Свойство заявляет, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое обратным мультипликативным (или обратным) числом, обозначенное 1a, 1a, которое при умножении на исходное число дает мультипликативную идентичность, 1.

Например, если a = −23, a = −23, обратная величина, обозначенная 1a, 1a, будет −32−32 потому что

a⋅1a = (- 23) ⋅ (−32) = 1a⋅1a = (- 23) ⋅ (−32) = 1

Свойства вещественных чисел

Следующие свойства имеют место для вещественных чисел a , b и c .

	Дополнение	Умножение
Коммутационная собственность	а + Ь = Ь + аа + Ь = Ь + а	a⋅b = b⋅aa⋅b = b⋅a
Ассоциативное свойство	a + (b + c) = (a + b) + ca + (b + c) = (a + b) + c	a (bc) = (ab) ca (bc) = (ab) c
Распределительная собственность	a⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅ca⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c
Identity Property	Существует уникальное действительное число, называемое аддитивным идентификатором, 0, так что для любого действительного числа a	Существует уникальное действительное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, такое, что для любого действительного числа a
Обратное свойство	Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное или противоположное, обозначенное –a , так что	Каждое ненулевое действительное число a имеет обратное или обратное мультипликативное число, обозначенное 1a, 1a, так что

Пример 7

Использование свойств действительных чисел

Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применимы.

ⓐ 3⋅6 + 3⋅43⋅6 + 3⋅4
ⓑ (5 + 8) + (- 8) (5 + 8) + (- 8)
ⓒ 6− (15 + 9) 6− (15 + 9)
ⓓ 47⋅ (23⋅74) 47⋅ (23⋅74)
ⓔ 100⋅ [0,75 + (- 2,38)] 100⋅ [0,75 + (- 2,38)]

Решение

ⓐ
3⋅6 + 3⋅4 = 3⋅ (6 + 4) Распределительное свойство. = 3⋅10Simplify. = 30Simplify. 3⋅6 + 3⋅4 = 3⋅ (6 + 4) Распределительное свойство. = 3⋅10Simplify. = 30 Упростите.
ⓑ
(5 + 8) + (- 8) = 5 + [8 + (- 8)] Ассоциативное свойство сложения.= 5 + 0 Обратное свойство сложения. = 5 Идентичность сложения. (5 + 8) + (- 8) = 5 + [8 + (- 8)] Ассоциативное свойство сложения. = 5 + 0 Обратное свойство сложения. = 5 Идентичность свойство сложения.
ⓒ
6− (15 + 9) = 6 + [(- 15) + (- 9)] Распределительное свойство. = 6 + (- 24) Упростить. = — 18 Упростить. 6− (15 + 9) = 6 + [(- 15) + (- 9)] Распределительное свойство. = 6 + (- 24) Simplify. = — 18Simplify.
ⓓ
47⋅ (23⋅74) = 47⋅ (74⋅23) Коммутативное свойство умножения. = (47⋅74) ⋅23 Ассоциативное свойство умножения.= 1⋅23 Обратное свойство умножения. = 23 Свойство идентичности умножения. 47⋅ (23⋅74) = 47⋅ (74⋅23) Коммутативное свойство умножения. = (47⋅74) ⋅23 Ассоциативное свойство умножения. = 1⋅23 Обратное свойство умножения. = 23 Свойство идентичности умножения.
ⓔ
100⋅ [0,75 + (- 2,38)] = 100⋅0,75 + 100⋅ (−2,38) Распределительное свойство. = 75 + (- 238) Упростить. = — 163Упростить. 100⋅ [0,75 + (- 2,38)] = 100⋅ 0,75 + 100⋅ (−2,38) Распределительное свойство. = 75 + (- 238) Simplify. = — 163Simplify.

Попробуй # 7

ⓐ (−235) ⋅ [11⋅ (−523)] (- 235) ⋅ [11⋅ (−523)]
ⓑ 5⋅ (6,2 + 0,4) 5⋅ (6,2 + 0,4)
ⓒ 18− (7−15) 18− (7−15)
ⓓ 1718+ [49 + (- 1718)] 1718+ [49 + (- 1718)]
ⓔ 6⋅ (−3) + 6⋅36⋅ (−3) + 6⋅3

Вычисление алгебраических выражений

До сих пор в математических выражениях, которые мы видели, использовались только действительные числа. В математике мы можем видеть такие выражения, как x + 5,43πr3, x + 5,43πr3 или 2m3n2.2м3н2. В выражении x + 5, x + 5, 5 называется константой, потому что она не меняется, а x называется переменной, потому что она изменяется. (При именовании переменной игнорируйте любые экспоненты или радикалы, содержащие переменную.) Алгебраическое выражение — это набор констант и переменных, соединенных вместе алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления.

Мы уже видели несколько реальных числовых примеров экспоненциальной записи, сокращенного метода записи продуктов того же множителя.Когда используются переменные, константы и переменные обрабатываются одинаково.

(−3) 5 = (- 3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) x5 = x⋅x⋅x⋅x⋅x (2⋅7) 3 = (2 ⋅7) ⋅ (2⋅7) ⋅ (2⋅7) (yz) 3 = (yz) ⋅ (yz) ⋅ (yz) (- 3) 5 = (- 3) ⋅ (−3) ⋅ (−3 ) ⋅ (−3) ⋅ (−3) x5 = x⋅x⋅x⋅x⋅x (2⋅7) 3 = (2⋅7) ⋅ (2⋅7) ⋅ (2⋅7) (yz) 3 = (yz) ⋅ (yz) ⋅ (yz)

В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных.

Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или иметь разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения меняется.Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для данного значения каждой переменной в выражении. Замените каждую переменную в выражении заданным значением, затем упростите полученное выражение, используя порядок операций. Если алгебраическое выражение содержит более одной переменной, замените каждую переменную присвоенным ей значением и упростите выражение, как и раньше.

Пример 8

Описание алгебраических выражений

Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.

ⓐ х + 5
ⓑ 43πr343πr3
ⓒ 2м3н22м3н2

Решение

	Константы	Переменные
а. х + 5	5	x
б. 43πr343πr3	43, π43, π	руб.
г. 2м3н22м3н2	2	м, нм, н

Попробуй # 8

Перечислите константы и переменные для каждого алгебраического выражения.

