Математика истомина н б: ГДЗ по математике 4 класс Истомина Н.Б

Содержание

ГДЗ по математике 4 класс Истомина Н.Б

Каждому ученику иногда требуется помощь, даже отличнику бывает затруднительно в некоторых местах разобраться с упражнениями. Справиться с любой стороной математики поможет ГДЗ по математике за 4 класс Истомина.

Четвероклассники в этом году завершают цикл начальной школы. Далее их ожидает вторая ступень образования, с пятого по девятый. Чтобы справиться с последующими темами, которые с каждым разом становятся всё сложнее, необходимо в этом году как следует вспомнить все пройденное за предыдущие три года, усердно работать сейчас, слушать преподавателя, качественно выполнять домашние задания «от и до». Некоторым ребятам эта дисциплина даётся проще, у прочих склонности к гуманитарным наукам. У этих школьников лучше получается петь, рисовать, писать сочинения и что-либо мастерить. Это не значит, что «упрямая» и «капризная» математика им неподвластна, просто нужно немного больше времени на работу с каждым затруднительным параграфом. Эта монотонность в обучении сейчас с лихвой окупится в будущем, и этот предмет вскоре станет любимым.

Содержание онлайн-помощника по математике за 4 класс Истоминой

Под математику отдано довольно много часов, предмет идёт почти каждый день, следовательно, готовиться тоже нужно ежедневно. Посмотрим, что за темы предлагает освоить учебник:

определение треугольника, виды углов, построение прямого;
диагонали прямоугольника и их свойства;
задания на деление пропорционального вида;
встречное движение, связь между скоростью, расстоянием и временем;
перемещение объектов в противоположном расстоянии;
правила правильного порядка арифметических действий.

Улучшить свою успеваемость поможет пособие по математике за 4 класс Истоминой. Решебник для детей столь юного возраста может вполне заменить маму, когда ей некогда заниматься со своим чадом уроками. Сайтом легко пользоваться даже в четвертом классе, номера верных ответов благодаря интуитивной навигации просто найти. Есть прекрасные пояснения к каждому заданию, это обезопасит учащегося от бездумного копирования результата в тетрадь. Портал доступен с любого устройства, смартфон всегда под рукой, значит и решебник тоже. Развивается навык инициативности и самостоятельности.

ГДЗ по математике 3 класс Н.Б. Истомина

Изучать математику без вспомогательной литературы крайне сложно. Даже в третьем классе помощь ГДЗ по математике 3 класс Н.Б. Истомина будет нелишней. Порой встречаются такие упражнения, которые вызывают затруднения не то что у детей, а даже у взрослых.

Полезность решебника по математике 3 класс Н.Б. Истомина

Онлайн-сборник имеет подробно расписанные и верные ответы абсолютно ко всем номерам заданий учебного пособия. Они помогут тщательно разобрать особо сложную тему, а также на отлично подготовиться к предстоящей поверке знаний, правильно сделать и оформить домашнее задание, проработать дополнительно изученный материал. ГДЗ станет прекрасным подспорьем в учёбе. ГДЗ будет полезно не только школьникам, но и также их родителям, которые хотят проконтролировать успехи своих детей.

Для чего нужна математика

Начальное образование – это важный этап обучения. В этот период закладывается основной фундамент навыков и умений практически по всем основным дисциплинам. Математика занимает ведущее место. Ведь этот предмет напрямую участвует в развитии логического и пространственного мышления и оказывает благоприятное воздействие на отдельные качества характера. Ученики третьего класса приступая к освоению предмета, помимо повторения пройденного материала рассмотрят таблицы умножения и деления в пределах двух десятков, а также числовые выражения состоящие из нескольких действий. Кроме этого юные ученики познакомятся с понятиями окружности и круга. А чтобы лучше усвоить материал рекомендовано использовать

ГДЗ по Математике 3 класс Учебник Истомина Н.Б. В результате ребята научатся:

Складывать и вычитать столбиком многозначные числа.
Измерять углы в градусах.
Правильно применять изученные правила.
Понимать алгоритм решения текстовых задач.
Находить числовое значение выражений со скобками.

Дисциплина учит анализировать и систематизировать, обобщать и выделять главное, а также находить закономерности, рассуждать и делать выводы. По мнению экспертов одним из эффективных базовых изданий является учебник по математике за 3 класс автора Истоминой. Весь материал прописан понятным и доступным языком, наличие иллюстраций и подробных примеров способствует лучшему усвоению. Пособие полностью соответствует всем нормативам и возрастным особенностям учащихся.

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 1

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 1 — 2014-2015-2016-2017 год:

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) — Щелкни!

<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?> Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа — СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа — СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения — просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Н. Б. ИСТОМИНА МАТЕМАТИКА Н. Б. Истомина МАТЕМАТИКА Учебник для 1 класса общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 Учебник соответствует ФГОС, рекомендован Министерством образования и науки РФ 15-е издание Смоленск Ассоциация XXI век 2015 УДК 373.167.1:51+51(075.2) ББК 22.1Я72 И89 © Ш Л □ Условные обозначения новая информация работаем самостоятельно, затем обсуждаем самоконтроль дополнительные вопросы и задания работаем с циркулем работаем с линейкой работаем в паре Истомина Н. Б. И89 Математика; учебник для 1 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н. Б. Истомина. — 15-е иэд. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015. — 112 с. ISBN 978-5-418-00776-6 (ч. 1) УДК 373.167.1:51+51(075.2) ББК 22.1S72 ISBN е78-5-41в-00775-0 (общ.) ISBN 978-5-418-0077в-в (ч. 1) О Истомина Н Б.. 1999. 20)5 О Иадательстао -AccouHauHa )0Q век-, 2015 Все права зощитоны ПРИЗНАКИ, РАСПОЛОЖЕНИЕ И СЧЁТ ПРЕДМЕТОВ 1» Чем похожи предметы? Чем отличаются? 2. Объясни, [СД| рисунок. по какому правилу выполнен 3. Что изменилось? г 4« Объясни, по какому правилу выполнен 5« Какой предмет «лишний»? 44 ш 6. Объясни, по какому правилу выполнен |Q2 рисунок. 7* Что изменилось? Что не изменилось? Ш- т Ф 8« Объясни, по какому правилу выполнен рисунок. 9* Чем похожи предметы? Чем отличаются? 5 10. Какой предмет «лишний»? 00000 Щ- 11* Объясни, по какому правилу выполнен [Щ рисунок. 12. Чем похожи фигуры в каждой паре? Чем отличаются? А А Я ■ 13. Что изменяется? 14. Объясни, [Щ| рисунок. по какому правилу выполнен 8 15. Чем похожи данные фигуры? Чем отличаются? [[Д Составь из квадратов ещё три фигуры разной формы. □ □ □ □ 16. Что одинаково? Что не одинаково? О-п I \ t О-п t t О-п I /1 □-0 t t п-о 17. Объясни, по какому правилу выполнен рисунок. ш о о о □ □ □ □ □ ООО 18. Что изменяется? Что не изменяется? 1 ‘ III’*’ ‘ III’ 1 1 1 1 1 ШШ 19. Объясни, по какому правилу выполнен рисунок. □•п*п*п*п*п*п 10 20. Расскажи, что нарисовано на картинках, используя слова: размер длиннее — короче шире — уже выше — ниже I I 11 21. Что изменяется? 12 22. Маша ниже Веры, а Вера ниже Иры. Покажи на рисунке Машу, Веру и Иру. 23. Вова выше Пети, а Петя выше Коли. Покажи на рисунке Вову, Колю и Петю. 24. Вова подарил другу карандаш. Какого цвета этот карандаш, если он не зелёный и не синий? 13 25. Расскажи, чем отличаются рисунки, используя слова: слева справа выше ниже 26. Выбери рисунок, на котором синий мяч между красным и большим. & Q с • Чем похожи все рисунки? 14 27. Расскажи, чем отличаются рисунки, используя слова: слева справа между вверху внизу перед за О • • о 28. Объясни, по какому правилу выполнен [Щ рисунок. И>44

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 2

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 2 — 2014-2015-2016-2017 год:

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) — Щелкни!

Текст из книги:

Н. Б. ИСТОМИНА МАТЕМАТИКА Н. Б. Истомина МАТЕМАТИКА Учебник для 1 класса общеобразовательных организаций Часть 2 Учебник соответствует ФГОС, рекомендован Министерством образования и науки РФ 15-е издание Смоленск Ассоциация XXI век 2015 УДК 373.167.1:51+511075.2) ББК 22.1Я72 И89 Условные обозначения О — новая информация Ш — работаем самостоятельно, затем обсуждаем 0 — самоконтроль ф — дополнительные вопросы и задания 1 1 » 1 — работаем с калькулятором л- работаем с циркулем 1 \ работаем с линейкой □ работаем в паре Истомина Н. Б. И 89 Математика: учебник для 1 класса общеобразовательных организа- ций. В двух частях. Часть 2 / Н. Б. Истомина. — 15*е иэд.. перераб. и дол. — Смоленск: Ассоциация XXI аек. 2015. — 112 с. ISBN 978-5-418-00777-3 (ч. 2) УДК 373.167.1:51+51(075.2) ББК 22.11172 ISBN 078-5-41 а-00775-в (общ.) IS8N 978-5-416-00777-3 (ч. 2) « Истомна Н. Б.. 1999, 2015 Ф Издательстао -Ассоииаиия XXI мк>. _— О 15. Верно ли утверждение, что значения выражений в столбце одинаковы? 1)9-4 2) 8 — 6 3) 6 — 5 8-3 7-5 7-6 7-2 6-4 8-7 6 — 1 5-2 9-8 • Проверь ответы на числовом луче. Выбери в столбце разность, значение J торой будет наибольшим. 1)6-5 2) 9 — 2 3) 8 — 4 6 — 1 9-8 8-3 6-4 9-6 8-2 6-3 9 — 1 8-5 • Проверь ответы на числовом луче. 17. Найди значение выражения. Ш 8-1-1-1-1-1 • Выбери из данных выражений то, в котором получится такой же результат. 1)8-4 2) 8-3 3) 8-5 • Проверь ответы на числовом луче. 18. Выбери выражение, [[Д| на числовом луче. которое изобразили 0123456789 1)6-3 2) 6-4 3)6-2 4) 6 + 3 10 ЦЕЛОЕ И ЧАСТИ 19. Выбери картинку. © ★ ф л с 1 о • А □ ff © А А О •

Конспекты — «Математика (в 2 частях)», Истомина Н.Б.