ⓐ 2πr (r + h) 2πr (r + h)
ⓑ2 ( L + W )
ⓒ 4y3 + y4y3 + y

Пример 9

Вычисление алгебраического выражения при различных значениях

Вычислите выражение 2x − 72x − 7 для каждого значения x.

ⓐ x = 0x = 0
ⓑ х = 1х = 1
ⓒ х = 12х = 12
ⓓ х = -4х = -4

Решение

ⓐ Заменим 0 на x.Икс. 2x − 7 = 2 (0) −7 = 0−7 = −72x − 7 = 2 (0) −7 = 0−7 = −7
ⓑЗаменить 1 на x.x. 2x − 7 = 2 (1) −7 = 2−7 = −52x − 7 = 2 (1) −7 = 2−7 = −5
ⓒ Замените 1212 на x.x. 2x − 7 = 2 (12) −7 = 1−7 = −62x − 7 = 2 (12) −7 = 1−7 = −6
ⓓ Замените −4−4 вместо x.x. 2x − 7 = 2 (−4) −7 = −8−7 = −152x − 7 = 2 (−4) −7 = −8−7 = −15

Попробуй # 9

Вычислите выражение 11−3y11−3y для каждого значения y.

ⓐ у = 2у = 2
ⓑ у = 0 у = 0
ⓒ у = 23у = 23
ⓓ у = -5у = -5

Пример 10

Вычисление алгебраических выражений

Оцените каждое выражение для заданных значений.

ⓐ x + 5x + 5 для x = −5x = −5
ⓑ t2t − 1t2t − 1 для t = 10t = 10
ⓒ 43πr343πr3 для r = 5r = 5
ⓓ a + ab + ba + ab + b для a = 11, b = −8a = 11, b = −8
ⓔ 2m3n22m3n2 для m = 2, n = 3m = 2, n = 3

Решение

ⓐ Подставляем −5−5 вместо x.x. х + 5 = (- 5) + 5 = 0x + 5 = (- 5) + 5 = 0
ⓑ Заменить 10 на т.т. t2t − 1 = (10) 2 (10) −1 = 1020−1 = 1019 t2t − 1 = (10) 2 (10) −1 = 1020−1 = 1019
ⓒ Заменить 5 на r.р. 43πr3 = 43π (5) 3 = 43π (125) = 5003π43πr3 = 43π (5) 3 = 43π (125) = 5003π
ⓓ Замените 11 вместо aa и –8 на b.b. a + ab + b = (11) + (11) (- 8) + (- 8) = 11−88−8 = −85a + ab + b = (11) + (11) (- 8) + (- 8) = 11-88-8 = -85
ⓔ Замените 2 на мм и 3 на n.n. 2m3n2 = 2 (2) 3 (3) 2 = 2 (8) (9) = 144 = 122m3n2 = 2 (2) 3 (3) 2 = 2 (8) (9) = 144 = 12

Попробуй # 10

Оцените каждое выражение для заданных значений.

ⓐ y + 3y − 3y + 3y − 3 для y = 5y = 5
ⓑ 7−2t7−2t для t = −2t = −2
ⓒ 13πr213πr2 для r = 11r = 11
ⓓ (p2q) 3 (p2q) 3 для p = −2, q = 3p = −2, q = 3
ⓔ 4 (m − n) −5 (n − m) 4 (m − n) −5 (n − m) для m = 23, n = 13m = 23, n = 13

Формулы

Уравнение — это математическое утверждение, указывающее, что два выражения равны.Выражения могут быть числовыми или алгебраическими. Уравнение не является истинным или ложным по своей сути, а всего лишь предположением. Значения, которые делают уравнение истинным, решения находятся с использованием свойств действительных чисел и других результатов. Например, уравнение 2x + 1 = 72x + 1 = 7 имеет решение 3, потому что, когда мы подставляем 3 вместо xx в уравнение, мы получаем истинное утверждение 2 (3) + 1 = 7.2 (3) + 1 = 7 .

Формула — это уравнение, выражающее связь между постоянными и переменными величинами.Очень часто уравнение является средством нахождения значения одной величины (часто одной переменной) с точки зрения другой или других величин. Одним из наиболее распространенных примеров является формула для нахождения площади AA круга через радиус rr круга: A = πr2.A = πr2. Для любого значения r, r площадь AA можно найти, вычислив выражение πr2.πr2.

Пример 11

Использование формулы

Правый круговой цилиндр с радиусом rr и высотой hh имеет площадь SS (в квадратных единицах), определяемую формулой S = 2πr (r + h).S = 2πr (r + h). См. Рис. 3. Найдите площадь поверхности цилиндра радиусом 6 дюймов и высотой 9 дюймов. Оставьте ответ в виде π.π.

Рисунок 3 Правый круговой цилиндр

Решение

Вычислите выражение 2πr (r + h) 2πr (r + h) для r = 6r = 6 и h = 9.h = 9.

S = 2πr (r + h) = 2π (6) [(6) + (9)] = 2π (6) (15) = 180πS = 2πr (r + h) = 2π (6) [(6) + ( 9)] = 2π (6) (15) = 180π

Площадь поверхности составляет 180π180π квадратных дюймов.

Попробуй # 11

Фотография длиной L и шириной W помещается в циновку шириной 8 сантиметров (см).Площадь коврика (в квадратных сантиметрах или ² см) оказывается равной A = (L + 16) (W + 16) −L⋅WA = (L + 16) (W + 16) −L⋅ W. См. Рис. 4. Найдите площадь мата для фотографии длиной 32 см и шириной 24 см.

Рисунок 4

Упрощение алгебраических выражений

Иногда мы можем упростить алгебраическое выражение, чтобы его было легче вычислить или использовать каким-либо другим способом. Для этого мы используем свойства действительных чисел. Мы можем использовать те же свойства в формулах, потому что они содержат алгебраические выражения.

Пример 12

Упрощение алгебраических выражений

Упростите каждое алгебраическое выражение.

ⓐ 3x − 2y + x − 3y − 73x − 2y + x − 3y − 7
ⓑ 2r − 5 (3 − r) + 42r − 5 (3 − r) +4
ⓒ (4t − 54s) — (23t + 2s) (4t − 54s) — (23t + 2s)
ⓓ 2mn − 5m + 3mn + n2mn − 5m + 3mn + n

Решение

ⓐ
3x − 2y + x − 3y − 7 = 3x + x − 2y − 3y − 7 Коммутативное свойство сложения. = 4x − 5y − 7 Упростить. 3x − 2y + x − 3y − 7 = 3x + x − 2y − 3y − 7 Коммутативное свойство сложения.= 4x − 5y − 7 Упростить.
ⓑ
2r − 5 (3 − r) + 4 = 2r − 15 + 5r + 4 Распределительное свойство. = 2r + 5r − 15 + 4 Коммутативное свойство сложения. = 7r − 11 Упростить. 2r − 5 (3 − r) + 4 = 2r− 15 + 5r + 4 Распределительное свойство. = 2r + 5r − 15 + 4 Коммутативное свойство сложения. = 7r − 11 Упростить.
ⓒ
(4t − 54s) — (23t + 2s) = 4t − 54s − 23t − 2s Распределительное свойство. = 4t − 23t − 54s − 2s Коммутативное свойство сложения. = 103t − 134s Упростить. (4t − 54s) — (23t + 2s) = 4t − 54s − 23t − 2s Распределительное свойство. = 4t − 23t − 54s − 2s Коммутативное свойство сложения.= 103t − 134s Упростить.
ⓓ
2mn − 5m + 3mn + n = 2mn + 3mn − 5m + n Коммутативное свойство сложения. = 5mn − 5m + nSimplify.2mn − 5m + 3mn + n = 2mn + 3mn − 5m + n Коммутативное свойство сложения. = 5mn − 5m + nПросто.

Попробуй # 12

Упростите каждое алгебраическое выражение.

ⓐ 23y − 2 (43y + z) 23y − 2 (43y + z)
ⓑ 5т − 2−3т + 15т − 2−3т + 1
ⓒ 4p (q − 1) + q (1 − p) 4p (q − 1) + q (1 − p)
ⓓ 9r− (s + 2r) + (6 − s) 9r− (s + 2r) + (6 − s)

Пример 13

Упрощение формулы

Прямоугольник длиной LL и шириной WW имеет периметр PP, равный P = L + W + L + W.П = Д + Ш + Д + Ш. Упростите это выражение.

Решение

P = L + W + L + WP = L + L + W + W Коммутативное свойство сложения P = 2L + 2W Simplify P = 2 (L + W) Распределительное свойство P = L + W + L + WP = L + L + W + W Коммутативное свойство сложенияP = 2L + 2WSimplifyP = 2 (L + W) Распределительное свойство

Попробуй # 13

Если сумма PP депонируется на счет, на котором выплачиваются простые проценты rr в течение времени t, t, общая стоимость депозита AA определяется как A = P + Prt.A = P + Prt. Упростите выражение. (Эта формула будет рассмотрена более подробно позже в курсе.)

1.1 Упражнения по разделам

Устный

Является ли 22 примером рационального завершающего, рационально повторяющегося или иррационального числа? Расскажите, почему он подходит к этой категории.

Каков порядок работы? Какой акроним используется для описания порядка операций и что он означает?

Что ассоциативные свойства позволяют нам делать, следуя порядку операций? Поясните свой ответ.

Цифровой

Для следующих упражнений упростите данное выражение.

10 + 2 × (5−3) 10 + 2 × (5−3)

6 ÷ 2− (81 ÷ 32) 6 ÷ 2− (81 ÷ 32)

−2 × [16 ÷ (8−4) 2] 2−2 × [16 ÷ (8−4) 2] 2

11.

12 ÷ (36 ÷ 9) + 612 ÷ (36 ÷ 9) +6

18.

9− (3 + 11) × 29− (3 + 11) × 2

24.

(15-7) × (3-7) (15-7) × (3-7)

25.

2 × 4−9 (−1) 2 × 4−9 (−1)

Алгебраические

Найдите переменную для следующих упражнений.

28.

8 (x + 3) –648 (x + 3) –64 для x = 2x = 2

29.

4y + 8–2y4y + 8–2y для y = 3y = 3

30.

(11a + 3) −18a + 4 (11a + 3) −18a + 4 для a = –2a = –2

31.

4z − 2z (1 + 4) –364z − 2z (1 + 4) –36 для z = 5z = 5

32.

4y (7−2) 2 + 2004y (7−2) 2 + 200 для y = –2y = –2

33.

— (2x) 2 + 1 + 3− (2x) 2 + 1 + 3 для x = 2x = 2

34.

Для 8 (2 + 4) −15b + b8 (2 + 4) −15b + b для b = –3b = –3

35.

2 (11c − 4) –362 (11c − 4) –36 для c = 0c = 0

36.

4 (3−1) x – 44 (3−1) x – 4 для x = 10x = 10

37.

14 (8w − 42) 14 (8w − 42) для w = 1w = 1

Упростите выражение для следующих упражнений.

39.

2y− (4) 2y − 112y− (4) 2y − 11

40.

a23 (64) −12a ÷ 6a23 (64) −12a ÷ 6

42.

5л ÷ 3л × (9-6) 5л ÷ 3л × (9-6)

44.

4 × 3 + 18x ÷ 9−124 × 3 + 18x ÷ 9−12

47.

6 + 12b − 3 × 6b6 + 12b − 3 × 6b

48.

18y − 2 (1 + 7y) 18y − 2 (1 + 7y)

50.

8 (3-м) +1 (-8) 8 (3-м) +1 (-8)

51.

9x + 4x (2 + 3) −4 (2x + 3x) 9x + 4x (2 + 3) −4 (2x + 3x)

Реальные приложения

Рассмотрим следующий сценарий для следующих упражнений: Фред зарабатывает 40 долларов на стрижке газонов.Он тратит 10 долларов на mp3, кладет половину остатка на сберегательный счет и получает еще 5 долларов за мытье машины своего соседа.

53.

Напишите выражение, которое представляет количество долларов, которые Фред держит (и не кладет на свой сберегательный счет). Запомните порядок действий.

54.

Сколько денег держит у Фреда?

Решите данную задачу с помощью следующих упражнений.

55.