Выберите категорию: Все категорииАнглийский языкВнеурочная деятельностьДиректору, завучуДоп. образованиеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОкружающий мирРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизическая культураФранцузский языкШкольному психологуДругое

Выберите класс: Все классы1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс

Выберите учебник: Все учебники»Математика «, Александрова Э.И.»Математика (в 2 книгах)», Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.»Математика (в 2 книгах)», Александрова Э.И.»Математика (в 2 частях)», Аргинская И.И., Ивановская Е.И., Кормишина С.Н.»Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.»Математика (в 2 частях)», Истомина Н.Б.»Математика (в 2 частях)», Чекин А.Л.»Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.»Математика (в 2 частях)», Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.»Математика (в 2 частях)», Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.»Математика (в 2 частях)», Муравин Г.К., Муравина О.В.»Математика (в 2 частях)», Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.»Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.»Математика (в 2 частях)», Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.»Математика (в 3 частях)», Петерсон Л.Г.»Математика (в 3-х частях)», Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.»Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) (в 2 частях)*», Алышева Т.В., Яковлева И.М.

Выберите тему: Все темыЧАСТЬ 1Проверь себя! Чему ты научился в первом, втором и третьем классах?Умножение многозначного числа на однозначное.Деление с остатком.Умножение многозначных чисел.Деление многозначных чисел.Доли и дроби.ЧАСТЬ 2Действия с величинамиСкорость движенияУравненияЧисловые и буквенные выраженияПроверь себя! Чему ты научился в 1—4 классах?

«Математика (в 2 частях) », Истомина Н.Б.

Выберите категорию: Все категорииАнглийский языкВнеурочная деятельностьДиректору, завучуДоп. образованиеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыОБЖОкружающий мирРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизическая культураШкольному психологуДругое

Выберите класс: Все классы1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс

Выберите учебник: Все учебники»Математика», Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.»Математика (в 2 книгах)», Александрова Э.И.»Математика (в 2 частях)», Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С., Кормишина С.Н.»Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.»Математика (в 2 частях) «, Истомина Н.Б. «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.»Математика (в 2 частях) «, Чекин А.Л.»Математика (в 2 частях)», Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.»Математика (в 2 частях)», Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.»Математика (в 2 частях)», Муравин Г.К., Муравина О.В.»Математика (в 2 частях)», Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.»Математика (в 2 частях)», Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.»Математика (в 2 частях)», Гейдман Б.П., Мишарина И.Э., Зверева Е.А.»Математика (в 3 частях)», Петерсон Л.Г.»Математика (в 3-х частях)», Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.»Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) (в 2 частях)*», Алышева Т. В.»Математика, изд. «ВИТА-ПРЕСС»», Александрова Э.И.

Выберите тему: Все темыЧАСТЬ 1.Признаки, расположение и счёт предметовОтношения (больше, меньше, столько же)Однозначные числа. Счёт. ЦифрыТочка. Прямая и кривая линииЛучОтрезок. Длина отрезкаЧисловой лучНеравенстваСложениеПереместительное свойство сложенияЧАСТЬ 2.ВычитаниеЦелое и частиОтношения (больше на …, увеличить на …,Отношения (На сколько меньше … ?Двузначные числа.Названия и записьДвузначные числа. Сложение. ВычитаниеЛоманаяДлина. Сравнение. ИзмерениеМасса. Сравнение. ИзмерениеПроверь себя!Чему ты научился в первом классе?

Н. Истомина | Semantic Scholar

Дивинилселенид: конформационное исследование и стереохимическое поведение его константы спин-спинового взаимодействия 77Se1H

Юрий Ю. Русаков, Л. Кривдин, Н. Истомина, В. Потапов, С. Амосова
Химия, медицина
Магнитный резонанс в химии: MRC
1 октября 2008 г.

Теоретический энергетический конформационный анализ дивинилселенида, выполненный на уровне MP2 / 6-311G **, подтвержден расчетами методом поляризационного пропагатора второго порядка (SOPPA) и … Expand

View on Wiley

Save

Alert

Cite

Research Feed

13C-13C Константы спин-спиновой связи в структурных исследованиях: XXXVII.Вращательные конформации гидроксильных групп в кольцах пиранозы, фуранозы и септанозы

В.А. Данилова, Н. Истомина, Л. Кривдин
Химия
1 августа 2004 г.

Поверхности вращения для констант взаимодействия 13C-13C относительно двух диэдральных углы при C1 и C2 в модельных структурах альдопиранозов, альдофураноз и альдосептанозов серии D были… Развернуть

Посмотреть на Springer

Сохранить

Предупреждение

Cite

Research Feed

Research Feed 2-формилселенофена с помощью констант спин-спинового взаимодействия 13C – 1H, 13C – 13C и 77Se – 1H

Юрий Ю.Русаков, Л.Б. Кривдин, Н. Истомина, Е. Леванова, Г. Левковская
Химия
4 августа 2009 г.

Теоретический энергетический конформационный анализ 2-формилселенофена, проведенный на уровне MP2 / 6–311G ** вместе с экспериментальные измерения и расчеты SOPPA / aug-cc-pVTZ-J его 13C – 1H,… Expand

Просмотр через Publisher

Сохранить

Alert

Cite

Research Feed

Неэмпирические расчеты констант ЯМР непрямого взаимодействия углерод – углерод.Часть 12 — Алифатические и алициклические оксимы

Л. Кривдин, Наталья А. Щербина, Н. Истомина
Химия, медицина
Магнитный резонанс в химии: MRC
1 июня 2005 г.

Константы связи углерод-углерод с одной связью были рассчитаны в серии из девяти алифатических и алициклических оксимов на уровне SOPPA (подход поляризационного пропагатора второго порядка) в хорошем согласии с… Expand

View on Wiley

Save

Alert

Cite

Research Feed

Конформационный анализ и стереохимические зависимости констант спин-спинового взаимодействия 31P – 1H бис (2-фенэтил) винилфосфина и родственных фосфинхалькогенидов

S.Федоров, Л. Кривдин, +6 авторов Б. Трофимов
Химия, медицина
Магнитный резонанс в химии: MRC
1 апреля 2009 г.

Теоретический энергетический конформационный анализ бис (2-фенэтил) винилфосфина и родственного фосфина оксид, сульфид и селенид, синтезированные из доступных вторичных халькогенидов фосфина и… Expand

View on Wiley

Save

Alert

Cite

Research Feed

Структурные константы 13C-13C в спин-спиновых исследованиях : XLIV.Карбонилсодержащие оксимы

Н. Истомина, Н.А. Щербина, Л. Кривдин
Химия
14 мая 2009 г.

Аннотация Рассчитаны константы спин-спинового взаимодействия 13C-13C в карбонилсодержащих оксимах второго порядка приближение поляризационного пропагатора (SOPPA) с учетом результатов… Развернуть

Посмотреть на Springer

Сохранить

Alert

Cite

Research Feed

Константы спин-спиновой связи Структурные исследования 13C-13C в : XXXVIII.Неэмпирические расчеты: Оксимы

Н.А. Щербина, Н. Истомина, Л. Кривдин
Химия
1 августа 2005 г.

Ab initio расчет констант спин-спинового взаимодействия 13C-13C для ряда оксимов кетонов проводился в рамки приближения поляризационного пропагатора второго порядка (SOPPA). Принимая… Развернуть

Посмотреть на Springer

Сохранить

Предупреждение

Ссылка

Research Feed

Константы спин-спинового взаимодействия 13C-13C в структурных исследованиях: XLIII.Стереохимическое исследование функционализированных 3-иминопирролизинов

С.С. Хуцишвили, Ю. Русаков, +4 авторов А.И. Михалева
Химия
12 октября 2008 г.

Три 1-этилсульфанил-3-имино-3H-пирролизин-2 были синтезирован внутримолекулярной циклизацией замещенных (2Z) -2-циано-3-этилсульфанил-3- (1H-пиррол-2-ил) проп-2-енамидов. Продукты… Expand

Посмотреть на Springer

Сохранить

Alert

Cite

Research Feed

Константы спин-спинового взаимодействия 13C-13C в структурных исследованиях: XXXIX.Неэмпирические расчеты гетероароматических оксимов

Н.А. Щербина, Н. Истомина, Л. Кривдин, Э. Шмидт, А.И. Михалева, Б. Трофимов
Химия
1 июня 2007 г.

Результаты высокоуровневых неэмпирических квантово-химических Расчеты констант взаимодействия 13C-13C в двенадцати гетероароматических кетоноксимах хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. In… Expand

View on Springer

Save

Alert

Cite

Research Feed

13C-13C Константы спин-спиновой муфты в структурных исследованиях: XXXI.Бицикло [2.1.0] пентан Гетероаналоги

Т. Кузнецова, Н. Истомина, Л. Кривдин
Химия
1 марта 2002 г.