По данным Монетного двора США, диаметр четверти равен 0.955 дюймов. Окружность четверти равна диаметру, умноженному на π.π. Является ли окружность четверти целым числом, рациональным числом или иррациональным числом?

56.

Джессика и ее соседка по комнате Адриана решили разделить банку мелочи на совместные расходы. Джессика сначала положила мелочь в банку, а затем Адриана положила ее в банку. Мы знаем, что не имеет значения, в каком порядке изменение было добавлено в банку. Какое свойство сложения описывает этот факт?

Для следующих упражнений рассмотрите следующий сценарий: В карьере есть насыпь из нескольких фунтов гравия.В течение дня к насыпи добавляют 400 фунтов гравия. Проданы два заказа по 600 фунтов, и гравий убран с насыпи. В конце концов, в кургане есть 1200 фунтов гравия.

57.

Напишите уравнение, описывающее ситуацию.

Для следующего упражнения решите данную задачу.

59.

Рамон руководит отделом маркетинга в своей компании. Его отдел получает бюджет каждый год, и каждый год он должен расходовать весь бюджет, не превышая его.Если он тратит меньше бюджета, то на следующий год его отдел получает меньший бюджет. В начале этого года Рамон получил 2,5 миллиона долларов в годовой маркетинговый бюджет. Он должен израсходовать бюджет так, чтобы 2 500 000 − x = 0,2 500 000 − x = 0. Какое свойство сложения говорит нам, каким должно быть значение x ?

Technology

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор, чтобы найти x . Округлите ответы до ближайшей сотой.

60.

0,5 (12,3) 2−48x = 350,5 (12,3) 2−48x = 35

61.

(0,25−0,75) 2x − 7,2 = 9,9 (0,25−0,75) 2x − 7,2 = 9,9

Расширения

62.

Если целое число не является натуральным, каким должно быть это число?

63.

Определите, является ли утверждение истинным или ложным. Мультипликативная обратная величина рационального числа также является рациональной.

64.

Определите, является ли утверждение истинным или ложным: произведение рационального и иррационального числа всегда иррационально.

65.

Определите, рационально или иррационально упрощенное выражение: −18−4 (5) (- 1) .− 18−4 (5) (- 1).

66.

Определите, рационально или иррационально упрощенное выражение: −16 + 4 (5) + 5. −16 + 4 (5) +5.

67.

Какой тип числа всегда будет результатом деления двух натуральных чисел?

68.

Какое свойство действительных чисел упростило бы следующее выражение: 4 + 7 (x − 1)? 4 + 7 (x − 1)?

Решайте уравнения с квадратными корнями — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Решите радикальные уравнения
Использование квадратного корня в приложениях

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Упростить: ⓐ ⓑ.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (Рисунок) и (Рисунок).
Решить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите радикальные уравнения

В этом разделе мы будем решать уравнения, в которых переменная содержится в подкоренном выражении квадратного корня. Уравнения этого типа называются радикальными уравнениями.

Радикальное уравнение

Уравнение, в котором переменная находится в корневом выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением.

Как обычно, при решении этих уравнений, то, что мы делаем с одной стороной уравнения, мы должны делать и с другой стороной. Поскольку возведение величины в квадрат и извлечение квадратного корня являются «противоположными» операциями, мы возведем обе стороны в квадрат, чтобы удалить знак корня и найти переменную внутри.

Но помните, что когда мы пишем, мы имеем в виду главный квадратный корень. Так всегда. Когда мы решаем радикальные уравнения, возводя обе части в квадрат, мы можем получить алгебраическое решение, которое будет отрицательным.Это алгебраическое решение не было бы решением исходного радикального уравнения; это постороннее решение. Мы видели посторонние решения и при решении рациональных уравнений.

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Для уравнения:

ⓐ Есть решение? Ⓑ Есть решение?

ⓐ нет ⓑ

Теперь посмотрим, как решить радикальное уравнение.Наша стратегия основана на соотношении извлечения квадратного корня и возведения в квадрат.

Как решать радикальные уравнения

Решить:.

Решите радикальное уравнение.

Выделите радикал на одной стороне уравнения.
Возвести обе части уравнения в квадрат.
Решите новое уравнение.
Проверьте ответ.

Решить:.

Когда мы используем знак корня, мы имеем в виду главный или положительный корень. Если в уравнении квадратный корень равен отрицательному числу, это уравнение не будет иметь решения.

Решить:.

Решение


Чтобы изолировать радикал, вычтите 1 с обеих сторон.
Упростить.
Поскольку квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение не имеет решения.

Решить:.

Если одна сторона уравнения является биномом, мы используем формулу биномиальных квадратов, когда возводим ее в квадрат.

Биномиальные квадраты

Не забывайте про средний семестр!

Решить:.

Когда перед радикалом стоит коэффициент, мы также должны возвести его в квадрат.

Решить:.

Решение

Решить:.

Иногда после возведения в квадрат обеих частей уравнения внутри радикала остается переменная. Когда это произойдет, мы повторяем шаги 1 и 2 нашей процедуры. Выделяем радикал и снова возводим обе части уравнения в квадрат.

Решить:.

Решение

Решить:.

Решение

Решить:.

Использование квадратного корня в приложениях

По мере прохождения курсов в колледже вы будете сталкиваться с формулами, включающими квадратные корни во многих дисциплинах. Мы уже использовали формулы для решения геометрических приложений.

Мы будем использовать нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений с небольшими изменениями, чтобы дать нам план решения приложений с формулами из любой дисциплины.

Решайте приложения с помощью формул.

Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
Определите , что мы ищем.
Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
Отметьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Ответьте на вопрос полным предложением.

Мы использовали формулу, чтобы найти площадь прямоугольника длиной L и шириной W . Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны. Если мы допустим s как длину стороны квадрата, площадь квадрата равна.

Формула дает нам площадь квадрата, если мы знаем длину стороны.Что, если мы хотим найти длину стороны для данной области? Затем нам нужно решить уравнение для s .

Мы можем использовать формулу, чтобы найти длину стороны квадрата для заданной площади.

Площадь квадрата

Мы покажем это в следующем примере.