Константы спин-спинового взаимодействия 13C-13C и орбитальная гибридизация мостиковой связи в бициклоридже [2.1.0] Гетероаналоги пентана и их ненасыщенные производные были рассчитаны в терминах… Развернуть

Посмотреть на Springer

Сохранить

Alert

Cite

Research Feed

Mathematics | Определение, история и важность

Математика , наука о структуре, порядке и отношениях, которая возникла из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов.Он имеет дело с логическим рассуждением и количественным расчетом, и его развитие повлекло за собой все большую степень идеализации и абстракции предмета. С XVII века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технологиям, а в последнее время она стала играть аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни.

Британская викторина

Математика

Какое число древние египтяне считали священным? Как называется многоугольник с тремя сторонами? Посмотрите, «складываются» ли ваши знания математики в этой викторине.

Во многих культурах — под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство, — математика далеко вышла за рамки простого счета. Этот рост был самым большим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность опираться на достижения более ранних математиков.

Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом.Исследования логической и философской основы математики сводятся к вопросу о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость. Для полного рассмотрения этого аспекта, см. математика, основы.

Эта статья посвящена истории математики с древнейших времен до наших дней. Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века нашей эры, и это исторический факт, что с 15 века до конца 20 века новые разработки в математике были в основном сконцентрированы в Европе и Северной Америке. .По этим причинам основная часть данной статьи посвящена европейским разработкам с 1500 года.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Это, однако, не означает, что события в других местах были несущественными. Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю, по крайней мере, в древней Месопотамии и Египте, в Древней Греции и в исламской цивилизации с 9 по 15 века. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события, обсуждаются в первых частях этой статьи.

Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию достижений Индии на исламскую математику в годы ее становления. Отдельная статья, «Математика Южной Азии», посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной системы счисления с разрядами. Статья «Восточноазиатская математика» освещает в основном независимое развитие математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме.

Основным разделам математики посвящено несколько статей. См. Алгебру ; анализ; арифметика; комбинаторика; теория игры; геометрия; теория чисел; числовой анализ; оптимизация; теория вероятности; теория множеств; статистика; тригонометрия.

математика | Определение, история и важность

Британская викторина

Математика и измерения: факт или вымысел?

Понятие нуля пришло из индийской математики? Мгновение — это единица измерения? Измерьте свою смекалку в этой математической викторине.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Биномиальная теорема

Бином — это многочлен с двумя членами

пример бинома

Что происходит, когда мы умножаем бином на себя… много раз?

Пример: a + b

a + b — бином (два члена: a и b )

Умножим a + b на себя, используя умножение полиномов:

(a + b) (a + b) = a ² + 2ab + b ²

Теперь возьмите этот результат и снова умножьте на a + b :

(a ² + 2ab + b ²) (a + b) = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³

И снова:

(a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³) (a + b) = a ⁴ + 4a ³ b + 6a ² b ² + 4ab ³ + b ⁴

По мере продвижения вычисления становятся все длиннее и длиннее, но появляется какой-то паттерн .

Этот образец резюмируется биномиальной теоремой :

Биномиальная теорема

Не волнуйтесь … это все объяснят!

По пути вы узнаете много интересных математических символов.

Экспоненты

Во-первых, краткое описание экспонентов.

Показатель степени показывает , сколько раз использовать при умножении.

Пример: 8 ² = 8 × 8 = 64

Показатель степени 1 означает, что он появляется только один раз, поэтому мы получаем исходное значение:

Пример: 8 ¹ = 8

Показатель степени 0 означает не использовать его вообще, а у нас только 1:

Пример: 8 ⁰ = 1

Показатели (a + b)

Теперь о биноме.

Мы будем использовать простой бином a + b, но это может быть любой бином.

Начнем с показателя степени 0 и продолжим движение вверх.

Показатель 0

Когда показатель степени равен 0, мы получаем 1 :

(а + б) ⁰ = 1

Показатель 1

Когда показатель степени равен 1, мы получаем исходное значение без изменений:

(а + б) ¹ = а + б

Показатель 2

Показатель степени 2 означает умножение на себя (см., Как умножать многочлены):

(a + b) ² = (a + b) (a + b) = a ² + 2ab + b ²

Показатель числа 3

Для показателя степени 3 просто умножьте еще раз:

(a + b) ³ = (a ² + 2ab + b ²) (a + b) = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³

Теперь у нас достаточно, чтобы поговорить о шаблоне.

Узор

В последнем результате мы получили:

a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³

Теперь обратите внимание на экспоненты a. Они начинаются с 3 и идут вниз: 3, 2, 1, 0:

Аналогичным образом показатели b идут вверх: 0, 1, 2, 3:

Если пронумеровать элементы от 0 до n , мы получим:

к = 0	к = 1	к = 2	к = 3
a ³	а ²	a	1
1	б	б ²	b ³

Недедуктивные методы в математике (Стэнфордская энциклопедия философии)

Философские взгляды на онтологию математики основываются на гамма от платонизма (математика — это область абстрактных предметы), к художественной литературе (математика — это художественная литература, предмет которой материи не существует), формализму (математические утверждения бессмысленные строки, манипулируемые в соответствии с формальными правилами), без консенсус о том, какой из них правильный.Напротив, кажется справедливым сказать что существует философски обоснованный взгляд на основные методология математики. Грубо говоря, математики стремятся доказывать математические утверждения различного рода, и это доказательство состоит из логический вывод данного утверждения из аксиом. Этот вид имеет долгая история; таким образом, Декарт пишет в своих правилах направления разума (1627–28), что математическое предложение должно быть «выведенными из истинных и известных принципов с помощью непрерывных и непрерывное действие разума, который имеет четкое видение каждого шага в процесс »(47).Важным следствием этой точки зрения является то, что в математике нет места, по крайней мере в идеале, для недедуктивного методы. Фреге, например, утверждает, что «это в природе математика всегда предпочитает доказательство там, где оно возможно, любому подтверждение индукцией »(1884, 2). Берри (2016) предлагает больше недавняя защита доказательств как продвижение ключевых достоинств совместного исследования в математическом сообществе.

В философской литературе, пожалуй, самый известный вызов это принятое мнение исходило от Имре Лакатоша в его влиятельном (опубликовано посмертно) Книга 1976 г., Доказательства и Опровержения :

Евклидова методология выработала определенный обязательный стиль презентация.Я буду называть это дедуктивистским стиль’. Этот стиль начинается с тщательно составленного списка аксиомы, леммы и / или определения . Аксиомы и определения часто выглядят искусственно и загадочно сложными. Никогда не рассказывается, как возникли эти осложнения. Список аксиом и определениям следуют тщательно сформулированные теоремы . Они загружены тяжелыми условиями; кажется невозможным, что кто-нибудь должен был их догадаться. За теоремой следует пруф .

В дедуктивистском стиле все утверждения верны и все выводы действительный. Математика представлена как постоянно увеличивающийся набор вечных, непреложные истины.

Дедуктивистский стиль скрывает борьбу, скрывает приключение. Целый история исчезает, последовательные предварительные формулировки теоремы в ходе процедуры доказательства обречены на забвение, в то время как конечный результат превозносится до священной непогрешимости (Lakatos 1976, 142).

Прежде чем продолжить, стоит сделать несколько различий в для того, чтобы сфокусировать темы последующего обсуждения.

1.1 Открытие против оправдания

Широкое утверждение о том, что существуют некоторые недедуктивные аспекты Mathematical Activity кажется относительно бесспорным. За это просто означает утверждение, что не все, что математики делают, когда они занимаются математикой, заключающейся в выводе заявления из других заявлений. Как выразился Джеймс Франклин:

Математика не может состоять только из домыслов, опровержений и доказательства. Гадать может любой, но какие из них стоит расследование? … Что может быть доказано методом в репертуар математика? … Что вряд ли дать ответ до следующего пересмотра срока полномочий? Математик должен ответить на эти вопросы, чтобы выделить свое время и усилия.(Франклин 1987, 2)

Один из способов сузить общее утверждение, чтобы сделать его более существенным использовать знакомые (хотя и не совсем беспроблемные) различие между «контекстом открытия» и «Контекст оправдания». С одной стороны, это различие может позволить традиционному дедуктивистскому взгляду быть несмотря на критику Лакатоша, утверждая, что то, на что указывает Лакатос, касается контекста открытия в математика. В контексте обоснования вывод результаты из аксиом могут по-прежнему быть правильной и полной историей.Несколько реакции математиков на взгляды Лакатоша характер, например, следующее замечание Морриса Клайна в письмо, написанное Лакатошу:

Я действительно считаю, что нам нужно гораздо больше литературы, подчеркивающей это открытие. сторона математики. Все акценты, как вы знаете и подразумеваете, о дедуктивной структуре математики и производит впечатление студентам заключается в том, что они делают новые выводы из старых ед. ^[1]

Также в произведении можно найти отрывки по схожим направлениям. Полиа, который оказал большое влияние на Лакатоша:

Изучая методы решения задач , мы воспринимаем другое лицо математики.Да, у математики два лица; это Строгая наука Евклида, но это еще и другое. Математика представленный евклидовым способом, появляется как систематический, дедуктивный наука, но математика в процессе разработки кажется экспериментальный , индуктивная наука. (Pólya 1945, vii) [курсив в оригинале]

И наоборот, чтобы бросить вызов знакомым дедуктивистской позиции, встречный иск должен быть недедуктивным методы играют роль в обосновании математических результаты (Paseau 2015).Следовательно, это будет в первую очередь оправдательным контексты, на которых будет сосредоточено внимание в оставшейся части этого опрос. ^[2]

1.2 Учет и формализация

Здесь не место для подробного анализа дедукции. За настоящих целей, это понятие будет считаться справедливым прямолинейно, по крайней мере, в принципе. Дедукция — это любая последовательность утверждения, каждое из которых является производным от некоторого начального набора утверждения (предпосылки) или из предыдущего утверждения в последовательности.Однако один вопрос, который необходимо решить, — это отношения между дедукцией и формализацией (см., например, Azzouni 2013).

Аргумент может быть дедуктивным, но не формальным. Хотя парадигмальные случаи дедукции, как правило, встречаются в сильно формализованных систем, в этом нет необходимости. «Все четные числа больше 2 составные; 1058 больше 2; 1058 — четное; следовательно, 1058 — это композит »- отличный вывод, несмотря на то, что формализованный. Следовательно, вопреки тому, что иногда предполагается в обсуждение этих вопросов, неверно, что все неформальные аспекты математической практики , таким образом, недедуктивных.

С другой стороны, развитие формальной логики было пристально связаны с предоставлением ясного языка для презентации (и оценивая) дедуктивные математические рассуждения. Действительно, как Джон Берджесс утверждает в его (1992), современная классическая логика в значительной степени развивалась как основа для математических рассуждений, особенно доказательства. Увеличение строгость в математике в течение 19 ^-го века правильно рассматривать как причину, а не следствие логической революции началось с работы Фреге.Логика, по мнению Берджесса, описательный: его цель — построение математических моделей рассуждения. Классическая логика представляет собой идеализированное описание классическое математическое доказательство.

Также может быть важно различать неформальных элементов данное математическое доказательство из неформализуемых элементов (если есть такие вещи). ^[3] В разделе 4 этот вопрос будет рассмотрен в связи с использованием диаграмм в математических рассуждениях.

1.3 Дедуктивизм и фонды

Помимо развития формальной логики, еще один аспект дедуктивизм — это его упор на «основы». Причина для этого переход от аксиом к теореме прямолинейно, в принципе, поскольку это вопрос логики вывод. В действительности нет ничего чисто математического участвует в этом переходе. Следовательно, внимание переключается на отправная точка дедуктивного процесса, а именно аксиомы. И если эти аксиомы сами по себе являются теоремами какой-то более базовой теории, тогда это стремление к безопасной отправной точке может быть продолжено через иерархия все более фундаментальных математических теорий.

Нельзя отрицать, что проблемы в основаниях математики имеют была центральной заботой философов математики через большая часть 20 ^-го в. Это, конечно, не потому, что фундаментальные области, такие как теория множеств, — единственные области математика, где философы думают, что дедукция имеет место, но скорее потому, что, как указывалось выше, упор на дедукцию уделяет особое внимание отправным пунктам доказательства. Даже те сочувствие к этому вниманию к фундаментальным вопросам, вероятно, признать, что многие области математической практики тем самым игнорируется.Вопрос в том, что из философских интерес теряется в процессе.

2.1 Аспекты неформальности

2.1.1 Полуформальные доказательства

Как упоминалось в п. 1.2 выше, одной из особенностей дедуктивистского стиля является что парадигматические математические доказательства полностью выражены в некоторых соответствующий формальный язык (например, логика предикатов первого порядка с тож). Это позволяет проверить достоверность данного доказательства. легко, даже механически, установить. Но, конечно, немногие, если таковые имеются, доказательств, распространенных и опубликованных математиками, форма.Что считается доказательством для работающих математиков, варьируется от от полностью неформального до подробного и точного, с каждым (или почти все) пробелы заполнены. Однако даже подробные и точные доказательства редко выражаются чисто на языке логики; скорее они смесь обычного языка, математических и логических символов и терминология.

Иногда философы, работающие в дедуктивистской традиции, делают это звучит так, как будто это довольно тривиальный момент; это просто вопрос математики, имеющие под рукой «схему перевода», но не записывать доказательство в чистой логике, чтобы сделать его более доступным и легче читать.На самом деле, зачастую далеко не очевидно, как переводить данное доказательство в формальную логику. Кроме того, это не ясно, что понятие «перевод» неформального доказательства на формальный язык — это обязательно правильный взгляд на ситуация. Стюарт Шапиро, по сути, представляет эту точку зрения на начало его книги 1991 года, Основания без Фундационализм , пишущий, что:

Языки полной логики, по крайней мере частично, являются математическими. модели фрагментов обычных естественных языков, таких как английский, или возможно, обычные языки дополнены выражениями, используемыми в математика.Последние можно назвать «естественными языками математика’. Для акцента или во избежание путаницы язык полной логики иногда называют «формальным языком».

В математической модели всегда есть разрыв между языком логика и ее аналог на естественном языке. Соответствие между моделями и смоделированные могут быть хорошими или плохими, полезными или вводящими в заблуждение, независимо от того, цель под рукой. (Шапиро 1991, 3)

Альтернативная картина заключается в том, что формальные и неформальные языки предлагают различные способы выражения математических теорем и доказательств.В формальный язык не используется для «перевода» и, следовательно, не нужно сравнивать с тем, что выражается в неформальной доказательство. Скорее, он предлагает свои собственные, возможно, лучшие ресурсы для выражая содержание математических утверждений в точном и строгие настройки, специально разработанные для этой цели. Какую бы картину отношения между формальным и неформальные изложения математики, осталось два пункта. Первый, дедуктивные математические аргументы — аргументы, которые производятся, переданные математиками и построенные на их основе — могут быть либо формальный или неформальный.Во-вторых, оценка таких аргументов как дедуктивно действительный или недействительный легче окончательно провести в контекст какой-то формальной системы.

Также стоит отметить, что Лакатош выступает за третью категорию доказательство, помимо формального и неформального, что он называет «Квазиформальный». Лакатош пишет, что:

предположить, что неформальное доказательство — это всего лишь неполное формальное доказательство мне кажется, что они совершают ту же ошибку, что и первые педагоги когда, полагая, что ребенок был просто взрослым в миниатюре, они пренебрегали прямым изучением поведения детей в пользу теоретизирования основанный на простых аналогиях с поведением взрослых.(Лакатош 1980, 63)

2.1.2 Пробелы в доказательствах

Вышеупомянутый разговор о том, что «каждый пробел заполняется» в переход к идеальному доказательству замалчивает тот факт, что понятие «пробел» в доказательстве сам требует дальнейшего разъяснение. Во-первых, самый простой способ определения пробел в доказательстве — как указано ниже — применим только к полностью формальные системы.

Пробел — это любая точка в доказательстве, где написанная строка не следуют из некоторого подмножества предыдущих строк (вместе с аксиомами) путем применения формально действительного — и явно заявлено — правило вывода для системы.

Причина, по которой любое правило должно быть явно указано Правило вывода для системы состоит в том, что мы хотим освободить место для пробивные, но действительные доказательства. Например, «2 + 2 = 4, следовательно, есть бесконечно много простых чисел »- веский аргумент, но очевидно, что это большой разрыв между его предпосылкой и его выводом. С другой стороны, несмотря на то, что определение выше работает только для формальных доказательств, пустота и формальность не всегда идут рука об руку. Таким образом традиционный силлогизм, такой как: «Все люди смертны; Сократ мужчина; следовательно, Сократ смертен »- это пример беззащитного неофициальное доказательство.Один из способов расширить понятие разрывов (и отсутствие пробелов) к неофициальным доказательствам через понятие базового математический вывод , другими словами, вывод, который «Принято математическим сообществом как пригодное для доказательства без каких-либо дополнительных аргументов »(Fallis 2003, 49).

Как бы мы ни характеризовали пробелы, несомненно, что в большинстве реальных доказательств, представленных математиками, есть пробелы. Дон Фаллис предлагает таксономию пробелов в доказательствах в своей работе (2003):

Пробелы в выводе
«Математик оставил пробелы в выводе всякий раз, когда последовательность предложений, которые математик имеет в виду (как доказательство) не является доказательством »(Fallis 2003, 53).
Энтимематические пробелы
«Математик оставляет энтимематический пробел всякий раз, когда он этого не делает. явно указать конкретную последовательность предложений, которые он имеет в уме »(Fallis 2003, 54). ^[4]
Неустраненные пробелы
«Математик оставил непересеченные пробелы всякий раз, когда он не пытался непосредственно проверить, что каждое предложение в последовательности предположения, которые он имеет в виду (как доказательство), следует из предыдущие предложения в последовательности основных математических вывод »(Fallis 2003, 56–7).

В дополнение к этой таксономической работе Фаллис также утверждает, что философский тезис о том, что пробелы в доказательствах не обязательно плохие предмет. Основываясь на (iii) выше, он вводит понятие универсально непересеченный разрыв , другими словами, разрыв, не было переброшено ни одним членом математического сообщества. Fallis утверждает, что такие пробелы не являются чем-то необычным и что по крайней мере некоторые из содержащие их временные доказательства принимаются математиками в оправдательный контекст.Это мнение подтверждается в более поздних работах Андерсен (2018).