Кэти хочет посадить квадратный газон перед своим двором. У нее достаточно дерна, чтобы покрыть площадь в 370 квадратных футов. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны ее газона.Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Серджио хочет сделать квадратную мозаику в качестве инкрустации для стола, который он строит. У него достаточно плитки, чтобы покрыть площадь в 2704 квадратных сантиметра. Используйте формулу, чтобы найти длину каждой стороны его мозаики. Округлите ответ до ближайшей десятой доли фута.

Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией.

Падающие предметы

На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле

Например, если объект падает с высоты 64 фута, мы можем вычислить время, необходимое для достижения земли, подставив его в формулу.



Извлеките квадратный корень из 64.
Упростим дробь.

Чтобы объект, упавший с высоты 64 фута, достиг земли, потребуется 2 секунды.

Кристи уронила свои солнцезащитные очки с моста на высоте 400 футов над рекой. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось солнцезащитным очкам, чтобы добраться до реки.

Вертолет сбросил спасательный пакет с высоты 1296 футов. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд потребовалось, чтобы пакет достиг земли.

Мойщик окон сбросил ракель с платформы на высоте 196 футов над тротуаром. Используйте формулу, чтобы определить, сколько секунд прошло, чтобы ракель достиг тротуара.

Сотрудники полиции, расследующие автомобильные аварии, измеряют длину следов заноса на тротуаре.Затем они используют квадратные корни, чтобы определить скорость в милях в час, с которой машина ехала до того, как затормозила.

Следы заноса и скорость автомобиля

Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость автомобиля с до того, как были применены тормоза, можно определить по формуле

После автомобильной аварии следы заноса одной машины достигли 190 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза.Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следователь ДТП измерил следы заноса автомобиля. Длина следов заноса составляла 76 футов. Воспользуйтесь формулой, чтобы определить скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Следы заноса автомобиля, попавшего в аварию, были длиной 122 фута. Используйте формулу, чтобы найти скорость автомобиля до того, как были задействованы тормоза. Округлите ответ до ближайшей десятой.

Ключевые концепции

Для решения радикального уравнения:
1. Выделите радикал на одной стороне уравнения.
2. Возвести обе части уравнения в квадрат.
3. Решите новое уравнение.
4. Проверьте ответ. Некоторые полученные решения могут не работать в исходном уравнении.
Решение приложений с помощью формул
1. Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.При необходимости нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
2. Определите , что мы ищем.
3. Назовите то, что мы ищем, выбрав переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение , используя хорошие методы алгебры.
6. Отметьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Площадь квадрата
Падающие предметы
- На Земле, если объект падает с высоты футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется по формуле.
Следы заноса и скорость автомобиля
- Если длина пятен заноса составляет d футов, то скорость с автомобиля до того, как были применены тормоза, можно определить по формуле.

Письменные упражнения

Объясните, почему уравнение вида не имеет решения.

ⓐ Решите уравнение.
ⓑ Объясните, почему одно из найденных «решений» на самом деле не было решением уравнения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

радикальное уравнение: Уравнение, в котором переменная находится в подкоренном выражении квадратного корня, называется радикальным уравнением

квадратный корень из 59 — Как найти квадратный корень из 59?

Квадратный корень 59 — это число, которое при умножении на себя дает число 59.59 также является простым числом, что усложняет вычисление его квадратного корня. Мы узнаем, как вычислить квадратный корень из 59, и рассмотрим несколько задач, которые помогут нам разобраться в этой теме.

Квадратный корень 59: √59 = 7,6811457 …
Квадрат 59: 59 ² = 3481

Что такое квадратный корень из 59?

Квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.Например, квадратный корень из 25 равен 5, так как 5 умноженное на 5 дает 25, что делает его полным квадратом. Однако у вас также могут быть квадратные корни из некоторых чисел, которые не дают целых чисел, например 59. Мы можем выразить квадратный корень из 59 по-разному

Десятичная форма: 7,681
Радикальная форма: √59
Показательная форма: (59) ^1/2

Является ли квадратный корень из 59 рациональным или иррациональным?

59 — число, не являющееся полным квадратом, то есть у него нет натурального числа в качестве квадратного корня.
Кроме того, его квадратный корень не может быть выражен в виде дроби формы p / q, которая говорит нам, что квадратный корень из 59 является иррациональным числом.

Как найти квадратный корень из 59?

Поскольку мы пришли к выводу, что квадратный корень из 59 не завершается, мы можем использовать только 2 метода для вычисления значения квадратного корня из

Метод длинного деления
Метод оценки и приближения

Длинный дивизион

Шаг 1: Начиная справа, мы объединим цифры 59 в пары, поставив над ними полосу.Мы также объединяем десятичные нули в пары по 2 слева направо.
Шаг 2: Подумайте о числе, квадрат которого меньше или равен 59. В этом случае это число будет 7.
Шаг 3: Разделив 59 на 7 с частным, равным 7, мы получим остаток 10.
Шаг 4: Перетащите вниз пару нулей и заполните их рядом с остатком, чтобы получилось 1000.
Шаг 5: Делитель, в данном случае 7, удваивается и записывается ниже.Теперь у нас есть 14X в качестве нового делителя, и нам нужно найти значение X, которое делает произведение 14X × X меньше или равным 1000. В этом случае 146 является требуемым значением
Шаг 6: Число 6 помещается в частное после десятичного разряда. Новый делитель для следующего деления будет 146 + 6 = 152.
Действуя таким же образом и повторяя шаг 4, мы можем вычислить остальные десятичные дроби.

Следовательно, квадратный корень из 59 = 7.681

Оценка и приближение

Метод оценки дает нам приблизительный ответ и обычно не точен более чем с 1 десятичным знаком. Тем не менее, это легко выполнить, как показано ниже.

Шаг 1: Найдите идеальный квадрат, который меньше и больше 59. В этом случае 7 и 8 будут работать, поскольку их квадраты равны 49 и 64.
Шаг 2: Запись в терминах неравенства — 7 <√59 <8 = 49 <59 <64
Шаг 3: Умножьте на 100 и запишите в виде квадратных корней: √4900 <√5900 <√6400
Шаг 4. Приблизьтесь к неравенству — √5776 <√5900 <√5929 = 76 <10√59 <77
= 7.6 <√59 <7,7
Шаг 5: Взяв среднее значение верхнего и нижнего пределов, мы получаем (7,6 + 7,7) / 2 = 7,65

Таким образом, мы можем оценить как квадратный корень из 59 ≅ 7,65

Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

Что такое квадратный корень из 59 с точностью до 6 знаков после запятой (используйте длинное деление)
Каковы корни числа -59? Также найдите значение квадрата отрицательного корня из -59

Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 59

Что такое квадратный корень из 59?