Одна из активных областей работы, которая привела к раскрытию До сих пор нераспознанные пробелы различного рода автоматизированы проверка. Специально разработанные компьютерные программы используются для проверки действительность доказательств, представленных в соответствующем формальном язык. До сих пор основное внимание уделялось не открытию новых результаты, но при проверке статуса доказательств уже установленных полученные результаты. Джордж Гонтье использовал этот подход для проверки доказательства теорема о четырех цветах (Gonthier 2008) и доказательство нечетного порядка Теорема в теории групп (Gonthier et al.2013), а Томас Хейлз проверил доказательство теоремы о кривой Жордана (Hales 2007). В каждом В этом случае был обнаружен и пройден ряд пробелов. Формальный проверка такого рода может также выявить другую информацию, скрытую в содержание обычных математических аргументов. Георг Крайзель описал этот общий процесс как «раскручивание доказательств», в то время как Ульрих Коленбах недавно ввел термин «доказательство добыча полезных ископаемых.» В связи с описанными выше методами Avigad пишет, что

… Теоретические методы и идеи могут быть использованы … В области автоматизированных рассуждений и формальной проверки.С начала двадцатого века стало понятно, что обычные математические аргументы могут быть представлены в формальной аксиоматике. теории, по крайней мере, в принципе. Сложность даже в однако самые основные математические аргументы формализация на практике невозможна. Появление вычислительной Доказательство помощников начало менять это, делая возможным формализовать все более сложные математические доказательства. … [T] он методы также могут использоваться для более традиционной задачи проверки обычные математические доказательства, и особенно подходят для случаев где доказательства полагаются на вычисления, которые слишком обширны, чтобы проверить их рука.(Авигад 2007, стр. 7)

Однако Деларивьер и Ван Керхове (2017) отмечают, что компьютерные методы могут играть все более важную роль в доказательстве проверки, гораздо менее ясно, что такие методы могут сыграть соответственно центральная роль в продвижении математического понимания.

2.1.3 Диаграммы

Другой аспект неофициальных доказательств, который был предметом возобновленных внимание в современной философской литературе занимает роль диаграммы (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008).Чего нет в спор в том, что доказательства — особенно в геометрии, но и в других области от анализа до теории групп — часто сопровождается диаграммами. Один вопрос заключается в том, играют ли такие диаграммы незаменимая роль в цепочке рассуждений, ведущих из предпосылки данного доказательства к его заключению. Prima facie , Казалось бы, возможны три ситуации:

Диаграммы не играют существенной роли в доказательстве и служат просто как «иллюстрации» аспектов предмета с которым он имеет дело.
На практике это сложно (или даже невозможно) понять доказательство без использования диаграмм, но это незаменимость скорее психологическая, чем логическая.
Диаграммы играют важную роль в логической структуре доказательство.

Первая волна философской работы над схематическим мышлением. сосредоточился на Элементах Евклида, отчасти из-за центральность и историческое значение этой работы, и отчасти потому, что его так часто называют каноническим примером дедуктивного метода (см., д.г., Мумма 2010). Если некоторые или все диаграммы в Элементы подпадают под вариант (iii) выше, затем удаляются все диаграммы сделают многие доказательства недействительными. Это вызывает дальнейший вопрос о том, есть ли отчетливо схематическая форма рассуждения могут быть идентифицированы и проанализированы, и — если итак, можно ли это описать в чисто дедуктивной системе. Один трудность для любой предлагаемой строгости — это «обобщение проблема »: как может доказательство, связанное с конкретной диаграммой быть обобщенным на другие случаи? Это переплетается с проблемой формально различая существенное и случайные особенности данной диаграммы.

Более поздняя работа о роли диаграмм в доказательствах включала защита позиции, что схематические доказательства иногда могут быть полностью строгий (Azzouni, 2013) и изучение основанных на диаграммах рассуждения в областях математической практики, отличных от геометрии (de Тоффоли и Джардино, 2014; де Тоффоли, 2017).

2.2 Обоснование удержания

Даже если мы ограничим внимание контекстом оправдания, дедуктивное доказательство дает категорическое знание, только если оно исходит из безопасная отправная точка, и если правила вывода сохранение истины.Можем ли мы быть уверены, что эти два условия имеют место и обосноваться чисто дедуктивно? Эти условия будут рассматривается по очереди.

2.2.1 Обоснование правил

В каком-то смысле кажется довольно простым дать дедуктивную обоснование некоторого предпочтительного набора правил вывода. Это может быть показано, например, что если помещения приложения Modus Понены верны, значит, вывод также должен быть верным. Проблема в наименее потенциально заключается в том, что такие оправдания обычно используют само правило, которое они пытаются оправдать.В приведенном выше случае: если MP применительно к истинным предпосылкам заключение истинно; МП применяется к истинное помещение; отсюда вывод верный. Хаак (1976) и другие спорили о том, порочна ли здесь округлость. Один решающее значение имеет то, является ли аналогичный «Оправдания» могут быть даны для недействительных правил, для пример правил введения и исключения Priority для «Tonk», которые также имеют функцию использования правила для оправдать сам. ^[5] (Тесно связанный с этим вопрос можно проследить до Льюиса Кэрролла и его классическая (1895 г.) бумага.)

2.2.2 Статус аксиом

Итак, предположим, что идеализированное дедуктивное доказательство дает одно вид безопасности: прозрачность каждого шага гарантирует действительность аргумента в целом и, следовательно, гарантирует, что , если , все предпосылки верны , тогда заключение должно быть верным. Но какие аксиомы внесены в начало доказательства процесс? Традиционный ответ на этот вопрос — утверждать, что истинность аксиом надежна, потому что аксиомы «Само собой разумеющееся».Это, безусловно, было общепринятый взгляд на аксиомы евклидовой геометрии, ибо пример. Однако такое отношение гораздо менее распространено в современном мире. математика по разным причинам. Во-первых, открытие неевклидова геометрия начала 19 ^-го века показала эта очевидная самоочевидность, по крайней мере, в случае с Параллельным Постулат не является гарантией необходимой истины. Во-вторых, увеличивающийся диапазон и сложность математических теорий — и их аксиоматизации — сделали гораздо менее правдоподобным утверждение, что каждая отдельная аксиома была прозрачно верной.В-третьих, многие математические подполя стали в значительной степени абстрагированными из любых конкретных моделей, и это идет рука об руку с склонность по крайней мере некоторых математиков принять формалистический отношение к разрабатываемым теориям. Вместо того, чтобы выражать фундаментальные истины, с этой точки зрения аксиомы служат просто для обеспечения исходное положение для формальной игры.

Скольжение в сторону такого формалистического отношения к аксиомам также может можно проследить через логицизм Фреге.Программа логики искала показать, что математика сводится к логике, другими словами, что можно показать, что математические доказательства состоят из логических выводов из логически верные помещения. Для Фреге эти логически верные предпосылки таковы: определения терминов, которые в них встречаются. Но это снова поднимает вопрос о том, что отличает приемлемое от неприемлемого определения. Беспокойство здесь не только в том, верны ли наши аксиомы. но насколько они последовательны (ловушка, которая, как известно, Собственная система Фреге).И это проблема, если самоочевидность отказались от «золотого стандарта» аксиом, независимо от того, перейти отсюда к взглядам формалистов или логики. В обоих случаях, некоторые другие границы приемлемости аксиом-кандидатов должны быть предоставлена.

Есть ли золотая середина между высокими стандартами самоочевидность, с одной стороны, и «все идет» отношение к другому? Одна идея, версию которой можно проследить Бертрану Расселу, заключается в том, чтобы использовать версию вывода о лучшем объяснение.Точка зрения Рассела, достаточно правдоподобная, заключается в том, что предложения элементарной арифметики — «2 + 2 = 4», «7 — простое число» и т. Д. — гораздо более очевидны, чем аксиомы любой логической или теоретико-множественной системы с, чтобы заземлить их. Поэтому вместо того, чтобы рассматривать аксиомы как максимально само собой разумеющимся, мы должны вместо этого думать о них как о избранных на основы их (коллективной) способности систематизировать, выводить и объяснять основные арифметические факты. Другими словами, направление логическое следствие остается от аксиом к арифметическим фактам, но направление оправдания может пойти другим путем, по крайней мере, в случае очень простых, очевидных арифметических фактов.Получение «2 + 2 = 4 ”из наших теоретико-множественных аксиом не увеличивает уверенность в истинности «2 + 2 = 4», но тот факт, что мы можем вывести этот заранее известный факт (а не другие предположения, которые, как мы знаем, ложны) действительно увеличивает нашу уверенность в истинности аксиом.

Направление оправдания здесь отражает направление обоснование вывода о лучшем объяснении. Как только у нас будет степень уверенности в конкретном выборе аксиом, тогда направление оправдания может также течь в более традиционных направление, в соответствии с дедуктивными выводами доказательства.Это будет случиться, когда доказанная теорема не была той, истинность которой была ранее очевидно. Иасваран (2005 г.), Манкосу (2008 г.) и Шлимм (2013) разработали это основное объяснение выбора аксиомы в различных способами. Например, Манкосу утверждает, что аналогичный процесс может лежат в основе развития новых математических теорий, расширяющих область применения или онтологию предыдущих теорий. Изготовление дальнейший прогресс в анализе этого процесса будет зависеть от удовлетворительное изложение математического объяснения, и это стало область значительного интереса в недавней литературе по философия математики.

Другой подход, которого придерживалась Мэдди (1988, 1997, 2001, 2011), — смотреть более подробно в реальной практике математиков и причины, по которым они принимают или отклоняют другого кандидата аксиомы. Мэдди уделяет основное внимание аксиомам теории множеств, и она утверждает, что существуют различные теоретические достоинства без прямой связи к «самоочевидности», которой могут обладать аксиомы. Что это добродетели и то, как они соотносятся друг с другом, могут хорошо различаются в разных областях математики.Две основные добродетели которые Мэдди определяет для теоретико-множественных аксиом как UNIFY (т.е. они обеспечивают единую фундаментальную теорию для решения теоретико-множественных вопросы) и МАКСИМИЗИРОВАТЬ (т. е. чтобы они не ограничивали произвольно диапазон типов изоморфизма). Проблема выбора аксиомы в теории множеств также был поднят в недавней работе Lingamneni (2017) и Фонтанелла (2019).