Квадратный корень из 59 равен √59 = 7.681.

Является ли квадратный корень из 59 рациональным числом?

Нет, квадратный корень из 59 не является рациональным числом, так как квадратный корень из 59 не является завершающим и не может быть представлен в форме p / q.

Что такое квадратный корень из 59 в простейшей радикальной форме?

√59 — простейшая радикальная форма.

Что такое квадрат 59?

Квадрат 59 равен 59 ² = 3481

Можем ли мы найти квадратный корень из 59 методом факторизации на простые множители?

Нет, мы не можем найти квадратный корень из 59 методом разложения на простые множители.Это потому, что это простое число, и его единственные множители — это он сам и 1. Поэтому мы не можем упростить его дальше.

Пошаговая математика — Wolfram | Alpha Blog

Обновление от 17 июля 2019 г .: Обновлены пошаговые решения! Учить больше.

Вы когда-нибудь бросали работать над математической задачей, потому что не могли придумать следующий шаг? Wolfram | Alpha может пошагово провести вас через процесс решения многих математических задач, от решения простого квадратного уравнения до получения интеграла от сложной функции.

При попытке найти корни 3 x ² + x –7 = 4 x , Wolfram | Alpha может разбить шаги для вас, если вы нажмете кнопку «Показать шаги» в модуле результатов. .

Как видите, Wolfram | Alpha может находить корни квадратных уравнений. Wolfram | Alpha показывает, как решить это уравнение, заполнив квадрат и решив для x . Конечно, есть и другие способы решения этой проблемы!

Wolfram | Alpha может продемонстрировать пошаговые решения для широкого круга проблем.Эта функциональность будет расширена за счет включения шагов для решений в других математических областях. Просмотрите следующие примеры, чтобы увидеть возможности функции «Показать шаги».

Если вам нужно научиться делить многочлены в столбик, Wolfram | Alpha может показать вам шаги. Давайте попробуем ( x ⁵ –14 x ⁴ +3 x ² –2 x +17) / (2 x ² — x +1):

Если вы в тупике, пытаясь найти предел x ^x как x -> 0, обратитесь к Wolfram | Alpha:

Когда вам нужно найти производную от (3 x ² +1) / (6 x ³ +4 x ) для вашего класса вычислений, Wolfram | Alpha найдет эту производную с помощью частного правило.

Вы пытаетесь интегрировать e ² x cos (3 x ), но забыли формулу интегрирования по частям? Wolfram | Alpha напомнит вам, как интегрировать по частям.

Wolfram | Alpha может сделать практически любой интеграл, который можно сделать вручную. Попробуйте использовать интеграл x ? [1 -? [ x ]]:

Wolfram | Alpha также имеет пошаговую функцию для частичных дробей. Попробуйте дробные дроби 1 / ( x ³ –1):

Пошаговые программы в Wolfram | Alpha основаны на комбинации базовых алгоритмов и эвристик, включая исключение Гаусса, правило Л’Опиталя и алгоритм Бернулли для рациональной интеграции.Эти эвристики представляют собой логическую формулировку естественных методов, используемых людьми для решения проблем. Используя мощные возможности Mathematica по сопоставлению с образцом, разработчики Wolfram | Alpha превратили эти правила в платформу для разбиения и структурирования решений сложных проблем, которая близко имитирует способы, которыми человек решает проблемы такого рода. .

Функция «Показать шаги» позволяет вам самостоятельно изучать основы математики или просто проверить свою работу! Это также может дать вам представление о различных способах решения проблем.Так что в следующий раз, когда вы обнаружите, что готовы отказаться от математической задачи, обязательно обратитесь к Wolfram | Alpha. Посетите дневную галерею домашних заданий Wolfram | Alpha, чтобы увидеть примеры того, как вы можете использовать Wolfram | Alpha в качестве учебного пособия по другим предметам.

Спец. Номера

Мы получили массу хороших решений по Эта проблема.

Эйлин, Бекка и Паулина от Уолтера Школа Дж. Патона рассказала, как они пришли к Решение:

Решать задачу «Специальные числа» было очень интересно.В Во-первых, мы не поняли, что это значит. Но через некоторое время полагая, мы заметили закономерность. Вот что мы сделали:

Мы просто попробовали случайные числа и нашли число 18. Это было всего 1, поэтому мы попробовали 19.
Сумма 1 + 9 составила 10, а произведение 1×9 было 9.
После этого мы сложили 10 + 9, и получилось 19!
Это был наш исходный номер!
Мы нашли специальный номер!

Но возник еще один вопрос: есть ли более одного специальные номера?
По мере того, как мы пытались выяснить больше, мы попробовали число 29.
Это тоже сработало!

После небольшого наблюдения мы заметили, что 9 было в единицах (единицах) ставьте оба раза!

Мы пробовали больше чисел, таких как 39, 49 и так далее.
Все сработало! Мы нашли выкройку!
Вот как мы решили эту проблему.

Джозеф, из той же школы, и Мэй, из Средняя школа Heartlands показала несколько примеров, работало:

29:
2 + 9 = 11
2 x 9 = 18
11 + 18 = 29

39:
3 + 9 = 12
3 x 9 = 27
12 + 27 = 39

49:
4 + 9 = 13
4 x 9 = 36
13 + 36 = 49

59:
5 + 9 = 14
5 x 9 = 45
14 + 45 = 59

69:
6 + 9 = 15
6 x 9 = 54
15 + 54 = 69

Джоанна, Софи и Габи из Kings Sutton Начальная школа обнаружила эти числа, а затем перешла к другим наборы специальных двузначных чисел:

В первой задаче мы разделили числа на троих и работал над разными разделами.Джоанна начала с 0 до 33, Софи сделала 34–66, а Габи сделала все остальное.