2.3 Результаты Гёделя

Несомненно, самое известное из ограничений дедуктивного методы в математике — это те, которые происходят от Гёделя неполнота результатов.Хотя эти результаты относятся только к математические теории, достаточно сильные, чтобы включить арифметику, центральность натуральных чисел (и их продолжения в рациональные числа, действительные числа, комплексы и т. д.) как средоточие математической деятельности означает, что последствия широко распространены.

Не следует также говорить о точном значении работы Гёделя. завышен. Порядок квантификаторов важен. Что Гёдель показал, что для любого непротиворечивого, рекурсивно аксиоматизированного формального система F, достаточно сильная для арифметики, есть истины, выражаемые на чисто арифметическом языке, которые не доказываются в F.Он сделал не показывать, что есть недоказуемые арифметические истины любая формальная система . Тем не менее, результаты Гёделя забил несколько значительных гвоздей в гроб одной из версий дедуктивный идеал математики. Не может быть ни одного, рекурсивно аксиоматизируемая формальная система для всей математики, которая является (а) непротиворечивым, (б) чисто дедуктивным и (в) полным. Одна линия ответом на это затруднительное положение является изучение вариантов недедуктивного методы обоснования в математике.

3.1 Экспериментальная математика

Роль недедуктивных методов в эмпирической науке легко понять. очевидный и относительно бесспорный ( против Карла Поппера). Действительно, канонический образец оправдания в науке — a. posteriori и индуктивная. Что делает эмпирическую науку эмпирической решающую роль играет наблюдение, и — в частное — экспериментальным путем. Поэтому естественная отправная точка в обзоре недедуктивных методов в математике стоит взглянуть на Возникновение жанра, известного как «экспериментальная математика».”The за последние 15 лет или около того появились журналы (например, The Journal of Experimental Mathematics ), институты (например, Институт экспериментальной математики Университета Эссен), коллоквиумы (например, коллоквиум по экспериментальной математике в г. Рутгерского университета) и книги (например, Borwein and Bailey 2003 и 2004), посвященный этой теме. Эти последние авторы также утверждают, что в Borwein и Bailey (2015) за важность экспериментальных математика в математической практике в целом, в то время как Соренсен (2016) предлагает более широкий исторический и социологический анализ экспериментальной математики.

На фоне традиционной дихотомии между математические и эмпирические пути к знаниям, сам термин «Экспериментальная математика» кажется в лучшем случае оксюморонной и худший прямо-таки парадоксальный. Одно естественное предположение состоит в том, что экспериментальная математика предполагает выполнение математических эксперименты , где термин «эксперимент» здесь истолковано настолько буквально, насколько это возможно. Это подход, принятый ван Бендегем (1998). По словам ван Бендегема, эксперимент предполагает: «Манипулирование объектами,… настройка процессов в «реальный» мир и… наблюдение возможных результатов этих процессов »(Van Bendegem 1998, 172).Его предложение это естественный способ получить первоначальное представление о том, что эксперимент может состоять в том, чтобы рассмотреть, как эксперимент в этом парадигматический смысл может иметь математические разветвления.

Один из примеров, который приводит ван Бендегем, восходит к работе, проделанной 19 ^-й-й век Бельгийский физик Плато на минимальной поверхности проблемы области. Создавая различные геометрические формы из проволоки и окунув эти проволочные каркасы в мыльный раствор, Плато смог ответить на конкретные вопросы о минимальной поверхности, ограничивающей различные определенные формы, и — в конечном итоге — сформулировать некоторые общие принципы, регулирующие конфигурации таких поверхности.^[6] Один из способов понять, что происходит в этом примере, состоит в том, что физический эксперимент — окунание проволочного каркаса в мыло решение — дает результаты, которые имеют прямое отношение к определенный класс математических задач. Главный недостаток этого способа характеристики экспериментальной математики состоит в том, что она слишком ограничительный. Примеры того, что цитирует ван Бендегем, чрезвычайно редко, следовательно, влияние математических экспериментов такого рода на реальная математическая практика может быть в лучшем случае очень ограниченной.Более того, не только этот, буквальный смысл эксперимента математики имеют в виду, когда говорят о — и до — экспериментальная математика.

Вот и все для самого буквального прочтения «математической эксперимент ». Потенциально более плодотворный подход — подумать аналогичные или функциональные термины. Другими словами, возможно «Экспериментальная математика» используется для обозначения деятельности, которая функционирует в математике аналогично роль эксперимента в эмпирической науке.Таким образом, математические эксперименты может разделять одни особенности с буквальными экспериментами, но не другие особенности (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008 г.). Прежде чем продолжить этот анализ, может быть полезно чтобы вкратце взглянуть на тематическое исследование.

Прекрасный пример текущей работы по экспериментальной математике представлен в одна из двух недавних книг Борвейна и Бейли (1995b, гл. 4). А действительное число считается нормальным по основанию n , если каждая последовательность цифр для основания n (любой заданной длины) одинаково часто встречается в его base-n расширение.Число абсолютно нормальное , если оно нормально в каждой базе. Рассмотрим следующую гипотезу:

Гипотеза: всякое нерациональное алгебраическое число абсолютно нормально.

Борвейн и Бейли использовали компьютер для вычисления до 10 000 десятичных цифр. квадратные корни и кубические корни из натуральных чисел меньше, чем 1000, а затем они подвергли эти данные определенным статистическим тесты.

В этом примере есть несколько ярких особенностей, которые могут указать к более общей характеристике экспериментальной математики.Во-первых, путь от свидетельства к гипотезе лежит через перечисление. индукция. Во-вторых, это использование компьютеров. В чем Ниже мы рассмотрим эти две особенности по очереди.

3.2 Перечислительная индукция

В письме к Эйлеру, написанном в 1742 году, Кристиан Гольдбах предположил, что что все четные числа больше 2 выражаются как сумма двух простые числа. ^[7] В течение следующих двух с половиной столетий математики не может доказать гипотезу Гольдбаха.Однако это было проверено на многих миллиардах примеров, и, похоже, консенсус среди математиков о том, что эта гипотеза наиболее вероятна правда. Ниже приведен частичный список (по состоянию на октябрь 2007 г.), показывающий порядок величины, до которой все четные числа были проверены и показаны чтобы соответствовать GC.

Связанный	Дата	Автор
1 × 10 ³	1742	Эйлер
1 × 10 ⁴	1885	Desboves
1 × 10 ⁵	1938	Кант
1 × 10 ⁸	1965	Stein & Stein
2 × 10 ¹⁰	1989	Гранвиль
1 × 10 ¹⁴	1998	Десуиллер
1 × 10 ¹⁸	2007	Оливейра и Силва

Несмотря на огромное скопление отдельных положительных примеров GC, которому с начала 1960-х годов помогли введение — и последующие быстрое увеличение скорости — цифрового компьютера, никаких доказательств GC еще не найдено.Не только это, но и некоторые теоретики чисел оптимистично настроен на то, что в ближайшее время появятся какие-либо доказательства Медалист Филдса Алан Бейкер заявил в интервью 2000 года: «Маловероятно, что мы продвинуться дальше [в доказательстве GC] без большого прорыва. К сожалению, такой большой идеи на горизонте нет ». Также в В 2000 году издатели Faber и Faber предложили каждому приз в размере 1000000 долларов. которые доказали GC в период с 20 марта 2000 г. по 20 марта 2002 г., уверены, что их деньги были в относительной безопасности.

Что делает эту ситуацию особенно интересной, так это то, что математики давно уверены в истинности GC.Харди Еще в 1922 году Литтлвуд утверждал, что «не существует разумные сомнения в том, что теорема верна », и Эчеверриа, в недавней обзорной статье пишет, что «уверенность в математиков об истинности GC полно »(Echeverria 1996, 42). Более того, эта уверенность в истинности GC обычно прямо связаны с индуктивными доказательствами: например, G.H. Харди описал числовые свидетельства, подтверждающие истинность GC, как «Подавляющее». Таким образом, кажется разумным заключить, что Основанием для веры математиков в GC является перечисление индуктивное свидетельство.

Одна отличительная черта математического случая, которая может сделать Различие в оправдательной силе перечислительной индукции заключается в важность порядка. Примеры, подпадающие под данную математическую гипотезы (по крайней мере, в теории чисел) внутренне упорядочены, и кроме того, положение в этом порядке может иметь решающее значение для задействованные математические свойства. Как пишет Фреге, относительно математика:

[T] Заземление [является] неблагоприятным для индукции; здесь нет ни одного из единообразие, которое в других областях может дать методу высокую степень надежности.(Фреге, Основы арифметики )

Затем Фреге цитирует Лейбница, который утверждает, что разница в величина приводит ко всем видам других существенных различий между номера:

Четное число можно разделить на две равные части, нечетное число не могут; три и шесть — треугольные числа, четыре и девять — квадраты, восьмерка — это куб и т. д. (Frege, Основы Арифметика )

Фреге также явно сравнивает математические и нематематические контексты для индукции:

В обычных индукциях мы часто пользуемся предложением, что каждая позиция в пространстве и каждый момент времени хороши сами по себе как и все остальные.… Положение в числовом ряду не имеет значения безразличия, как положение в пространстве. (Frege, Основы Арифметика )

Как следует из замечаний Фреге, один из способов подкрепить аргумент против использования перечислительной индукции в математике через некоторые вид принцип неравномерности : в отсутствие доказательства мы не следует ожидать, что числа (в целом) поделятся любопытными свойства. Следовательно, устанавливая, что свойство выполнено для некоторого конкретное число не дает оснований думать, что второй произвольно выбранный номер также будет иметь это свойство.^[8] Вместо принципа однородности, который предлагает Юм, является единственным способ заземления индукции, мы имеем почти противоположное принцип! Казалось бы, из этого принципа следует, что Перечислительная индукция неоправданна, так как не следует ожидать (конечные) выборки из совокупности натуральных чисел в качестве ориентировочных универсальных свойств.

Потенциально даже более серьезная проблема в случае GC и в целом в других случаях индукции в математике состоит в том, что образец, который мы глядя на смещен .Обратите внимание, что все известные экземпляры GC (и действительно все экземпляры, которые можно знать) являются — в важном смысле — маленькими.

В самом реальном смысле больших чисел не бывает: любое явное целое число. можно сказать, что они «маленькие». Действительно, сколько бы цифры или башни экспонент, которые вы записываете, есть только конечное много натуральных чисел меньше, чем ваш кандидат, и бесконечно много которые больше (Crandall and Pomerance 2001, 2).

Конечно, было бы неправильно просто жаловаться, что все экземпляры GC — конечные .В конце концов, каждое число конечно, поэтому если GC выполняется для всех конечных чисел, чем выполняется GC Симпликатор . ^[9] Но мы можем выделить более крайнее чувство малости, которое может быть называется мельчайшие .

Определение: положительное целое число, n , это минута только в case n находится в диапазоне чисел, которые мы можем записать, используя обычная десятичная система счисления, включая (не повторяющееся) возведение в степень.

Проверенные экземпляры GC на сегодняшний день не просто маленькие, они мельчайшие.А мелкость, хотя, по общему признанию, довольно расплывчато определенная, известна Сделать разницу. Рассмотрим, например, логарифмическую оценку простая плотность (т. е. доля чисел меньше заданного n , которые являются простыми), что, как известно, становится заниженным для достаточно большой n . Пусть n ^* будет первым число, для которого логарифмическая оценка слишком мала. Если Риман Гипотеза верна, тогда можно доказать, что верхняя оценка для n ^* (первое число Skewes) равно 8 × 10 ³⁷⁰.Хотя впечатляюще большое число, это тем не менее, минута в соответствии с приведенным выше определением. Однако если Гипотеза Римана неверна, чем наша самая известная верхняя оценка для n ^* (второе число Скьюза) 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. ^[10] Необходимость изобретения здесь обозначения «стрелка», чтобы Представьте, что это число говорит нам, что это не минута. Вторая часть этого результата, поэтому, хотя, по общему признанию, зависит от результата что считается маловероятным (т.е.ложность RH) означает, что есть свойство, которое содержит все минутные числа, но не удерживайте для всех номеров. Мельчайшие детали могут иметь значение.

А как насчет кажущейся уверенности теоретиков чисел в правда GC? Эчеверрия (1996) обсуждает важную роль, которую играет Публикация Кантора в 1894 г. таблицы значений Статистическая сумма Гольдбаха, G ( n ), для n = от 2 до 1000 (Echeverria 1996,29–30). Статистическая сумма меры количество различных способов, которыми данное (четное) число может быть выражается как сумма двух простых чисел.Таким образом, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 и т. Д. Это смещение фокуса на статистическую сумму совпало с резким ростом уверенности математиков в GC. Из работы Кантора стало очевидно, что G ( n ) имеет тенденцию к увеличению по мере увеличения n . Обратите внимание, что в этом контексте GC сводится к тому, что G ( n ) никогда не принимает значение 0 (для любого четного n больше 2). Подавляющее впечатление , произведенное данными о функции распределения, состоит в том, что она очень маловероятно, что сборщик мусора откажет для некоторых больших n .За например, для чисел порядка 100 000 всегда есть как минимум 500 различных способов выразить каждое четное число как сумму двух простые числа!

Однако в нынешнем виде эти результаты чисто эвристические. Тридцать лет после публикации Кантором своей таблицы ценностей (описанный Эчеверрией как «период ^и гг.» исследования GC) видели многочисленные попытки найти аналитическое выражение для G ( n ). Если бы это можно было сделать, то предположительно сравнительно просто доказать, что эта аналитическая функция никогда не принимает значение 0 (Echeverria 1996, 31).Примерно к 1921 году пессимизм в отношении шансов найти такое выражение привел к изменение акцентов, и математики начали направлять свои внимание на попытку найти нижние оценки для G ( n ). Это тоже оказался безуспешным, по крайней мере, на сегодняшний день.

Таким образом, рассмотрение статистической суммы не привело к доказательству GC никак не ближе. Однако это позволяет нам дать интересный вернемся к аргументу из предыдущего раздела. График предполагает, что самые сложные тестовые примеры для GC, скорее всего, произойдут среди самых маленьких числа; следовательно, индуктивный образец для GC смещен на , но он смещено против шансов GC.Математиков уверенность в истинности GC не основана исключительно на перечислительных индукция. Значения, взятые статистической суммой, показывают, что выборка положительных примеров GC действительно смещена и смещена образцы, как правило, не оказывают большой поддержки гипотеза. Но в данном конкретном случае характер смещения заставляет доказательства сильнее, а не слабее. Так что можно утверждать, что перечислительная индукция неоправданна при одновременном согласии что математики рационально полагают GC на основе имеющиеся доказательства.(Обратите внимание, что существует тонкий баланс для поддержания здесь, потому что свидетельством поведения статистической суммы является сам по себе недедуктивный. Однако создается впечатление, что G ( n ) может быть ограничена снизу некоторой возрастающей аналитической функцией, не является на основе перечислительной индукции per se , поэтому обоснование — хотя и недедуктивное — не является круговым.)

Результат вышеупомянутого обсуждения, хотя и основан на одном случае исследования, заключается в том, что математики не должны — и в целом not — придайте вес перечислительной индукции как таковой в обоснование математических утверждений.(В какой мере перечислительные индукция играет роль в открытии новых гипотез или в выбор того, над чем решают работать математики, — это отдельный вопрос, который здесь не рассматривался.) Точнее, Диссертация состоит из двух частей:

Числовая индукция не должна увеличиваться уверенность в универсальных математических обобщениях (в бесконечном домен).
Перечислительная индукция не ведет (в общем) математики, чтобы быть более уверенными в истинности заключения такие обобщения.

3.3 Компьютерные пруфы

Отличительной чертой современных работ по экспериментальной математике является что это делается с помощью компьютеров . Это зависимость от сложные части электроники, что делает поле «Экспериментальный»? Если посмотреть, что публикуется в современные журналы, книги и конференции, посвященные экспериментальным математика, создается впечатление, что все предметы тесно связаны с компьютерами. Например, не видно ни одного статья, опубликованная в более чем десятилетних выпусках Экспериментальная математика , в которой не используются компьютеры.А как насчет примеров, к которым склонны математики? предложить как парадигмы экспериментальной математики? Здесь данные менее ясно. С одной стороны, неформальный опрос показывает, что большинство таких примеров действительно связано с явным использованием компьютеров. С другой стороны, математики нередко цитируют один или несколько исторических примеров, задолго до компьютерной эры, до проиллюстрировать предполагаемую родословную субдисциплины.

Самая большая практическая проблема приравнивания экспериментального математика с компьютерной математикой происходит от того, что самозваные экспериментальные математики говорят о своих зарождающихся дисциплина.Когда математики застенчиво задумываются о понятие экспериментальной математики, они склонны отвергать утверждение, что использование компьютера — необходимая функция. Например, редакторы журнала журнал Experimental Mathematics — в их «Философское изложение» относительно объема и характера журнала — сделать следующие пометки:

Слово «экспериментальный» понимается широко: многие математические эксперименты в наши дни проводятся на компьютерах, но другие по-прежнему являются результатом работы с карандашом и бумагой, а есть другие экспериментальные методы, такие как создание физических модели.(«Цели и сфера действия», Experimental Mathematics — см. Другие Интернет-ресурсы)

А вот еще один отрывок с похожим вкусом от математика. Дорон Зейлбергер:

[T] Традиционная экспериментальная математика… была проведена все великие и менее великие математики на протяжении веков, карандашом и бумагой. (Галлиан и Пирсон 2007, 14)

Будет справедливо сказать, что привязка экспериментальной математики к компьютеру использование хорошо сочетается с тем, что делают современные экспериментальные математики но не так хорошо с тем, что они сказать.^[11]

Вторая проблема с предлагаемой характеристикой заключается в следующем. философский характер. Рассмотрим еще один широко цитируемый пример экспериментальная математика, возникающая в связи с Гипотеза Гольдбаха. По состоянию на апрель 2007 г. все четные числа до 10 ¹⁸ были проверены на соответствие требованиям GC, и этот проект (под руководством Oliveira e Silva) продолжается. Этот массивный вычислительная задача обычно считается парадигмальным примером экспериментальная математика.И кажется очевидным, что компьютеры играют здесь существенную роль: ни математик, ни группа математики, могли бы надеяться повторить 10 ¹⁸ расчетов рукой.

В текущем контексте главный вопрос заключается не в том, компьютерная математика является «экспериментальной», но это — по крайней мере иногда — недедуктивно . В одном смысл, конечно, все отдельные вычисления, выполненные компьютер дедуктивен, или, по крайней мере, они изоморфны операции чисто дедуктивной формальной системы.Когда компьютер проверяет экземпляр GC, эта проверка полностью дедуктивна. Затем мы можем выделить два разных вопроса. Во-первых, это вычисления, играющие недедуктивную роль в некоторых более крупных математических аргумент? А во-вторых, убеждения, которые мы формируем непосредственно из результаты компьютерных вычислений дедуктивно обоснованные убеждения? В первый из этих вопросов не включает ничего специфического для компьютеров, и, следовательно, возвращается к проблеме, обсуждаемой в Разделе 3 (B) выше по перечислительной индукции.Второй вопрос будет рассматриваются ниже.