Габи обнаружила, что 69 работало, и примерно в то же время Джоанна обнаружила, что 19 работали. Тогда мы решили попробовать каждое двузначное число, оканчивающееся на а 9. Все работали.

Алгебра была немного сложной, поэтому мы рассмотрели вторую часть и вот что мы нашли:

Мы обнаружили, что если вы удвоите десятки, то единицы должны быть 8, и если вы утроите десятки, оно должно закончиться на 7.

Затем мы заметили закономерность, поскольку число, которое мы умножаем на, увеличивается. значение единиц уменьшается.
Мы проверили нашу гипотезу и обнаружили, что она работает.

Эдди из школы Вильсона действительно использовал алгебра, чтобы объяснить его результаты:

Во-первых, чтобы упростить решение этой проблемы, мы можем использовать алгебру. Это означает замену первой цифры специального номера ( цифру десятков) вместо ‘а’ и подставив вторую цифру (единицы цифра) вместо ‘b’.

Итак, произведение цифр (ab) + сумма цифр (a + b) должно равняться исходному числу (10a + b).

В виде уравнения это записывается как:
ab + a + b = 10a + b.

Если убрать букву «b» с обеих сторон, получится:
ab + a = 10a

Тогда, если вы уберете по одной букве «а» с обеих сторон, вы получите:
ab = 9a
Это потому, что 10 лотов из «а» убрать один лот из «а» — это 9 лотов (9а).

Это можно записать как: b x a = 9 x a.
Следовательно, когда мы разделим обе стороны на «a», мы получим:
b = 9

Это означает, что вторая цифра (b) специального числа должна равняться 9.

Теперь мы можем проверить, работает ли это.
Давайте заменим 1 на a и b на 9:
1 x 9 + 1 + 9 = 10 x 1 + 9
19 = 19
Это работает.

Теперь замените «a» на 2:
2 x 9 + 2 + 9 = 10 x 2 + 9
29 = 29

Работает ли 3?
3 x 9 + 3 + 9 = 10 x 3 + 9
39 = 39

И так далее.
4, 5, 6, 7, 8 и 9 тоже работают.

Теперь я объясню, почему специальные числа увеличиваются на 10:

Если a равно 1, а b равно 9, то число равно 19.
Замены выше показывают, что это работает.

Если «а» равно 2, то число 29 (на 10 больше, чем на 19).
Разница между 1 x 9 и 2 x 9 равна +9,
, а разница между 1 + 9 и 2 + 9 равна +1.
Сложите разницу, чтобы получить общую разницу в +10.

Повторите этот абзац с двумя последовательными цифрами в шаблон, и вы обнаружите, что он работает.

Бен Пейдж из средней школы Хедерсетт также использовал некоторые алгебры, чтобы объяснить свои результаты:

1×9 + 1 + 9 = 19
2×9 + 2 + 9 = 29
3×9 + 3 + 9 = 39
4×9 + 4 + 9 = 49
5×9 + 5 + 9 = 59
6×9 + 6 + 9 = 69
7×9 + 7 + 9 = 79
8×9 + 8 + 9 = 89
9×9 + 9 + 9 = 99

ab + a + b = 10a + b
ab + a = 10a
ab = 9a
b = 9
Итак, все двухзначные «специальные числа» заканчиваются на 9.

Джейми из школы Mold Alun объяснил, почему специальные числа увеличены на 10:

Любое двузначное число, оканчивающееся на 9, является одним из специальных чисел.
Начиная с 19 у вас будет
1 + 9 = 10 и 1×9 = 9
10 + 9 = 19

Если вы увеличите 19 на 10, сумма увеличится на 1 и произведение увеличивается на 9, давая вам дополнительные 10, необходимые для следующее число, 29.

Каждый раз, когда вы увеличиваете предыдущее специальное число на 10, сумма увеличивается на 1, а произведение увеличивается на 9, что дает вам дополнительную 10 нужно составить следующее число.

например для 29:
2 + 9 = 11, на 1 больше суммы цифр 19,
и 2 x 9 = 18, на 9 больше, чем произведение цифр в 19.

Лена из SHHS нашла два набора особый числа:

Выражение для двузначного числа — 10a + b.
Чтобы решить первое специальное число, вы создаете алгебраический уравнение.
Вам нужно добавить сумму двух цифр к произведению двух цифры, чтобы получить исходный номер.

Уравнение выглядит следующим образом:
10a + b = a + b + ab
9a + b = b + ab
9a = ab
b = 9

Итак, теперь вы знаете, что единица измерения двузначного числа всегда будет быть 9.

Другое специальное число может заключаться в добавлении удвоенной цифры десятков к цифру единиц измерения, затем добавьте ее к произведению цифр и это возвращает исходное число.

Уравнение будет выглядеть так:
10a + b = 2a + b + ab
8a + b = b + ab
8a = ab
b = 8

Итак, вы знаете, что вторая цифра в двузначном числе будет всегда быть 8.
Например, 28 — это особое число, потому что
2×2 + 8 + 2×8 = 12 + 16 = 28

Джозеф из Grammar School Уилсона выбрал ab для представления двузначного числа и показал, как найти специальные числа, удовлетворяющие различным критериям:

a + b + ab = 10a + b
a + b — b + ab = 10a
a + ab = 10a
ab = 10a — a
ab = 9a
b = 9
Итак специальные номера: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99

2a + b + ab = 10a + b
2a + ab = 10a
ab = 10a — 2a
ab = 8a
b = 8
Таким образом, в этом случае специальные числа 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98

3a + b + ab = 10a + b
3a + ab = 10a
ab = 10a — 3a
ab = 7a
b = 7
Таким образом, в этом случае специальные числа 17, 27, 37 , 47, 57, 67, 77, 87, 97

4a + b + ab = 10a + b
4a + ab = 10a
ab = 10a — 4a
ab = 6a
b = 6
Таким образом, в этом случае специальные числа — 16, 26, 36, 46 , 56, 66, 76, 86, 96

5a + b + ab = 10a + b
5a + ab = 10a
ab = 10a — 5a
ab = 5a
b = 5
Таким образом, в этом случае специальные числа 15, 25, 35, 45 , 55, 65, 75, 85, 95

Раджив из Галантереи «Мальчики Аске» Школа нашла общее правило:

Когда цифра десятков умножается n раз, единицы цифра специальных номеров будет 10-n.