Вызвано философское обсуждение статуса компьютерных доказательств. в значительной степени благодаря компьютерному доказательству Аппеля и Хакена Теорема о четырех цветах в 1976 г. В его (1979) Тимочко утверждает, спорно, что на основе математических знаний о компьютерных доказательствах по сути эмпирический характер. Это потому что такие доказательства не априори , не достоверны, не можно исследовать и не проверять математиками-людьми. Во всех этих уважает, по словам Тимочко, компьютерные доказательства не похожи на традиционные «карандашно-бумажные» корректуры.Что касается обзорность, Тимочко пишет:

Доказательство — это конструкция, которую можно просмотреть, просмотреть, проверить. рациональным агентом. Мы часто говорим, что доказательство должно быть наглядным, или возможность проверки вручную. Это выставка, вывод вывод, и ему не нужно ничего извне, чтобы быть убедительным. Математик рассматривает доказательства целиком и тем самым приходит к знать заключение. (Тимочко 1979, 59).

В качестве аргумента предположим, что компьютерное доказательство, о котором идет речь, является дедуктивно правильно, но также не поддается исследованию в указанном выше смысле.Делает наше решение полагаться на производительность компьютера здесь составляет недедуктивный метод ? Один из способов рассмотрения такого рода примеров это как вбивание клина между дедуктивным методом и нашим недедуктивным — доступ к результатам этого метода. Сравните, например, когда эксперт сообщает конкретный математический результат математик (с хорошей репутацией). Это «Недедуктивный метод »? ^[12]

3.4 Вероятностные доказательства

Существует небольшое, но постоянно растущее подмножество математических методов, которые носят существенно вероятностный характер.В контексте обоснование, эти методы не подразумевают дедуктивного заключения а лучше установить, что есть некоторые (часто точно определяемые) высокая вероятность того, что вывод верен. Философская дискуссия из этих методов началось с Fallis (1997, 2002), в то время как Berry (2019) полезный недавний вклад в дискуссию.

Один из типов вероятностных методов ссылается на предыдущее обсуждение. экспериментальной математики, поскольку она включает в себя проведение экспериментов в самом буквальном смысле.Идея состоит в том, чтобы использовать вычислительную мощность ДНК для эффективного создания параллельного компьютера для решения некоторые иначе неразрешимые комбинаторные проблемы. Наиболее известный из них — проблема «коммивояжера», которая включает определение того, существует ли какой-либо возможный маршрут через узлы графа, соединенные однонаправленными стрелками, которые посещают каждый узел ровно один раз. Адлеман (1994) показывает, как можно закодировать проблему. с использованием цепей ДНК, которые затем можно сплайсировать и рекомбинировать с использованием различные химические реакции.Появление определенной более длинной ДНК прядей в конце процесса соответствует нахождению путь решения через граф. Приходят вероятностные соображения наиболее отчетливо в том случае, когда нити ДНК больше не обнаруживаются. Этот указывает, что нет пути через граф, но даже если эксперимент проведен правильно, поддержка здесь недостаточна полная уверенность. Потому что есть небольшой шанс, что есть решение но что он не может быть закодирован какой-либо цепью ДНК в начале эксперимент.

В математике есть также вероятностные методы, которые экспериментальный в указанном выше смысле. Например, есть свойства составные (т.е. непростые) числа, которые, как можно показать, выполняются в отношение примерно к половине чисел меньше, чем данный составной количество. Если различные числа меньше выбраны N в случайный, и ни один из них не имеет отношения к N , то он следует, что N почти наверняка простое число. Уровень вероятность здесь может быть точно рассчитана и может быть сделана по мере необходимости, выбирая больше «свидетелей» для проверки.

Обратите внимание, что такого рода вероятностные методы содержат множество чисто дедуктивное рассуждение. Действительно, во втором примере факт что вероятность того, что N является простым, равна 0,99. чисто дедуктивно. Тем не менее, есть общий консенсус в отношении математическое сообщество, что такие методы неприемлемы заменяет дедуктивное доказательство заключения. Фаллис (1997, 2002) утверждает, что это отклонение необоснованно, потому что любое свойство вероятностные методы, которые можно назвать проблемными, разделяется некоторыми доказательствами, которые принимает математическое сообщество.Фаллис уделяет основное внимание установлению истины как ключевого эпистемологического цель математики. Однако кажется правдоподобным, что одна из основных причин за недовольство математиков вероятностными методами состоит в том, что они не объясняют, почему их выводы верны. Кроме того, Ишваран возражает против Фаллиса, что существует собственность, которую он называет «передаваемость», что нет вероятностных доказательств и есть приемлемые доказательства (Easwaran 2009; Джексон 2009). Fallis (2011) — ответ на некоторые из этих возражения.

С другой стороны, могут быть случаи, когда чистая правда или ложь претензии важно даже при отсутствии сопроводительного объяснение. Например, можно представить ситуацию, в которой важная и интересная гипотеза, — говорят Риман Гипотеза — рассматривается, вероятностный метод используется, чтобы показать, что какое-то число, скорее всего, является контрпримером. Интересно предположить, какова реакция математических сообщество может быть в этой ситуации.Будет работать над попыткой доказать RH прекратить? Будет ли это продолжаться до тех пор, пока не будет получено строгое дедуктивное доказательство контрпример построен?

Непонятно, почему следует ожидать различных недедуктивных методы, используемые в математике, чтобы разделить какие-либо существенные особенности, другие чем их недедуктивность. Философы смотрят на роль недедуктивные рассуждения в контексте открытия часто говорят как будто нужно найти какое-то единство (например, подзаголовок к Доказательства и опровержения Лакатоша — это «Логика Математическое открытие.«Более вероятно, что массив недедуктивные методы разнообразны и неоднородны. (Сравните Станислава Замечание Улама о том, что «изучение нелинейной физики как изучение биологии неслонов. »)

Работа современных философов математики продолжает подталкивать изучение недедуктивных математических методов по новым направлениям. Один область интересов — «математические естественные виды» и можно ли использовать такое понятие для обоснования использования аналогии в математические рассуждения (Corfield 2004 [Другие Интернет-ресурсы]).Еще одна исследуемая область — предполагаемая роль эвристического принципы математики. (Большая часть этой работы восходит к Pólya (1945).)

Предыстория всех этих дебатов касается степени который каждый конкретный недедуктивный метод играет существенных роль в оправдательной практике математики. Этот вопрос возникает как на локальном, так и на глобальном уровне. На местном уровне конкретная аргументация для оправдания данного результата может быть неизбежно недедуктивный, но результат также может быть установлен некоторые другие, чисто дедуктивные рассуждения.На глобальном уровне возможно, наше единственное оправдание некоторых математических утверждений недедуктивно. Степень, в которой мы используем недедуктивные методы обусловлено ограничениями на практике, а не в принципе остается вопросом для дальнейшего расследования.

Математических наук | U-M LSA по математике

Перейти к содержанию

U-M
//
LSA
//
Департаменты и подразделения
//
Мажоры и несовершеннолетние
//
LSA шлюз

Отправить поиск по сайту

Поиск

Поиск: {{$ root.lsaSearchQuery.q}}, страница {{$ root.page}}

{{item.title}}
{{item.snippet}}
{{item.snippet}}
предыдущий | следующий

Математика
О нас
Люди
Центры и информационные центры
Семинары
Новости и события
Разнообразие и климат
для
Бакалавриат
Выпускники
Выпускники и друзья
Исследования
Обновления коронавируса
У-М
LSA
Отделения и подразделения
Мажоры и несовершеннолетние
Шлюз LSA
Ключевые слова поиск по математике
Главная
О нас
люди
.

Математика истомина н б: ГДЗ по математике 4 класс Истомина Н.Б

ГДЗ по математике 4 класс Истомина Н.Б

Содержание онлайн-помощника по математике за 4 класс Истоминой

ГДЗ по математике 3 класс Н.Б. Истомина

Полезность решебника по математике 3 класс Н.Б. Истомина

Для чего нужна математика

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 1

Учебник Математика 1 класс Истомина часть 2

Конспекты — «Математика (в 2 частях)», Истомина Н.Б.

«Математика (в 2 частях) », Истомина Н.Б.

Н. Истомина | Semantic Scholar

Mathematics | Определение, история и важность

математика | Определение, история и важность

Биномиальная теорема

Пример: a + b

Экспоненты

Пример: 8 2 = 8 × 8 = 64

Пример: 8 1 = 8

Пример: 8 0 = 1

Показатели (a + b)

Показатель 0

Показатель 1

Показатель 2

Показатель числа 3

Узор

Недедуктивные методы в математике (Стэнфордская энциклопедия философии)

1.1 Открытие против оправдания

1.2 Учет и формализация

1.3 Дедуктивизм и фонды

2.1 Аспекты неформальности

2.1.1 Полуформальные доказательства

2.1.2 Пробелы в доказательствах

2.1.3 Диаграммы

2.2 Обоснование удержания

2.2.1 Обоснование правил

2.2.2 Статус аксиом

2.3 Результаты Гёделя

3.1 Экспериментальная математика

3.2 Перечислительная индукция

3.3 Компьютерные пруфы

3.4 Вероятностные доказательства

Математических наук | U-M LSA по математике

Поиск: {{$ root.lsaSearchQuery.q}}, страница {{$ root.page}}

для

Добавить комментарий Отменить ответ

Пример: 8 ² = 8 × 8 = 64

Пример: 8 ¹ = 8

Пример: 8 ⁰ = 1