Макс из Twyford C of E High School приехал в тот же вывод:

Когда это двойная цифра десятков, вы убираете 2 из 10, и это дает вам значение цифры единиц специальных чисел.
Если получится 3 раза, 4 раза и т. Д., Вы просто вычтите его от 10 до даст вам значение цифры единиц специальных чисел.

Вы все молодцы.

Извлечение квадратного корня

Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение в форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0.если он равен 0:

, где a , b и c — действительные числа и a 0. Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:

Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.

Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:

Двумя решениями являются −2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, что дает форму

Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.

Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:

Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,

Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.

Пример 1: Решить: x2−25 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем примените свойство квадратного корня.

Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.

Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.

Пример 2: Решить: x2−5 = 0.

Решение: Обратите внимание, что квадратичное выражение слева не учитывается. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.

Примените свойство квадратного корня.

Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.

Ответ: Решения — 5 и 5.

Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.

Ответ: Решения — 352 и 352.

Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.

Пример 4: Решение: x2 + 9 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.

Ответ: Реального решения нет

Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .

Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:

Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.

Ответ: x2−12 = 0

Попробуй! Решите: 9×2−8 = 0.

Ответ: x = −223 или x = 223

Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:

Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, путем вычитания 25 из обеих частей.

Фактор

, а затем примените свойство нулевого произведения.

Два решения: −7 и 3.

Когда уравнение имеет такую форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.

Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.

Решение: Решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.

Ответ: Решения −7 и 3.

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, не учитывающие множители.

Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем извлеките корни и упростите.

Решите относительно x .

Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.

Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.

Решение: Начните с выделения квадратного множителя.

Примените свойство квадратного корня и решите.

Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.

Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.

Ответ: 15 ± 63

Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

Решение:

Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

Решить.

Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче требовалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.

Обратно подставьте, чтобы найти длину.

Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.

Основные выводы

Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.

Тематические упражнения

Часть A: извлечение квадратного корня

Решите с помощью факторизации, а затем извлеките корни.Проверить ответы.

1. x2−36 = 0

2. x2−81 = 0

3. 4y2−9 = 0

4. 9y2−25 = 0

5. (x − 2) 2−1 = 0

6. (x + 1) 2−4 = 0

7. 4 (y − 2) 2−9 = 0

8. 9 (y + 1) 2−4 = 0

9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0

10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0

11. (x − 5) 2−25 = 0

12. (x + 2) 2−4 = 0

Решите, извлекая корни.

13. x2 = 16

14. x2 = 1

15. y2 = 9

16. y2 = 64

17. x2 = 14

18. x2 = 19

19. y2 = 0,25

20. y2 = 0,04

21. x2 = 12

22. x2 = 18

23. 16×2 = 9

24. 4×2 = 25

25. 2t2 = 1

26.3t2 = 2

27. x2−100 = 0

28. x2−121 = 0

29. y2 + 4 = 0

30. y2 + 1 = 0

31. x2−49 = 0

32. x2−925 = 0

33. y2−0.09 = 0

34. y2−0,81 = 0

35. x2−7 = 0

36. x2−2 = 0

37. x2−8 = 0

38. t2−18 = 0

39. x2 + 8 = 0

40.х2 + 125 = 0

41. 16×2−27 = 0

42. 9×2-8 = 0

43. 2y2−3 = 0

44. 5y2−2 = 0

45. 3×2−1 = 0

46. 6×2−3 = 0

47. (x + 7) 2−4 = 0

48. (x + 9) 2−36 = 0

49. (2y − 3) 2−81 = 0

50. (2у + 1) 2−25 = 0

51. (x − 5) 2−20 = 0

52. (x + 1) 2−28 = 0

53.(3t + 2) 2−6 = 0

54. (3т − 5) 2−10 = 0

55,4 (y + 2) 2−3 = 0

56. 9 (y − 7) 2−5 = 0

57,4 (3x + 1) 2−27 = 0

58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0

59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0

60,5 (2x − 1) 2−3 = 0

61,3 (y − 23) 2−32 = 0

62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0

Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.

63. ± 7

64. ± 13

65. ± 7

66. ± 3

67. ± 35

68. ± 52

69. 1 ± 2

70,2 ± 3

Решите и округлите решения до ближайшей сотой.

71. 9x (x + 2) = 18x + 1

72. x2 = 10 (x2−2) −5

73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x

74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x

75. (x − 2) 2 = 67−4x

76. (x + 3) 2 = 6x + 59

77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2

78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)

Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.

79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.

80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.

81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.

82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, получится 12. Найдите число.

83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.

84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.

85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)

86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)

87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.

88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.

89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?

90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?

91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.

92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.

93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.

94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.

96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.

97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.

98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)

100. Высота в футах объекта, сброшенного с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?

101. Высота в футах объекта, упавшего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?

г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлите до сотых долей секунды.

102. Высота объекта в футах, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?

г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлить до сотых долей секунды .

Часть B: Обсуждение

103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им вместе с решением на доске обсуждений.

104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.

105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.

106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.

ответы

1: −6, 6

3: −3/2, 3/2

5: 1, 3

7: 1/2, 7/2

9: -1, 3

11: 0, 10

13: ± 4

15: ± 3

17: ± 1/2

19: ± 0.5

21: ± 23

23: ± 3/4

25: ± 22

27: ± 10

29: Реального решения нет

31: ± 2/3

33: ± 0,3

35: ± 7

37: ± 22

39: Реального решения нет

41: ± 334

43: ± 62

45: ± 33

47: −9, −5

49: −3, 6

51: 5 ± 25

53: −2 ± 63

55: −4 ± 32

57: −2 ± 336

59: Реального решения нет

61: 4 ± 326

63: x2−49 = 0

65: x2−7 = 0

67: x2−45 = 0

69: x2−2x − 1 = 0

71: ± 0.33

73: ± 5,66

75: ± 7,94

77: ± 3.61

79: −3 или 3

81: −33 или 33

83:22 сантиметра

85:32 сантиметра

87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма

89: −6 + 62≈2,49 ед.

91: 2 шт.

93: 522 дюйма

95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов

97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра

99: 3/4 секунды

101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды